Exercícios de Astronomia com resolução comentada

A questão aborda o estágio final da evolução de estrelas de grande massa. Após o esgotamento de seu combustível nuclear, essas estrelas podem sofrer um colapso gravitacional seguido de uma explosão, conhecida como supernova. Parte da matéria é lançada ao espaço, enquanto o núcleo remanescente continua sujeito à sua própria gravidade.

O enunciado informa que a massa desse núcleo é superior a três vezes a massa do Sol \(\left(M_{\bigodot}\right) .\) Nessa situação, a gravidade do núcleo é tão intensa que ele colapsa, formando uma região da qual nada consegue escapar, nem mesmo a luz. Essa característica define um buraco negro.

É importante distinguir o evento da explosão do objeto que permanece depois dela: a supernova é a explosão, enquanto o buraco negro é o remanescente formado pelo colapso gravitacional do núcleo suficientemente massivo.

Justificativa das alternativas:

[A] Incorreta: Estrelas de nêutrons podem se formar quando o núcleo remanescente possui massa aproximadamente entre 1,4 e 3 massas solares. Nesse caso, a matéria é extremamente compacta, mas o objeto ainda não apresenta gravidade suficiente para impedir completamente a fuga da luz.

[B] Incorreta: Supernova é o nome dado à explosão extremamente energética que ocorre no final da evolução de determinadas estrelas. Portanto, ela descreve o evento que espalha matéria pelo espaço, e não a região remanescente cuja gravidade impede a saída da luz.

[C] Incorreta: Anãs brancas são remanescentes normalmente associados a estrelas de baixa ou média massa, como o Sol. Embora sejam objetos muito densos, sua gravidade não é suficientemente intensa para impedir a saída da luz.

[D] Incorreta: Anãs marrons são objetos que não conseguiram iniciar, de maneira sustentada, a fusão do hidrogênio em seus núcleos. Elas não são formadas pelo colapso do núcleo de uma estrela de grande massa após uma explosão de supernova.

[E] Correta: Quando a massa do núcleo remanescente ultrapassa aproximadamente três massas solares, a gravidade pode superar as forças que sustentavam o núcleo. O colapso prossegue até a formação de uma região extremamente compacta, na qual a velocidade de escape é maior que a velocidade da luz. Como nada pode sair dessa região, nem mesmo a luz, ela é denominada buraco negro.

Logo, a região descrita no enunciado é um buraco negro, portanto a alternativa correta é a letra E.

A análise cromática dos corpos celestes fundamenta-se nos princípios da física térmica e da radiação de corpo negro. O fenômeno que permite associar a cor observada de uma estrela à sua condição física é regido pela Lei de Wien, que estabelece uma relação matemática precisa entre o comprimento de onda de emissão máxima e a temperatura do objeto. De acordo com esse princípio, existe uma proporcionalidade inversa entre a temperatura termodinâmica (T) e o comprimento de onda em que ocorre o pico de radiação emitida.

A alternativa B está correta porque a coloração percebida pelo olho humano é um reflexo direto da distribuição espectral de energia da estrela. Estrelas com temperaturas superficiais extremamente elevadas tendem a emitir luz predominantemente em comprimentos de onda menores, situando-se na região do azul e do violeta do espectro visível. Em contrapartida, astros com temperaturas mais baixas concentram sua emissão em comprimentos de onda maiores, o que resulta em tonalidades avermelhadas ou alaranjadas. Portanto, a cor funciona como um termômetro visual da superfície estelar.

Quanto às demais opções, a alternativa A é incorreta pois o brilho percebido, conhecido como magnitude aparente, não depende exclusivamente da cor, mas sim de uma combinação entre a luminosidade intrínseca do astro e a distância que o separa do observador. A alternativa C está errada porque o volume é uma grandeza tridimensional relacionada ao espaço ocupado pelo corpo, algo que não pode ser mensurado apenas pela análise da luz visível emitida. A alternativa D é improcedente porque, embora a composição química influencie o espectro, ela é identificada por meio de linhas de absorção ou emissão específicas obtidas via espectroscopia detalhada, e não meramente pela cor predominante. Por fim, a alternativa E está incorreta pois a massa estelar é uma propriedade complexa, geralmente calculada através da observação de interações gravitacionais em sistemas binários ou por modelos de evolução, não sendo possível determiná-la apenas pela cor.

Para compreender o comportamento da velocidade de um corpo celeste em uma órbita elíptica, é fundamental analisar a interação entre a distância e a intensidade da força gravitacional. De acordo com as leis que regem o movimento planetário, a aceleração sentida pelo planeta está diretamente ligada à proximidade do astro central, o Sol. Quando o planeta atinge o periélio, ele se encontra no ponto de menor distância em relação ao centro de massa do sistema solar.

Nesse estágio da trajetória, a intensidade da força gravitacional exercida pelo Sol é máxima, devido à inversão do quadrado da distância. Como essa força é a responsável pela aceleração centrípeta que mantém o planeta em sua órbita, uma maior força resulta em uma aceleração mais elevada. Consequentemente, para manter a estabilidade da trajetória elíptica e respeitar a conservação da energia mecânica e do momento angular, o planeta deve apresentar seu valor de velocidade escalar mais alto justamente nesse ponto de aproximação máxima.

Em contrapartida, ao atingir o afélio, o planeta alcança sua maior distância em relação ao Sol. Nessa configuração, a influência gravitacional é reduzida ao seu nível mínimo durante o ciclo orbital, o que provoca uma diminuição na aceleração do corpo. Como resultado direto dessa redução de força e aceleração, a velocidade escalar do planeta também atinge o seu valor mínimo no afélio.

Portanto, concluindo a análise física do movimento, identifica-se que a velocidade orbital não é constante ao longo da elipse, mas varia conforme a posição do planeta. O ponto de maior rapidez coincide com o periélio, enquanto o ponto de menor rapidez ocorre no afélio.

O processo de formação estelar tem sua origem em nebulosas, que são vastas regiões compostas por poeira e gases espaciais. O fenômeno inicial de colapso dessas nuvens é impulsionado pela força da gravidade. À medida que a matéria se concentra em regiões específicas, a diferença de atração gravitacional entre as partes mais densas e as menos densas da nebulosa promove um acúmulo contínuo de massa, intensificando o colapso central.

Com a compressão crescente do material no núcleo dessa protoestrela, ocorre uma conversão de energia potencial gravitacional em energia térmica, resultando em um aumento significativo tanto da pressão quanto da temperatura interna. Para que uma estrela entre em sua fase de sequência principal, essas condições termodinâmicas devem atingir níveis extremamente elevados.

Quando o núcleo alcança temperaturas e pressões suficientemente altas, supera-se a repulsão eletrostática entre os núcleos atômicos, permitindo que ocorra a fusão nuclear. Diferente da fissão, que consiste na divisão de núcleos pesados, a fusão é o processo de união de núcleos leves, como o hidrogênio, para formar elementos mais pesados, como o hélio. Esse mecanismo de fusão libera uma quantidade colossal de energia, sustentando a luminosidade e a estabilidade da estrela durante a maior parte de seu ciclo de vida.

Portanto, ao preencher as lacunas do enunciado, identificamos que o colapso é causado pela gravidade, ocorre sob condições de temperatura e pressão altas e resulta no processo de fusão nuclear.

Para solucionar essa questão, é fundamental compreender a distinção física entre os tipos de planetas no Sistema Solar com base em suas propriedades de composição e densidade. A densidade é uma grandeza física que relaciona a massa de um corpo com o volume que ele ocupa, sendo um indicador para identificar se um astro possui uma estrutura predominantemente sólida ou gasosa.

Os planetas classificados como gasosos são caracterizados por possuírem grandes volumes e composições formadas majoritariamente por gases e gelos, o que resulta em valores de densidade significativamente baixos. Exemplos clássicos desse grupo incluem Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. Em contrapartida, os planetas rochosos possuem superfícies sólidas compostas por silicatos e metais, apresentando uma concentração de massa muito maior em relação ao seu volume, o que lhes confere uma densidade elevada. Nesse grupo, situam-se Mercúrio, Vênus, Terra e Marte.

Ao analisar as opções fornecidas pelo enunciado para preencher as lacunas com a sequência correta de um planeta gasoso seguido de um planeta rochoso, devemos verificar cada alternativa individualmente. A opção A está incorreta pois apresenta dois planetas gasosos (Júpiter e Netuno). A opção C falha ao listar dois planetas rochosos (Vênus e Terra). A opção D apresenta um planeta rochoso seguido de um gasoso (Marte e Netuno), invertendo a ordem solicitada. A opção E também inverte a lógica, apresentando um rochoso antes de um gasoso (Mercúrio e Saturno).

Portanto, ao examinarmos a alternativa B, observamos que Urano se enquadra perfeitamente na categoria de planeta gasoso devido à sua baixa densidade, enquanto Mercúrio é corretamente identificado como um planeta rochoso por sua natureza sólida e alta densidade. Dessa forma, a única sequência que atende rigorosamente aos critérios estabelecidos pelo gráfico e pela classificação astronômica é a B.

O intervalo entre a fase cheia e a fase nova corresponde a metade do período orbital do satélite, pois, durante uma revolução completa, o satélite passa novamente pela mesma sequência de fases. Portanto, o período orbital completo é o dobro de 58 dias:

\[T = 2 \cdot 58 dias = 2 \cdot 58 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \text{s} \cong 1 \cdot 10^{7} \text{s}\]

Na conversão, foram usados 24 horas em cada dia, 60 minutos em cada hora e 60 segundos em cada minuto. Assim, o período orbital é aproximadamente 1 × 10⁷ s.

Como a massa do planeta é muito maior que a massa do satélite, podemos considerar que o satélite orbita praticamente em torno de um corpo de massa M, igual à massa da Terra. Aplicamos, então, a terceira lei de Kepler para uma órbita aproximadamente circular. Nessa relação, T representa o período orbital, R é a distância entre o planeta e o satélite, G é a constante da gravitação universal e M é a massa do planeta:

\[\frac{T^{2}}{R^{3}} = \frac{4 \pi^{2}}{GM}\]

Substituímos o período aproximado T ≅ 1 × 10⁷ s, a constante gravitacional G = 6,7 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² e a massa da Terra M = 6 × 10²⁴ kg:

\[\frac{\left(1 \cdot 10^{7}\right)^{2}}{R^{3}} = \frac{4 \pi^{2}}{6.7 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}\]

Após reorganizar a expressão e efetuar as operações numéricas, obtemos o cubo da distância orbital:

\[R^{3} \cong 1 \cdot 10^{27}\]

Extraindo a raiz cúbica dos dois lados, determinamos a distância entre o planeta e o satélite:

\[R \cong 1 \cdot 10^{9} \text{m}\]

Logo, a estimativa correta para a distância entre o planeta exótico e seu satélite é 1 × 10⁹ m, correspondente à alternativa b.

A análise da primeira afirmação revela que ela é incorreta. De acordo com a Terceira Lei de Kepler, também conhecida como Lei Harmônica, existe uma relação proporcional entre o tempo que um corpo leva para completar sua órbita e sua distância em relação ao centro de massa do sistema. Especificamente, o quadrado do período orbital deve ser proporcional ao cubo do raio médio da órbita, e não ao seu quadrado.

A relação matemática correta estabelece que o valor de

\[T^{2}\]

é diretamente proporcional ao valor de

\[r^{3}\]

Portanto, a proposição que sugeria uma relação com o quadrado da distância está errada.

Quanto à segunda afirmação, ela é verdadeira. O movimento planetário segue as leis da dinâmica orbital, onde a velocidade de um corpo em uma órbita elíptica varia conforme sua posição em relação ao foco (o Sol). Em regiões de menor distância radial, a energia cinética do planeta deve ser maior para compensar o potencial gravitacional mais intenso, resultando em uma velocidade orbital superior quando o planeta está mais próximo da estrela.

A terceira afirmação é falsa devido à confusão entre os termos astronômicos que descrevem os pontos extremos da órbita elíptica. O afélio representa o ponto de maior afastamento do planeta em relação ao Sol. O termo correto para designar o momento de proximidade máxima entre o corpo celeste e o centro gravitacional é periélio.

Por fim, a quarta afirmação é verdadeira. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a constante de gravitação universal, comumente representada por G ou k, possui uma dimensão específica que relaciona força, massa e distância. A unidade padrão para essa constante é expressa em

\[N m^{2} k^{- 2}\]

Isso significa que a constante é medida em Newtons vezes metros quadrados por quilograma ao quadrado.

De acordo com a primeira lei de Kepler, a órbita de um planeta é uma elipse, e a estrela responsável por governar esse movimento ocupa um dos focos da elipse. Os focos estão necessariamente sobre o eixo maior, isto é, sobre a direção do maior comprimento da trajetória elíptica.

Observando a figura, os pontos focais devem estar alinhados com o eixo maior e localizados a uma distância do centro da elipse menor que o semieixo maior. Visualmente, o ponto que melhor representa essa posição é o ponto P. Para confirmar essa identificação de maneira aproximada, podemos calcular a distância entre o centro da elipse e um de seus focos.

Adotemos a origem do sistema de coordenadas (x, y) no centro da elipse, indicado pelo ponto Q, e consideremos que o lado de cada quadrículo da figura corresponde a 1 unidade (u).

Na elipse, representamos por a o semieixo maior, por b o semieixo menor e por c a distância entre o centro da elipse e cada foco. Pela leitura da figura, temos:

a = 9 u, que corresponde ao semieixo maior, isto é, à metade do comprimento total da elipse na direção horizontal.

b \(\cong\) 4,5 u, que corresponde ao semieixo menor, isto é, à metade do comprimento total da elipse na direção perpendicular ao eixo maior.

c = ?, pois precisamos determinar a distância do centro até o foco.

Essas três grandezas formam um triângulo retângulo associado à elipse. Por isso, elas se relacionam pelo teorema de Pitágoras. Como a é a hipotenusa e b e c são os catetos, vale a relação:

\[\begin{array}{l}a^{2} = b^{2} + c^{2} \\ c^{2} = a^{2} – b^{2} \\ c^{2} \cong 9^{2} – 4 , 5^{2}\end{array}\]

A primeira igualdade é a relação fundamental entre os semieixos e a distância focal. Em seguida, isolamos c², subtraindo b² dos dois lados. Depois, substituímos os valores aproximados obtidos na figura: a = 9 u e b \(\cong\) 4,5 u.

\[c^{2} \cong 81 – 20.25\]

Calculando os quadrados, temos 9² = 81 e 4,5² = 20,25. Portanto, a diferença entre esses valores fornece aproximadamente o quadrado da distância focal:

\[c \cong \sqrt{60.75}\]

Para obter c, extraímos a raiz quadrada dos dois lados da igualdade. Isso resulta em:

\[c \cong 7.8 u\]

Assim, cada foco está aproximadamente 7,8 unidades afastado do centro Q, ao longo do eixo maior. Comparando essa distância com a posição dos pontos indicados na figura, o foco correspondente à estrela encontra-se aproximadamente na coordenada associada ao ponto P:

\[\boxed{x_{p} = 8 u }\]

O valor 8 u é compatível com o resultado aproximado de 7,8 u, considerando a leitura da malha da figura. Portanto, a estrela está sobre o ponto P, correspondente à alternativa d).

O tamanho aparente de Marte depende da distância entre Marte e a Terra. Como o enunciado informa que a razão de 60 se refere à área aparente, e não ao comprimento aparente do diâmetro, utiliza-se a relação entre área aparente e distância. Para um mesmo astro, essa área varia inversamente com o quadrado da distância: quanto menor a distância, maior é a área observada.

Na oposição, Marte está mais próximo da Terra, pois Terra e Marte ficam do mesmo lado em relação ao Sol. Na conjunção, Marte está mais distante, pois o Sol se encontra entre os dois planetas. Considerando as órbitas aproximadamente circulares, as distâncias Terra–Marte nesses dois casos são, respectivamente, a diferença e a soma das distâncias de cada planeta ao Sol. Assim, a razão entre a distância máxima e a distância mínima é igual à raiz quadrada da razão entre as áreas aparentes:

\[\frac{d_{\text{Marte}/\text{Sol}} + d_{\text{Terra}/\text{Sol}}}{d_{\text{Marte}/\text{Sol}} – d_{\text{Terra}/\text{Sol}}} = \sqrt{\frac{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}}{A_{\text{m}\acute{i}\text{n}}}} = \sqrt{60}\]

Nessa expressão, d_Marte/Sol e d_Terra/Sol representam as distâncias médias de Marte e da Terra ao Sol. O numerador do primeiro membro corresponde à maior distância entre Marte e a Terra, enquanto o denominador corresponde à menor distância. A raiz quadrada aparece porque a área aparente varia com o inverso do quadrado da distância.

Multiplicando os dois lados pela diferença das distâncias heliocêntricas, obtém-se:

\[\sqrt{60} d_{\text{Marte}/\text{Sol}} – \sqrt{60} d_{\text{Terra}/\text{Sol}} = d_{\text{Marte}/\text{Sol}} + d_{\text{Terra}/\text{Sol}}\]

Agora, agrupando os termos que contêm a distância de Marte ao Sol em um lado e os termos que contêm a distância da Terra ao Sol no outro, resulta:

\[\sqrt{60} d_{\text{Marte}/\text{Sol}} – d_{\text{Marte}/\text{Sol}} = d_{\text{Terra}/\text{Sol}} + \sqrt{60} d_{\text{Terra}/\text{Sol}}\]

Fatorando cada distância, a expressão pode ser escrita como:

\[\left(\sqrt{60} – 1\right) d_{\text{Marte}/\text{Sol}} = \left(1 + \sqrt{60}\right) d_{\text{Terra}/\text{Sol}}\]

Dividindo ambos os lados por d_Terra/Sol e por \(\sqrt{60} – 1\), encontra-se a razão entre as distâncias de Marte e da Terra ao Sol:

\[\frac{d_{\text{Marte}/\text{Sol}}}{d_{\text{Terra}/\text{Sol}}} = \frac{1 + \sqrt{60}}{\sqrt{60 – 1}} \cong 1.3\]

Portanto, a distância média de Marte ao Sol é aproximadamente 1,3 vez a distância média da Terra ao Sol.

Para relacionar a distância orbital com o período de revolução, aplica-se a terceira lei de Kepler. Para planetas que orbitam o mesmo corpo central, o quociente entre o quadrado do período orbital e o cubo do raio médio da órbita é constante:

\[\frac{\left(T_{\text{Marte}}\right)^{2}}{\left(d_{Marte / Sol}\right)^{3}} = \frac{\left(T_{\text{Terra}}\right)^{2}}{\left(d_{Terra / Sol}\right)^{3}}\]

Como o período de revolução da Terra é 12 meses e a distância de Marte ao Sol é aproximadamente 1,3 vez a distância Terra–Sol, substituem-se esses valores na lei de Kepler. Os fatores correspondentes à distância Terra–Sol aparecem nos dois lados e são cancelados:

\[\frac{\left(T_{\text{Marte}}\right)^{2}}{1 , 3^{3} d \cancel{\left(_{Terra / Sol}\right)^{3}}} = \frac{12^{2}}{d_{\cancel{\left(_{Terra / Sol}\right)^{3}}}}\]

Isolando o período de Marte, eleva-se ao quadrado a distância relativa e multiplica-se pelo quadrado do período terrestre. Em seguida, extrai-se a raiz quadrada:

\[T_{\text{Marte}} = \sqrt{12^{2} \cdot 1 , 3^{3}}\]

O valor aproximado obtido para o período orbital de Marte é:

\[T_{\text{Marte}} \cong 18 meses\]

Logo, a melhor estimativa do período de revolução de Marte ao redor do Sol é de 18 meses terrestres, correspondente à alternativa b).

De acordo com a terceira lei de Kepler, o período orbital T de um planeta é proporcional à potência 3/2 de seu raio orbital médio R. Isso significa que, quanto maior for o raio médio da órbita, maior será o tempo necessário para o planeta completar uma volta ao redor do Sol.

A relação fornecida no enunciado é representada por:

\[T = kR^{3/2} .\]

Nessa expressão, k é uma constante de proporcionalidade. Como estamos comparando Netuno com a Terra, é conveniente dividir as duas relações. Dessa forma, a constante de proporcionalidade é eliminada, e obtemos uma relação direta entre os períodos e os raios médios das órbitas:

\[\begin{array}{l}\frac{T_{N}}{T_{T}} = \left(\frac{R_{N}}{R_{T}}\right)^{3/2} \\ \frac{T_{N}}{1} = \left(\frac{30 \bcancel{R_{T}}}{\bcancel{R_{T}}}\right)^{3 / 2} \\ T_{N} = \sqrt{30^{3}} = 30 \sqrt{30}\end{array}\] \[T_{N} = 30 \left(5.5\right) = 165\] \[T_{ } \cong 160 anos terrestres .\]

Na substituição, utilizou-se que o raio médio da órbita de Netuno é 30 vezes o raio médio da órbita terrestre, isto é, R_N/R_T = 30. Também foi utilizado que o período de revolução da Terra é igual a 1 ano terrestre. Assim, o período de Netuno é aproximadamente 165 anos terrestres, que, entre as alternativas fornecidas, corresponde a aproximadamente 160 anos terrestres.

Portanto, a alternativa correta é a) 160 anos terrestres.