Exercícios de Dilatação Superficial

Neste caso ocorreu uma dilatação superficial do zinco que é o material dos rebites, assim os mesmos não entraram nos furos da fuselagem. O valor da dilatação superficial $\left(\mathrm{\Delta A}\right)$ em função da área inicial (A₀) é:

$$\mathrm{\Delta A}={\mathrm{A}}_{\mathrm{o}}\cdot \mathrm{\beta }\cdot \mathrm{\Delta T}\stackrel{\mathrm{\beta }=2\mathrm{\alpha }}{\to }$$
$$\mathrm{\Delta A}={\mathrm{A}}_{\mathrm{o}}\cdot 2\mathrm{\alpha }\cdot \mathrm{\Delta T}\Rightarrow$$
$$\mathrm{\Delta A}={\mathrm{A}}_{\mathrm{o}}\cdot 2\cdot 26\cdot {{10}^{-6}}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}\cdot (24,8-24{)}^{\circ }\mathrm{C}\Rightarrow$$
$$\mathrm{\Delta A}=(41,6\cdot {10}^{-6})\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{o} }$$

Aplicando a fórmula da dilatação superficial, temos que a variação percentual da área foi de:

$$\mathrm{\Delta A}={\mathrm{A}}_0\mathrm{\beta \Delta \theta }$$
$$\frac{\mathrm{\Delta A}}{{\mathrm{A}}_0}=2\cdot 1,5\cdot {10}^{-5}\cdot (60-20)$$
$$\frac{\mathrm{\Delta A}}{{\mathrm{A}}_0}\cdot 100\mathrm{\%}=0,12\mathrm{\%}$$

Gabarito Oficial: ANULADA

Gabarito SuperPro®: [A]

Comentário:

A área total final (A) da peça representa a diferença entre a área inicial $\left({\mathrm{A}}_0\right)$ e a dilatação térmica $\left(\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\right)$ que, neste caso, é uma retração devido à diminuição da temperatura.

$\mathrm{A}={\mathrm{A}}_0+\mathrm{\Delta }\mathrm{A}$

Sabe-se que a dilatação superficial é dada pela expressão $\mathrm{\Delta A}={\mathrm{A}}_0\cdot \mathrm{\beta }\cdot \mathrm{\Delta T},$ onde:

$\mathrm{\beta }=$ coeficiente de dilatação superficial do material;

$\mathrm{\Delta }\mathrm{T}=$ variação da temperatura.

Tem-se ainda que o coeficiente de dilatação superficial $\left(\mathrm{\beta }\right)$ equivale ao dobro do coeficiente de dilatação linear $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ dado, assim tem-se:

$\mathrm{\Delta A}={\mathrm{A}}_0\cdot 2\mathrm{\alpha }\cdot \mathrm{\Delta T}$

Juntando-se as duas equações chega-se à uma expressão para a área final da peça.

$\mathrm{A}={\mathrm{A}}_0\cdot (1+2\mathrm{\alpha }\cdot \mathrm{\Delta T})$

Substituindo-se os dados fornecidos, finalmente resulta:

$$\mathrm{A}=(20\mathrm{cm}\cdot 40\mathrm{cm})(1+2\cdot 10\cdot {{10}^{-6}}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}\cdot ({10}^{\circ }\mathrm{C}-{90}^{\circ }\mathrm{C}))=$$
$$=800{\mathrm{cm}}^2(1+2\cdot {{10}^{-5}}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}\cdot (-{80}^{\circ }\mathrm{C}))=$$
$$=800{\mathrm{cm}}^2-1,28{\mathrm{cm}}^2\mathrm{A}=798,72{\mathrm{cm}}^2$$

A resposta correta é alternativa [A], mas a banca resolveu anular a questão, pois foi acatado recurso sobre a grafia do coeficiente de dilatação linear transcrito de forma errônea na prova $(\alpha =10\cdot 10-6^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1})$ enquanto o correto seria $(\alpha =10\cdot {10}^{-6}{}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1})$

Da dilatação superficial, temos que:

$$\mathrm{\Delta A} = {\mathrm{A}}_0\mathrm{\beta \Delta \theta }$$
$$\cancel{\mathrm{\pi }}{\mathrm{\Delta a}}^2 = \cancel{\mathrm{\pi }}{\mathrm{a}}^2\mathrm{\beta \Delta \theta }$$
$$\mathrm{\beta \Delta \theta }=\frac{{\mathrm{\Delta a}}^2}{{\mathrm{a}}^2}$$

Logo:

$$\cancel{\mathrm{\pi }}{\mathrm{\Delta b}}^2=\cancel{\mathrm{\pi }}{\mathrm{b}}^2\mathrm{\beta \Delta \theta }$$
$$\mathrm{\Delta }{\mathrm{b}}^2={\left(\frac{\mathrm{a}}{3}\right)}^2\frac{\mathrm{\Delta }{\mathrm{a}}^2}{{\mathrm{a}}^2}$$
$$\mathrm{\Delta }{\mathrm{b}}^2=\frac{1}{3^2}\mathrm{\Delta }{\mathrm{a}}^2$$
$$\mathrm{\Delta }\mathrm{b}=\frac{1}{3}\mathrm{\Delta }\mathrm{a}$$

O aumento percentual na área do bloco foi de:

$$\mathrm{\Delta }\mathrm{A}={\mathrm{A}}_0\mathrm{B}\mathrm{\Delta }\theta$$
$$\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{A}}{{\mathrm{A}}_0}=2\cdot 1,25\cdot {10}^{-5}\cdot 200$$
$$\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{A}}{{\mathrm{A}}_0}=0,005$$
$$\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{A}}{{\mathrm{A}}_0}=0,50\mathrm{\%}$$

ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Sendo d ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”19″ width=”10″ alt=”straight d” style=”vertical-align: -4px;”> a distância inicial entre as placas, ela deve obedecer a seguinte condição:

d2>ΔL2d>Lα(38−18)∴d>20Lα” class=”Wirisformula” role=”math” height=”94″ width=”113″ alt=”table row cell straight d over 2 greater than fraction numerator straight capital delta straight L over denominator 2 end fraction end cell row cell straight d greater than straight L straight alpha left parenthesis 38 minus 18 right parenthesis end cell row cell therefore straight d greater than 20 straight L straight alpha end cell end table” style=”vertical-align: -42px;”>

Porém, considerando a dilatação superficial, temos:

( L + d ) 2 > L 2 [ 1 + 2 α ( 38 − 18 ) ] L + d > L 1 + 40 α ∴ d > L ( 1 + 40 α − 1 ) ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”84″ width=”206″ alt=”table row cell not stretchy left parenthesis L plus d not stretchy right parenthesis to the power of 2 end exponent greater than L to the power of 2 end exponent not stretchy left square bracket 1 plus 2 alpha not stretchy left parenthesis 38 minus 18 not stretchy right parenthesis not stretchy right square bracket end cell row cell L plus d greater than L square root of 1 plus 40 alpha end root end cell row cell therefore d greater than L not stretchy left parenthesis square root of 1 plus 40 alpha end root minus 1 not stretchy right parenthesis end cell end table” style=”vertical-align: -37px;”>

Dessa forma, a questão possui mais de uma alternativa correta.

Aplicando a expressão da dilatação superficial:

$\mathrm{\Delta A}={\mathrm{A}}_0\mathrm{\beta \Delta T}\Rightarrow \mathrm{\Delta T}=\frac{\mathrm{A}-{\mathrm{A}}_0}{{\mathrm{A}}_0\left(2\mathrm{\alpha }\right)}=\frac{20,8-20,0}{20\times 2\times 25\times {10}^{-6}}=\frac{8\times {10}^{-1}}{{10}^{-3}}\Rightarrow \mathrm{\Delta T}={800}^{\circ }\mathrm{C}$

Da expressão da dilatação superficial dos sólidos:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{A}={\mathrm{A}}_{0}2\alpha \mathrm{\Delta }\mathrm{T}\Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{A}=5\cdot 2\cdot 1,2\times {10}^{-5}(50-(-10\left)\right)\Rightarrow \mathrm{\Delta }\mathrm{A}=7,2\times {10}^{-3}{\mathrm{m}}^2$

O comprimento final de cada metal resfriado é dado por:

$\mathrm{L}={\mathrm{L}}_0(1+\alpha \cdot \mathrm{\Delta }\mathrm{T})$

${\alpha }_{\text{cobre}}=\frac{34,0\times {10}^{-6}{}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}}{2}\therefore {\alpha }_{\text{cobre}}=17\times {10}^{-6}{}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}$ .

${\alpha }_{\mathrm{a}ç\mathrm{o}}=\frac{33,0\times {10}^{-6}{}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}}{3}\therefore {\alpha }_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}}=11\times {10}^{-6}{}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}$

$\mathrm{\Delta }\mathrm{T}=-15-20\therefore \mathrm{\Delta }\mathrm{T}=-{35}^{\circ }\mathrm{C}$

${\mathrm{L}}_{\text{cobre}}=95\mathrm{c}\mathrm{m}(1+17\times {10}^{-6}{}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}\cdot (-35{)}^{\circ }\mathrm{C})\therefore {\mathrm{L}}_{\text{cobre}}=94,94\mathrm{c}\mathrm{m}$

${\mathrm{L}}_{\mathrm{a}ç\mathrm{o}}=95\mathrm{c}\mathrm{m}(1+11\times {10}^{-6}{}^{\circ }{\mathrm{C}}^{-1}\cdot (-35{)}^{\circ }\mathrm{C})\therefore {\mathrm{L}}_{\mathrm{a}ç\mathrm{o}}=94,96\mathrm{c}\mathrm{m}$

Interpolando os resultados obtemos uma medida da haste de cobre com a trena de aço na temperatura final:

$\frac{95\mathrm{c}\mathrm{m}}{94,96\mathrm{c}\mathrm{m}}=\frac{x}{94,94\mathrm{c}\mathrm{m}}\therefore x=94,97\mathrm{c}\mathrm{m}$

A dilatação linear depende do comprimento inicial, do material e da diferença de temperatura, portanto, como as placas são do mesmo material e sofrem a mesma variação de temperatura, a dilatação depende do comprimento na direção paralela ao eixo x, sendo assim as placas com maior comprimento em x, as placa $\mathrm{A}$ e $\mathrm{C},$ terão maior dilatação neste eixo. E o maior aumento de área depende da maior área inicial, sendo a placa $\mathrm{A}$ a que terá maior dilatação superficial.

Portanto, a resposta correta é a [E].