Exercícios de Termodinâmica com resolução comentada

Em um diagrama pressão \(\times\) volume (P–V), o trabalho está associado à variação de volume do gás. Assim, quando o volume aumenta, ocorre uma expansão e o gás realiza trabalho sobre o pistão. Quando o volume diminui, ocorre uma compressão e o trabalho é realizado sobre o gás. Se o volume permanece constante, não há deslocamento do pistão e, portanto, o trabalho é nulo.

Na transformação 1 → 2, ocorre uma compressão adiabática. Como o volume do gás diminui, o trabalho é realizado sobre o gás, e não pelo motor. Por isso, essa etapa não corresponde à realização de trabalho motor.

As transformações 2 → 3 e 4 → 1 são isovolumétricas, isto é, ocorrem com volume constante \(\left(ΔV = 0\right) ,\) de modo que o trabalho realizado nessas etapas é nulo. Nessas transformações, há variação de pressão, mas não há variação de volume nem deslocamento associado à realização de trabalho.

Na transformação 3 → 4, ocorre uma expansão adiabática. O volume aumenta e o gás exerce força sobre o pistão enquanto este se desloca. Consequentemente, o gás realiza trabalho positivo sobre o pistão. Essa é a etapa correspondente ao tempo motor, também associada à expansão dos gases após a combustão no ciclo idealizado de Otto.

As transformações 0 → 1 e 1 → 0 são isobáricas e representam, no ciclo idealizado, as etapas de admissão e exaustão. Embora envolvam variação de volume, não correspondem à etapa de realização do trabalho motor útil principal considerada na questão. Esse trabalho ocorre durante a expansão 3 → 4.

Portanto, a alternativa correta é a e) 3 → 4.

As demais alternativas estão incorretas: 4 → 1 e 2 → 3 são transformações isovolumétricas, portanto têm trabalho nulo; 1 → 2 é uma compressão, na qual o trabalho é realizado sobre o gás; e 1 → 0 representa a exaustão dos gases em pressão constante, não sendo a etapa de realização do trabalho motor útil.

Equilíbrio das forças que atuam no êmbolo

Como o êmbolo se desloca lentamente e permanece em equilíbrio durante todo o processo, a resultante das forças que atuam sobre ele é nula. Sobre o êmbolo atuam, em sentidos opostos, a força exercida pelo gás, dirigida para cima, e as forças exercidas pelo ar exterior e pela mola, dirigidas para baixo. O diagrama de corpo livre correspondente é representado a seguir:

A pressão é definida como a razão entre o módulo da força perpendicular à superfície e a área dessa superfície. Portanto, para uma área de seção transversal A, a força associada a uma pressão P pode ser escrita como:

\[P = \frac{F}{A}\] \[F = P \cdot A\]

Como a massa do êmbolo é desprezível, seu peso não precisa ser incluído no equilíbrio. Assim, a força exercida pelo ar atmosférico somada à força elástica da mola deve ser igual à força exercida pelo gás:

\[P_{\text{atm}} + F_{e} = P_{\text{g}\acute{a}\text{s}}\] \[P_{\text{atm}} \cdot A + k \cdot x = P_{\text{g}\acute{a}\text{s}} \cdot A\]

Nessas expressões, A é a área do êmbolo, k é a constante elástica da mola e x é a deformação da mola em relação à sua posição de referência. A força elástica é dada por k vezes a deformação, conforme a lei de Hooke.

Dividindo a equação do equilíbrio pela área A, obtém-se a relação entre a pressão do gás e a deformação da mola:

\[P_{\text{g}\acute{a}\text{s}} \cdot A = P_{\text{atm}} \cdot A + k \cdot x\] \[P_{\text{g}\acute{a}\text{s}} = P_{\text{atm}} + \frac{k \cdot x}{A}\]

O volume ocupado pelo gás varia quando o êmbolo se desloca. Para uma seção transversal constante, a variação de volume é proporcional ao deslocamento, pois corresponde à área do êmbolo multiplicada pelo deslocamento. Como a deformação x da mola também varia proporcionalmente ao deslocamento do êmbolo, a pressão do gás varia linearmente com o volume durante o processo.

Gráfico da pressão em função do volume

Uma relação linear entre pressão e volume é representada, no gráfico P versus V, por um segmento de reta que liga o estado inicial ao estado final. O trabalho realizado pelo gás durante uma expansão é dado pela área sob essa curva. Como a pressão aumenta linearmente de 100 kPa para 200 kPa, a região sob a reta é um trapézio:

Cálculo do trabalho

O volume inicial é 5 m³ e o volume final é 15 m³. Logo, a variação de volume é a diferença entre esses valores. Como o processo é uma expansão, essa variação é positiva:

\[\Delta V = V_{\text{final}} – V_{\text{inicial}} = 15 – 5 = 10 m^{3}\]

A área do trapézio é calculada pela média das pressões inicial e final multiplicada pela variação de volume. Portanto:

\[W = área = \frac{\left(P_{\text{final}} + P_{\text{inicial}}\right) \cdot ΔV}{2} = \frac{\left(200 + 100\right) kPa \cdot \left(15 – 5\right) m^{3}}{2}\]

Como 1 kPa · m³ corresponde a 1 kJ, as unidades já permitem expressar diretamente o resultado em quilojoules. Assim:

\[W = 1500 \text{kJ}\]

Logo, o trabalho realizado pelo gás na expansão é 1500 kJ. Portanto, a alternativa correta é a).

A irradiação térmica emitida por um corpo negro é calculada pela lei de Stefan-Boltzmann:

I = σT⁴

Nessa relação, I é a intensidade da irradiação, medida em W/m²; σ é a constante de Stefan-Boltzmann, cujo valor é 5,67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴); e T é a temperatura absoluta, expressa em kelvins. Como o enunciado fornece a temperatura média de 288 K, esse valor deve ser utilizado diretamente, pois a temperatura já está na escala absoluta adequada à lei.

Assim, para a temperatura média da atmosfera, obtém-se a intensidade da irradiação emitida para o espaço:

\[I = σT^{4} \rightarrow_{T = 288 \text{K}}^{\sigma = 5.67 \times 10^{- 8} \text{W} / \left(m^{2} K^{4}\right)}\] \[I = 5.67 \times 10^{- 8} \text{W} / \left(m^{2} K^{4}\right) \cdot \left(288 \text{K}\right)^{4}\] \[I = 5.67 \times 10^{- 8} \text{W} / \left(m^{2} K^{4}\right) \cdot 687970716 K^{4}\] \[I \approx 390.08 \frac{W}{m^{2 }}\]

Na substituição, a unidade K⁴ presente em T⁴ cancela a unidade K⁴ do denominador da constante σ. Por isso, a unidade restante é W/m², exatamente a unidade solicitada para a irradiação.

O valor calculado é aproximadamente 390 W/m². Portanto, a alternativa correta é d) 390.

Para compreender as consequências da interrupção da bomba I, é fundamental analisar o papel que ela desempenha no ciclo térmico de uma usina nuclear. De acordo com a descrição do funcionamento do sistema, a bomba I atua no circuito primário, sendo a responsável por promover a circulação da água que passa pelo núcleo do reator. O objetivo principal dessa movimentação constante é garantir que o calor gerado pelas reações de fissão nuclear seja transportado para fora do núcleo e direcionado ao gerador de vapor.

O processo de fissão nuclear consiste na divisão de núcleos atômicos pesados, uma reação que libera uma quantidade massiva de energia térmica. Para que a operação da usina ocorra de forma segura e controlada, esse calor precisa ser removido continuamente do reator através de um fluido refrigerante, neste caso, a água. A função da bomba I é justamente manter o fluxo desse fluido em movimento, permitindo que ele absorva a energia térmica produzida no núcleo e a leve para as etapas subsequentes do processo de geração de eletricidade.

Caso ocorra uma falha mecânica ou interrupção no funcionamento da bomba I, o fluxo de água dentro do circuito primário será interrompido. Sem a circulação adequada, o mecanismo de transporte de calor deixa de existir. Como a fissão nuclear continua a produzir energia térmica enquanto o reator estiver ativo, mas não há mais um meio fluido para retirar esse calor do núcleo, ocorre um fenômeno de acúmulo de energia térmica no interior do reator.

Esse acúmulo resulta em uma elevação rápida e perigosa da temperatura interna do sistema. Sem a remoção constante do calor, a energia térmica se concentra nos componentes do núcleo, levando ao aquecimento direto do reator. Portanto, a interrupção desse componente específico compromete o equilíbrio térmico necessário para a segurança operacional, validando a alternativa A como a resposta correta.

I. Correta. Para um gás ideal monoatômico, a energia interna é determinada pela energia cinética média de suas partículas. Essa energia depende da temperatura absoluta T, que indica o grau de agitação térmica, e da quantidade de matéria presente, expressa pelo número de mols n. Para esse caso, a relação é

\[U = \frac{3}{2} n RT .\]

Nessa expressão, U representa a energia interna, n é o número de mols do gás, R é a constante universal dos gases ideais e T é a temperatura absoluta, medida em kelvins. Portanto, mantendo-se fixo o número de partículas, um aumento da temperatura aumenta a energia interna; para uma mesma temperatura, uma quantidade maior de gás também possui maior energia interna. Assim, a afirmação I está correta.

II. Incorreta. Embora a expansão térmica seja comum, ela não ocorre em todos os materiais. Muitos materiais aumentam suas dimensões quando aquecidos, pois o aumento da agitação de suas partículas provoca maior separação média entre elas. Entretanto, existem materiais que apresentam expansão térmica negativa: ao serem aquecidos em determinadas condições, eles se contraem em vez de se expandirem.

Esse comportamento pode ocorrer, por exemplo, em alguns materiais flexíveis, como certos polímeros usados na produção de plásticos e borrachas. A água também constitui um caso importante: sob pressão normal, ao ser aquecida de 0 °C até 4 °C, ela sofre contração térmica, atingindo sua maior densidade aproximadamente a 4 °C. Logo, não é correto afirmar que todos os materiais se expandem quando aquecidos. A afirmação II está incorreta.

III. Correta. A ebulição ocorre quando a pressão de vapor do líquido se iguala à pressão exercida sobre sua superfície. Se a pressão externa aumenta, o líquido precisa atingir uma pressão de vapor maior para que a ebulição comece. Para alcançar essa pressão de vapor maior, é necessário elevar a temperatura do líquido.

Consequentemente, o aumento da pressão externa eleva a temperatura de ebulição da substância. É por isso que, em uma panela de pressão, a água pode atingir uma temperatura superior a 100 °C antes de entrar em ebulição. Portanto, a afirmação III está correta.

Conclui-se que as afirmações I e III estão corretas, enquanto a afirmação II está incorreta. Dessa forma, a alternativa correta é c) Apenas I e III.

Em um processo isocórico, o volume permanece constante. Para uma quantidade fixa de gás ideal, a equação de estado estabelece que a pressão é diretamente proporcional à temperatura absoluta:

\(\frac{P}{T} = \text{constante}\)

Assim, se a pressão final passa a ser metade da pressão inicial, a temperatura final também corresponde à metade da temperatura inicial. Essa variação de temperatura pode ser negativa, pois o gás esfria, mas o que interessa para a razão solicitada é a relação entre a variação da energia interna e a capacidade térmica total do gás.

Para um gás ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura e é calculada por:

\(\Delta U = n \cdot C_{v} \cdot \Delta T\)

Nessa expressão, n é o número de mols e C_v é a capacidade térmica molar a volume constante. Dividindo os dois lados por nC_v, obtém-se:

\(\frac{\Delta U}{n \cdot C_{v}} = \Delta T\)

A razão solicitada é, portanto, igual à variação de temperatura.

Como o gás é ideal e diatômico, sua capacidade térmica molar a volume constante é igual a 5R/2. Portanto, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura e pode ser relacionada ao produto entre a pressão constante e a variação de volume. Como o processo ocorre sob pressão constante, para um gás ideal o produto entre a pressão e a variação de volume é equivalente à variação da quantidade nRT.

O êmbolo sobe uma distância Δy, enquanto a área transversal do recipiente é a área circular determinada pelo diâmetro d. Assim, o aumento de volume do gás é dado pelo produto entre essa área e o deslocamento vertical do êmbolo, isto é, ΔV = AΔy. Por isso, a expressão para a variação da energia interna pode ser escrita como:

\[ΔU = \frac{5}{2} PΔV = \frac{5}{2} PAΔy\] \[ΔU = \frac{5}{2} \cdot 10^{5} \cdot \pi \cdot \left(\frac{10 \cdot 10^{- 2}}{2}\right)^{2} \cdot \frac{5}{\pi} \cdot 10^{- 2}\] \[ΔU \cong 3.1 \cdot 10^{1} \text{J}\]

Na substituição, a pressão é 1,0 × 10⁵ Pa. O diâmetro de 10 cm é convertido para metros, resultando em 10 × 10⁻² m, para que a área seja expressa em metros quadrados. O deslocamento também é convertido: Δy = (5,0/π) cm = (5,0/π) × 10⁻² m. A área circular é calculada a partir da metade do diâmetro, que corresponde ao raio. Ao multiplicar a pressão pela variação de volume, obtém-se uma energia; o fator 5/2 é então aplicado por o gás ser diatômico.

Logo, a variação da energia interna do gás é aproximadamente 3,1 × 10¹ J, ou seja, cerca de 31 J. Portanto, a alternativa correta é b).

Para identificar qual das curvas representa o corpo negro com a temperatura mais elevada, é fundamental compreender os princípios da radiação de corpo negro e as leis que regem esse fenômeno físico. A emissão de energia por um objeto em equilíbrio térmico depende diretamente de sua temperatura absoluta, conforme estabelecido pela Lei de Stefan-Boltzmann. Essa lei indica que a intensidade total da radiação emitida por uma superfície aumenta drasticamente com o aumento da temperatura.

Ao analisar o gráfico fornecido, observamos que as curvas representam a distribuição da intensidade da radiação em função do comprimento de onda. Um ponto crucial para a resolução deste problema é notar que, conforme a temperatura de um corpo negro sobe, o pico de sua emissão não apenas se desloca para comprimentos de onda menores — seguindo a Lei de Wien —, mas também apresenta uma amplitude significativamente maior. Isso ocorre porque corpos mais quentes emitem uma quantidade muito superior de energia por unidade de área e por intervalo de comprimento de onda.

Portanto, ao comparar as curvas A, B, C e D, devemos buscar aquela que atinge o valor máximo de intensidade no eixo vertical. A curva D é a que apresenta o maior pico de radiação entre todas as opções apresentadas, o que caracteriza um estado térmico superior às demais.

Em conclusão, devido à relação direta entre a temperatura e a magnitude da emissão radiante, a curva que demonstra a maior intensidade de radiação emitida é, necessariamente, a que corresponde ao corpo negro com a maior temperatura, sendo esta a alternativa D.

O rendimento indica a fração da energia total armazenada no combustível ou na bateria que é efetivamente convertida em movimento. O motor a combustão aproveita 30% da energia do etanol, portanto seu rendimento é 0,3. Como o motor elétrico apresenta eficiência três vezes maior, o rendimento associado à bateria é calculado multiplicando esse valor por 3:

\[\eta_{\text{bat}} = 3 \eta_{\text{et}}\] \[n_{\text{bat}} = 3 \cdot 0.3\] \[\eta_{\text{bat}} = 0.9\]

Assim, o rendimento do sistema elétrico é de 90%. Para comparar os dois carros, é necessário igualar as energias úteis, isto é, as energias que efetivamente são transformadas em movimento. A bateria deve fornecer a mesma energia útil que o motor a combustão obtém ao utilizar os 40 L de etanol:

\[\begin{array}{l}E_{\acute{u}\text{til}}^{\text{bat}} = E_{\acute{u}\text{til}}^{\text{et}} \\ n_{\text{bat}} E_{T}^{\text{bat}} = \eta_{\text{et}} E_{T}^{\text{et}} \\ 0.9 \cdot V \cdot 700 = 0.3 \cdot 6300 \cdot 40\end{array}\]

Na expressão, matematica5 representa o volume da bateria, em litros. Como cada litro de bateria armazena 700 Wh, a energia total armazenada pela bateria é matematica6. Multiplicando esse valor pelo rendimento de 0,9, obtém-se a energia útil do carro elétrico. Para o etanol, a energia total é matematica7, e somente 30% dela é convertida em movimento.

\[V = \frac{0.3 \cdot 6 \cancel{30} 0 \cdot 40}{\cancel{630}} = 0.3 \cdot 10 \cdot 40\]

Ao simplificar a razão entre 6300 e 630, obtém-se 10. Portanto, o volume necessário é:

\[V = 120 L\]

Logo, o volume aproximado da bateria de lítio deve ser 120 L, correspondente à alternativa b).

No trecho C, a pressão permanece constante enquanto o volume varia. Uma transformação realizada sob pressão constante é denominada isobárica. Portanto, a primeira lacuna deve ser preenchida por “isobárica”.

O trabalho termodinâmico realizado por um gás em um diagrama pressão-volume corresponde à área sob a curva da transformação, pois essa área representa o produto entre pressão e variação de volume. Para os trechos A e B, somam-se as áreas correspondentes às regiões destacadas no gráfico.

A área associada ao trecho retangular é calculada pelo produto de suas dimensões, representadas por 1 e 6. A outra parcela corresponde à área de um trapézio, cuja altura média é \(\frac{6 + 2}{2}\) e cuja largura é 1. Como as grandezas do gráfico estão expressas no Sistema Internacional, o fator \(10^{6}\) converte a área representada para joules.

Assim, o trabalho total nos trechos A e B é dado pela soma dessas duas áreas:

\[W = \left(1 \times 6 + \frac{6 + 2}{2} \times 1\right) \times 10^{6} = 10 \times 10^{6}\] \[\boxed{W = 1 \times 10^{7} \text{J}}\]

Logo, o trecho C representa uma transformação isobárica, e o trabalho realizado pelo gás nos trechos A e B é 10⁷ J. Portanto, a alternativa correta é a d).