Exercícios de Astronomia

A questão aborda a evolução estelar de estrelas com grande massa.

O enunciado descreve o colapso gravitacional de um núcleo remanescente após uma explosão, onde a massa final M é superior a 3 massas solares $\left({\mathrm{M}}_{\odot }\right).$

Justificativa das alternativas:

[A] Incorreta: Estrelas de nêutrons surgem se o núcleo tiver entre 1, 4 e 3 massas solares. Nelas, a luz ainda consegue escapar.

[B] Incorreta: Supernova é o nome do evento da explosão em si, e não da região ou objeto resultante descrito no final do enunciado.

[C] Incorreta: Anãs brancas são remanescentes de estrelas de baixa/média massa (como o Sol) e não possuem gravidade suficiente para impedir a saída da luz.

[D] Incorreta: Anãs marrons são ‘estrelas fracassadas’ que nunca iniciaram a fusão do hidrogênio, não resultando de explosões catastróficas.

[E] Correta: Quando o núcleo restante é tão massivo que a gravidade vence a pressão de degenerescência, ele colapsa em um ponto de densidade infinita. A gravidade torna-se tão extrema que a velocidade de escape supera a velocidade da luz, definindo um buraco negro.

A análise cromática dos corpos celestes fundamenta-se nos princípios da física térmica e da radiação de corpo negro. O fenômeno que permite associar a cor observada de uma estrela à sua condição física é regido pela Lei de Wien, que estabelece uma relação matemática precisa entre o comprimento de onda de emissão máxima e a temperatura do objeto. De acordo com esse princípio, existe uma proporcionalidade inversa entre a temperatura termodinâmica (T) e o comprimento de onda em que ocorre o pico de radiação emitida.

A alternativa B está correta porque a coloração percebida pelo olho humano é um reflexo direto da distribuição espectral de energia da estrela. Estrelas com temperaturas superficiais extremamente elevadas tendem a emitir luz predominantemente em comprimentos de onda menores, situando-se na região do azul e do violeta do espectro visível. Em contrapartida, astros com temperaturas mais baixas concentram sua emissão em comprimentos de onda maiores, o que resulta em tonalidades avermelhadas ou alaranjadas. Portanto, a cor funciona como um termômetro visual da superfície estelar.

Quanto às demais opções, a alternativa A é incorreta pois o brilho percebido, conhecido como magnitude aparente, não depende exclusivamente da cor, mas sim de uma combinação entre a luminosidade intrínseca do astro e a distância que o separa do observador. A alternativa C está errada porque o volume é uma grandeza tridimensional relacionada ao espaço ocupado pelo corpo, algo que não pode ser mensurado apenas pela análise da luz visível emitida. A alternativa D é improcedente porque, embora a composição química influencie o espectro, ela é identificada por meio de linhas de absorção ou emissão específicas obtidas via espectroscopia detalhada, e não meramente pela cor predominante. Por fim, a alternativa E está incorreta pois a massa estelar é uma propriedade complexa, geralmente calculada através da observação de interações gravitacionais em sistemas binários ou por modelos de evolução, não sendo possível determiná-la apenas pela cor.

Em conclusão, ao observar que estrelas como Sirius são azuladas e Antares é avermelhada, o astrônomo está, na verdade, identificando diferentes patamares de temperatura superficial baseando-se no deslocamento do pico de emissão eletromagnética.

Para compreender o comportamento da velocidade de um corpo celeste em uma órbita elíptica, é fundamental analisar a interação entre a distância e a intensidade da força gravitacional. De acordo com as leis que regem o movimento planetário, a aceleração sentida pelo planeta está diretamente ligada à proximidade do astro central, o Sol. Quando o planeta atinge o periélio, ele se encontra no ponto de menor distância em relação ao centro de massa do sistema solar.

Nesse estágio da trajetória, a intensidade da força gravitacional exercida pelo Sol é máxima, devido à inversão do quadrado da distância. Como essa força é a responsável pela aceleração centrípeta que mantém o planeta em sua órbita, uma maior força resulta em uma aceleração mais elevada. Consequentemente, para manter a estabilidade da trajetória elíptica e respeitar a conservação da energia mecânica e do momento angular, o planeta deve apresentar seu valor de velocidade escalar mais alto justamente nesse ponto de aproximação máxima.

Em contrapartida, ao atingir o afélio, o planeta alcança sua maior distância em relação ao Sol. Nessa configuração, a influência gravitacional é reduzida ao seu nível mínimo durante o ciclo orbital, o que provoca uma diminuição na aceleração do corpo. Como resultado direto dessa redução de força e aceleração, a velocidade escalar do planeta também atinge o seu valor mínimo no afélio.

Portanto, concluindo a análise física do movimento, identifica-se que a velocidade orbital não é constante ao longo da elipse, mas varia conforme a posição do planeta. O ponto de maior rapidez coincide com o periélio, enquanto o ponto de menor rapidez ocorre no afélio, validando a alternativa A como a correta.

O processo de formação estelar tem sua origem em nebulosas, que são vastas regiões compostas por poeira e gases espaciais. O fenômeno inicial de colapso dessas nuvens é impulsionado pela força da gravidade. À medida que a matéria se concentra em regiões específicas, a diferença de atração gravitacional entre as partes mais densas e as menos densas da nebulosa promove um acúmulo contínuo de massa, intensificando o colapso central.

Com a compressão crescente do material no núcleo dessa protoestrela, ocorre uma conversão de energia potencial gravitacional em energia térmica, resultando em um aumento significativo tanto da pressão quanto da temperatura interna. Para que uma estrela entre em sua fase de sequência principal, essas condições termodinâmicas devem atingir níveis extremamente elevados.

Quando o núcleo alcança temperaturas e pressões suficientemente altas, supera-se a repulsão eletrostática entre os núcleos atômicos, permitindo que ocorra a fusão nuclear. Diferente da fissão, que consiste na divisão de núcleos pesados, a fusão é o processo de união de núcleos leves, como o hidrogênio, para formar elementos mais pesados, como o hélio. Esse mecanismo de fusão libera uma quantidade colossal de energia, sustentando a luminosidade e a estabilidade da estrela durante a maior parte de seu ciclo de vida.

Portanto, ao preencher as lacunas do enunciado, identificamos que o colapso é causado pela gravidade, ocorre sob condições de temperatura e pressão altas e resulta no processo de fusão nuclear. Isso valida a alternativa E.

Para solucionar essa questão, é fundamental compreender a distinção física entre os tipos de planetas no Sistema Solar com base em suas propriedades de composição e densidade. A densidade é uma grandeza física que relaciona a massa de um corpo com o volume que ele ocupa, sendo um indicador crucial para identificar se um astro possui uma estrutura predominantemente sólida ou gasosa.

Os planetas classificados como gasosos são caracterizados por possuírem grandes volumes e composições formadas majoritariamente por gases e gelos, o que resulta em valores de densidade significativamente baixos. Exemplos clássicos desse grupo incluem Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. Em contrapartida, os planetas rochosos possuem superfícies sólidas compostas por silicatos e metais, apresentando uma concentração de massa muito maior em relação ao seu volume, o que lhes confere uma densidade elevada. Nesse grupo, situam-se Mercúrio, Vênus, Terra e Marte.

Ao analisar as opções fornecidas pelo enunciado para preencher as lacunas com a sequência correta de um planeta gasoso seguido de um planeta rochoso, devemos verificar cada alternativa individualmente. A opção A está incorreta pois apresenta dois planetas gasosos (Júpiter e Netuno). A opção C falha ao listar dois planetas rochosos (Vênus e Terra). A opção D apresenta um planeta rochoso seguido de um gasoso (Marte e Netuno), invertendo a ordem solicitada. A opção E também inverte a lógica, apresentando um rochoso antes de um gasoso (Mercúrio e Saturno).

Portanto, ao examinarmos a alternativa B, observamos que Urano se enquadra perfeitamente na categoria de planeta gasoso devido à sua baixa densidade, enquanto Mercúrio é corretamente identificado como um planeta rochoso por sua natureza sólida e alta densidade. Dessa forma, a única sequência que atende rigorosamente aos critérios estabelecidos pelo gráfico e pela classificação astronômica é a B.

Como o tempo decorrido entre as fases da lua cheia e nova equivale a meio período, temos que:

$\mathrm{T}=2\cdot 58\hspace{0.17em}\mathrm{dias}=2\cdot 58\cdot 24\cdot 60\cdot 60\hspace{0.17em}\mathrm{s}\cong 1\cdot {10}^7\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}$

Aplicando a 3ª lei de Kepler, obtemos uma estimativa para a distância entre o planeta exótico e seu satélite:

$$\frac{{\mathrm{T}}^2}{{\mathrm{R}}^3}=\frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{\mathrm{GM}}$$
$$\frac{{(1\cdot {10}^7)}^2}{{\mathrm{R}}^3}=\frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{6,7\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}$$
$${\mathrm{R}}^3\cong 1\cdot {10}^{27}$$
$$\mathrm{R}\cong 1\cdot {10}^9\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$$

A análise da primeira afirmação revela que ela é incorreta. De acordo com a Terceira Lei de Kepler, também conhecida como Lei Harmônica, existe uma relação proporcional entre o tempo que um corpo leva para completar sua órbita e sua distância em relação ao centro de massa do sistema. Especificamente, o quadrado do período orbital deve ser proporcional ao cubo do raio médio da órbita, e não ao seu quadrado.

A relação matemática correta estabelece que o valor de

é diretamente proporcional ao valor de

Portanto, a proposição que sugeria uma relação com o quadrado da distância está errada.

Quanto à segunda afirmação, ela é verdadeira. O movimento planetário segue as leis da dinâmica orbital, onde a velocidade de um corpo em uma órbita elíptica varia conforme sua posição em relação ao foco (o Sol). Em regiões de menor distância radial, a energia cinética do planeta deve ser maior para compensar o potencial gravitacional mais intenso, resultando em uma velocidade orbital superior quando o planeta está mais próximo da estrela.

A terceira afirmação é falsa devido à confusão entre os termos astronômicos que descrevem os pontos extremos da órbita elíptica. O afélio representa o ponto de maior afastamento do planeta em relação ao Sol. O termo correto para designar o momento de proximidade máxima entre o corpo celeste e o centro gravitacional é periélio.

Por fim, a quarta afirmação é verdadeira. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a constante de gravitação universal, comumente representada por G ou k, possui uma dimensão específica que relaciona força, massa e distância. A unidade padrão para essa constante é expressa em

Isso significa que a constante é medida em Newtons vezes metros quadrados por quilograma ao quadrado. Conclui-se, portanto, que apenas as afirmações B e D estão corretas, validando a sequência F – V – F – V.

De acordo com a primeira lei de Kepler, a trajetória de um planeta é elíptica, com o sol (estrela que governa a órbita do planeta) ocupando um dos focos da elipse, situado sobre o eixo maior. No caso, mais aproximadamente, o ponto P.

Para uma determinação mais precisa pode-se calcular o ponto focal, adotando a origem do sistema de eixos ( x, y ) no centro da elipse (ponto Q) e o lado do quadrículo igual 1 unidade (u), como indicado na figura.

Assim, da figura:

a = 9 u (semieixo maior)

b $\cong$ 4,5 u (semieixo menor)

c = ? (ponto focal)

Usando a relação pitagórica da elipse:

$${\mathrm{a}}^2={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\Rightarrow {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2\Rightarrow {\mathrm{c}}^2\cong 9^2-4,5^2\Rightarrow$$
$${\mathrm{c}}^2\cong 81-20,25$$
$$\mathrm{c}\cong \sqrt{60,75}$$
$$\mathrm{c}\cong 7,8\mathrm{u}$$

Voltando à figura:

$\boxed{{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}=8\mathrm{u} }$

De fato, a posição da estrela é muito aproximadamente o ponto P.

Do enunciado, temos que:

$$\frac{d_{\text{Marte/Sol}}+d_{\text{Terra/Sol}}}{d_{\text{Marte/Sol}}-d_{\text{Terra/Sol}}}=\sqrt{\frac{A_{\text{máx}}}{A_{\text{mín}}}}=\sqrt{60}$$
$$\sqrt{60}{d}_{\text{Marte/Sol}}-\sqrt{60}{d}_{\text{Terra/Sol}}=d_{\text{Marte/Sol}}+d_{\text{Terra/Sol}}$$
$$\sqrt{60}{d}_{\text{Marte/Sol}}-d_{\text{Marte/Sol}}=d_{\text{Terra/Sol}}+\sqrt{60}{d}_{\text{Terra/Sol}}$$
$$(\sqrt{60}-1)d_{\text{Marte/Sol}}=(1+\sqrt{60})d_{\text{Terra/Sol}}$$
$$\frac{d_{\text{Marte/Sol}}}{d_{\text{Terra/Sol}}}=\frac{1+\sqrt{60}}{\sqrt{60-1}}\cong 1,3$$

Aplicando a 3ª Lei de Kepler, chegamos a:

$$\frac{{{\mathrm{T}}_{\mathrm{Marte}}}^2}{{{\mathrm{d}}_{\mathrm{Marte}/\mathrm{Sol}}}^3}=\frac{{{\mathrm{T}}_{\mathrm{Terra}}}^2}{{{\mathrm{d}}_{\mathrm{Terra}/\mathrm{Sol}}}^3}$$
$$\frac{{{\mathrm{T}}_{\mathrm{Marte}}}^2}{1,3^3\mathrm{d}\cancel{{{}_{\mathrm{Terra}/\mathrm{Sol}}}^3}}=\frac{{12}^2}{{\mathrm{d}}_{\cancel{{{}_{\mathrm{Terra}/\mathrm{Sol}}}^3}}}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{Marte}}=\sqrt{{12}^2\cdot 1,3^3}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{Marte}}\cong 18 \mathrm{meses}$$

De acordo com o enunciado a expressão do período da órbita do planeta (T) em função do raio orbital (R) é:

$\mathrm{T}={\mathrm{kR}}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}.$

Fazendo a razão, sabendo que o período da Terra é 1 ano terrestre:

$\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{N}}}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}}={\left(\frac{{\mathrm{R}}_{\mathrm{N}}}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{T}}}\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\Rightarrow \frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{N}}}{1}={\left(\frac{30 \bcancel{{\mathrm{R}}_{\mathrm{T}}}}{\bcancel{{\mathrm{R}}_{\mathrm{T}}}}\right)}^{3/2}\Rightarrow {\mathrm{T}}_{\mathrm{N}}=\sqrt{{30}^3}=30\sqrt{30}\Rightarrow$
${\mathrm{T}}_{\mathrm{N}}= 30\left(5,5\right)=165$
${\mathrm{T}}_{\mathrm{N}} \cong 160 \mathrm{anos} \mathrm{terrestres}.$