Exercícios de Lei de Lenz – Faraday com resolução comentada

A análise da primeira afirmação revela que ela é falsa, pois o mecanismo de detecção descrito não se baseia em sensores de pressão ou contato mecânico com a superfície da via. Em vez disso, o sistema opera por meio de princípios eletromagnéticos, onde a presença de componentes metálicos do veículo altera as propriedades do campo magnético local.

Quanto à segunda proposição, ela é verdadeira e fundamenta-se na Lei de Faraday da Indução Eletromagnética. Quando um objeto metálico atravessa o campo magnético das bobinas sob o asfalto, ocorre uma alteração no fluxo magnético que atravessa as espiras. Essa variação temporal do fluxo induz uma força eletromotriz (fem) nas extremidades do circuito, gerando o sinal elétrico necessário para a medição.

A terceira afirmação é incorreta devido à interpretação da Lei de Lenz. Este princípio físico estabelece que o sentido da corrente elétrica induzida deve ser tal que o campo magnético por ela criado se oponha à variação do fluxo magnético original. Portanto, a corrente não surge no mesmo sentido da variação, mas sim em uma direção que busca neutralizar essa mudança, mantendo o equilíbrio do sistema.

Por fim, a quarta afirmação é verdadeira. Ao utilizar duas bobinas posicionadas a uma distância fixa e conhecida, o dispositivo consegue registrar o tempo decorrido entre os dois pulsos elétricos gerados pela passagem do carro. Através da relação fundamental da cinemática para um movimento uniforme, onde a velocidade é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo, é possível calcular o módulo da velocidade do automóvel.

Em conclusão, ao avaliarmos cada item, a sequência correta de validade é Falsa, Verdadeira, Falsa e Verdadeira, o que corresponde à alternativa A.

A lei da indução eletromagnética de Faraday estabelece que uma variação do fluxo magnético através de uma espira produz uma força eletromotriz induzida. Se o circuito estiver fechado, essa força eletromotriz pode produzir uma corrente elétrica induzida. O fluxo magnético depende da intensidade do campo magnético, da área da espira e da orientação da espira em relação ao campo, conforme a expressão

\[\Phi = B \cdot A \cdot cos \left(\theta\right) .\]

Nessa relação, \(\Phi = B \cdot A \cdot cos \left(\theta\right) .\) representa o fluxo magnético, \(B\) é a intensidade do campo magnético, \(A\) é a área delimitada pela espira e \(\theta\) é o ângulo entre o campo magnético e a reta normal à superfície da espira. Portanto, o fluxo pode variar quando se altera qualquer uma dessas três grandezas: o campo, a área ou a orientação da espira.

Afirmação I — Incorreta. A afirmação reconhece corretamente que a variação da intensidade do campo magnético ou da área da espira pode modificar o fluxo. Entretanto, afirma que a corrente induzida surge apenas nessas duas situações e exclui a possibilidade de variar a orientação da espira. Essa exclusão está incorreta, pois o fluxo também depende do fator \(cos \left(\theta\right)\). Assim, mesmo que o campo magnético e a área permaneçam constantes, uma mudança no ângulo pode alterar o fluxo e induzir corrente na espira, desde que o circuito esteja fechado.

Afirmação II — Correta. Ao girar a espira, modifica-se o ângulo \(\left(\right. \theta ,\) entre as linhas do campo magnético e a direção da reta normal à espira. Como consequência, também se modifica o valor de \(cos \left(\theta\right)\) e, portanto, o fluxo magnético através da espira. Essa variação do fluxo produz uma força eletromotriz induzida pela lei de Faraday. Se a espira formar um circuito fechado, essa força eletromotriz será acompanhada por uma corrente elétrica induzida, mesmo que a intensidade do campo magnético permaneça constante.

Afirmação III — Incorreta. A corrente elétrica fornecida às residências não é, em geral, contínua. A corrente contínua mantém o mesmo sentido ao longo do tempo, enquanto a corrente alternada muda periodicamente de sentido e de intensidade. A energia elétrica residencial é fornecida na forma de corrente alternada, obtida nos geradores das usinas por meio do movimento de rotação associado à indução eletromagnética. Portanto, a justificativa apresentada na afirmação III está incorreta.

Afirmação IV — Correta. A corrente elétrica que chega às residências é alternada e varia periodicamente de sentido. No Brasil, essa variação ocorre, usualmente, com frequência de 60 Hz, isto é, há oscilações rápidas ao longo do tempo. Apesar dessas variações, uma lâmpada comum aparenta emitir brilho constante porque o sistema visual humano não acompanha instantaneamente oscilações luminosas tão rápidas. A persistência da visão faz com que as variações sucessivas sejam percebidas de maneira praticamente contínua.

As afirmações II e IV são as únicas corretas. Logo, a resposta é a alternativa a) II e IV.

A alternativa A está correta pois fundamenta-se no princípio da indução eletromagnética, onde a alteração temporal do fluxo magnético que atravessa um circuito fechado, como uma bobina, provoca o surgimento de uma corrente elétrica induzida, conforme estabelecido pela Lei de Faraday.

Quanto à opção B, ela é incorreta devido à Lei de Lenz, que determina que a corrente induzida cria um campo magnético com sentido contrário ao que motivou sua origem, buscando se opor à variação do fluxo inicial.

A afirmação C apresenta erro conceitual, uma vez que o fluxo magnético atinge seu valor de pico quando as linhas de campo atravessam a bobina de forma perpendicular ao seu plano, e não paralela.

Em relação à alternativa D, o processo descrito é equivocado, pois a transferência de energia ocorre por meio do acoplamento magnético e não pela condução ou propagação térmica.

Por fim, a opção E é falsa porque a indução de uma força eletromotriz exige obrigatoriamente que o campo magnético seja variável no tempo; campos estáticos não produzem correntes induzidas por esse mecanismo.

Para analisar a situação, é necessário considerar o campo magnético produzido pelo fio retilíneo, a variação do fluxo magnético através da espira e a força magnética resultante sobre seus lados condutores.

Análise da afirmação I: falsa.

O campo magnético produzido por um fio retilíneo muito longo pode ser determinado pela Lei de Ampère. Sua intensidade depende da distância r até o fio e é dada por

\[B = \frac{\mu_{0} i}{2 πr} .\]

Nessa expressão, B é a intensidade do campo magnético, \(\mu_{0}\) é a permeabilidade magnética do vácuo, i representa a corrente elétrica no fio e r é a distância entre o fio e o ponto considerado.

Como o campo é inversamente proporcional à distância, sua intensidade diminui à medida que a espira se afasta do fio. Embora a área da espira e sua orientação permaneçam constantes, os pontos da espira passam a ocupar regiões nas quais o campo magnético é mais fraco. Consequentemente, o campo que atravessa a área da espira não permanece constante e, portanto, o fluxo magnético também varia no tempo.

Assim, é incorreto afirmar que o fluxo é constante ou que a força eletromotriz induzida é nula. A afirmação I é falsa.

Análise da afirmação II: verdadeira.

O fluxo magnético \(\left(\Phi\right)\) depende do campo magnético que atravessa a área da espira. Como a espira se desloca para a direita, afastando-se do fio, a distância entre ela e o fio aumenta. Pela relação do campo magnético, isso faz com que a intensidade do campo sobre a espira diminua.

Portanto, o fluxo através da espira varia com o tempo. Pela Lei de Faraday-Lenz, uma variação temporal do fluxo magnético produz uma força eletromotriz induzida. Essa variação pode ser representada por \(\left(ΔΦ / Δt\right)\) e a força eletromotriz \(\left(\epsilon\right)\) é dada por

\[\epsilon = – \frac{ΔΦ}{Δt}\]

O sinal negativo expressa a Lei de Lenz: a corrente induzida produz efeitos que se opõem à variação do fluxo que a originou. Logo, o movimento lateral da espira em um campo magnético não uniforme gera uma força eletromotriz e, como a espira possui resistência R, também pode haver corrente induzida.

Assim, a afirmação II é verdadeira.

Análise da afirmação III: falsa.

A corrente no fio é orientada de baixo para cima. Pela regra da mão direita, na região à direita do fio, onde está a espira, o campo magnético produzido pelo fio aponta para dentro do plano da figura. Como a espira se afasta, o fluxo dirigido para dentro do plano diminui.

De acordo com a Lei de Lenz, a corrente induzida deve produzir um campo magnético que se oponha a essa diminuição. Portanto, o campo produzido pela espira também deve apontar para dentro do plano. Para isso, a corrente induzida circula no sentido horário, quando observada de frente para o plano da espira.

Essa corrente interage com o campo magnético do fio e produz forças magnéticas nos lados da espira que são paralelos ao fio. O lado mais próximo do fio está submetido a um campo mais intenso, pois está a uma distância menor. Já o lado mais distante encontra-se em uma região de campo mais fraco.

As forças nos dois lados têm sentidos opostos: a força no lado mais próximo é de atração em relação ao fio, enquanto a força no lado mais distante é de repulsão. Como o campo é mais intenso no lado próximo, a força de atração nesse lado tem módulo maior que a força de repulsão no lado distante.

Desse modo, a força magnética resultante não aponta no sentido de afastar a espira. Ela se opõe ao movimento de afastamento e tende a puxar a espira de volta para o fio. Portanto, a afirmação III é falsa.

Conclui-se que somente a afirmação II está correta. Logo, a alternativa correta é b) II.

O funcionamento de uma usina eólica baseia-se no princípio da conversão de energia, onde o fluxo de ar em movimento, caracterizado como energia cinética, é captado pelas pás do aerogerador. Quando o vento incide sobre essas lâminas, ele promove um movimento de rotação, transformando a energia do deslocamento do ar em energia mecânica.

Essa energia mecânica resultante da rotação das pás é transmitida ao eixo de uma turbina, que por sua vez aciona um gerador elétrico. Dentro desse componente, ocorre o fenômeno da indução eletromagnética, processo no qual o movimento rotacional é convertido em corrente elétrica, cumprindo assim a finalidade principal do sistema: a produção de eletricidade a partir da força dos ventos.

O fluxo magnético\(\left(\Phi\right)\)mede a quantidade de campo magnético que atravessa uma superfície. Ele é calculado pelo produto escalar entre o vetor indução magnética\(\left(\overset{\rightarrow}{B}\right)\)e o vetor área\(\left(\overset{\rightarrow}{A}\right) .\)Como a espira está contida no plano z = 0, ela pertence ao plano xy. Portanto, seu vetor área é perpendicular à espira e está na direção do eixo z. O campo magnético também está na direção z, de modo que os vetores são paralelos e o produto escalar se reduz ao produto dos módulos.

Assim, o fluxo magnético é:

\[\Phi \left(t\right) = \overset{\rightarrow}{B} \left(t\right) \cdot \overset{\rightarrow}{A} = \left(B_{0} + \alpha^{2} t\right) \hat{k} \cdot A \hat{k}\]

Como o produto escalar entre o vetor unitário\(\hat{k}\)e ele próprio vale 1, resulta:

\[\Phi \left(t\right) = \left(B_{0} + \alpha^{2} t\right) A\]

A área da espira circular de raio r é:

\[A = πr^{2}\]

Substituindo essa área na expressão do fluxo, obtém-se:

\[\Phi \left(t\right) = \left(B_{0} + \alpha^{2} t\right) πr^{2}\]

A força eletromotriz induzida\(\left(\epsilon\right)\)é determinada pela taxa de variação temporal do fluxo magnético, com sinal negativo associado à Lei de Lenz:

\[\epsilon = – \frac{dΦ}{dt}\]

O sinal negativo indica que o sentido da corrente induzida se opõe à variação do fluxo magnético. Derivando a expressão do fluxo, temos:

\[\epsilon = – \frac{dΦ}{dt} = \frac{d}{dt} \left[\left(B_{0} + \alpha^{2} t\right) A\right] = – A \frac{d}{dt} \left(B_{0} + \alpha^{2} t\right)\]

Nessa derivação, a área A é constante porque a espira não muda de tamanho. Além disso, B₀ e\(\alpha^{2}\)também são constantes. A única parcela que varia com o tempo é o termo que contém t. Portanto, a derivada resulta em uma constante:

\[\epsilon = – Aα^{2}\]

Usando a área da espira circular, segue que:

\[\epsilon = – πr^{2} \alpha^{2}\]

Essa expressão não depende do tempo. Logo, embora o campo magnético varie linearmente com o tempo, sua taxa de variação é constante; por isso, a f.e.m. induzida também é constante.

Análise das alternativas:

[A] Falsa. Para uma espira de resistência R, a corrente induzida é proporcional à f.e.m., conforme:

\[i = \epsilon / R\]

Como a área da espira é não nula e a variação do campo é determinada pelo termo constante\(\alpha^{2}\), a f.e.m. não é nula:

\[\epsilon \neq 0 ,\]

Consequentemente, considerando uma resistência finita, a corrente também permanece constante e não nula.

[B] Verdadeira. O fluxo é uma função linear do tempo, pois possui a forma de uma constante somada a um termo proporcional a t. A derivada de uma função linear é constante. Portanto, a f.e.m. induzida não varia com o tempo, sendo constante. Essa é a alternativa correta.

[C] Falsa. O termo\(\alpha^{2} t\)faz o campo variar na direção +z ao longo do tempo. Pela Lei de Lenz, a corrente induzida deve produzir um campo magnético contrário a essa variação, isto é, na direção −z. Pela regra da mão direita, para um observador localizado em z > 0, um campo apontando para −z é produzido por uma corrente no sentido horário, e não anti-horário.

[D] Falsa. A f.e.m. depende da área da espira. Como a área é:

\[\left(A = πr^{2}\right) ,\]

a f.e.m. também depende do raio r. Especificamente, ela é proporcional ao quadrado do raio.

[E] Falsa. A f.e.m. é proporcional a\(\alpha^{2} ,\)isto é, ao quadrado de α. Assim, ao multiplicar α por 2, o fator\(\alpha^{2}\)é multiplicado por 4, e não por 2. Portanto, a f.e.m. também seria multiplicada por 4.

Resposta: alternativa B. A f.e.m. induzida é constante porque a variação do campo magnético com o tempo é linear e, consequentemente, sua derivada temporal é constante.O

I. Verdadeira. O período T é o intervalo de tempo correspondente a uma volta completa do rotor. Pela leitura do gráfico, esse intervalo é:

De acordo com o gráfico, \(T = 4 \pi \cdot 10^{- 3} \text{s} .\)

Como não há deslizamento entre o pneu e a polia, a velocidade tangencial da polia é igual à velocidade linear da bicicleta. Em uma volta, a polia percorre o comprimento de sua circunferência, dado por 2πR. Assim, a velocidade é obtida dividindo-se essa distância pelo período da volta:

\[v = \frac{2 πR}{T} = \frac{2 \pi \cdot 2 \cdot 10^{- 2}}{4 \pi \cdot 10^{- 3}}\]

Nessa substituição, o raio da polia foi convertido de centímetros para metros: 2 cm = 2 × 10⁻² m. Após a simplificação, obtém-se:

\[v = 10 \text{m} / \text{s} = 36 \text{km} / \text{h}\]

Portanto, a velocidade da bicicleta é 36 km/h, confirmando que a assertiva I é verdadeira.

II. Verdadeira. A força eletromotriz induzida é determinada pela Lei de Faraday-Neumann. Essa lei estabelece que o módulo da força eletromotriz corresponde à taxa de variação do fluxo magnético em relação ao tempo. O sinal negativo indica apenas o sentido da corrente induzida, conforme a Lei de Lenz; para determinar o valor máximo, considera-se o módulo:

\[\epsilon_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = – \frac{dΦ}{dt} = \frac{18}{\left(\pi\right)/2}\]

A partir da inclinação máxima do gráfico do fluxo magnético em função do tempo, o valor encontrado para a força eletromotriz máxima é:

\[\epsilon_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = 12 \text{V}\]

Logo, a força eletromotriz máxima disponível nos terminais da lâmpada é 12 V, de modo que a assertiva II é verdadeira.

III. Falsa. A carga elétrica transportada pode ser calculada pelo produto da corrente elétrica pelo intervalo de tempo. Como a corrente é dada pela razão entre a força eletromotriz e a resistência da lâmpada, utiliza-se:

\[Q = iΔt = \frac{\epsilon_{\text{m}\acute{a}\text{x}}}{R} Δt\]

Nessa expressão, Q é a carga elétrica, i é a corrente, Δt é o intervalo de tempo considerado, ε_máx é a força eletromotriz máxima e R é a resistência elétrica da lâmpada. Substituindo a força eletromotriz de 12 V, a resistência de 2,4 Ω e o intervalo de tempo indicado pelo gráfico para o ciclo considerado, resulta:

\[Q = \frac{12}{2.4} \cdot \left[\left(2 \pi – \pi\right) + \left(4 \pi – 3 \pi\right)\right]\]

Os termos entre colchetes representam os intervalos de tempo associados às partes do ciclo consideradas no gráfico. Efetuando as operações, obtém-se:

\[Q = 30 mC\]

Portanto, a carga calculada é 30 mC, e não 0,15 μC. Assim, a assertiva III é falsa.

As assertivas I e II são verdadeiras, enquanto a assertiva III é falsa. Portanto, são verdadeiras apenas I e II, correspondendo à alternativa a).

A situação apresentada aborda os fundamentos da indução eletromagnética, um processo essencial para o funcionamento de diversos dispositivos tecnológicos. O fenômeno ocorre quando há uma alteração no fluxo magnético que atravessa uma espira ou bobina, provocando a criação de uma força eletromotriz (fem) induzida. Segundo a Lei de Faraday, essa grandeza elétrica é gerada pela rapidez com que o fluxo magnético varia ao longo do tempo dentro do circuito.

Para compreender a dinâmica do experimento, é necessário analisar o papel da Lei de Lenz, que complementa os princípios de Faraday. Quando o ímã se aproxima ou se afasta da bobina, ele altera a intensidade do campo magnético que atravessa as espiras. Em resposta a essa mudança, surge uma corrente elétrica induzida no condutor. O ponto crucial desta lei é que a natureza dessa corrente é regida pelo princípio da conservação de energia: o campo magnético gerado pela própria corrente induzida terá um sentido tal que ele criará uma força oposta à variação do fluxo original. Ou seja, se o fluxo está aumentando, a corrente induzida tentará diminuí-lo; se o fluxo está diminuindo, a corrente induzida tentará mantê-lo constante.

A alternativa A descreve com precisão esse mecanismo, indicando que a corrente resultante produz um campo magnético cujo objetivo é contrariar a variação do fluxo magnético externo que a originou, em total conformidade com as previsões da Lei de Lenz.

Resistência elétrica da circunferência

Os três pontos pertencem ao plano xy: a origem, o ponto (4 m, 0 m, 0 m) e o ponto (2 m, 2 m, 0 m). A circunferência que passa por esses pontos tem centro em (2 m, 0 m, 0 m) e raio igual a 2 m. Portanto, seu comprimento é o de uma circunferência de raio 2 m, isto é, 2π vezes o raio.

A resistência por unidade de comprimento é 3 Ω/m. Assim, a resistência total é obtida multiplicando essa resistência linear pelo comprimento da circunferência:

\[r = 3 \frac{\Omega}{m} \cdot 2 \pi \cdot 2 \text{m} = 12 \pi \Omega\]

O produto entre Ω/m e m resulta em Ω, como deve ocorrer para uma resistência elétrica. Logo, a resistência da espira é 12π Ω.

Corrente induzida na espira

A variação temporal do campo magnético produz uma força eletromotriz induzida, de acordo com a lei de Faraday. Como a circunferência está no plano xy, seu vetor área é perpendicular a esse plano, na direção do eixo z. Por isso, somente a componente z da taxa de variação do campo magnético contribui para a variação do fluxo magnético. Essa componente tem módulo 12 T/s.

Aplicando a lei de Faraday em conjunto com a lei de Ohm, o módulo da força eletromotriz é igual ao produto da resistência pela corrente e também à taxa de variação do fluxo magnético:

\[\left(\begin{array}{l}\left|\epsilon\right| = ri = \frac{dΦ}{dt} \\ ri = \frac{dB_{z}}{dt} \cdot πR^{2} \\ 12 \pi \cdot i = 12 \cdot \pi \cdot 2^{2} \\ i = 4 \text{A}\end{array}\right)_{}\]

Na segunda linha, o fluxo varia à razão correspondente ao produto entre a taxa de variação da componente perpendicular do campo, 12 T/s, e a área da espira, que é πR². Substituindo o raio R = 2 m, a resistência r = 12π Ω e a taxa de variação do campo, obtém-se a igualdade apresentada. Ao simplificar os fatores comuns 12π, resulta uma corrente de 4 A.

Portanto, a alternativa correta é c) 4,0 A.

O funcionamento do fogão por indução baseia-se na indução eletromagnética, descrita pela Lei de Faraday. A corrente alternada que percorre a bobina situada sob o vidro cerâmico produz um campo magnético que varia continuamente com o tempo.

Esse campo magnético variável atravessa o fundo metálico da panela. Como o fluxo magnético através da panela também varia, surge nela uma força eletromotriz induzida. Essa força provoca o aparecimento de correntes elétricas induzidas, também chamadas correntes parasitas ou correntes de Foucault, na parte inferior da panela.

As correntes induzidas encontram resistência elétrica no material metálico da panela. Por isso, a energia elétrica associada a essas correntes é transformada em energia térmica pelo efeito Joule. O calor é produzido diretamente no fundo da panela e, em seguida, se distribui pelo recipiente e pelo alimento.

Assim, o vidro cerâmico funciona principalmente como suporte e isolante, enquanto o aquecimento ocorre na própria panela. Não é necessário aquecer o ar entre a bobina e o vidro, nem movimentar átomos de ferro. O objetivo também não é simplesmente imantar o recipiente ou aquecê-lo pela emissão de radiação eletromagnética.

Portanto, a finalidade do campo magnético variável é induzir corrente elétrica na parte inferior da panela, aquecendo-a por efeito Joule.