Exercícios de Física Moderna com resolução comentada

A análise da primeira afirmação revela que ela é verdadeira. Sob a ótica da Relatividade Restrita, proposta por Albert Einstein, ocorre o fenômeno da dilatação temporal para objetos que se deslocam em velocidades consideráveis em relação a um referencial inercial. No caso do sistema GPS, os satélites orbitam a Terra com uma velocidade orbital elevada, o que faz com que seus relógios atômicos internos registrem a passagem do tempo de forma mais lenta quando comparados aos relógios situados na superfície terrestre. Esse atraso temporal é uma consequência direta da relação entre velocidade e a percepção do fluxo do tempo prevista pela teoria.

Quanto à segunda afirmação, ela deve ser considerada falsa. É um equívoco supor que as discrepâncias temporais causadas pelos efeitos relativísticos sejam insignificantes ou passíveis de tratamento apenas em solo. Na realidade, se essas variações não fossem tratadas com rigor extremo, o acúmulo de erros de sincronização resultaria em falhas catastróficas no cálculo das coordenadas geográficas, gerando desvios de posicionamento de muitos quilômetros em um curto período de tempo. Portanto, a correção não é opcional nem meramente secundária, mas uma necessidade técnica fundamental para o funcionamento do sistema.

A terceira afirmação é verdadeira e descreve o procedimento técnico adotado para mitigar os problemas mencionados anteriormente. Para assegurar que o GPS forneça dados de localização com precisão milimétrica, a engenharia do sistema utiliza uma estratégia dupla: primeiro, realiza-se um ajuste prévio na frequência dos relógios atômicos nos satélites antes mesmo de seu lançamento, compensando as previsões teóricas; segundo, aplicam-se correções matemáticas contínuas durante o processamento dos sinais de posicionamento. Essa combinação de ajustes físicos e computacionais garante que a sincronia entre os receptores terrestres e a constelação de satélites seja mantida com exatidão.

A alternativa A está incorreta porque o postulado fundamental de Niels Bohr para o modelo atômico estabelece que os elétrons não possuem liberdade para orbitar o núcleo em qualquer distância ou trajetória. Em vez disso, eles estão restritos a estados estacionários específicos, conhecidos como órbitas quantizadas, onde cada uma corresponde a um nível de energia bem definido. A emissão de energia ocorre apenas quando há uma transição entre esses níveis preestabelecidos, e não de forma contínua em qualquer posição.

Quanto à alternativa B, ela é falsa pois contraria o princípio introduzido por Max Planck para resolver o problema da radiação do corpo negro. Diferente da física clássica, que previa uma emissão contínua, Planck demonstrou que a troca de energia entre a matéria e a radiação ocorre em pacotes discretos chamados quanta. Isso significa que a energia não é emitida de maneira ininterrupta, mas sim em quantidades específicas que seguem uma relação matemática fundamental.

A alternativa C é a correta. Ao investigar o fenômeno do efeito fotoelétrico, Albert Einstein aplicou os conceitos de quantização para propor que a luz se comporta como um fluxo de partículas, os fótons. Ele demonstrou que a energia individual de cada fóton é determinada exclusivamente pela frequência da radiação, e não pelo brilho ou intensidade da fonte luminosa. Enquanto a intensidade da luz está relacionada ao número de fótons que atingem uma superfície (o que influencia a quantidade de elétrons liberados), a energia cinética dos elétrons e o limiar para sua emissão dependem estritamente da frequência da onda incidente.

A opção D é incorreta porque descreve exatamente o oposto do que ocorria na teoria clássica. Antes da mecânica quântica, os modelos de radiação baseados no eletromagnetismo clássico previam que a intensidade da radiação emitida por um corpo negro deveria crescer infinitamente conforme as frequências aumentavam, atingindo a região do ultravioleta. Esse fenômeno, conhecido como catástrofe ultravioleta, era uma falha teórica grave que a física clássica não conseguia evitar, sendo corrigida justamente pela introdução da quantização de Planck.

Por fim, a alternativa E é falsa porque o contexto histórico da descoberta da quantização está diretamente ligado à radiação térmica. O problema central que motivou Planck a propor que a energia era emitida em unidades discretas foi justamente a tentativa de explicar como objetos aquecidos emitem radiação (corpo negro), e não o estudo de espectros moleculares complexos.

Para compreender a validade da alternativa C, é necessário analisar as leis de conservação que regem os fenômenos subatômicos em sistemas isolados. No cenário proposto, um fóton interage com um núcleo atômico para gerar um par composto por um elétron e um pósitron. O primeiro princípio fundamental a ser observado é o da conservação da energia total. Em processos de criação de partículas, a energia contida no fóton original não desaparece; ela é convertida em novas formas de energia no estado final. Essa conversão abrange tanto a energia de repouso (massa) das novas partículas criadas quanto a energia cinética que elas adquirem durante o movimento.

Dessa forma, a soma de todas as energias do sistema antes da interação deve ser rigorosamente igual à soma das energias após o decaimento, garantindo que o balanço energético seja mantido conforme os princípios da termodinâmica e da relatividade.

O segundo princípio essencial aplicado é o da conservação da carga elétrica. Antes da transformação, o fóton é uma partícula eletricamente neutra, possuindo carga igual a zero. Da mesma maneira, o núcleo atômico possui uma carga específica que permanece constante durante o processo. No estado final, o sistema passa a conter o elétron, que possui carga negativa, e o pósitron, que é sua antipartícula e possui carga positiva de igual magnitude. Ao somarmos as cargas do par produzido, o resultado é zero, o que coincide exatamente com a neutralidade elétrica do fóton inicial.

Portanto, como a carga total do sistema permanece inalterada e a energia total é transferida entre diferentes formas sem ser perdida, conclui-se que tanto a carga quanto a energia são grandezas conservadas nesse fenômeno físico.

A alternativa A está incorreta porque o processo de migração para uma camada mais externa exige que o elétron absorva energia, em vez de liberá-la.

Quanto à opção B, ela é improcedente, visto que a interação responsável pelo movimento orbital do elétron é de caráter eletromagnético e não decorrente da força nuclear forte.

A afirmação C apresenta um erro conceitual ao sugerir que o retorno à camada de origem demanda ganho energético; na realidade, esse fenômeno ocorre por meio da emissão de energia.

A alternativa D é a correta, pois descreve adequadamente que o elétron percorre trajetórias circulares mantidas pela atração eletromagnética exercida pelo núcleo.

Por fim, a opção E é falsa porque o momento angular L não aceita valores arbitrários, sendo restrito a múltiplos inteiros de h conforme a quantização estabelecida por Bohr.

O efeito fotoelétrico ocorre quando um fóton transfere sua energia a um elétron da placa metálica. Para que o elétron consiga escapar da superfície, a energia do fóton deve ser, no mínimo, igual à função trabalho do metal, isto é, à energia mínima necessária para remover o elétron:

Para que ocorra o efeito fotoelétrico, a energia do fóton deve ser no mínimo igual à função trabalho \(\left(\varphi\right) .\)

A função trabalho do potássio é φ = 2,3 eV. A energia de cada fóton é dada por h · f, em que h é a constante de Planck e f é a frequência da radiação incidente.

1. Determinação da frequência mínima

Na frequência mínima, o fóton possui exatamente a energia necessária para arrancar o elétron. Nesse caso, o elétron é ejetado com energia cinética nula. Portanto, a energia do fóton é igual à função trabalho:

Usamos a equação \(\varphi = h \cdot f_{0} .\) Isolando a frequência:

Nessa expressão, \(f_{0}\) representa a frequência mínima ou frequência de corte. Para isolá-la, dividimos os dois lados da igualdade por h, obtendo:

\[f_{0} = \frac{\varphi}{h} = \frac{2.3}{4.1 \cdot 10^{- 15}}\]

A divisão utiliza φ = 2,3 eV e h = 4,1 × 10⁻¹⁵ eV·s. Como a unidade eV aparece tanto no numerador quanto no denominador, ela se cancela, restando a unidade s⁻¹, equivalente a hertz.

Efetuando a divisão, encontramos:

\[f_{0} = 5.6 \cdot 10^{14} \text{Hz}\]

Assim, frequências menores que 5,6 × 10¹⁴ Hz não fornecem energia suficiente para superar a função trabalho do potássio. A partir dessa frequência, o efeito fotoelétrico pode ocorrer.

2. Determinação da energia cinética máxima

Quando a frequência da luz é maior que a frequência mínima, a energia do fóton excede a função trabalho. O excesso de energia é convertido em energia cinética do elétron ejetado. Essa relação é expressa pela equação do efeito fotoelétrico de Einstein:

Usamos a equação de Einstein : \(E_{c} = h \cdot f – \varphi\)

Nessa equação, E_c é a energia cinética máxima do elétron, h · f é a energia do fóton incidente e φ é a energia utilizada para retirar o elétron do metal.

A frequência incidente fornecida no enunciado é 7 × 10¹⁴ Hz. Substituindo esse valor, juntamente com a constante de Planck e a função trabalho do potássio:

Para \(f = 7 \cdot 10^{14} \text{Hz} :\)

\[E_{c} = 4.1 \cdot 10^{- 15} \cdot 7 \cdot 10^{14} – 2.3 = 2.87 – 2.3\]

O produto entre a constante de Planck e a frequência fornece a energia do fóton. Numericamente, o fator 10⁻¹⁵ · 10¹⁴ resulta em 10⁻¹, de modo que a energia do fóton é 2,87 eV. Subtraindo a função trabalho, 2,3 eV, obtemos:

\[E_{c} = 0.57 \text{eV}\]

Logo, a frequência mínima é 5,6 × 10¹⁴ Hz e a energia cinética máxima dos elétrons ejetados é 0,57 eV. Portanto, a alternativa correta é a b) 5,6×10¹⁴ Hz e 0,57 eV.

A resolução é feita por análise dimensional. O objetivo é determinar como a constante gravitacional G é expressa em termos da massa quando se adotam unidades naturais, nas quais c e ℏ são igualadas a 1.

Partimos da lei da gravitação universal de Newton. Em termos dimensionais, a força gravitacional é proporcional a G multiplicada pelo produto das massas e dividida pelo quadrado da distância entre elas

\[\left[F_{g}\right] = \left[G\right] \cdot \frac{\left[Mm\right]}{\left[r^{2}\right]}\]

Isolando a dimensão de G, obtemos

\[\left[G\right] = \frac{\left[F_{g}\right] \left[r^{2}\right]}{\left[Mm\right]}\]

A força tem dimensão de massa vezes aceleração. Como a aceleração corresponde à variação da velocidade por unidade de tempo, sua dimensão é L·T⁻². Portanto

\[\left[F\right] = M \cdot L \cdot T^{- 2}\]

O símbolo r representa uma distância, isto é, uma grandeza de dimensão comprimento

[r] = L

As letras M e m representam massas. Assim, cada uma possui dimensão de massa

[m] = M

Substituindo essas dimensões na expressão de G, a dimensão da força contribui com M·L·T⁻², o quadrado da distância contribui com L² e o produto das duas massas contribui com M²

\[\left[G\right] = \frac{M \cdot L \cdot T^{- 2} \cdot L^{2}}{M^{2}}\]

Reunindo as potências de cada dimensão, resulta

\[\left[G\right] = \frac{M \cdot L^{3}}{T^{2} \cdot M^{2}}\]

Para converter essa expressão para unidades naturais, precisamos relacionar comprimento e tempo com energia e massa por meio das constantes c e h. A velocidade da luz possui dimensão de comprimento dividido por tempo

\[\left[c\right] = \frac{L}{T}\]

Para obter a dimensão da constante de Planck, primeiro determinamos as dimensões da frequência e da energia. A frequência é o número de oscilações por unidade de tempo, portanto

\[\left[f\right] = \frac{1}{\text{T}}\]

A energia pode ser expressa como o produto da força pelo deslocamento. Como o deslocamento tem dimensão de comprimento

\[\left[E\right] = \left[F\right] \cdot \left[d\right]\]

Substituindo as dimensões da força e do deslocamento, temos

\[\left[E\right] = M \cdot \frac{L}{T^{2}} \cdot L\]

Logo, a dimensão da energia é

\[\left[E\right] = \frac{M \cdot L^{2}}{T^{2}}\]

A relação entre energia, constante de Planck e frequência é

\[E = h \cdot f\]

Isolando h

\[h = \frac{E}{f}\]

Substituindo as dimensões da energia e da frequência

\[\left[h\right] = \frac{\frac{M \cdot L^{2}}{T^{2}}}{\frac{1}{\text{T}}}\]

A divisão por 1/T equivale à multiplicação por T, reduzindo uma das potências de tempo do denominador. Portanto

\[\left[h\right] = \frac{M \cdot L^{2}}{T}\]

Agora, a dimensão obtida para G pode ser organizada destacando os fatores que correspondem às dimensões de c e h. O fator L/T é a dimensão da velocidade da luz, enquanto M·L²/T é a dimensão da constante de Planck

\[\left[G\right] = \frac{M \cdot L^{3}}{T^{2} \cdot M^{2}} = \overset{c}{\overbrace{\frac{L}{T}}} \cdot \overset{h}{\overbrace{\frac{M \cdot L^{2}}{T}}} \cdot \frac{1}{M^{2}} \rightarrow_{c = 1}^{h = 1} \left[G\right] = \frac{1}{M^{2}}\]

Ao adotar c = ℏ = 1, os fatores associados à velocidade da luz e à constante de Planck deixam de aparecer explicitamente. Resta, portanto, apenas a potência inversa da massa

Resposta: alternativa a) 1/M².

A questão descreve uma reação nuclear em que um núcleo de ²³⁵U absorve um nêutron e, em seguida, se divide em dois núcleos menores, formando ¹⁴¹Ba e ⁹²Kr. Além desses dois fragmentos, são liberados três nêutrons e uma quantidade significativa de energia.

Essa característica — a divisão de um núcleo pesado em núcleos menores, acompanhada da liberação de nêutrons e energia — identifica o processo como fissão nuclear. A energia liberada resulta da diferença entre as massas do núcleo inicial e dos produtos formados, convertida em energia durante a reação.

Está correta a alternativa [B] Fissão nuclear. O termo “fissão” significa divisão. Nesse processo, o núcleo pesado de ²³⁵U absorve um nêutron, torna-se instável e se rompe em dois núcleos de menor massa, além de liberar novos nêutrons e energia. Os nêutrons liberados podem provocar novas fissões em outros núcleos de urânio, possibilitando uma reação em cadeia.

As demais alternativas descrevem processos diferentes:

[A] Fusão nuclear: incorreta. A fusão ocorre quando dois núcleos leves se unem para formar um núcleo mais pesado, como na formação de núcleos de hélio a partir de núcleos de hidrogênio. Portanto, é o processo oposto ao apresentado, pois a reação do enunciado envolve a divisão de um núcleo pesado.

[C] Decaimento alfa: incorreta. Nesse tipo de decaimento, o núcleo emite uma partícula \(\alpha\) , que corresponde a um núcleo de hélio formado por dois prótons e dois nêutrons. Como consequência, o número de massa do núcleo diminui 4 unidades e o número atômico diminui 2 unidades. Isso não corresponde à divisão do núcleo de urânio em dois fragmentos maiores, acompanhada da emissão de três nêutrons.

[D] Decaimento beta: incorreta. No decaimento beta, ocorre a transformação de um nêutron em um próton, com emissão de uma partícula \(\beta\) , que pode ser um elétron no decaimento beta menos. Nesse processo, o número de massa permanece constante, pois a quantidade total de prótons e nêutrons não se altera. A reação descrita, porém, envolve a ruptura de um núcleo pesado em dois núcleos menores.

[E] Decaimento gama: incorreta. O decaimento gama consiste na emissão de radiação eletromagnética de alta energia por um núcleo que se encontra em estado excitado. Como não há emissão de partículas nucleares nem alteração no número de prótons ou nêutrons, a identidade química do elemento permanece a mesma. Isso é diferente da reação apresentada, na qual o núcleo se divide e libera nêutrons.

Logo, como o núcleo de ²³⁵U se divide em dois núcleos menores, com liberação de nêutrons e energia, o processo descrito é a fissão nuclear. Portanto, a resposta final é a alternativa B.

A afirmação I está correta. No modelo atômico atual, baseado na mecânica quântica, não se considera que o elétron percorra uma trajetória circular e perfeitamente definida ao redor do núcleo. Sua posição é descrita por uma distribuição de probabilidades. As regiões do espaço nas quais há maior probabilidade de encontrar o elétron são denominadas orbitais.

A afirmação II também está correta. No experimento da lâmina de ouro, Rutherford observou que a maioria das partículas atravessava a lâmina sem sofrer desvios, enquanto uma pequena quantidade era desviada ou até mesmo retornava. Esses resultados indicaram que o átomo é predominantemente vazio e que sua carga positiva e quase toda a sua massa estão concentradas em uma região central muito pequena, o núcleo. A comparação entre a dimensão reduzida do núcleo e o tamanho da eletrosfera permitiu concluir que o núcleo é muito menor que o átomo como um todo.

A afirmação III está incorreta. No modelo de Bohr, os elétrons não podiam ocupar qualquer posição ou qualquer valor de energia. Eles permaneciam em níveis ou estados estacionários de energia definidos. A passagem de um nível energético para outro ocorria apenas mediante absorção ou emissão de uma quantidade específica de energia, relacionada à diferença entre os níveis.

Desse modo, somente as afirmações I e II estão de acordo com os modelos atômicos apresentados.

Para compreender o fenômeno do efeito fotoelétrico, é essencial analisar a relação entre a energia de cada fóton individual e a energia necessária para liberar um elétron de um sólido. De acordo com a teoria proposta por Einstein, a energia de um fóton depende exclusivamente da frequência da radiação eletromagnética incidente.

O processo ocorre quando a luz atinge uma superfície metálica e transfere sua energia para os elétrons. Para que ocorra a ejeção de um elétron, a energia do fóton deve ser, obrigatoriamente, superior à função trabalho do material, que representa o potencial mínimo de ligação do elétron ao metal. A diferença entre a energia total fornecida pelo fóton e essa barreira energética é o que determina a energia cinética com que o elétron se desloca após ser expelido.

Ao observarmos a relação de proporcionalidade direta entre a frequência da luz e a energia do fóton, percebemos que qualquer incremento no valor da frequência resultará em um aumento correspondente na energia transportada por cada partícula de luz. Se essa nova energia for maior do que o valor fixo da função trabalho do material utilizado, o excedente energético será convertido diretamente em movimento.

Portanto, ao elevar a frequência da radiação incidente, amplia-se o saldo energético disponível após a superação da barreira de ligação, o que promove um aumento na energia cinética dos elétrons ejetados.

O efeito fotoelétrico é descrito pela relação entre a energia do fóton incidente, a energia mínima necessária para arrancar o elétron do material e a energia cinética adquirida pelo elétron. Como a radiação é a mesma nos dois casos, a energia de cada fóton permanece constante; o que muda é a energia mínima exigida pelo material, também chamada de função trabalho.

Para a superfície de sódio, são conhecidos a energia cinética do elétron ejetado e a energia mínima necessária para sua remoção. Usando a relação E_C = E_F − E₀, substituímos E_C por 3,0 × 10⁻¹⁹ J e E₀ pelo valor correspondente ao sódio, 3,6 × 10⁻¹⁹ J:

\[3.0 \cdot 10^{- 19} = E_{F} – 3.6 \cdot 10^{- 19}\] \[E_{F} = 6.6 \cdot 10^{- 19} \text{J}\]

Para isolar a energia do fóton, adicionamos a energia mínima de remoção do sódio aos dois lados da igualdade. Assim, obtemos que cada fóton da radiação possui energia de 6,6 × 10⁻¹⁹ J. Essa energia não se altera quando a mesma radiação incide sobre outro material.

Ao incidirem fótons dessa mesma radiação sobre a superfície de cobalto, a energia cinética dos elétrons ejetados será igual a:

Agora usamos novamente a relação do efeito fotoelétrico, mas substituímos a energia mínima pela do cobalto, que é 6,2 × 10⁻¹⁹ J. A energia do fóton continua sendo 6,6 × 10⁻¹⁹ J:

\[E_{C} = 6.6 \cdot 10^{- 19} – 6.2 \cdot 10^{- 19}\] \[E_{C} = 4.0 \cdot 10^{- 20} \text{J}\]

A subtração resulta em 0,4 × 10⁻¹⁹ J, que é equivalente a 4,0 × 10⁻²⁰ J. Portanto, a energia cinética dos elétrons ejetados da superfície de cobalto é 4,0 × 10⁻²⁰ J, correspondente à alternativa a).