Exercícios de Dilatação Linear com resolução comentada

Após o aquecimento, cada barra sofre uma dilatação linear dada por ΔL = L₀αΔθ, em que L₀ é o comprimento inicial, α é o coeficiente de dilatação linear do material e Δθ é a variação de temperatura. Como as barras têm coeficientes diferentes, suas extremidades superiores apresentam deslocamentos verticais distintos. A diferença entre essas dilatações corresponde à altura que o ponto 1 se eleva em relação ao ponto 2, formando a inclinação da plataforma:

\[h = ΔL_{A} – ΔL_{B} = L_{0} \alpha_{A} Δθ – L_{0} \alpha_{B} Δθ = L_{0} Δθ \left(\alpha_{A} – \alpha_{B}\right)\]

Portanto, a altura vertical entre os pontos 1 e 2 é h = L₀Δθ(α_A − α_B). O bloco parte do repouso no ponto 1 e se desloca até o ponto 2 descendo essa altura. Seja d a distância percorrida sobre a plataforma e β o ângulo de inclinação da plataforma em relação à horizontal. Pela relação trigonométrica no triângulo formado, a projeção horizontal do deslocamento é L₀:

\[cosβ = \frac{L_{0}}{d}\]

Isolando a distância percorrida, obtém-se:

\[d = \frac{L_{0}}{cosβ}\]

Agora aplicamos o teorema trabalho–energia. O trabalho realizado pela força de atrito é igual à variação da energia potencial gravitacional somada à variação da energia cinética. Como o bloco parte do repouso, sua energia cinética inicial é nula, e sua energia cinética final é mv²/2. Além disso, o módulo da força de atrito cinético é μN, com N = mg cosβ para o bloco sobre o plano inclinado. Assim, o trabalho do atrito ao longo da distância d é −μmg cosβd, pois o atrito atua em sentido oposto ao movimento:

\[\tau_{\text{Fat}} = ΔE_{\text{pot}} + ΔE_{\text{cin}}\] \[- \mu \cancel{m} gcosβd = – \cancel{m} gh + \frac{\cancel{m} v^{2}}{2}\]

Substituindo nessa expressão a relação d = L₀/cosβ, o fator cosβ do atrito é cancelado. Em seguida, substitui-se também a altura h obtida pela diferença entre as dilatações das barras. A massa aparece em todos os termos e pode ser cancelada:

\[- μg \cancel{cosβ} \cdot \frac{L_{0}}{\cancel{cosβ}} = – gL_{0} Δθ \left(\alpha_{A} – \alpha_{B}\right) + \frac{v^{2}}{2}\] \[- 2 μgL_{0} = – 2 gL_{0} Δθ \left(\alpha_{A} – \alpha_{B}\right) + v^{2}\]

Reorganizando a última igualdade para deixar v² isolado, o termo associado à energia potencial fornece a parcela positiva proporcional à diferença entre os coeficientes de dilatação, enquanto o atrito reduz a velocidade final. Portanto:

\[v = \left\{2 gL_{0} \left[Δθ \left(\alpha_{A} – \alpha_{B}\right) – \mu\right]\right\}^{1 / 2}\]

Logo, a velocidade do bloco ao passar pelo ponto 2 é

alternativa c) (2g L₀(∆θ(α_A−α_B)−μ))^{1 / 2}.

Para resolver este problema, devemos analisar o comportamento da variação do comprimento do segmento da ponte em relação às mudanças de temperatura, conforme indicado pela relação linear apresentada no gráfico. O fenômeno físico envolvido é a dilatação térmica linear, onde o aumento da temperatura provoca um incremento nas dimensões do material.

A partir da análise dos dados fornecidos pelo gráfico, podemos identificar os valores correspondentes para dois estados térmicos específicos. Ao observarmos o ponto inicial de temperatura em 0°C, verificamos que o comprimento do segmento é de 100 m. Em seguida, ao considerarmos a temperatura de 20°C, o gráfico indica que o novo comprimento atingido pelo segmento é de 100,05 m.

A dilatação térmica, representada pela variação do comprimento, é obtida por meio da diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial. Realizando esse cálculo de subtração entre os valores encontrados, chegamos ao resultado de

\[\text{0},\text{05 m}\]

Para que possamos comparar esse valor com as alternativas propostas no enunciado, é necessário realizar a conversão da unidade de metros para centímetros. Sabendo que um metro equivale a 100 centímetros, multiplicamos o valor obtido por essa constante, resultando em

\[\text{5 cm}\]

Portanto, ao passar por uma variação térmica de 20°C, o segmento da ponte sofre uma expansão física de 5 cm, o que valida a alternativa D como a resposta correta para o problema proposto.

O aumento de volume informado é relativo ao volume inicial da esfera:

\[ΔV = V_{0} \cdot \gamma \cdot ΔT\]

Nessa relação, \(ΔV\) é a variação de volume, \(V_{0}\) é o volume inicial, \(\gamma\) é o coeficiente de dilatação volumétrica e \(ΔT\) é a variação de temperatura. Como o volume aumentou 0,27% e a temperatura aumentou 200 ºC, isolamos o coeficiente volumétrico:

\[\gamma = \frac{ΔV}{V_{0} \cdot ΔT} = \frac{0.27 \% \cancel{V}}{\cancel{V} \cdot 200^{\circ} \text{C}} = \frac{0.27}{100 \cdot 200^{\circ} \text{C}}\]

O volume inicial aparece tanto no numerador quanto no denominador e, por isso, é cancelado. Além disso, 0,27% corresponde a 0,27 dividido por 100. Assim, obtemos:

\[\gamma = 13.5 \cdot \left(10^{- 6}\right)^{\circ} C^{- 1 }\]

Para um sólido isotrópico, isto é, um sólido que se dilata igualmente em todas as direções, o coeficiente de dilatação volumétrica é igual ao triplo do coeficiente de dilatação linear. Como o diâmetro é uma dimensão linear, devemos utilizar o coeficiente linear \(\alpha\), dado por:

\[\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{13.5 \cdot 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1}}{3}\]

Dividir o coeficiente volumétrico por 3 fornece o coeficiente de dilatação linear:

\[\alpha = 4.5 \cdot 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1}\]

A variação do diâmetro obedece à lei da dilatação linear. Nessa expressão, \(\Delta D\) representa o aumento do diâmetro e \(D_{0}\) representa seu valor inicial:

\[\Delta D = D_{0} \cdot \alpha \cdot \Delta T\]

Substituindo o coeficiente linear e a variação de temperatura, temos:

\[\Delta D = D \cdot 4.5 \cdot 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1} \cdot 200^{\circ} \text{C}\]

Para determinar o aumento percentual do diâmetro, dividimos a variação do diâmetro pelo diâmetro inicial. As unidades de temperatura se cancelam, restando uma razão adimensional:

\[\frac{\Delta D}{D} = 9 \cdot 10^{- 4} = 0.09 \%\]

Portanto, o diâmetro da esfera aumentou 0,09% em relação ao diâmetro inicial. A alternativa correta é b).

A análise das proposições exige a compreensão de conceitos fundamentais de mecânica estática, como o equilíbrio de rotação (torque) e as propriedades termofísicas dos materiais. Vamos examinar cada item detalhadamente.

Quanto à primeira afirmação, ela é incorreta. O enunciado estabelece que o comprimento da seção composta pelo material A é superior ao comprimento da seção do material B. Como ambos os materiais possuem a mesma seção reta, a massa de cada segmento depende diretamente de seu volume e densidade. No entanto, mesmo sem considerar a densidade, o fato de o material A ocupar uma extensão maior da barra impede que sua massa seja igual à do material B apenas por divisão geométrica simples; se tentássemos encontrar o ponto de massa equivalente à metade da massa total, esse ponto não coincidiria com a junção dos materiais, e a distribuição de massa seria assimétrica em relação ao comprimento total.

Em relação à segunda afirmação, ela é verdadeira. Para que a barra permaneça em equilíbrio sobre a cunha posicionada exatamente na junção, o somatório dos torques (ou momentos) em relação ao ponto de apoio deve ser nulo. O torque produzido pelo peso de cada segmento é o produto da força peso pela distância entre o centro de massa desse segmento e o ponto de apoio. Como os materiais possuem seções transversais idênticas, a força peso é proporcional à densidade e ao comprimento. Para que o equilíbrio ocorra com braços de alavanca diferentes — sendo o braço do material A maior que o do material B —, o torque gerado pelo material A deve ser compensado pelo torque do material B. Isso implica que o segmento mais curto (B) deve exercer um torque equivalente ao segmento mais longo (A). Para que um objeto menor gere um torque comparável a um objeto maior, ele deve possuir uma força peso significativamente superior, o que só é possível se o material B for consideravelmente mais denso que o material A.

Por fim, a terceira afirmação também é verdadeira. O fenômeno da dilatação térmica altera o comprimento dos materiais conforme a temperatura aumenta, seguindo a relação de que a variação do comprimento depende do comprimento inicial, do coeficiente de dilatação linear e da variação de temperatura. Se o material A possui um coeficiente de dilatação maior e já detém o maior comprimento inicial, ele sofrerá uma expansão linear muito mais expressiva que o material B. Ao aumentar a temperatura, o centro de massa do material A se deslocará para mais longe do ponto de apoio (a cunha) de forma mais acentuada do que o centro de massa do material B. Esse aumento no braço de alavanca do lado A incrementa o torque gerado por esse segmento, desequilibrando o sistema e provocando uma rotação no sentido anti-horário, que é o sentido de inclinação para o lado de maior comprimento.

Conclui-se, portanto, que as afirmações II e III estão corretas, pois respeitam as leis do equilíbrio de momentos e os princípios da termodinâmica aplicados à dilatação linear.

Para um pêndulo simples, o período de oscilação é determinado pelo comprimento do fio e pela aceleração da gravidade. Como os dois pêndulos tinham o mesmo comprimento inicialmente, eles apresentavam o mesmo período e permaneciam sincronizados. O período inicial, correspondente à temperatura de 10 °C, era:

\[T_{0} = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{0}}{g}} = 2 \text{s}\]

Quando a temperatura aumenta de 10 °C para 30 °C, a variação de temperatura é de 20 °C. Os fios sofrem dilatação térmica, mas como possuem coeficientes de dilatação diferentes, seus comprimentos aumentam em proporções diferentes. Consequentemente, os períodos dos pêndulos também passam a ser diferentes.

Para pequenas variações de comprimento, utiliza-se a aproximação segundo a qual o período aumenta aproximadamente à metade da variação relativa do comprimento. Assim, para o primeiro pêndulo, cujo fio tem coeficiente de dilatação α₁, obtém-se:

\[T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{1}}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{0} \left(1 + \alpha_{1} Δθ\right)}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{0}}{g}} \sqrt{1 + \alpha_{1} Δθ} \approx 2 \left(1 + \frac{1}{2} \alpha_{1} Δθ\right) = 2 + \alpha_{1} Δθ\]

De modo análogo, para o segundo pêndulo, com coeficiente de dilatação α₂, o período após o aquecimento é:

\[T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{2}}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{0} \left(1 + \alpha_{2} Δθ\right)}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{0}}{g}} \sqrt{1 + \alpha_{2} Δθ} \approx 2 \left(1 + \frac{1}{2} \alpha_{2} Δθ\right) = 2 + \alpha_{2} Δθ\]

A diferença entre os períodos resulta exclusivamente da diferença entre os coeficientes de dilatação. Substituindo os valores fornecidos, com α₁ = 2 × 10⁻⁵ °C⁻¹, α₂ = 7 × 10⁻⁵ °C⁻¹ e Δθ = 20 °C, temos:

\[ΔT = 2 + \alpha_{2} Δθ – \left(2 + \alpha_{1} Δθ\right) = \left(\alpha_{2} – \alpha_{1}\right) Δθ = \left(7 \cdot 10^{- 5} – 2 \cdot 10^{- 5}\right) \cdot 20 = 10^{- 3 }\]

Portanto, a diferença entre os períodos é de aproximadamente 10⁻³ s. Isso significa que, a cada oscilação, um dos pêndulos adianta-se em relação ao outro por esse intervalo de tempo. Inicialmente, a diferença acumulada é nula, mas ela cresce progressivamente a cada ciclo.

Para que ocorra uma defasagem de meio ciclo, é necessário que a diferença acumulada entre os movimentos seja igual à metade do período inicial. Como o período é de 2 s, meio ciclo corresponde a 1 s:

\[2 \text{s} – 10^{- 3} \text{s}\]

Assim, a defasagem acumulada aumenta em 10⁻³ s por ciclo. O número de ciclos necessário para acumular 1 s é determinado por:

\[\Delta t – 1 \text{s}\]

Como cada ciclo dura aproximadamente 2 s, o tempo total correspondente a essa defasagem é:

\[\Delta t = 2000 \text{s} \cong 33 \text{min}\]

Logo, o intervalo de tempo estimado entre o início do movimento e a primeira defasagem de meio ciclo é de aproximadamente 33 minutos. Portanto, a alternativa correta é b) 33 min.

A tensão solicitada é a tensão adicional produzida exclusivamente pela restrição à dilatação térmica da barra. Portanto, não é necessário utilizar a massa da barra nem a condição de limite de deslizamento: essas informações estão relacionadas às forças de contato necessárias para sustentá-la, mas a questão pede apenas a parcela associada ao impedimento da dilatação quando a temperatura aumenta.

A variação de temperatura entre o inverno e o verão é dada pela diferença entre as temperaturas de equilíbrio térmico:

Δθ = 35 °C − 15 °C = 20 °C

Se a barra estivesse livre, sua dilatação linear seria ΔL = Lα_AlΔθ. Como as paredes impedem essa dilatação, essa deformação térmica é a deformação que aparece na expressão da tensão. Assim, substitui-se a razão ΔL/L pela deformação térmica α_AlΔθ. A própria razão L/L se cancela:

Utilizando a equação dada, chegamos a:

\[\frac{F}{A} = Y_{A \mathcal{l}} \frac{ΔL}{L} = Y_{A \mathcal{l}} \frac{\cancel{L} \alpha_{\text{Al}} Δθ}{L} = Y_{A \mathcal{l}} \alpha_{A \mathcal{l}} Δθ\]

Nessa expressão, Y_Al é o módulo de Young do alumínio, α_Al é o coeficiente de dilatação linear do alumínio e Δθ é a variação de temperatura. Como o coeficiente de dilatação é dado em °C⁻¹, a unidade de temperatura pode ser expressa em graus Celsius nessa multiplicação. O produto final terá unidade de pascal, pois o módulo de Young já é fornecido em pascal.

Substituindo os valores fornecidos, Y_Al = 7,0 × 10¹⁰ Pa, α_Al = 2,4 × 10⁻⁵ °C⁻¹ e Δθ = 35 − 15, obtém-se:

\[\frac{F}{A} = 7 \cdot 10^{10} \cdot 2.4 \cdot 10^{- 5} \cdot \left(35 – 15\right)\]

Numericamente, 7,0 × 2,4 × 20 = 336 e, combinando as potências de dez, 10¹⁰ × 10⁻⁵ = 10⁵. Portanto, o resultado é aproximadamente 336 × 10⁵ Pa, que pode ser escrito como 3,36 × 10⁷ Pa e arredondado para dois algarismos significativos:

\[\frac{F}{A} \cong 3.4 \cdot 10^{7} \text{Pa}\]

Logo, a razão entre a força de restrição e a área da seção reta é aproximadamente 3,4 × 10⁷ Pa. Portanto, a alternativa correta é d).

A dilatação térmica linear de um bastão é descrita pela relação

\[L = L_{0} \left(1 + \alpha \Delta \theta\right)\]

Nessa expressão, \(L\) representa o comprimento final do bastão, \(L_{0}\) é o comprimento inicial, \(\alpha\) é o coeficiente de dilatação térmica linear do material e \(\Delta \theta\) é a mesma variação de temperatura sofrida pelos dois bastões.

Como os bastões tinham inicialmente o mesmo comprimento, podemos representar esse comprimento inicial por \(L_{0}\) para ambos. Além disso, o coeficiente de dilatação de A é o dobro do coeficiente de B, portanto \(\alpha_{A}\) pode ser substituído por \(2 \alpha_{B}\). Assim, a razão entre os comprimentos finais é

\[\frac{L_{A}}{L_{B}} = \frac{\cancel{L_{0}} \left(1 + \alpha_{A} Δθ\right)}{\cancel{L_{0}} \left(1 + \alpha_{B} Δθ\right)} = \frac{1 + 2 \alpha_{B} Δθ}{1 + \alpha_{B} Δθ}\]

O fator \(L_{0}\) aparece tanto no numerador quanto no denominador porque os comprimentos iniciais são iguais. Por isso, ele pode ser cancelado. Em seguida, a relação \(\alpha_{A} = 2 \alpha_{B}\) é utilizada no numerador.

Como \(\alpha_{B}\) e \(\Delta \theta\) são números positivos não nulos, podemos ilustrar a razão atribuindo, por exemplo, os valores \(\alpha_{B} = \Delta \theta = 1\). Nesse caso, obtemos

\[\frac{L_{A}}{L_{B}} = \frac{1 + 2}{1 + 1} = 1.5\]

Esse valor é maior que 1 e menor que 2. De modo geral, como o bastão A possui maior coeficiente de dilatação e ambos sofrem o mesmo aumento de temperatura, A se dilata mais que B. Entretanto, a razão não chega a 2, pois os dois comprimentos finais ainda contêm o mesmo comprimento inicial e o termo correspondente à dilatação de B no denominador.

Portanto, a razão entre o novo comprimento de A e o novo comprimento de B é maior que 1 e menor que 2. A alternativa correta é e).

Para a dilatação linear de uma barra, utiliza-se a relação entre a variação de comprimento, o comprimento inicial, o coeficiente de dilatação linear e a variação de temperatura:

\[\Delta = L_{0} αΔT\]

Nessa expressão, a variação de comprimento é proporcional ao comprimento inicial da barra, ao coeficiente de dilatação linear do material e à variação de temperatura. Como a questão informa que a variação de comprimento corresponde a 0,2% do comprimento inicial, convertemos essa porcentagem para a forma decimal:

0,2% = 0,002 = 2 × 10⁻³

Assim, a variação de comprimento pode ser representada por 2 × 10⁻³ do comprimento inicial. Substituindo esse valor e o coeficiente α = 5 × 10⁻⁶ °C⁻¹ na relação da dilatação linear, obtemos:

\[2 \cdot 10^{- 3} \cancel{L_{0}} = \cancel{L_{0}} \cdot 5 \cdot 10^{- 6} \cdot ΔT\]

O comprimento inicial aparece multiplicando os dois lados da igualdade. Por isso, ele pode ser cancelado, desde que seja diferente de zero. Restam, então, apenas a fração relativa de dilatação, o coeficiente de dilatação e a variação de temperatura. Isolando ΔT, dividimos 2 × 10⁻³ por 5 × 10⁻⁶. A divisão das potências de dez resulta em 10³, e 2 dividido por 5 corresponde a 0,4, produzindo 400.

\[ΔT = 400^{\circ} \text{C}\]

Logo, a variação de temperatura necessária é de 400 °C. Portanto, a alternativa correta é b) ΔT = 400^∘ C.

Como os dois resistores B estão associados em paralelo e a corrente em cada um deles é de 1 A, a corrente total que atravessa o trecho em paralelo é a soma das correntes dos dois ramos:

\[I = i + i\] \[I = 1 + 1\] \[I = 2 \text{A}\]

Portanto, a corrente total fornecida pela fonte é 2 A. A resistência equivalente do circuito é formada pela resistência do resistor A, que está em série com a associação em paralelo dos dois resistores B. Para dois resistores de mesmo valor \(R_{B}\) em paralelo, a resistência equivalente é \(\frac{R_{B}}{2}\).

Aplicando a lei de Ohm-Pouillet, que relaciona a tensão total \(U\), a resistência equivalente \(R_{\text{eq}}\) e a corrente total \(I\), utiliza-se \(U = R_{\text{eq}} I\). De acordo com o circuito, a tensão da fonte é 55 V. Como \(R_{A} = T^{2}\) e \(R_{B} = T\), a relação entre a tensão, a temperatura e a corrente é:

\[\begin{array}{l}U = R_{\text{eq}} I \\ U = \left(R_{A} + \frac{R_{B}}{2}\right) I \\ U = \left(T^{2} + \frac{T}{2}\right) I \\ 55 = \left(\frac{2 T^{2} + T}{\bcancel{2}}\right) \bcancel{2}\end{array}\] \[\begin{array}{l}2 T^{2} + T – 55 = 0 \\ T = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} – 4 \left(2\right) \left(- 55\right)}}{2 \cdot 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{441}}{4} \\ T = \frac{- 1 \pm 21}{4}\end{array}\] \[< \begin{matrix}T_{1} = \frac{- 1 + 21}{4} \Rightarrow \boxed{T_{1} = 5 \text{K}} \\ T_{2} = \frac{- 1 – 21}{4} \Rightarrow T_{2} = – 5.5 \text{K} \left(\right. absurdo !!!)\end{matrix}\]

A equação do segundo grau fornece duas raízes matemáticas. Entretanto, a temperatura absoluta é expressa em kelvin e, portanto, não pode assumir valor negativo. Assim, a raiz −5,5 K é fisicamente inadmissível, restando T = 5,0 K.

Logo, a temperatura ambiente correta é 5,0 K, correspondente à alternativa a.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Física]

O problema envolve a dilatação linear dos trilhos. Quando a temperatura aumenta, o comprimento do trilho também aumenta. Essa variação é calculada por meio da expressão do comprimento final:

\[L = L_{0} \left(1 + \alpha \Delta T\right)\]

Nessa relação, L é o comprimento do trilho após o aquecimento, L₀ é o comprimento inicial, α é o coeficiente de dilatação linear do aço e ΔT é a variação de temperatura. Como os trilhos têm inicialmente 6 m e a temperatura varia de 20 °C para 60 °C, a variação térmica é de 40 °C. Assim:

\[L = 6 \left[1 + 1.25 \times 10^{- 5} \left(60 – 20\right)\right]\]

O termo entre parênteses representa o fator pelo qual o comprimento inicial deve ser multiplicado para considerar a dilatação. Efetuando essa substituição, obtém-se:

\[L = 6.003 \text{m}\]

Portanto, quando a temperatura atingir 60 °C, cada trilho poderá atingir o comprimento máximo de 6,003 m. A distância de 1.284 km corresponde a 1.284.000 m. Como existem dois carris paralelos, o comprimento total de trilhos necessário é o dobro dessa distância. Se N representa a quantidade total de trilhos, então:

\[NL = 2 D\]

Isolando N, divide-se o comprimento total dos dois carris pelo comprimento máximo de cada trilho:

\[N = \frac{2 D}{L} = \frac{2 \times 1.284 . 000}{6.003}\]

O resultado é:

\[N = 427.786\]

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]

Também é possível determinar primeiro quanto cada trilho se dilata para cada aumento de 1 °C. Multiplica-se o coeficiente de dilatação linear pelo comprimento inicial do trilho:

\[1.25 \times 10^{- 5} \cdot 6 \text{m} = 7.5 \times 10^{- 5}\]

Isso significa que, para cada aumento de 1 °C, o trilho aumenta seu comprimento em 7,5 × 10⁻⁵ m. Como o aumento total de temperatura é de 40 °C, a dilatação máxima de cada trilho é:

\[\left(60 – 20\right) \cdot 7.5 \times 10^{- 5} = 0.003 \text{m}\]

Assim, o aumento de comprimento de cada trilho é de 0,003 m. Somando essa dilatação ao comprimento inicial de 6 m, cada trilho poderá chegar a 6,003 m.

Como a ferrovia possui dois carris paralelos, a quantidade de trilhos é calculada multiplicando por 2 o comprimento da ferrovia e dividindo pelo comprimento máximo de cada trilho:

\[\text{2}\times \frac{1284.000 \text{m}}{6.003 \text{m}} \simeq 427.786\]

Logo, são necessários 427.786 trilhos de aço para construir os dois carris paralelos. Portanto, a alternativa correta é a c).