Exercícios de Vasos Comunicantes com resolução comentada

Para determinar a razão entre as densidades, aplica-se o princípio de Stevin, que relaciona a diferença de pressão em um líquido em equilíbrio à densidade do líquido, à aceleração da gravidade e à diferença de altura entre os pontos considerados.

1. Deslocamento do líquido de densidade d

Inicialmente, o líquido de densidade d apresenta o mesmo nível nos dois ramos do tubo. Esse é o nível primitivo.

Após a introdução lenta do líquido de densidade d’ no ramo direito, o líquido original é deslocado. Como o tubo possui seção reta uniforme e os líquidos são incompressíveis, o volume que sobe no ramo esquerdo é igual ao volume que desce no ramo direito. Portanto:

• no ramo esquerdo, o líquido de densidade d sobe uma altura H em relação ao nível primitivo;
• no ramo direito, o líquido de densidade d desce também uma altura H em relação ao nível primitivo.

Assim, a diferença de nível entre as superfícies do líquido de densidade d nos dois ramos é a soma dos dois deslocamentos:

desnível total = H + H = 2H

Logo, a interface entre os dois líquidos no ramo direito está 2H abaixo da superfície livre do líquido de densidade d no ramo esquerdo.

2. Altura da coluna do líquido de densidade d’

O enunciado informa que a superfície livre do líquido de densidade d’ está a uma distância vertical Y acima da superfície livre do líquido de densidade d no ramo esquerdo.

Como a interface no ramo direito está 2H abaixo dessa superfície livre no ramo esquerdo, a altura da coluna do líquido de densidade d’ é composta pelo desnível 2H mais a distância adicional Y. Portanto:

a altura da coluna de densidade d’ é 2H + Y.

3. Aplicação do princípio de Stevin

Consideremos a pressão em um mesmo nível horizontal, passando pela interface entre os líquidos no ramo direito. Como o sistema está em equilíbrio, a pressão calculada por meio do líquido de densidade d, no ramo esquerdo, deve ser igual à pressão calculada por meio do líquido de densidade d’, no ramo direito:

No ramo esquerdo, a coluna de líquido de densidade d acima desse nível tem altura 2H. No ramo direito, a coluna de líquido de densidade d’ tem altura 2H + Y. Por isso, as pressões hidrostáticas são expressas por:

\[P_{\text{esquerda}} = P_{\text{direita}}\]

Essa igualdade indica que as pressões no mesmo nível horizontal são iguais:

\[d \cdot g \left(2 \text{H}\right) = d^{'} \cdot g \left(2 \text{H} + Y\right)\]

Nessa expressão, d e d’ são as densidades dos líquidos, g é a aceleração da gravidade e os termos entre parênteses representam as alturas das respectivas colunas de líquido.

4. Isolamento da razão entre as densidades

Como a aceleração da gravidade é a mesma para os dois líquidos, o fator g pode ser cancelado nos dois lados da igualdade:

\[d \cdot \cancel{g} \left(2 \text{H}\right) = d^{'} \cdot \cancel{g} \left(2 \text{H} + Y\right)\]

Depois do cancelamento de g, obtém-se uma relação entre as densidades e as alturas das colunas. Isolando a razão d’/d, resulta:

\[\frac{d^{'}}{d} = \frac{2 \text{H}}{2 \text{H} + Y}\]

Portanto, a razão entre as densidades é 2H/(2H + Y). Assim, a alternativa correta é b) 2H/(2H+Y).

Análise dos volumes e das alturas

Como o tubo tem seção transversal uniforme, podemos representar por S a área dessa seção. O volume de um líquido em um trecho do tubo é dado pelo produto entre a área da seção transversal e o comprimento ocupado. Como o enunciado informa que o volume de cada líquido é igual ao volume da base, cujo comprimento é L, temos:

\[V = S \cdot L\]

O líquido A ocupa a parte esquerda do tubo e também o trecho da base compreendido entre a extremidade esquerda e o ponto de contato, cuja posição é x. Portanto, o comprimento total ocupado por A é a soma da altura de sua coluna vertical, h_A, com o trecho horizontal de comprimento x. Como esse comprimento total deve ser igual a L, segue que:

\[h_{A} + x = L\]

Isolando a altura da coluna de A, obtemos:

\[h_{A} = L – x\]

O líquido B ocupa o trecho restante da base, de comprimento L − x, além da coluna vertical da direita, de altura h_B. Assim, o comprimento total ocupado por B também é L:

\[h_{B} + L – x = L\]

Subtraindo L − x dos dois lados, encontramos:

\[h_{B} = x\]

Portanto, as alturas das colunas verticais são h_A = L − x e h_B = x.

Equilíbrio hidrostático

Como os líquidos estão em repouso, a pressão em um mesmo ponto do fluido deve ser a mesma quando calculada por qualquer um dos lados do tubo. Consideramos o ponto de contato entre os líquidos, localizado no fundo do tubo e no mesmo nível horizontal.

A pressão nesse ponto pode ser calculada somando a pressão atmosférica à pressão exercida pela coluna de líquido acima dele. Assim, pelo lado de A, a pressão é determinada pela coluna de altura h_A; pelo lado de B, pela coluna de altura h_B:

\[P_{\text{atm}} + P_{h \left(A\right)} = Patm + P_{h \left(B\right)}\] \[P_{\text{atm}} + \rho_{A} \cdot g \cdot h_{A} = P_{\text{atm}} + \rho_{B} \cdot g \cdot h_{B}\]

Nessas expressões, P_atm é a pressão atmosférica, ρ_A e ρ_B são as densidades dos líquidos, g é a aceleração da gravidade e h_A e h_B são as alturas das respectivas colunas.

A pressão atmosférica aparece nos dois lados porque as duas extremidades superiores do tubo estão submetidas à atmosfera. Como ela é igual nos dois lados, pode ser cancelada. O mesmo ocorre com g, que também é um fator comum:

\[\cancel{P_{\text{atm}}} + \rho_{A} \cdot \cancel{g} \cdot h_{A} = \cancel{P_{\text{atm}}} + \rho_{B} \cdot \cancel{g} \cdot h_{B}\] \(\rho_{A} \cdot h_{A} = \rho_{B} \cdot h_{B}\)  

Essa relação mostra que, no equilíbrio, o produto densidade vezes altura deve ser o mesmo para as duas colunas. Portanto, um líquido mais denso precisa formar uma coluna de menor altura, enquanto um líquido menos denso forma uma coluna mais alta.

Substituindo as alturas obtidas a partir da análise geométrica do tubo, isto é, h_A = L − x e h_B = x, temos:

\[\rho_{A} \cdot h_{A} = \rho_{B} \cdot h_{B}\] \[\rho_{A} \cdot \left(L – x\right) = \rho_{B} \cdot x\]

Aplicando a propriedade distributiva no lado esquerdo, a expressão fica:

\[\begin{array}{l}\rho_{A} \cdot \left(L – x\right) = \rho_{B} \cdot x \\ \rho_{A} \cdot L – \rho_{A} \cdot x = \rho_{B} \cdot x \\ \rho_{A} \cdot L = \rho_{A} \cdot x + \rho_{B} \cdot x\end{array}\] \[\rho_{A} \cdot L = \left(\rho_{A} + \rho_{B}\right) \cdot x x = \frac{\rho_{A}}{\rho_{A} + \rho_{B}} \cdot L\]

Logo, a posição do contato medida a partir da extremidade esquerda é:

\[x = \frac{\rho_{A}}{\rho_{A} + \rho_{B}} \cdot L\]

Essa expressão corresponde à alternativa b). Portanto, o gabarito é B.

Em equilíbrio hidrostático, dois pontos situados na mesma altura e pertencentes ao mesmo líquido em comunicação apresentam a mesma pressão. Por isso, podemos comparar as pressões nos pontos X e Y, localizados no mesmo nível dentro da água:

A pressão no ponto X é formada pela pressão atmosférica, pela pressão exercida pela coluna de óleo de altura H + h e pela aceleração da gravidade. A altura da coluna de óleo é H + h porque o óleo é colocado até uma altura H acima do nível inicial, enquanto a interface entre o óleo e a água desce uma distância h em relação a esse nível.

No ponto Y, a pressão é formada pela pressão atmosférica e pela coluna de água de altura 2h. Isso ocorre porque, enquanto a água sobe h em um ramo, ela desce h no outro, mantendo o volume de água constante; portanto, a diferença vertical entre os níveis da água é h + h = 2h.

Igualando as pressões dos pontos X e Y, obtemos:

\[p_{X} = p_{Y}\] \[\cancel{p_{\text{atm}}} + d_{o} \cancel{g} \left(H + h\right) = \cancel{p_{\text{atm}}} + d_{a} \cancel{g} 2 \text{h}\] \[0.8 \cdot \left(H + h\right) = 1 \cdot 2 \text{h}\] \[0.8 \text{H} + 0.8 \text{h} = 2 \text{h}\] \[0.8 \text{H} = 1.2 \text{h}\] \[H = 1.5 \text{h}\]

Nessas expressões, d_o representa a densidade do óleo e d_a representa a densidade da água. Como a densidade do óleo é 0,8 g/cm³ e a da água é 1 g/cm³, a pressão atmosférica e o fator g aparecem nos dois lados da igualdade e podem ser cancelados. Após a distribuição e a reorganização dos termos, obtém-se a relação entre as alturas.

Portanto, a altura da coluna de óleo deve ser 1,5 vez a altura h alcançada pela água:

Alternativa b) H = 1,5 h.