Exercícios de Vasos Comunicantes

Vamos utilizar o princípio de Stevin, considerando o equilíbrio hidrostático entre os dois ramos do tubo em U.

Desnível do líquido original

No estado inicial, o líquido de densidade d está no mesmo nível em ambos os ramos (nível primitivo). Ao adicionar o líquido d’ no ramo da direita:

– O líquido d no ramo esquerdo sobe uma altura H em relação ao nível primitivo.

– Como o tubo tem seção reta uniforme e o líquido é incompressível, o líquido no ramo da direita desce a mesma altura H em relação ao nível primitivo.

– Portanto, o desnível total da coluna do líquido d entre os dois ramos é 2 H.

Altura da coluna do segundo líquido

A superfície livre do segundo líquido (d’) está a uma distância vertical acima da superfície livre do primeiro líquido (d) no ramo oposto.

A altura da coluna do líquido é a soma do desnível do líquido original (2H) mais a distância Y.

Assim, a altura total da coluna de densidade é h’ = 2H + Y.

Aplicando o Princípio de Stevin:

No equilíbrio, a pressão na interface entre os dois líquidos (no ramo da direita) deve ser igual à pressão no mesmo nível horizontal no ramo da esquerda:

$${\mathrm{P}}_{\mathrm{esquerda}}={\mathrm{P}}_{\mathrm{direita}}$$
$$\mathrm{d}\cdot \mathrm{g}\left(2\mathrm{H}\right)=\mathrm{d}‘\cdot \mathrm{g}(2\mathrm{H}+\mathrm{Y})$$

Razão entre as densidades

Cancelando a aceleração da gravidade (g) em ambos os lados e isolando a razão entre as densidades dos líquidos, temos:

$\mathrm{d}\cdot \cancel{\mathrm{g}}\left(2\mathrm{H}\right)=\mathrm{d}‘\cdot \cancel{\mathrm{g}}(2\mathrm{H}+\mathrm{Y})\therefore \frac{\mathrm{d}‘}{\mathrm{d}}=\frac{2\mathrm{H}}{2\mathrm{H}+\mathrm{Y}}$

Análise dos volumes e alturas: O enunciado informa que o volume de cada líquido é igual ao volume da base do tubo. Sendo (S) a área da seção transversal do tubo e (L) o comprimento da base, o volume de cada líquido é $\mathrm{V}=\mathrm{S}\cdot \mathrm{L}$.

O líquido A ocupa a coluna da esquerda e parte da base até o ponto (x). O comprimento total ocupado por A é h_A + x = L, logo a altura da coluna esquerda é h_A = L – x.

O líquido B ocupa o restante da base (L – x) e a coluna da direita. O comprimento total ocupado por B é h_B + L – x = L, logo a altura da coluna direita é h_B = x. 

Equilíbrio hidrostático: Para que o sistema esteja em repouso, a pressão no ponto de contato (interface) entre os dois líquidos deve ser a mesma, independentemente do lado pelo qual a calculamos. Como a interface está no fundo do tubo (mesmo nível horizontal), igualamos as pressões hidrostáticas das colunas verticais:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{atm}}+{\mathrm{P}}_{\mathrm{h}\left(\mathrm{A}\right)}=\mathrm{Patm}+{\mathrm{P}}_{\mathrm{h}\left(\mathrm{B}\right)}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{\mathrm{atm}}+{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot \mathrm{g}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{P}}_{\mathrm{atm}}+{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\cdot \mathrm{g}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}$

Cancelando a pressão atmosférica e a aceleração da gravidade (termos idênticos em ambos os lados da equação):

$\cancel{{\mathrm{P}}_{\mathrm{atm}}}+{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot \cancel{\mathrm{g}}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}=\cancel{{\mathrm{P}}_{\mathrm{atm}}}+{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\cdot \cancel{\mathrm{g}}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}\Rightarrow {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}$  

Substituindo as expressões das alturas encontradas para as alturas das colunas dos líquidos A e B:

${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}\Rightarrow {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot (\mathrm{L}-\mathrm{x})={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\cdot \mathrm{x}$

Reagrupando e isolando os termos com x:

$${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot (\mathrm{L}-\mathrm{x})={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\cdot \mathrm{x}\Rightarrow {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot \mathrm{L}-{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot \mathrm{x}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\cdot \mathrm{x}\Rightarrow {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot \mathrm{L}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot \mathrm{x}+{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\cdot \mathrm{x}\Rightarrow$$
$${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\cdot \mathrm{L}=({\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}})\cdot \mathrm{x}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}}{{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}}\cdot \mathrm{L}$$

Igualando as pressões dos pontos X e Y, obtemos:

$${\mathrm{p}}_{\mathrm{X}}={\mathrm{p}}_{\mathrm{Y}}$$
$$\cancel{{\mathrm{p}}_{\mathrm{atm}}}+{\mathrm{d}}_{\mathrm{o}}\cancel{\mathrm{g}}(\mathrm{H}+\mathrm{h})=\cancel{{\mathrm{p}}_{\mathrm{atm}}}+{\mathrm{d}}_{\mathrm{a}}\cancel{\mathrm{g}}2\mathrm{h}$$
$$0,8\cdot (\mathrm{H}+\mathrm{h})=1\cdot 2\mathrm{h}$$
$$0,8\mathrm{H}+0,8\mathrm{h}=2\mathrm{h}$$
$$0,8\mathrm{H}=1,2\mathrm{h}$$
$$\mathrm{H}=1,5\mathrm{h}$$