Exercícios de Gases – Equação de Clapeyron com resolução comentada

Como o gás é ideal e a quantidade de matéria permanece constante, aplica-se a equação geral dos gases. Essa relação mostra que, entre dois estados, a razão entre o produto da pressão pelo volume e a temperatura permanece constante:

\[\frac{P_{A} V_{A}}{T_{A}} = \frac{P_{C} V_{C}}{T_{C}}\]

Nessa expressão, os índices A e C indicam, respectivamente, os estados inicial e final. De acordo com os valores identificados no gráfico, no estado A temos P_A = 3, V_A = 2 e T_A = 300 K. No estado C, temos P_C = 6 e V_C = 6. Substituindo esses valores na relação anterior:

\[\frac{3 \cdot 2}{300} = \frac{6 \cdot 6}{T_{C}}\]

O lado esquerdo representa a razão entre o produto da pressão pelo volume no estado A e a temperatura inicial. No lado direito, o produto da pressão pelo volume no estado C deve ser dividido pela temperatura final. Para determinar T_C, faz-se a multiplicação cruzada e isola-se essa temperatura:

\[T_{C} = 1800 \text{K}\]

Portanto, a temperatura final do gás é 1800 K, correspondente à alternativa d).

Para uma massa fixa de gás ideal, a equação geral dos gases relaciona pressão, volume e temperatura absoluta:

Como o trecho AB é isotérmico, a temperatura nos estados A e B é a mesma. Portanto, podemos usar o estado A, representado pelos valores \(P_{1}\) e \(V_{1}\), e compará-lo ao estado C, representado por \(P_{2}\) e \(V_{2}\). Para esses dois estados, a relação é:

\[\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}\] \[\frac{2 \cdot 10^{5} \cdot 3 \cdot 10^{- 2}}{T_{1}} = \frac{1 \cdot 10^{5} \cdot 2 \cdot 10^{- 2}}{T_{2}}\] \[\frac{T_{1}}{T_{2}} = 3\]

Na substituição, foram usados os valores de pressão e volume indicados no diagrama. Os fatores \(10^{5}\) e \(10^{- 2}\) representam, respectivamente, as potências de dez associadas às unidades de pressão e volume. Ao simplificar a igualdade, obtém-se que a temperatura do primeiro estado é três vezes a temperatura do segundo estado.

Como AB é uma transformação isotérmica, os estados A e B possuem a mesma temperatura. Assim, \(T_{1}\) corresponde a \(T_{B}\). O segundo estado considerado é o estado C, de modo que \(T_{2}\) corresponde a \(T_{C}\). Portanto:

\[\frac{T_{B}}{T_{C}} = 3\]

Logo, a razão solicitada é igual a 3, e a alternativa correta é b).

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]

Para determinar a massa de ar, é necessário utilizar a equação dos gases ideais, relacionando pressão, volume, temperatura e quantidade de matéria. Os dados fornecidos são:

\[V = 180 L ; P = 1.2 atm\] \[T = 27 + 273 = 300 \text{K}\] \[R = 0.08 atm \cdot L \cdot mol^{- 1} \cdot K^{- 1} ; M_{\text{ar}} = 29 \text{g} \cdot mol^{- 1}\] \[P \times V = n \times R \times T\] \[P \times V = \frac{m_{\text{ar}}}{M_{\text{ar}}} \times R \times T\] \[1.2 atm \times 180 L = \frac{m_{\text{ar}}}{29 \text{g} \cdot mol^{- 1}} \times 0.08 atm \cdot L \cdot mol^{- 1} \cdot K^{- 1} \times 300 \text{K}\] \[m_{\text{ar}} = \frac{1.2 atm \times 180 L \times 29 \text{g} \cdot mol^{- 1}}{0.08 atm \cdot L \cdot mol^{- 1} \cdot K^{- 1} \times 300 \text{K}} = 261 \text{g}\] \[m_{\text{ar}} \approx 260 \text{g}\]

A temperatura deve ser convertida de graus Celsius para kelvin porque a constante dos gases ideais é expressa em unidades que exigem a temperatura absoluta. Assim, 27 °C corresponde a 300 K. A massa molar média do ar, indicada por M_ar, permite converter a quantidade de matéria em massa. Ao substituir os valores na equação dos gases ideais e isolar a massa, obtém-se aproximadamente 261 g, que pode ser arredondada para 260 g.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Física]

O ar no interior da bola é tratado como um gás ideal. Para esse modelo, utiliza-se a equação de Clapeyron, que relaciona a pressão P, o volume V, a quantidade de matéria n, a constante dos gases ideais R e a temperatura absoluta T:

\[PV = nRT\]

Como a temperatura fornecida está em graus Celsius, primeiro é necessário convertê-la para kelvin. Essa conversão é feita somando 273 ao valor em graus Celsius. Substituindo a pressão, o volume, a constante R e a temperatura, temos:

\[1.2 \cdot 180 = n \cdot 0.08 \cdot \left(27 + 273\right)\]

Resolvendo a igualdade, a quantidade de matéria de ar contida na bola é:

\[n = 9 mols\]

Para transformar essa quantidade de matéria em massa, utiliza-se a relação entre quantidade de matéria, massa e massa molar:

Como \(n = \frac{m}{M} ,\) a massa pode ser obtida usando a massa molar média do ar, que vale 29 g/mol:

\[9 = \frac{m}{29}\] \[m \approx 260 \text{g}\]

Portanto, a massa de ar contida na bola é aproximadamente 260 g. A alternativa correta é d) 260 g.

Como o ar atmosférico é modelado como um gás perfeito, utiliza-se a equação de Clapeyron, que relaciona a pressão p, o volume V, a quantidade de matéria n, a constante universal dos gases perfeitos R e a temperatura absoluta T:

\[p V = n R T\] \[V = \frac{n R T}{p} = \frac{1 \cdot 8 \cdot 180}{2}\] \[V = 720 m^{3}\]

O enunciado informa que há um mol de ar, portanto n = 1 mol. Também são fornecidos a constante R = 8 J/(mol⋅K), a temperatura T = 180 K e a pressão p = 2,0 Pa. Isolando o volume na equação, divide-se ambos os lados por p, obtendo-se V = nRT/p.

Substituindo os valores, o numerador é calculado por 1 ⋅ 8 ⋅ 180 = 1440, e a divisão pela pressão de 2,0 Pa fornece 1440/2,0 = 720. Como as unidades são compatíveis com a equação dos gases perfeitos, o volume é expresso em metros cúbicos:

V = 720 m³

Logo, o volume ocupado por um mol de ar nessa posição da alta atmosfera é 7,20 × 10² m³. Portanto, a alternativa correta é c).

Como a massa do gás ideal permanece constante durante o processo, pode-se aplicar a equação geral dos gases, que relaciona pressão, volume e temperatura entre dois estados termodinâmicos:

\[\frac{PV}{T} = \frac{P_{0} V_{0}}{T_{0}}\]

Nessa relação, P, V e T representam, respectivamente, a pressão, o volume e a temperatura no estado final, enquanto P₀, V₀ e T₀ representam essas mesmas grandezas no estado inicial.

O enunciado informa que a pressão final é quatro vezes a pressão inicial e que a temperatura final é duas vezes a temperatura inicial. Portanto, fazemos as substituições P = 4P₀ e T = 2T₀ na equação geral:

\[\frac{4 \cancel{P_{0}} V}{2 \cancel{T_{0}}} = \frac{\cancel{P_{0}} V_{0}}{\cancel{T_{0}}}\]

Os fatores P₀ e T₀ aparecem em ambos os membros e, portanto, podem ser cancelados. Isso deixa a relação entre os volumes e os fatores numéricos associados à pressão e à temperatura:

\[V = \frac{2 V_{0}}{4}\]

Simplificando a fração, conclui-se que o volume final corresponde à metade do volume inicial:

\[V = \frac{V_{0}}{2 }\]

Esse resultado também é coerente com a dependência da equação geral: como a pressão aumentou por um fator 4 e a temperatura aumentou por um fator 2, o volume deve variar pelo fator 2/4, isto é, deve ser reduzido à metade.

Resposta: alternativa E.

Para determinar o número de mols da amostra no instante em que a temperatura atinge seu valor máximo, utilizamos a equação de Clapeyron, também chamada de equação dos gases ideais. Essa relação conecta a pressão P, o volume V, a quantidade de matéria n, a constante universal dos gases ideais R e a temperatura absoluta T

Nessas condições, a pressão é constante e igual a 8 atm. Pelo gráfico, no ponto correspondente à temperatura máxima, o volume é 1500 L e a temperatura é 600 K. Assim, substituímos esses valores na equação, utilizando a constante R = 0,08 atm⋅L/(mol⋅K)

\[PV = nRT\] \[8 \cdot 1500 = n \cdot 0.08 \cdot 600\] \[n = 250 mols\]

O valor de n é obtido isolando a quantidade de matéria na equação, isto é, dividindo o produto da pressão pelo volume pelo produto da constante dos gases pela temperatura. As unidades são compatíveis: atm e litro aparecem tanto no termo da pressão e do volume quanto na constante R, enquanto a unidade kelvin da temperatura também é cancelada. Portanto, a amostra contém 250 mols de gás no ponto de temperatura máxima.

Logo, a alternativa correta é d) 250.

Substituindo na equação de Clapeyron:

Para determinar a quantidade de matéria de ar no interior do balão, utiliza-se a equação de Clapeyron, também chamada de equação dos gases ideais:

\[n = \frac{p V}{R T} = \frac{10^{5} \cdot 1.6 \times 10^{3}}{8 \cdot 400}\] \[n = 5 \times 10^{4} \text{m} o l\]

Nessa expressão, n representa a quantidade de matéria, em mol; p é a pressão do gás; V é o volume ocupado pelo gás; R é a constante universal dos gases; e T é a temperatura absoluta, expressa em kelvin. A temperatura fornecida já está em kelvin, portanto não é necessária nenhuma conversão.

Substituem-se os valores do enunciado: a pressão é 1,0 × 10⁵ Pa, o volume é 1,6 × 10³ m³, a constante dos gases é aproximadamente 8 J/(mol⋅K) e a temperatura é 400 K. Assim, o numerador resulta do produto entre pressão e volume, enquanto o denominador é o produto entre a constante dos gases e a temperatura:

pV = (1,0 × 10⁵)(1,6 × 10³)

Esse produto é igual a 1,6 × 10⁸. No denominador, obtém-se 8 × 400 = 3200 = 3,2 × 10³. Dividindo esses resultados, a quantidade de matéria é 5,0 × 10⁴ mol. As unidades são compatíveis com a equação dos gases ideais, de modo que o resultado final é expresso em mol.

Portanto, há 5,0 × 10⁴ mol de ar no interior do balão. Logo, a alternativa correta é a c).

A pressão atmosférica local é determinada comparando-se as condições do ar aprisionado no tubo antes e depois do experimento. Como a temperatura permanece praticamente constante, aplica-se a lei geral dos gases para uma transformação isotérmica. Nessa situação, o produto da pressão pelo volume do gás permanece constante, pois a temperatura inicial e a final se cancelam

Assim, considerando P como a pressão do gás, V como seu volume e T como sua temperatura, a relação entre os estados inicial e final é

\[\frac{P_{i} V_{i}}{\cancel{T_{i}}} = \frac{P_{f} V_{f}}{\cancel{T_{f}}}\]

Na situação inicial, o tubo está mergulhado até a metade e permanece aberto. Portanto, o ar no interior do tubo está submetido à pressão atmosférica P_atm e ocupa um volume igual ao produto da área da seção transversal A_b pelo comprimento de ar aprisionado, que é L/2. Após o bloqueio de uma extremidade, a retirada do tubo e o equilíbrio final, a coluna de fluido tem comprimento L/4. Logo, o ar ocupa o restante do tubo, isto é, um comprimento 3L/4. A pressão do ar nesse estado é a pressão atmosférica menos a pressão exercida pela coluna de fluido, representada por P_fluido

Como o tubo tem área de seção constante, os volumes podem ser escritos como área vezes comprimento. Por isso, a mesma área A_b aparece nos dois volumes e pode ser simplificada. A igualdade entre os estados inicial e final é

\[P_{\text{atm}} \cancel{A_{b}} \frac{\cancel{L}}{2} = \left(P_{\text{atm}} – P_{fluido }\right) \cancel{A_{b}} \frac{3 \cancel{L}}{4}\]

Cancelando a área da seção e o comprimento L, que aparecem como fatores comuns nos dois lados, obtém-se uma relação apenas entre as pressões. Em seguida, multiplicando ambos os membros por 4, resulta

\[2 P_{\text{atm}} = 3 P_{\text{atm}} – 3 P_{fluido }\]

Isolando a pressão atmosférica, subtrai-se 2P_atm dos dois lados. Assim, a pressão atmosférica fica relacionada à pressão exercida pela coluna de fluido

\[P_{\text{atm}} = 3 P_{fluido }\]

A pressão hidrostática exercida por uma coluna de fluido é calculada pelo produto da densidade do fluido D, da aceleração da gravidade g e da altura da coluna. Como a altura observada é L/4, tem-se P_fluido = DgL/4. Substituindo essa expressão na relação anterior, encontra-se

\[P_{\text{atm}} = \frac{3 DgL}{4}\]

Portanto, a pressão atmosférica local é 3DgL/4, correspondente à alternativa a)

Como o gás é ideal e a quantidade de matéria permanece constante, sua temperatura pode ser comparada pela relação entre pressão, volume e temperatura. Para dois estados quaisquer do mesmo gás, aplica-se a equação geral dos gases:

Na transformação \(A \overset{}{\rightarrow} B\) consideram-se os estados inicial, em A, e final, em B. Assim, igualamos a razão entre o produto da pressão pelo volume e a temperatura nos dois estados:

\[\frac{P_{A}}{\cancel{V}_{A}} T_{A} = \frac{P_{B}}{\cancel{V}_{B}} T_{B}\]

Nessa expressão, P representa a pressão, V representa o volume e T representa a temperatura absoluta, medida em kelvin. Os índices A e B identificam os estados correspondentes no diagrama.

De acordo com as coordenadas indicadas no gráfico, o produto pressão vezes volume vale 50 no estado A e 100 no estado B. Portanto:

\[\frac{50}{T_{A}} = \frac{100}{T_{B}}\]

Essa igualdade mostra que, para que as duas razões sejam iguais, a temperatura no estado B deve ser o dobro da temperatura no estado A:

\[T_{B} = 2 T_{A}\]

Logo, durante a transformação \(A \overset{}{\rightarrow} B\), a temperatura aumenta. Portanto, a alternativa correta é a).