Exercícios de Transformações gasosas com resolução comentada

A equação geral dos gases ideais relaciona pressão, volume e temperatura absoluta entre dois estados de uma mesma quantidade de gás. Como a quantidade de gás permanece constante, o valor de PV/T é o mesmo nos estados inicial e final. Assim, para os estados 1 e 2, vale:

\[\frac{P_{1} \cdot V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} \cdot V_{2}}{T_{2}}\]

Nessa relação, P representa a pressão, V representa o volume e T representa a temperatura absoluta, medida em kelvin. O índice 1 identifica o estado inicial, enquanto o índice 2 identifica o estado final.

Precisamos determinar a razão entre as pressões. Para isso, partimos da igualdade anterior e isolamos P₂/P₁. Multiplicando os dois lados pelos fatores necessários e reorganizando os termos, obtemos:

\[\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{T_{2} \cdot V_{1}}{T_{1} \cdot V_{2}} \rightarrow_{V_{2} = 3 V_{1}}^{T_{2} = \frac{5 T_{1}}{2}} \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{\frac{5 \cancel{T_{1}}}{2} \cdot \cancel{V_{1}}}{\cancel{T_{1}} \cdot 3 \cancel{V_{1}}}\]

Na substituição, usamos T₂ = 5T₁/2 no numerador e V₂ = 3V₁ no denominador. Os fatores T₁ e V₁ aparecem tanto no numerador quanto no denominador, portanto se cancelam. Resta dividir 5 por 2 pelo fator 3, o que equivale a multiplicar 5/2 por 1/3. Dessa forma:

\[\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{5}{6}\]

No processo isovolumétrico, o volume permanece constante. Para uma quantidade fixa de gás ideal, a equação de estado é pV = nRT. Como n, R e V não variam nessa etapa, a pressão é diretamente proporcional à temperatura:

\(\frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}\)

A temperatura final desse processo é T₂ = T₁/2. Substituindo essa relação, a pressão também passa a ser metade da pressão inicial:

\(p_{2} = \frac{p_{1}}{2}\)

Na compressão seguinte, a temperatura permanece constante, pois o processo é isotérmico. Assim, o produto entre pressão e volume não se altera:

\(p_{2} V_{2} = p_{3} V_{3}\)

Como V₂ = V₁ e V₃ = V₁/2, a redução do volume à metade provoca a duplicação da pressão:

\(p_{3} = p_{2} \frac{V_{2}}{V_{3}} = p_{2} \frac{V_{1}}{V_{1} / 2} = 2 p_{2}\)

Inserindo p₂ = p₁/2 nessa expressão, os fatores 2 se cancelam:

\(p_{3} = 2 \frac{p_{1}}{2} = p_{1}\)

Logo, a razão entre a pressão final e a pressão inicial é igual a 1.

Na situação inicial, a pressão do gás é determinada pela pressão atmosférica somada à diferença de pressão causada pela coluna de mercúrio entre o gás e a extremidade aberta do manômetro. Como a coluna de Hg correspondente a essa diferença tem 2 cm e a pressão atmosférica é 70 cmHg, tomando como referência a altura de separação entre o gás e o líquido na Figura 1, temos:

\[\text{P}_{gás_{1}} = 2 cmHg + 70 cmHg = 72 cmHg\]

Logo, a pressão inicial do gás é 72 cmHg. Como a temperatura ambiente permanece constante e não há vazamento, a quantidade de gás também permanece constante. Portanto, aplica-se a lei de Boyle, segundo a qual, em uma transformação isotérmica, o produto da pressão pelo volume é constante:

\[P_{gás_{1}} V_{1} = P_{gás_{2}} V_{2}\]

O tubo tem seção transversal constante, de área A. Assim, o volume ocupado pelo gás pode ser calculado como o produto da área da seção transversal pelo comprimento da coluna de gás. Na Figura 1, esse comprimento é representado por \(\left(50 – 5\right)\). Na Figura 2, o comprimento passa a ser \(\left(50 – 10\right)\). Substituindo esses volumes na lei de Boyle:

\[72 \cdot \cancel{A} \cdot \left(50 – 5\right) = P_{gás_{2}} \cdot \cancel{A} \cdot \left(50 – 10\right)\]

A área A aparece nos dois lados da igualdade porque o manômetro possui a mesma seção transversal ao longo do tubo. Por isso, ela pode ser cancelada. Além disso, a igualdade relaciona a pressão inicial e o volume inicial do gás com a pressão final e o volume final. Efetuando essa relação, obtém-se:

\[P_{gás_{2}} = 81 cmHg\]

Portanto, após a adição de mercúrio, a pressão do gás passa a ser 81 cmHg. Agora, tomando como referência a altura de separação entre o gás e o líquido na Figura 2, essa pressão é igual à pressão atmosférica, 70 cmHg, somada à diferença de pressão produzida pela coluna de mercúrio, cuja altura é \(\left(x – 10\right)\) cm:

\[P_{gás_{2}} = 81 cmHg = \left(x – 10\right) cmHg + 70 cmHg\]

Isolando x, subtrai-se 70 cmHg dos dois lados da igualdade e, em seguida, soma-se 10 cm aos dois lados. Assim:

\[x = 21 \text{cm}\]

Logo, a graduação procurada é 21 cm. Portanto, a alternativa correta é d).

A alternativa A está incorreta porque, embora o processo AB seja isobárico, a expansão volumétrica implica na execução de trabalho pelo sistema.

Quanto à opção B, ela é falsa, pois apesar da queda de pressão no trecho BC, o trabalho resultante é negativo devido à compressão do gás.

A afirmação C é a correta, visto que durante a etapa CA observa-se uma elevação na pressão enquanto o volume permanece constante, o que anula qualquer realização de trabalho.

A alternativa D não procede, pois o sentido horário do ciclo ABCA caracteriza um trabalho total positivo realizado pelo gás.

Por fim, a opção E é improcedente, uma vez que, embora a variação da energia interna seja zero ao final do ciclo, ocorre troca de calor equivalente ao valor do trabalho realizado.

Dados do problema: a pressão atmosférica na superfície da água é p₁ = 10⁵ Pa, a profundidade final do copo é h = 2,5 m, a densidade da água é d = 10³ kg/m³ e a aceleração da gravidade é g = 10 m/s². Como o copo está inicialmente em contato com a superfície livre da água, a pressão do ar aprisionado inicialmente é igual à pressão atmosférica.

Quando o copo é levado à profundidade de 2,5 m, a pressão externa sobre o ar aprisionado aumenta devido ao peso da coluna de água acima dessa região. Pelo teorema de Stevin, a pressão a uma profundidade h é obtida somando-se à pressão na superfície o termo dgh, em que d é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e h é a profundidade.

\[\begin{array}{l}p_{2} = p_{1} + dgh \\ p_{2} = 10^{5} + 10^{3} \cdot 10 \cdot 2.5 \\ p_{2} = 10^{5} + 2.5 \times 10^{4} = 10^{5} + 0.25 \times 10^{5}\end{array}\] \[p_{2} = 1.25 \times 10^{5} \text{Pa}\]

Assim, a pressão final do ar é 1,25 × 10⁵ Pa. Esse aumento de pressão provoca a compressão do ar e, consequentemente, reduz o volume ocupado por ele no interior do copo.

Como a temperatura do ar permanece constante, pode-se aplicar a equação geral dos gases ideais. Nessa situação, o produto da pressão pelo volume permanece constante, pois a quantidade de ar e a temperatura não variam. Portanto, as temperaturas inicial e final podem ser canceladas na relação:

\[\frac{p_{2} V_{2}}{\cancel{T_{2}}} = \frac{p_{1} V_{1}}{\cancel{T_{1}}}\] \[\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}\]

Essa última expressão é obtida isolando-se a razão entre os volumes. Ela mostra que, em uma transformação isotérmica, o volume é inversamente proporcional à pressão: como a pressão aumenta, o volume diminui.

Substituindo os valores das pressões inicial e final, obtém-se:

\[\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{\cancel{10^{5}}}{1.25 \times \cancel{10^{5}}} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}\] \[\frac{V_{2}}{V_{1}} = 0.8\]

Logo, a razão entre o volume final e o volume inicial do ar é 0,80. Portanto, a alternativa correta é b) 0,80.

Como o balão é levado de um estado inicial na superfície da Terra para um estado final na superfície de Marte, devem ser comparadas as três grandezas que caracterizam o gás: pressão, volume e temperatura. Considerando que a quantidade de gás no balão permanece constante e que o gás pode ser tratado como ideal, aplica-se a expressão geral dos gases ideais:

\[\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2 }}\]

Nessa relação, o índice 1 representa o estado inicial, na Terra, e o índice 2 representa o estado final, em Marte. A temperatura deve ser expressa em kelvin, pois a lei dos gases ideais utiliza a escala absoluta de temperatura. Para realizar essa conversão, adiciona-se aproximadamente 273 ao valor em graus Celsius:

\[T_{1} \left( K\right) = 30 + 273 = 303 \text{K}\] \[\left( T\right)_{2} \left( K\right) = – 123 + 273 = 150 \text{K}\]

Assim, a temperatura inicial é de 303 K e a temperatura final é de 150 K. As pressões também devem ser expressas na mesma unidade. Como a pressão inicial foi fornecida em quilopascals, converte-se 101 kPa para pascals:

101 kPa = 101000 Pa

O volume inicial é 0,003 m³, a pressão inicial é 101000 Pa e a temperatura inicial é 303 K. Em Marte, a pressão é 600 Pa e a temperatura é 150 K. Substituindo esses valores na relação geral dos gases ideais:

\[\frac{p_{1} \left( V\right)_{1}}{\left( T\right)_{1}} = \frac{p_{2} \left( V\right)_{2}}{\left( T\right)_{2}}\] \[\frac{101000 P a \cdot 0.003 \left( m\right)^{3}}{303 \text{K}} = \frac{600 P a \cdot V_{2}}{150 \text{K}}\] \[V_{2} = \frac{101000 P a \cdot 0.003 \left( m\right)^{3} \cdot 150 \text{K}}{600 P a \cdot 303 \text{K}} = 0.25 \left( m\right)^{3}\]

O resultado mostra que o volume final do balão será de aproximadamente 0,25 m³. Esse aumento ocorre principalmente porque a pressão atmosférica em Marte é muito menor que a pressão na Terra. Para uma mesma quantidade de gás, a redução da pressão externa permite que o balão se expanda, embora a temperatura marciana seja menor.

Portanto, a alternativa correta é a letra B: 0,250 m³.

Em uma transformação isobárica, a pressão permanece constante. Para uma quantidade fixa de gás ideal, isso faz com que o volume seja diretamente proporcional à temperatura absoluta, medida em kelvins:

\(\frac{V}{T} = \text{constante}\)

Como o volume final é o dobro do volume inicial, a temperatura absoluta também deve dobrar. Antes de aplicar essa relação, é necessário converter a temperatura inicial para a escala Kelvin, pois as leis dos gases utilizam a temperatura absoluta:

A conversão é feita somando 273 à temperatura em graus Celsius. Assim, a temperatura inicial corresponde a 300 K.

Com a duplicação do volume, a temperatura final em kelvins será o dobro de 300 K, ou seja, 600 K. Retornando à escala Celsius, subtraem-se 273 unidades:

A temperatura final é 327 °C.

Como o êmbolo se move sem atrito e o conjunto permanece em equilíbrio, a pressão exercida pelos dois gases sobre o êmbolo é a mesma. A transformação é isobárica, portanto, para cada gás, a relação entre pressão, volume e temperatura pode ser expressa pela equação dos gases ideais.

Quando o êmbolo se desloca uma distância x, o volume alterado corresponde à área da seção transversal do tubo multiplicada pelo deslocamento. Assim, a variação de volume é xS. Como G₁ se expande, seu volume final é V + xS. O gás G₂, por sua vez, sofre compressão, de modo que seu volume final é V − xS.

As temperaturas devem ser utilizadas na escala absoluta. Para G₁, a temperatura final é:

\[\frac{\cancel{P} \left(V + xS\right)}{27 + 100 + 273} = \frac{\cancel{P} \left(V – xS\right)}{27 – 100 + 273}\]

Na expressão acima, a pressão P é a mesma para os dois gases e aparece nos dois membros. Por isso, ela pode ser cancelada. Além disso, 27 °C corresponde a 300 K; logo, as temperaturas finais são 400 K para G₁ e 200 K para G₂. Dessa forma, obtemos:

\[\frac{V + xS}{400} = \frac{V – xS}{200}\]

Multiplicando os dois lados por 400 e observando que 400/200 é igual a 2, a igualdade pode ser reescrita como:

\[V + xS = 2 \text{V} – 2 xS\]

Reunindo os termos que contêm xS em um lado e os termos que contêm V no outro, resulta em:

\[x = \frac{V}{3 S }\]

Portanto, o deslocamento do êmbolo é V/(3S), correspondente à alternativa d).

Dados do problema: o volume inicial do gás é \(V_{1} = 3 \times 10^{- 2} \left( m\right)^{3} ; T_{1} = 27^{\circ} \text{C} = 300 \text{K} ; T_{2} = 52^{\circ} \text{C} = 325 \text{K}\)

As temperaturas devem ser expressas em kelvin porque as relações entre volume e temperatura dos gases ideais utilizam a escala absoluta. Assim, somam-se 273 aos valores em graus Celsius: 27 °C corresponde a 300 K, e 52 °C corresponde a 325 K.

Como o aquecimento ocorre lentamente e a expansão é isobárica, a pressão permanece constante. Para uma quantidade fixa de gás ideal sob pressão constante, o volume é diretamente proporcional à temperatura absoluta. Portanto, aplica-se a relação:

\[\frac{V_{2}}{T_{2}} = \frac{V_{1}}{T_{1}}\] \[V_{2} = \frac{3 \times 10^{- 2} \cdot 325}{300}\] \[V_{2} = 3.25 \times 10^{- 3} \left( m\right)^{3}\]

O volume final é obtido multiplicando o volume inicial pela razão entre as temperaturas absolutas. Como a temperatura aumenta de 300 K para 325 K, o volume também aumenta, caracterizando uma expansão do gás.

O êmbolo desliza com atrito desprezível e seu peso é desconsiderado. Dessa forma, a pressão exercida sobre o gás é igual à pressão atmosférica, isto é, p = 1,0 × 10⁵ N/m². Em uma transformação isobárica, o trabalho realizado pelo gás é calculado pelo produto da pressão constante pela variação de volume:

\[W = p \Delta V = 1 \times 10^{5} \cdot \left(3.25 – 3\right) 10^{- 2} = 0.25 \times 10^{3}\] \[W = 250 \text{J}\]

O resultado é positivo porque o gás se expande e realiza trabalho sobre o êmbolo. Portanto, o trabalho realizado pelo gás durante a expansão foi de 250 J, correspondente à alternativa d).

Os dados necessários são obtidos nos gráficos para o nível do mar e para a altitude de 20 km, que corresponde a 20000 m. Organizando essas informações, obtém-se:

Como o gás no interior do balão pode ser considerado ideal e a quantidade de gás permanece constante, aplica-se a lei geral dos gases. Nessa relação, P representa a pressão, V representa o volume e T representa a temperatura absoluta, medida em kelvin. Os índices 0 indicam as condições iniciais, ao nível do mar.

A pressão interna do balão é considerada igual à pressão atmosférica correspondente à altitude. Portanto, inicialmente, \(\frac{PV}{T} = \frac{P_{0} V_{0}}{T_{0}}\)

Substituindo os valores correspondentes ao nível do mar e à altitude de 20 km, com pressão de 10 kPa e temperatura de 240 K na altitude desejada, resulta:

\[\frac{10 \text{V}}{240} = \frac{100 V_{0}}{300}\]

Ao isolar o volume final V, multiplica-se a igualdade por 240 e simplifica-se a razão entre as pressões e temperaturas. Assim, o volume do balão na altitude de 20 km é:

\[V = 8 V_{0 } .\]

Logo, o volume do balão precisa ser oito vezes maior que o volume inicial. Entretanto, a pergunta solicita a razão entre os raios. Como o balão é considerado esférico, seu volume é proporcional ao cubo do raio, de acordo com a expressão do volume da esfera:

\[\cancel{\frac{4}{3}} πr^{3} = 8 \cancel{\frac{4}{3}} πr_{0}^{3}\]

Os fatores comuns \(\frac{4}{3}\) e \(\pi\) podem ser cancelados nos dois lados da igualdade. Dessa forma, resta uma relação entre os cubos dos raios:

\[r = \sqrt[3]{8 r_{0}^{3}}\]

Extraindo a raiz cúbica, a raiz cúbica de 8 é igual a 2. Portanto, o raio final é o dobro do raio inicial:

\[r = 2 r_{0 } .\]

Assim, o raio do balão deve aumentar 2,00 vezes para que ele atinja a altitude de 20000 m e alcance o volume limite.