Exercícios de Transformações gasosas

A Equação Geral dos gases relaciona as variáveis pressão, volume e temperatura absoluta de um gás entre dois estados deste gás após sofrer alguma transformação de algumas destas variáveis. Assim entre o estado 1 e o estado 2, tem-se:

$\frac{{\mathrm{P}}_1\cdot {\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{T}}_1}=\frac{{\mathrm{P}}_2\cdot {\mathrm{V}}_2}{{\mathrm{T}}_2}$  

Assim, fazendo-se a substituição sugerida no texto e calculando-se a razão entre as pressões solicitadas, tem-se finalmente:

$\frac{{\mathrm{P}}_2}{{\mathrm{P}}_1}=\frac{{\mathrm{T}}_2\cdot {\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{T}}_1\cdot {\mathrm{V}}_2}\underset{{\mathrm{V}}_2=3{\mathrm{V}}_1}{\overset{{\mathrm{T}}_2=\frac{5{\mathrm{T}}_1}{2}}{\to }}\frac{{\mathrm{P}}_2}{{\mathrm{P}}_1}=\frac{\frac{5\cancel{{\mathrm{T}}_1}}{2}\cdot \cancel{{\mathrm{V}}_1}}{\cancel{{\mathrm{T}}_1}\cdot 3\cancel{{\mathrm{V}}_1}}$
$\frac{{\mathrm{P}}_2}{{\mathrm{P}}_1}=\frac{5}{6}$

No processo isovolumétrico, o volume permanece constante. Para uma quantidade fixa de gás ideal, a equação de estado é pV = nRT. Como n, R e V não variam nessa etapa, a pressão é diretamente proporcional à temperatura:

$\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1}$

A temperatura final desse processo é T₂ = T₁/2. Substituindo essa relação, a pressão também passa a ser metade da pressão inicial:

$p_2=\frac{p_1}{2}$

Na compressão seguinte, a temperatura permanece constante, pois o processo é isotérmico. Assim, o produto entre pressão e volume não se altera:

$p_2{V}_2=p_3{V}_3$

Como V₂ = V₁ e V₃ = V₁/2, a redução do volume à metade provoca a duplicação da pressão:

$p_3=p_2\frac{V_2}{V_3}=p_2\frac{V_1}{V_1/2}=2p_2$

Inserindo p₂ = p₁/2 nessa expressão, os fatores 2 se cancelam:

$p_3=2\frac{p_1}{2}=p_1$

Logo, a razão entre a pressão final e a pressão inicial é igual a 1.

Tomando como referência a altura de separação entre o gás e o líquido na figura 1, temos que:

${\text{P}}_{{\mathrm{gás}}_1}=2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cmHg}+70\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cmHg}=72\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cmHg}$

Como a transformação foi isotérmica:

$${\mathrm{P}}_{{\mathrm{gás}}_1}{\mathrm{V}}_1={\mathrm{P}}_{{\mathrm{gás}}_2}{\mathrm{V}}_2$$
$$72\cdot \cancel{\mathrm{A}}\cdot (50-5)={\mathrm{P}}_{{\mathrm{gás}}_2}\cdot \cancel{\mathrm{A}}\cdot (50-10)$$
$${\mathrm{P}}_{{\mathrm{gás}}_2}=81\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cmHg}$$

Tomando como referência a altura de separação entre o gás e o líquido na figura 2, obtemos:

$${\mathrm{P}}_{{\mathrm{gás}}_2}=81\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cmHg}=(\mathrm{x}-10)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cmHg}+70\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cmHg}$$
$$\mathrm{x}=21\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}$$

A alternativa A está incorreta porque, embora o processo AB seja isobárico, a expansão volumétrica implica na execução de trabalho pelo sistema.

Quanto à opção B, ela é falsa, pois apesar da queda de pressão no trecho BC, o trabalho resultante é negativo devido à compressão do gás.

A afirmação C é a correta, visto que durante a etapa CA observa-se uma elevação na pressão enquanto o volume permanece constante, o que anula qualquer realização de trabalho.

A alternativa D não procede, pois o sentido horário do ciclo ABCA caracteriza um trabalho total positivo realizado pelo gás.

Por fim, a opção E é improcedente, uma vez que, embora a variação da energia interna seja zero ao final do ciclo, ocorre troca de calor equivalente ao valor do trabalho realizado.

Dados: p₁ = 10⁵ Pa; g = 10 m/s²; h = 2,5 m; d = 10³ kg/m³.

Pelo teorema de Stevin, calcula-se a pressão final:

$${\mathrm{p}}_2={\mathrm{p}}_1+\mathrm{dgh}\Rightarrow {\mathrm{p}}_2={10}^5+{10}^3\cdot 10\cdot 2,5\Rightarrow {\mathrm{p}}_2={10}^5+2,5\times {10}^4={10}^5+0,25\times {10}^5\Rightarrow$$
$${\mathrm{p}}_2=1,25\times {10}^5\mathrm{Pa}$$

Aplicando a equação geral dos gases:

$\frac{{\mathrm{p}}_2{\mathrm{V}}_2}{\cancel{{\mathrm{T}}_2}}=\frac{{\mathrm{p}}_1{\mathrm{V}}_1}{\cancel{{\mathrm{T}}_1}}$
$\frac{{\mathrm{V}}_2}{{\mathrm{V}}_1}=\frac{{\mathrm{p}}_1}{{\mathrm{p}}_2}$
$\frac{{\mathrm{V}}_2}{{\mathrm{V}}_1}=\frac{\cancel{{10}^5}}{1,25\times \cancel{{10}^5}}=\frac{1}{1,25}=\frac{4}{5}$
$\frac{{\mathrm{V}}_2}{{\mathrm{V}}_1}=0,8$

Utilizando-se a expressão geral dos gases ideais, tem-se a relação das grandezas pressão, volume e temperatura (em kelvin) entre dois estados do gás:

$\frac{{\mathrm{p}}_1{\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{T}}_1}=\frac{{\mathrm{p}}_2{\mathrm{V}}_2}{{\mathrm{T}}_{2 }}$

Transformando-se as temperaturas para kelvin:

$$T_1\left(\mathrm{K}\right)=30+273=303\mathrm{K}$$
$${\mathrm{T}}_2\left(\mathrm{K}\right)=-123+273=150\mathrm{K}$$

Assim, substituindo-se os valores de pressão, volume e temperaturas na Terra e em Marte, tem-se:

$\frac{{\mathrm{p}}_1{\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{T}}_1}=\frac{{\mathrm{p}}_2{\mathrm{V}}_2}{{\mathrm{T}}_2}$
$\frac{101000\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot 0,003{\mathrm{m}}^3}{303\mathrm{K}}=\frac{600\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot {\mathrm{V}}_2}{150\mathrm{K}}$
${\mathrm{V}}_2=\frac{101000\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot 0,003{\mathrm{m}}^3\cdot 150\mathrm{K}}{600\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot 303\mathrm{K}}=0,25{\mathrm{m}}^3$

Em uma transformação isobárica, a pressão permanece constante. Para uma quantidade fixa de gás ideal, isso faz com que o volume seja diretamente proporcional à temperatura absoluta, medida em kelvins:

$\frac{V}{T}=\text{constante}$

Como o volume final é o dobro do volume inicial, a temperatura absoluta também deve dobrar. Antes de aplicar essa relação, é necessário converter a temperatura inicial para a escala Kelvin, pois as leis dos gases utilizam a temperatura absoluta:

A conversão é feita somando 273 à temperatura em graus Celsius. Assim, a temperatura inicial corresponde a 300 K.

Com a duplicação do volume, a temperatura final em kelvins será o dobro de 300 K, ou seja, 600 K. Retornando à escala Celsius, subtraem-se 273 unidades:

A temperatura final é 327 °C.

A região de G₁ aumenta o seu volume em xS enquanto que a região de G₂ diminui seu volume no mesmo valor. Sendo assim:

$$\frac{\cancel{\mathrm{P}}(\mathrm{V}+\mathrm{xS})}{27+100+273}=\frac{\cancel{\mathrm{P}}(\mathrm{V}-\mathrm{xS})}{27-100+273}$$
$$\frac{\mathrm{V}+\mathrm{xS}}{400}=\frac{\mathrm{V}-\mathrm{xS}}{200}$$
$$\mathrm{V}+\mathrm{xS}=2\mathrm{V}-2\mathrm{xS}$$
$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{V}}{3\mathrm{S} }$$

Dados: ${\mathrm{V}}_1=3\times {10}^{-2}{\mathrm{m}}^3;{\mathrm{T}}_1={27}^{\circ }\mathrm{C}=300\mathrm{K};{\mathrm{T}}_2={52}^{\circ }\mathrm{C}=325\mathrm{K}$

Aplicando a equação geral para uma transformação isobárica:

$\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_1}{T_1}$
$V_2=\frac{3\times {10}^{-2}\cdot 325}{300}$
$V_2=3,25\times {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3$

Desconsiderando o peso do êmbolo, a pressão sobre o gás é igual à pressão atmosférica; o trabalho (W) é:

$\mathrm{W}=\mathrm{p}\mathrm{\Delta }\mathrm{V}=1\times {10}^5\cdot (3,25-3){10}^{-2}=0,25\times {10}^3$
$\mathrm{W}=250\mathrm{J}$

Os dados necessários são obtidos nos gráficos para o nível do mar e para a altitude de 20 km, que corresponde a 20000 m. Organizando essas informações, obtém-se:

Como o gás no interior do balão pode ser considerado ideal e a quantidade de gás permanece constante, aplica-se a lei geral dos gases. Nessa relação, P representa a pressão, V representa o volume e T representa a temperatura absoluta, medida em kelvin. Os índices 0 indicam as condições iniciais, ao nível do mar.

A pressão interna do balão é considerada igual à pressão atmosférica correspondente à altitude. Portanto, inicialmente, $\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}=\frac{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{V}}_0}{{\mathrm{T}}_0}$

Substituindo os valores correspondentes ao nível do mar e à altitude de 20 km, com pressão de 10 kPa e temperatura de 240 K na altitude desejada, resulta:

$\frac{10\mathrm{V}}{240}=\frac{100{\mathrm{V}}_0}{300}$

Ao isolar o volume final V, multiplica-se a igualdade por 240 e simplifica-se a razão entre as pressões e temperaturas. Assim, o volume do balão na altitude de 20 km é:

$\mathrm{V}=8{\mathrm{V}}_{0 }.$

Logo, o volume do balão precisa ser oito vezes maior que o volume inicial. Entretanto, a pergunta solicita a razão entre os raios. Como o balão é considerado esférico, seu volume é proporcional ao cubo do raio, de acordo com a expressão do volume da esfera:

$\cancel{\frac{4}{3}}{\mathrm{\pi r}}^3=8\cancel{\frac{4}{3}}{\mathrm{\pi r}}_0^3$

Os fatores comuns $\frac{4}{3}$ e $\pi$ podem ser cancelados nos dois lados da igualdade. Dessa forma, resta uma relação entre os cubos dos raios:

$\mathrm{r}=\sqrt[3]{8{\mathrm{r}}_0^3}$

Extraindo a raiz cúbica, a raiz cúbica de 8 é igual a 2. Portanto, o raio final é o dobro do raio inicial:

$\mathrm{r}=2{\mathrm{r}}_{0 }.$

Assim, o raio do balão deve aumentar 2,00 vezes para que ele atinja a altitude de 20000 m e alcance o volume limite. Portanto, a alternativa correta é d) 2,00.