Exercícios de Máquinas térmicas com resolução comentada

Para determinar a razão entre o calor removido pela máquina frigorífica, Q₄, e o calor absorvido pelo motor, Q₁, analisamos sucessivamente o motor I e a Máquina II. Como o trabalho produzido pelo motor é totalmente utilizado para acionar o refrigerador, o trabalho W é a grandeza que conecta os dois dispositivos.

Rendimento do motor I

O motor I opera entre a fonte quente, à temperatura T₁ = 600 K, e a fonte fria, à temperatura T₃ = 400 K. O rendimento de uma máquina de Carnot depende apenas dessas temperaturas absolutas e é calculado pela diferença relativa entre a temperatura quente e a temperatura fria:

\[\eta_{c} = 1 – \frac{T_{3}}{T_{1}} = 1 – \frac{400}{600} = 1 – \frac{2}{3}\]

Ao substituir as temperaturas, a fração 400/600 é simplificada para 2/3. Portanto, o rendimento ideal de Carnot entre essas duas fontes é:

\[\eta_{c} = \frac{1}{3}\]

O enunciado informa que o motor real apresenta rendimento correspondente a 60% do rendimento de Carnot. Assim, o rendimento real é obtido multiplicando-se o rendimento ideal pelo fator 0,60:

\[\eta_{\text{real}} = 0.60 \cdot \eta_{c} = 0.60 \cdot \frac{1}{3}\]

Efetuando a multiplicação, encontra-se:

\[\eta_{\text{real}} = 0.20\]

Por definição, o rendimento de um motor térmico é a razão entre o trabalho produzido e o calor absorvido da fonte quente. Portanto, o trabalho produzido pelo motor é 20% do calor Q₁ recebido:

\[W = \eta_{\text{real}} \cdot Q_{1} = 0.20 \cdot Q_{1}\]

Coeficiente de desempenho da Máquina II

A Máquina II é um refrigerador de Carnot que opera entre a fonte quente, à temperatura T₃ = 400 K, e a fonte fria, à temperatura T₄ = 300 K. Para um refrigerador, o coeficiente de desempenho, ou COP, é definido como a razão entre o calor retirado da fonte fria e o trabalho fornecido ao refrigerador. Para um refrigerador de Carnot, essa relação pode ser expressa em função das temperaturas:

\[COP = \frac{T_{4}}{T_{3} – T_{4}} = \frac{300}{400 – 300} = \frac{300}{100}\]

O denominador representa a diferença entre a temperatura da fonte quente e a temperatura da fonte fria. Como essa diferença é 100 K, o COP da Máquina II é:

\[COP = 3\]

Determinação da razão Q₄/Q₁

De acordo com a definição do COP, o calor removido da fonte fria é igual ao COP multiplicado pelo trabalho consumido pelo refrigerador:

\[COP = \frac{Q_{4}}{W}\]

Isolando Q₄, multiplicamos os dois lados da igualdade pelo trabalho W:

\[Q_{4} = COP \cdot W\]

Como o COP vale 3 e o trabalho fornecido pelo motor é 0,20Q₁, substituímos essas duas relações na expressão do calor removido:

\[Q_{4} = 3 \cdot \left(0.20 \cdot Q_{1}\right)\]

Multiplicando 3 por 0,20, obtemos:

\[Q_{4} = 0.60 \cdot Q_{1}\]

Dividindo ambos os lados por Q₁, determina-se diretamente a razão solicitada:

\[\frac{Q_{4}}{Q_{1}} = 0.60\]

Logo, a razão entre o calor removido pela máquina frigorífica e o calor absorvido pelo motor é 0,60. Portanto, a alternativa correta é d) 0,60.

Em uma usina termoelétrica, as transformações de energia ocorrem em sequência. Primeiro, a energia fornecida pelo combustível é utilizada para vaporizar a água na caldeira; depois, a energia do vapor é convertida em movimento da turbina; por fim, o movimento da turbina é convertido em energia elétrica pelo gerador.

O rendimento de uma etapa é a razão entre a energia útil obtida ao final dessa etapa e a energia que entrou nela. Assim, cada rendimento representa apenas a fração da energia recebida que permanece disponível para a etapa seguinte. Como a saída de uma etapa se torna a entrada da próxima, as frações de energia devem ser aplicadas sucessivamente, isto é, multiplicadas.

Portanto, o rendimento total do processo é obtido pelo produto dos rendimentos da caldeira, da turbina e do gerador:

\[\eta_{P} = \eta_{C} \cdot \eta_{T} \cdot \eta_{G} .\]

Nessa expressão, \(\eta_{C}\) representa o rendimento da vaporização na caldeira, \(\eta_{T}\) representa o rendimento da turbina e \(\eta_{G}\) representa o rendimento do gerador. O produto expressa o efeito cumulativo das perdas: se uma etapa não aproveita toda a energia recebida, a etapa seguinte já parte de uma quantidade menor de energia útil.

Análise das alternativas:

[A] Incorreta. A expressão apresenta a média aritmética dos três rendimentos. Entretanto, em etapas sucessivas, os rendimentos não são somados nem divididos pela quantidade de etapas. O rendimento de cada etapa atua sobre a energia que restou da etapa anterior, o que exige uma multiplicação.

[B] Incorreta. A expressão soma os rendimentos e ainda multiplica essa soma por 3. Além de não representar a sequência de transformações, esse procedimento poderia produzir um valor superior a 1, ou seja, superior a 100%. Um rendimento real não pode indicar que a energia útil de saída é maior que a energia fornecida ao processo.

[C] Incorreta. Embora reconheça que os rendimentos devem ser multiplicados, a alternativa ainda divide o produto por 3. Essa divisão não possui justificativa física ou matemática no cálculo de etapas em série. O produto dos rendimentos individuais já fornece diretamente o rendimento global.

[D] Correta. A alternativa expressa corretamente que o rendimento total é o produto dos rendimentos das três etapas consecutivas:

\[\eta_{P} = \eta_{C} \cdot \eta_{T} \cdot \eta_{G} .\]

[E] Incorreta. Somar os rendimentos também não representa o funcionamento de um sistema em série. Cada etapa aproveita apenas parte da energia que recebe, e não acrescenta uma nova parcela independente ao rendimento total.

Logo, o rendimento total do processo é dado pelo produto dos rendimentos individuais, e a alternativa correta é D.

Nos trechos AB e CD, o gás realiza transformações adiabáticas reversíveis. Portanto, não há troca de calor nesses dois processos. Assim, o calor recebido pela máquina ocorre no trecho BC, enquanto o calor cedido ocorre no trecho DA.

Para um gás ideal monoatômico, a capacidade térmica molar a pressão constante é \(c_{P} = \frac{5 R}{2}\). Em uma transformação isobárica, o calor trocado pode ser calculado por \(Q_{p} = n c_{P} ΔT\). Usando a equação de estado do gás ideal, \(pV = nRT\), essa expressão também pode ser escrita, em um trecho de pressão constante, em função da variação de volume.

Calor recebido na transformação BC:

\(Q_{\text{BC}} = nc_{P} ΔT_{\text{BC}} = n \cdot \frac{5 R}{2} \cdot ΔT_{\text{BC}} = \frac{5}{2} P_{\text{BC}} ΔV_{\text{BC}} = \frac{5}{2} \cdot 32 p \cdot \left(2 \text{V} – V\right) = 80 pV\) 

Nessa etapa, o volume aumenta de \(V\) para \(2 \text{V}\), de modo que \(ΔV_{\text{BC}} = 2 \text{V} – V\) é positivo. Por isso, \(Q_{\text{BC}}\) é positivo: trata-se do calor absorvido pelo gás.

Calor cedido na transformação DA:

\(Q_{\text{DA}} = nc_{p} ΔT_{\text{DA}} = n \cdot \frac{5 R}{2} \cdot ΔT_{\text{DA}} = \frac{5}{2} P_{\text{DA}} ΔV_{\text{DA}} = \frac{5}{2} \cdot p \cdot \left(8 \text{V} – 16 \text{V}\right) = – 20 pV\) 

Na transformação DA, a variação de volume é negativa, pois o gás passa de \(16 \text{V}\) para \(8 \text{V}\). Consequentemente, o calor calculado é negativo, indicando que o gás cede calor ao ambiente. Para o rendimento, interessa o módulo desse calor cedido, isto é, \(\left|Q_{\text{DA}}\right| = 20 pV\).

O rendimento de uma máquina térmica é a razão entre o trabalho útil realizado e o calor recebido. Como, em um ciclo completo, a variação de energia interna do gás é nula, o rendimento pode ser calculado subtraindo de 1 a razão entre o módulo do calor cedido e o calor recebido:

\[\eta = 1 – \left| \frac{Q_{\text{DA}}}{Q_{\text{BC}}} \right| = 1 – \frac{20}{80} = 0.75\]

Logo, o rendimento da máquina térmica é 0,75, correspondente à alternativa d).

A análise das ilustrações permite identificar as quatro etapas fundamentais que compõem o ciclo de funcionamento de um motor de combustão interna de quatro tempos. O processo inicia-se na figura 1, caracterizando a fase de admissão. Nesse momento, a válvula de admissão encontra-se aberta enquanto o pistão realiza um movimento descendente, criando uma diferença de pressão que permite a entrada da mistura composta por ar e combustível para o interior do cilindro.

Sequencialmente, conforme observado na figura 2, ocorre o tempo de compressão. Após atingir o ponto mais baixo, o pistão inicia sua trajetória ascendente com as válvulas devidamente fechadas. Esse movimento reduz o volume disponível no cilindro, elevando significativamente a pressão e a temperatura da mistura ar-combustível que foi previamente admitida, preparando o ambiente para a combustão.

A terceira etapa, representada na figura 3, corresponde à explosão ou tempo motor. Quando o pistão atinge o topo de sua subida, a vela de ignição gera uma centelha elétrica que provoca a combustão da mistura comprimida. A rápida expansão dos gases resultantes dessa reação química exerce uma força intensa sobre a cabeça do pistão, impulsionando-o para baixo e convertendo a energia térmica da explosão em energia mecânica de movimento.

Por fim, a figura 4 ilustra o processo de exaustão. Com o pistão novamente em movimento ascendente e a válvula de escape aberta, os resíduos gasosos gerados durante a combustão são expulsos do cilindro para o sistema de escapamento. Esse procedimento limpa a câmara de combustão, deixando o motor pronto para que o ciclo se reinicie com uma nova fase de admissão.

A análise do ciclo termodinâmico apresentado no gráfico permite identificar o funcionamento de uma máquina térmica. Em um ciclo que percorre o sentido horário em um diagrama de pressão versus volume, o sistema realiza trabalho líquido positivo sobre o meio externo, o que caracteriza o comportamento de uma máquina térmica, e não de um refrigerador (que operaria no sentido anti-horário para retirar calor de uma fonte fria).

Para compreender as propriedades nos pontos indicados, devemos observar a relação entre pressão, volume e energia interna. O ciclo é composto por dois processos principais: o trajeto de A para B e o retorno de B para A. No percurso de A até B, o gás passa por uma expansão onde ocorre absorção de calor e realização de trabalho, resultando em um aumento das variáveis termodinâmicas.

Ao analisar especificamente o ponto A, percebe-se que ele representa o estado de menor pressão e menor volume dentro do ciclo comparado ao ponto B. De acordo com a teoria cinética dos gases, a energia interna de um gás ideal é diretamente proporcional à sua temperatura absoluta. Como o ponto A está em uma região de menores valores no gráfico de pressão e volume, ele corresponde ao momento em que o sistema possui a menor energia interna e, consequentemente, a menor temperatura.

Em contrapartida, o ponto B situa-se em uma condição de maior pressão e maior volume em relação ao estado inicial. Esse aumento nas grandezas indica que o gás atingiu um nível superior de agitação molecular. Portanto, no ponto B, o sistema apresenta a maior energia interna e a maior temperatura do ciclo.

Conclui-se, portanto, que a sequência correta para preencher as lacunas é uma máquina, menor energia e maior temperatura, o que valida a alternativa D como a resposta correta.

Para identificar o diagrama correto no plano pressão versus volume (p x V), é necessário analisar detalhadamente cada uma das quatro etapas termodinâmicas descritas para o funcionamento dessa máquina térmica. O ciclo começa com uma compressão adiabática, o que significa que o volume do gás diminui enquanto a pressão aumenta sem que haja troca de calor com o ambiente. Em um gráfico p x V, esse processo é representado por uma curva descendente em direção à esquerda no eixo do volume, resultando em um aumento de pressão.

Na sequência, ocorre um aquecimento isovolumétrico. Como o enunciado especifica que o volume permanece constante durante essa fase, a trajetória no gráfico deve ser uma linha vertical reta subindo no eixo da pressão, refletindo o aumento da temperatura e, consequentemente, da pressão interna sem alteração do espaço ocupado pelo gás.

A terceira etapa consiste em uma expansão adiabática. Nesse estágio, o gás realiza trabalho ao se expandir, o que provoca uma queda na pressão enquanto o volume aumenta. Novamente, por ser um processo adiabático, a trajetória não é uma reta, mas sim uma curva que desce no gráfico conforme o volume se desloca para a direita.

Por fim, o ciclo é completado com um resfriamento isovolumétrico. Assim como na segunda etapa, o volume é mantido constante, o que exige uma trajetória vertical no diagrama. Desta vez, a linha deve ser descendente, indicando que a pressão diminui à medida que o gás perde calor para o ambiente até retornar ao estado inicial.

Ao correlacionar essas quatro transformações — compressão adiabática (curva), aquecimento isovolumétrico (reta vertical ascendente), expansão adiabática (curva) e resfriamento isovolumétrico (reta vertical descendente) — o único gráfico que apresenta essa sequência lógica de movimentos é o representado na imagem abaixo.

O rendimento do motor indica a fração da energia fornecida pela gasolina que é efetivamente convertida em trabalho útil. Como, de cada 1 L de gasolina, apenas 0,22 L correspondem ao trabalho útil, o rendimento pode ser representado pela razão entre o benefício e o custo:

Assim, a potência útil de 44 kW corresponde a apenas 22% da potência total fornecida ao motor. Representando essa potência total por \(P_{T}\), temos:

\[\frac{0.22 L}{1 L} = \frac{44 \text{kW}}{P_{T}}\]

A unidade litro aparece no numerador e no denominador da razão entre os volumes, portanto é cancelada. Para determinar a potência total, isolamos \(P_{T}\) e dividimos a potência útil pelo rendimento:

\[P_{T} = \frac{44}{0.22}\]

Efetuando a divisão, obtemos:

\[P_{T} = 200 \text{kW}\]

Como potência é a quantidade de energia transferida ou transformada por unidade de tempo, vale a relação 1 W = 1 J/s. Portanto, 200 kW correspondem a 200 kJ transformados a cada segundo:

\[P_{T} = 200 \text{kJ} / \text{s} .\]

Logo, a quantidade de energia que o motor necessita a cada segundo é 200 kJ. Portanto, a alternativa correta é e) 200 kJ.

O processo de conversão de calor em trabalho mecânico útil é caracterizado pela expansão do fluido de trabalho dentro da máquina térmica. No ciclo de Otto apresentado, esse fenômeno se manifesta especificamente durante a etapa IV, que compreende o intervalo entre os pontos 3 e 4.

Nesse estágio, a energia térmica acumulada resulta em uma variação de volume que gera movimento, configurando assim a produção de trabalho útil para o motor.

Para compreender o funcionamento do ciclo de Otto e identificar o momento de produção de energia mecânica, é necessário analisar a dinâmica termodinâmica entre o fluido interno e os componentes do motor. O trabalho realizado pelo sistema ocorre especificamente durante o processo de expansão térmica, no qual a pressão e o volume do gás aumentam de forma a empurrar o pistão, convertendo a energia térmica em movimento rotacional para os eixos.

Considerando a sequência das seis etapas descritas, esse fenômeno de conversão de energia se manifesta na transição da etapa 3 para a etapa 4. Nesse intervalo, após a fase de explosão, o gás em alta temperatura expande-se, exercendo força sobre as partes móveis do motor e gerando o deslocamento necessário para o funcionamento do veículo.

Para compreender a relação entre as grandezas envolvidas nos ciclos termodinâmicos apresentados, devemos recorrer aos fundamentos da Primeira Lei da Termodinâmica. Esta lei estabelece o princípio da conservação da energia para sistemas térmicos, relacionando a variação da energia interna de um sistema com o calor trocado e o trabalho realizado.

Em uma transformação cíclica, o sistema retorna exatamente ao seu estado inicial após completar o percurso. Como a energia interna de um gás depende exclusivamente de suas propriedades de estado (como temperatura, pressão e volume), ao final de um ciclo completo, a variação da energia interna deve ser nula, ou seja, ΔU = 0. Aplicando essa condição à expressão fundamental da Primeira Lei da Termodinâmica, obtemos uma relação direta entre o calor líquido transferido e o trabalho total realizado pelo sistema:

Essa igualdade demonstra que, em um ciclo fechado, a quantidade total de calor (Q) trocada com o ambiente é numericamente equivalente ao trabalho total (W) realizado pelo gás durante o processo. Em representações gráficas de pressão (p) versus volume (V), o valor do trabalho realizado em um ciclo completo é correspondente à área delimitada pela curva do ciclo no plano p-V.

Ao analisarmos os dois gráficos fornecidos, observamos que ambos descrevem ciclos realizados no sentido horário, o que garante que o trabalho e o calor sejam valores positivos. No entanto, a magnitude desses valores depende da área interna de cada figura. Como as escalas são idênticas para ambos os gráficos, podemos comparar visualmente a extensão das áreas ocupadas pelos ciclos (I) e (II). A área delimitada pelo ciclo (I) é visivelmente maior do que a área delimitada pelo ciclo (II).

Consequentemente, como o trabalho W e o calor Q são proporcionais à área de cada ciclo, conclui-se que tanto o trabalho quanto a quantidade de calor transferida são maiores no ciclo (I) em comparação ao ciclo (II). Portanto, a afirmação correta é que Q é maior em (I) do que em (II), validando a alternativa B.