Exercícios do Teorema de Pascal com resolução comentada

O funcionamento do elevador hidráulico é explicado pelo princípio de Pascal, segundo o qual uma variação de pressão aplicada a um fluido incompressível e confinado é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido. Assim, a pressão aplicada no êmbolo 1 é igual à pressão exercida pelo automóvel sobre o êmbolo 2.

No êmbolo 2, o automóvel exerce uma força cujo módulo é igual ao seu peso P. Como pressão é definida como força dividida pela área sobre a qual ela atua, a pressão no êmbolo 2 é obtida dividindo-se P pela área A₂. Pelo princípio de Pascal, essa é também a pressão que deve ser aplicada no êmbolo 1:

\[p_{1} = p_{2} = \frac{P}{A_{2}}\] \[V_{1} = V_{2}\] \[h_{1} A_{1} = h_{2} A_{2}\] \[h_{2} = \left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right) h_{1}\]

Além da igualdade das pressões, como o fluido é incompressível, o volume deslocado para baixo pelo êmbolo 1 deve ser igual ao volume deslocado para cima pelo êmbolo 2. O volume deslocado por cada êmbolo é calculado pelo produto entre sua área de seção reta e o deslocamento vertical correspondente. Por isso, o volume deslocado no primeiro êmbolo é A₁h₁, enquanto o volume deslocado no segundo é A₂h₂, levando à igualdade apresentada.

Isolando h₂ nessa relação, divide-se os dois lados por A₂. Dessa forma, a altura de elevação do automóvel é proporcional à razão entre a área do êmbolo 1 e a área do êmbolo 2:

Portanto, a pressão necessária é p₁ = P/A₂ e a elevação do automóvel é h₂ = (A₁/A₂)h₁. Logo, a alternativa correta é B.

Para compreender o comportamento desse sistema hidráulico, é fundamental aplicar os princípios da hidrostática, especificamente no que diz respeito à transmissão de pressão em fluidos incompressíveis. O enunciado descreve um sistema contido, sem vazamentos e preenchido por um óleo livre de bolhas, o que caracteriza um fluido ideal para a aplicação do Princípio de Pascal.

O Princípio de Pascal estabelece que uma variação de pressão aplicada em um ponto de um fluido em equilíbrio é transmitida integralmente a todos os pontos desse fluido e às paredes do recipiente que o contém. No cenário apresentado, quando um objeto exerce uma força sobre o êmbolo B, ele gera uma alteração na pressão interna do sistema. Como o óleo é um fluido incompressível e está em repouso, essa mudança de pressão não se concentra apenas em uma região, mas se propaga de maneira uniforme por todo o meio líquido.

Dessa forma, ao analisarmos os pontos assinalados na figura — A, D, E e F —, devemos considerar que qualquer incremento ou decremento na pressão ocorrido devido ao contato com o objeto no êmbolo B será sentido de maneira idêntica em cada uma dessas coordenadas. Não há distinção entre as variações de pressão nos diferentes locais, independentemente da profundidade ou da posição horizontal dos pontos, desde que o fluido permaneça em equilíbrio hidrostático.

Portanto, conclui-se que a variação de pressão é constante e igual para todos os pontos do sistema, validando a afirmação de que ela é a mesma em qualquer ponto do interior do fluido.

Para determinar a força, utilizamos a relação entre pressão, força e área:

A pressão deve ser expressa em pascal, unidade do Sistema Internacional. Como 3 kPa corresponde a 3 ⋅ 10³ Pa, e a área precisa estar em metros quadrados, inicialmente convertemos as dimensões da placa.

O primeiro lado mede 0,2 ⋅ 10³ cm, isto é, 200 cm, ou 2 m. O segundo lado mede 0,4 ⋅ 10³ mm, isto é, 400 mm, ou 0,4 m. Portanto, a área da placa é obtida multiplicando os lados: 2 m ⋅ 0,4 m, resultando em 0,8 m².

Substituindo a pressão e a área na expressão da força, temos:

\[F = P A = 3 \cdot 10^{3} \cdot 2 \cdot 0.4\]

Nessa expressão, F representa a força, P representa a pressão e A representa a área. O fator 2 ⋅ 0,4 corresponde à área da placa, enquanto 3 ⋅ 10³ representa a pressão de 3 kPa convertida para pascal.

Efetuando a multiplicação, obtemos a força em newtons. Em seguida, usamos a relação fornecida no enunciado, segundo a qual 1 N equivale a 10⁵ dyn, para converter o resultado para dina:

\[F = 2400 \text{N} = 2.4 \cdot 10^{8} d y n\]

Assim, a força necessária para submeter a placa à pressão indicada é 2,4 ⋅ 10⁸ dyn. Portanto, a alternativa correta é b).

Dados fornecidos:

A área do êmbolo é indicada por A₁, enquanto a área de saída da agulha é indicada por A₂. O índice 1 representa o êmbolo, e o índice 2 representa a agulha. Assim, temos:

\[A_{1} = 0.04 \left(d m\right)^{2} = 4 \times 10^{2} \left( m m\right)^{2} ; A_{2} = 2 \left( m m\right)^{2}\]

A força aplicada pelo profissional no êmbolo é a força F₁. Portanto:

\[F_{1} = F = 60 \text{N}\]

De acordo com o princípio de Pascal, qualquer acréscimo de pressão aplicado a um ponto de um líquido em repouso é transmitido integralmente a todos os demais pontos desse líquido. Isso significa que a pressão adicional produzida pelo êmbolo é a mesma no fluido, inclusive na região da agulha. Portanto, o acréscimo de pressão não aumenta progressivamente no sentido do êmbolo para a agulha nem é menor em alguma região por causa da mudança de área.

A relação entre as forças e as áreas dos dois êmbolos é dada pelo teorema de Pascal:

\[\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}\]

Nessa expressão, F₁ é a força aplicada no êmbolo maior, A₁ é a área desse êmbolo, F₂ é a força exercida pelo fluido na saída da agulha e A₂ é a área transversal da agulha. Substituindo os valores fornecidos, obtemos:

\[\frac{60}{400} = \frac{F_{2}}{2}\]

Como a área da agulha é menor, a força na saída também é menor na mesma proporção. Isolando F₂, resulta:

\[F_{2} = 0.3 \text{N}\]

Assim, a força aplicada na saída da agulha vale 0,3 N. O acréscimo de pressão produzido pela força no êmbolo é totalmente transmitido a todos os pontos do líquido, conforme o princípio de Pascal. Portanto, a alternativa correta é a A) 0,3 N – será totalmente transmitido a todos os pontos das partículas da toxina.

A alavanca multiplica por 10 a força aplicada pelo homem. Assim, a força transmitida ao êmbolo A é dez vezes a força de 600 N:

Essa força de entrada é, portanto, igual a 6000 N. No sistema hidráulico, aplica-se o Princípio de Pascal: a pressão exercida sobre o fluido é transmitida integralmente para todos os pontos do fluido. Por isso, as pressões nos êmbolos A e B são iguais:

\[P_{A} = P_{B}\]

Como a pressão é definida pela razão entre a força e a área, a pressão no êmbolo A é dada pela força transmitida pela alavanca, nF, dividida pela área S_A. No êmbolo B, a pressão é a força exercida pela prensa, F_B, dividida pela área S_B:

\[\frac{\left(n F\right)_{A}}{S_{A}} = \frac{F_{B}}{S_{B}}\]

Substituindo o fator de aumento da alavanca, n = 10, e a força aplicada pelo homem, F = 600 N, a pressão no êmbolo A pode ser escrita como:

\[\frac{10 \cdot 600}{\left( S\right)_{A}} = \frac{F_{B}}{S_{B}}\]

Ao isolar a força F_B, multiplicamos ambos os membros pela área S_B. O resultado mostra que a força na prensa é igual à força transmitida ao êmbolo A, 6000 N, multiplicada pela razão entre as áreas:

\[F_{B} = 6000 \cdot \frac{S_{B}}{S_{A}}\]

Como a razão entre as áreas é S_B/S_A = 10⁴, a força exercida na prensa B é:

\[F_{B} = 6 \cdot 10^{7} \text{N}\]

Logo, a força exercida na prensa B é 6⋅10⁷ N, correspondente à alternativa c.

Como o sistema hidráulico está preenchido com óleo e se encontra na horizontal, pode-se aplicar o princípio de Pascal. Esse princípio estabelece que uma variação de pressão aplicada a um fluido confinado é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido e às paredes do recipiente.

Assim, a variação de pressão produzida pelo pistão de acionamento é igual à variação de pressão exercida sobre o pistão de travamento:

\[Δp_{t} = Δp_{a}\]

Na expressão, os índices t e a representam, respectivamente, o pistão de travamento e o pistão de acionamento. Como a pressão é dada pela razão entre a força aplicada e a área do pistão, essa igualdade pode ser escrita como:

\[\frac{F_{t}}{A_{t}} = \frac{F_{a}}{A_{a}}\]

Nessa relação, \(F_{t}\) é a força de 200 N exercida sobre a trava, \(F_{a}\) é a força que se deseja determinar no pistão de acionamento, e \(A_{t}\) e \(A_{a}\) são as áreas dos pistões de travamento e de acionamento, respectivamente.

O enunciado informa que a área do pistão de travamento é quatro vezes a área do pistão de acionamento. Representando a área do pistão de acionamento por A, temos \(A_{t} = 4 \text{A}\) e \(A_{a} = A\). Substituindo esses valores na relação entre as pressões, obtém-se:

\[\frac{200}{4 \bcancel{A}} = \frac{F_{a}}{\bcancel{A}}\]

O fator A aparece no denominador dos dois lados da igualdade, portanto pode ser cancelado. Isso resulta em uma força de acionamento igual a:

\[F_{a} = 50 \text{N}\]

Portanto, é necessária uma força de intensidade 50 N no pistão de acionamento. A resposta correta é a alternativa a).

O funcionamento do desentupidor fundamenta-se no princípio de Pascal, que estabelece que uma variação de pressão aplicada a um fluido incompressível é distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume e pelas superfícies que o delimitam.

No cenário apresentado, como a água não sofre compressão significativa, o movimento de descida do desentupidor gera um aumento de pressão que se propaga integralmente através da massa líquida. Consequentemente, essa força é transmitida por toda a extensão do fluido contido no encanamento, permitindo que a pressão chegue até o ponto da obstrução e consiga fragmentá-la ou deslocá-la.

Para que o macaco hidráulico permaneça em equilíbrio, as pressões exercidas pelos dois êmbolos sobre o óleo devem ser iguais. Essa relação é consequência do princípio de Pascal: uma variação de pressão aplicada a um líquido confinado é transmitida integralmente a todos os pontos do líquido.

A pressão exercida por cada êmbolo é dada pela razão entre a força aplicada e a área sobre a qual essa força atua. Assim, para os êmbolos de áreas A₁ e A₂, temos:

\[P_{1} = P_{2}\] \[\frac{F_{1}}{\left( A\right)_{1}} = \frac{F_{2}}{\left( A\right)_{2}}\] \[\frac{F_{1}}{12 \cdot 10^{1}} = \frac{600 \cdot 10}{12 \cdot 10^{4}}\] \[F_{1} = 6 \text{N}\]

Nessa substituição, a área do primeiro êmbolo é A₁ = 1,2 × 10¹ mm², enquanto a área do segundo é A₂ = 1,2 × 10⁴ mm². A força exercida sobre o êmbolo maior é o peso do bloco, calculado por F₂ = mg = 600 × 10 = 6 000 N.

Como o segundo êmbolo tem área mil vezes maior que a do primeiro, a força necessária no êmbolo menor é mil vezes menor que a força correspondente ao peso do bloco. Portanto, a força aplicada deve ser de 6 N.

Logo, a alternativa correta é a) 6,0.

Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças sobre o conjunto de pistões é nula. Portanto, a força exercida pela pressão na câmara 1 deve equilibrar as forças associadas às pressões nas câmaras 2 e 3:

\[F_{2} + F_{3} = F_{1}\] \[P_{2 } A_{2} + P_{3} A_{3} = P_{1 } A_{1}\] \[P_{2} \cancel{ \pi} \left(\frac{D_{2}}{2}\right)^{2} + P_{3} \cancel{\pi} \left[ \left(\frac{D_{1}}{2}\right)^{2} – \left(\frac{D_{2}}{2}\right)^{2}\right] = P_{1} \cancel{ \pi } \left(\frac{D_{1}}{2}\right)^{2}\] \[2 P_{3} \frac{D_{2}^{2}}{4} + P_{3 } \left[\frac{D_{1}^{2} – D_{2}^{2}}{4}\right] = P_{1} \frac{D_{1}^{2}}{4}\] \[2 P_{3 } D_{2}^{2} + P_{3 } \left(D_{1}^{2} – D_{2}^{2}\right) = P_{1} D_{1}^{2}\] \[P_{3} D_{2}^{2} + P_{3 } D_{1}^{2 } = P_{1 } D_{1}^{2}\] \[P_{1} = P_{3} \frac{D_{1}^{2} + D_{2}^{2}}{D_{1}^{2}}\]

Nessas relações, utiliza-se o princípio de que a força exercida por uma pressão sobre um pistão é dada pelo produto da pressão pela área sobre a qual ela atua, isto é, F = P · A. Como a área de uma seção circular é proporcional ao quadrado do diâmetro, as áreas dos pistões são representadas por termos que contêm D₁² e D₂².

Na terceira igualdade, a relação fornecida no enunciado, P₂ = 2P₃, é substituída na equação de equilíbrio. Os fatores comuns, incluindo o fator geométrico associado à área circular, são cancelados. Em seguida, os termos que contêm P₃D₂² são reunidos no primeiro membro, enquanto o termo proporcional a P₃D₁² permanece associado à pressão procurada.

Após simplificar e dividir ambos os membros pelo fator D₁², obtém-se a pressão na câmara 1 em função de P₃, dos diâmetros dos pistões e da condição de equilíbrio. Portanto, a alternativa correta é c).

O funcionamento da balança baseia-se no princípio de Pascal, segundo o qual uma pressão aplicada a um fluido confinado é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido. Portanto, a pressão exercida no êmbolo maior é igual à pressão exercida no êmbolo menor:

\[p_{1} = p_{2}\]

A pressão é definida como a razão entre a força perpendicular à superfície e a área sobre a qual essa força atua. Assim, considerando que as forças correspondem aos pesos associados aos êmbolos, podemos escrever:

\[p_{1} = p_{2}\] \[\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}\] \[\frac{m_{1} \cancel{g}}{A_{1}} = \frac{m_{2} \cancel{g}}{A_{2 }}\]

Nessa representação, A₁ e A₂ são as áreas dos êmbolos maior e menor, respectivamente, enquanto m₁ e m₂ representam as massas associadas a esses êmbolos. Como a aceleração da gravidade é a mesma nos dois lados, o fator g aparece nos dois membros e pode ser cancelado. Dessa forma, a relação entre as massas passa a depender apenas da relação entre as áreas.

O enunciado informa que a área do êmbolo maior é 50 vezes a área do êmbolo menor. Logo:

\[\frac{m_{1}}{A_{1}} = \frac{m_{2}}{A_{2}} \overset{A_{1} = 50 A_{2}}{\rightarrow} \frac{m_{1}}{50 \cancel{A_{2}}} = \frac{m_{2}}{\cancel{A_{2}}}\] \[m_{1} = 50 m_{2 }\]

Portanto, a massa associada ao êmbolo maior é 50 vezes a massa equivalente à força transmitida ao êmbolo menor. É necessário, então, determinar a força que atua sobre a mola. A mola se comprime 1 mm para cada 200 N. Como a compressão observada foi de 4 mm, a força correspondente é:

\[F_{2} = 4 \times 200 \text{N} = 800 \text{N}\]

A força exercida pela mola equivale ao peso associado à massa m₂. Como o peso é dado pelo produto da massa pela aceleração da gravidade, F₂ = m₂g. Isolando a massa e usando g = 10 m/s², obtemos:

\[m_{2} = \frac{F_{2}}{ g} = \frac{800 \text{N}}{10 \text{m} / s^{2}}\] \[m_{2} = 80 k g\]

Assim, a massa equivalente à força aplicada sobre a mola é 80 kg. Aplicando a relação obtida pelo princípio de Pascal, calculamos a massa colocada sobre o êmbolo maior:

\[m_{1} = 50 \left( m\right)_{2}\] \[m_{1} = 50 \times 80 k g\] \[m_{1} = 4000 k g\]

Logo, o objeto colocado sobre o êmbolo maior tem massa de 4000 kg. Portanto, a alternativa correta é c) 4000 kg.