Exercícios de Transformações na Termodinâmica com resolução comentada

A alternativa A está incorreta porque a característica fundamental de um processo reversível é justamente o fato de o sistema se manter em equilíbrio durante toda a transformação.

Quanto à opção B, ela é falsa, visto que a definição de um reservatório térmico pressupõe que sua temperatura permaneça inalterada, independentemente da quantidade de calor transferida para outros meios.

A afirmação C apresenta um erro conceitual, pois processos adiabáticos são caracterizados pela ausência total de troca de calor com o ambiente, invalidando a ideia de aferir tais variações.

A alternativa D é a correta, uma vez que transformações quase estáticas acontecem em uma velocidade extremamente reduzida, permitindo que o sistema retorne ao equilíbrio termodinâmico continuamente durante o processo.

Por fim, a opção E é improcedente porque, em transformações isotérmicas, a temperatura não sofre alteração, o que implica que a energia interna do sistema também permanece constante.

No trecho isocórico, o volume permanece constante. Como o trabalho realizado por um gás é determinado por W = p ΔV, a variação de volume nesse processo é nula e, consequentemente, o trabalho também é nulo.

Ao final dessa etapa, a temperatura passa de T₀ para 2T₀, enquanto o volume continua igual a V₀. Pela equação dos gases ideais, a pressão é proporcional à temperatura quando o volume permanece constante. Assim, a pressão ao término do processo isocórico é o dobro da pressão inicial:

\(p_{1} = 2 p_{0}\)

Na expansão seguinte, a pressão permanece constante, pois o processo é isobárico. O volume aumenta de V₀ para 2V₀, de modo que a variação de volume é V₀. O trabalho nessa etapa é calculado pelo produto entre a pressão constante e a variação de volume:

\(W_{2} = p_{1} \left(V_{2} – V_{1}\right)\)

Substituindo as grandezas correspondentes, com V₁ = V₀, V₂ = 2V₀ e p₁ = 2p₀, obtém-se:

\(W_{2} = 2 p_{0} \left(2 V_{0} – V_{0}\right) = 2 p_{0} V_{0}\)

Como o trabalho no processo isocórico é zero, o trabalho total coincide com o trabalho da expansão isobárica. Para um mol de gás, a condição inicial p₀V₀ = RT₀ permite escrever:

\(W = 2 p_{0} V_{0} = 2 R T_{0}\)

Dividindo pelo fator R T₀, a razão solicitada é

\(\frac{W}{R T_{0}} = 2\)

ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Para compreender o resultado obtido, considere que a energia elétrica fornecida ao resistor é convertida em calor. Pela primeira lei da Termodinâmica, esse calor é utilizado para aumentar a energia interna do gás e realizar trabalho durante a expansão do êmbolo.

A potência elétrica dissipada pelo resistor, para uma tensão U e uma resistência r, é dada por:

\[P = \frac{U^{2}}{r}\]

Nessa expressão, U é a tensão fornecida pela fonte, em volts, e r é a resistência elétrica do resistor, em ohms.

Durante um intervalo de tempo Δt, a energia elétrica recebida pelo resistor é:

\[Q = \frac{U^{2}}{r} Δt\]

Como o gás sofre uma expansão isobárica, sua pressão permanece constante. Assim, o calor fornecido é dividido entre a variação da energia interna do gás e o trabalho realizado pelo gás sobre o êmbolo. Mantendo as grandezas geométricas, a velocidade do êmbolo e as propriedades do gás constantes, a expressão obtida para a tensão pode ser escrita como:

\[U^{2} = r p_{0} A v \left(\frac{C_{v}}{R} + 1\right)\]

Nessa relação, p₀ é a pressão do gás, A é a área transversal do cilindro, v é a velocidade do êmbolo, C_v é o calor específico molar a volume constante e R é a constante universal dos gases. Para a comparação entre as duas situações, esses fatores permanecem iguais.

Na situação inicial, a massa que exerce força sobre o gás é apenas a massa do êmbolo, m_e. Portanto, a pressão inicial é proporcional ao peso do êmbolo dividido pela área:

\[p_{0} = \frac{m_{e} g}{A}\]

Quando o bloco é colocado sobre o êmbolo, a massa total sustentada passa a ser a soma da massa do êmbolo com a massa do bloco, m_b. Logo, a nova pressão é proporcional a:

\[p = \frac{\left(m_{e} + m_{b}\right) g}{A}\]

Como a velocidade do êmbolo deve ser a mesma nas duas situações, os termos associados à resistência, à área, à velocidade e às propriedades do gás se cancelam quando dividimos a expressão da situação final pela expressão da situação inicial. Dessa forma:

\[\frac{U^{2}}{U_{0}^{2}} = \frac{p}{p_{0}} = \frac{m_{e} + m_{b}}{m_{e}}\]

Substituindo a tensão inicial U₀ = 20 V, a massa do êmbolo m_e = 1 kg e a massa do bloco m_b = 5 kg:

\[U = 20 \sqrt{\frac{1 + 5}{1}} V\]

Portanto, de acordo com o desenvolvimento apresentado no gabarito comentado:

\[U = 20 \sqrt{6} V\]

Esse valor não corresponde exatamente a nenhuma das alternativas oferecidas. Desse modo, a questão não apresenta alternativa correta e deve ser considerada anulada, conforme o gabarito oficial.

A transformação descrita está representada abaixo:

I. Verdadeira. Pela 1ª lei da Termodinâmica, o calor trocado pelo gás é a soma do trabalho realizado e da variação de sua energia interna:

\[Q = 𝞽 + \Delta U\]

No processo AB, ocorre uma expansão isobárica. Como o volume aumenta, o trabalho realizado pelo gás é positivo:

\[\tau > 0\]

Essa condição também pode ser expressa por:

\[\left(\Delta V > 0\right)\]

Além disso, no trecho AB a temperatura aumenta, de modo que a energia interna do gás também aumenta. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura; portanto:

\[\Delta U > 0\]

Como tanto o trabalho realizado pelo gás quanto a variação de sua energia interna são positivos, a primeira lei indica que o calor recebido também é positivo:

\[\left(T_{B} > T_{A}\right) ,\]

Logo, o gás absorve calor durante o processo AB.

II. Falsa. Os estados B e C estão ligados por uma transformação adiabática, isto é, uma transformação em que não há troca de calor com o meio externo. Uma adiabática não é, em geral, uma isoterma: o fato de não haver troca de calor não significa que a temperatura permaneça constante. Portanto, não se pode afirmar que as temperaturas nos estados B e C sejam iguais.

III. Falsa. No processo CD, a transformação é uma compressão isobárica. De acordo com a representação do ciclo, a temperatura diminui de C para D, de modo que:

\[T_{D} – T_{C} <</mo>0,\]

Para um gás ideal, a energia interna é função da temperatura. Assim, quando a temperatura diminui, a energia interna também diminui. Portanto, durante o processo CD, a energia interna do gás não aumenta; ela diminui.

IV. Falsa. O coeficiente de desempenho do refrigerador é definido como a razão entre o calor retirado da fonte fria, Q_F, e o trabalho fornecido ao refrigerador. Esse trabalho corresponde à diferença entre o calor rejeitado à fonte quente, Q_Q, e o calor retirado da fonte fria:

\[\beta = \frac{Q_{F}}{Q_{Q} – Q_{F}} = \frac{nC_{P} \left(T_{D} – T_{C}\right)}{nC_{P} \left(T_{B} – T_{A}\right) – nC_{P} \left(T_{D} – T_{C}\right)}\]

Nessa expressão, n é o número de mols, C_P é a capacidade calorífica molar a pressão constante e as diferenças de temperatura representam as trocas de calor nos trechos isobáricos. Como o número de mols e a capacidade calorífica aparecem em todos os termos, eles podem ser cancelados na simplificação:

\[\beta = \frac{T_{D} – T_{C}}{T_{B} – T_{A} – T_{D} + T_{C }}\]

Essa expressão não é igual à apresentada na afirmativa IV. Portanto, a afirmativa IV é falsa.

Conclui-se que somente a afirmativa I é verdadeira. Portanto, a alternativa correta é a) Apenas a alternativa I é verdadeira.

I) A afirmação está correta porque, em um ciclo termodinâmico, o sistema retorna ao seu estado inicial após passar por diversas transformações. Como a energia interna de um gás perfeito depende exclusivamente da sua temperatura, e a temperatura final é idêntica à temperatura inicial no fechamento do ciclo, a variação total dessa grandeza energética é zero.

II) A proposição é verdadeira, uma vez que a característica fundamental de um processo adiabático é o isolamento térmico em relação ao ambiente. Nessas condições, não ocorre fluxo de calor entre o sistema e o meio externo, fazendo com que qualquer variação na energia interna seja decorrente apenas da realização de trabalho.

III) Esta sentença é incorreta. Em uma transformação isocórica, também chamada de isovolumétrica, a característica principal é a manutenção do volume constante, e não da pressão. Portanto, o sistema sofre variações de pressão ou temperatura sem alterar seu espaço ocupado.

IV) A afirmação está correta ao indicar que tanto o calor quanto o trabalho são nulos em uma expansão livre. Nesse fenômeno, o gás se expande contra o vácuo, o que significa que não há resistência externa para realizar trabalho. Simultaneamente, como o processo ocorre sem troca térmica com o entorno, o valor do calor também é zero.

V) A proposição é falsa porque, em um processo isotérmico, a temperatura permanece constante, o que estabelece uma relação de proporcionalidade inversa entre as demais variáveis. De acordo com a lei dos gases, quando o volume aumenta, a pressão deve diminuir proporcionalmente para manter a temperatura estável, e não o contrário.

Para compreender por que o ar apresenta um aumento de temperatura ao passar pelo turbocompressor, é necessário analisar a natureza termodinâmica do processo de compressão realizado pelo dispositivo. No funcionamento do turbo, o rotor da caixa fria realiza um trabalho mecânico sobre o fluido gasoso para reduzir seu volume e aumentar sua pressão, visando injetar mais massa de ar no motor.

O fator determinante para a elevação térmica nesse cenário é a velocidade com que essa compressão ocorre. Em sistemas mecânicos de alta performance, como os turbocompressores, o processo de redução volumétrica do gás acontece de forma extremamente célere. Devido a essa rapidez, o sistema não permite que haja tempo hábil para que ocorra uma troca significativa de energia térmica entre o gás e o ambiente externo ou com as paredes do próprio componente durante o ciclo de compressão.

Na termodinâmica, quando um processo ocorre sem que haja transferência de calor (Q = 0) entre o sistema e sua vizinhança, ele é classificado como um processo adiabático. Nesse tipo de transformação, a variação da energia interna do gás decorre exclusivamente da realização de trabalho sobre ele. De acordo com a Primeira Lei da Termodinâmica, quando o trabalho é realizado sobre o gás para comprimi-lo, essa energia mecânica é convertida em energia interna, o que resulta diretamente no aumento da temperatura do fluido.

Portanto, o fenômeno observado não se deve ao recebimento de calor externo por condução ou radiação dos gases de escape, mas sim à característica adiabática da compressão rápida. Como o ar é comprimido tão rapidamente que o calor não consegue escapar, a energia do trabalho mecânico fica retida no gás, elevando sua temperatura e justificando a necessidade do uso do intercooler para resfriá-lo antes da admissão.

A figura mostra a evolução de uma amostra de gás ideal a partir de um estado inicial (P₀; V₀; T₀) segundo os processos mencionados nas alternativas.

Comparando, conclui-se que o processo representado pela linha tracejada, dentre as opções fornecidas, é o adiabático.

Como o cilindro e o pistão são adiabáticos, não há troca de calor entre cada gás e o meio externo. Assim, em cada porção, o processo pode ser tratado como uma transformação adiabática, para a qual a grandeza \(\left(P V\right)^{\gamma}\) permanece constante. Nessa expressão, P representa a pressão, V representa o volume e γ é o coeficiente adiabático do gás.

Quando o pistão deixa de ser mantido pelo dispositivo magnético, ele se desloca até que as pressões dos gases dos lados L e R se igualem. Chamando essa pressão comum de equilíbrio de P_eq, aplicamos a relação adiabática separadamente a cada porção.

Para a porção L, a pressão inicial é P e o volume inicial é 5V. Para a porção R, a pressão inicial é 8P e o volume inicial é V. Portanto:

\[\begin{cases} \begin{matrix}P_{\text{eq}} V_{L}^{\gamma} = P \cdot \left(\right. 5 \text{V} \left.\right)^{\gamma } \left(I\right) \\ P_{\text{eq}} V_{R}^{\gamma} = 8 P \cdot V^{\gamma} \left(II\right)\end{matrix} \end{cases}\]

Na primeira igualdade, V_L é o volume final da porção L. Na segunda, V_R é o volume final da porção R. A pressão de equilíbrio P_eq é a mesma nas duas expressões porque, no equilíbrio mecânico, não pode existir diferença de pressão entre os dois lados do pistão.

Dividindo a equação (I) pela equação (II), os fatores comuns P_eq, P e V^γ são cancelados. Resta uma relação apenas entre os volumes finais:

\[\left(I\right) \div \left(II\right) :\]
\[\frac{\left(\left(V_{L}\right)^{\gamma}\right)_{}}{\left(V_{R}\right)^{y}} = \frac{5 \gamma}{8}\]

Essa relação expressa que a razão entre os volumes finais, elevada ao expoente γ, depende das condições iniciais dos gases: o lado L começou com volume 5V, enquanto o lado R começou com pressão oito vezes maior, 8P.

Usando o valor fornecido γ = 3/2, é necessário eliminar o expoente γ aplicando a potência inversa, que é 1/γ = 2/3. Assim, obtém-se:

\[\sqrt[\frac{2}{3}]{\left(\frac{V_{L}}{V_{R}}\right)^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[\frac{2}{3}]{\frac{5^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}\]

Efetuando a simplificação das potências, a razão entre os volumes finais fica:

\[\frac{V_{L}}{V_{R}} = \frac{5}{2^{2}}\]

Como 2² = 4, conclui-se que:

\[\frac{V_{L}}{V_{R}} = \frac{5}{4}\]

Logo, a razão entre os volumes das porções L e R após o equilíbrio é 5/4, correspondente à alternativa d).

Para compreender quais transformações envolvem a realização de trabalho mecânico pela vizinhança sobre o gás, é fundamental analisar o comportamento das variáveis termodinâmicas de pressão (P) e temperatura (T) ao longo de cada etapa do ciclo apresentado no diagrama. De acordo com a lei dos gases ideais, o volume (V) de um sistema está intrinsecamente ligado à sua pressão e temperatura através da relação em que o volume é diretamente proporcional à temperatura absoluta e inversamente proporcional à pressão.

Ao examinarmos o segmento FG, observamos uma transformação isobárica, ou seja, com pressão constante. Como há um aumento na temperatura durante esse intervalo, a relação de proporcionalidade direta indica que o volume do gás também aumenta. Esse fenômeno caracteriza uma expansão, onde o próprio gás realiza trabalho sobre o meio externo, resultando em um valor de trabalho positivo.

No segmento GH, ocorre uma transformação isotérmica, na qual a temperatura permanece constante. Nesse caso, a redução da pressão implica necessariamente em um aumento do volume para manter o equilíbrio térmico, conforme a relação de proporcionalidade inversa entre essas grandezas. Novamente, trata-se de um processo de expansão, onde o trabalho realizado pelo gás é positivo.

Diferentemente dos processos anteriores, o segmento HI descreve uma transformação isobárica com queda na temperatura. Como a pressão se mantém constante e a temperatura diminui, o volume do sistema deve reduzir proporcionalmente para acompanhar essa variação térmica. Essa redução volumétrica caracteriza uma compressão, situação em que o meio externo exerce força sobre o gás, realizando trabalho sobre ele, o que é representado por um valor de trabalho negativo.

Por fim, no segmento IF, identificamos uma transformação isotérmica onde a pressão aumenta. Para que a temperatura permaneça inalterada durante esse incremento de pressão, o volume do gás deve diminuir obrigatoriamente. Esse processo de compressão resulta em trabalho negativo, confirmando que a energia mecânica está sendo transferida da vizinhança para o sistema gasoso.

Em conclusão, o critério para identificar quando a vizinhança executa trabalho sobre o gás reside na ocorrência de uma compressão, identificada pela diminuição do volume. Analisando as trajetórias descritas, apenas os intervalos HI e IF apresentam essa característica de redução volumétrica, tornando essas as transformações corretas solicitadas pelo enunciado.

Como a transformação é adiabática, não há troca de calor entre o gás e o meio externo. Portanto,

\[Q = 0\]

Além disso, o enunciado informa que o meio externo realiza trabalho sobre o gás. Adotando a convenção indicada na resolução, em que W representa o trabalho realizado pelo gás, isso significa que o trabalho é negativo:

\[W < 0\]

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica, a quantidade de calor trocada é igual à soma do trabalho realizado pelo gás com a variação de sua energia interna:

\[Q = W + \Delta U\]

Substituindo \[Q = 0\] nessa relação, obtemos:

\[\Delta U = – W\]

Como \[W < 0\], o oposto de W é positivo. Assim, a energia interna do gás aumenta:

\[\Delta U > 0\]

Para um gás ideal, a energia interna depende diretamente da temperatura. Logo, se a energia interna aumenta, a temperatura do gás também aumenta. O trabalho realizado pelo meio externo sobre o gás fornece energia ao sistema, mesmo sem haver transferência de calor.

Portanto, a alternativa correta é e) a temperatura do gás aumenta.