Exercícios de Dilatação Superficial com resolução comentada

Como a parte da fuselagem que contém os furos não sofre dilatação, suas dimensões permanecem constantes entre 1998 e 2023. Já os rebites são de zinco e, portanto, sofrem dilatação quando a temperatura aumenta. Assim, os rebites tornam-se ligeiramente maiores e deixam de entrar nos furos, que foram feitos originalmente sem folga.

A temperatura variou de 24 °C para 24,8 °C. Portanto, a variação de temperatura é de 0,8 °C. Como o problema trata do aumento das dimensões superficiais dos rebites, deve-se utilizar a expressão da dilatação superficial \(\left(ΔA\right)\), em função da área inicial \(A_{o}\). Nessa expressão, \(\beta\) é o coeficiente de dilatação superficial e \(ΔT\) é a variação de temperatura.

Para um material isotrópico, o coeficiente de dilatação superficial é aproximadamente o dobro do coeficiente de dilatação linear. Por isso,

\[ΔA = A_{o} \cdot \beta \cdot ΔT \overset{\beta = 2 \alpha}{\rightarrow}\]
\[ΔA = A_{o} \cdot 2 \alpha \cdot ΔT\]
\[ΔA = A_{o} \cdot 2 \cdot 26 \cdot \left(10^{- 6}\right)^{\circ} C^{- 1} \cdot \left(24.8 – 24\right)^{\circ} \text{C}\]
\[ΔA = \left(41.6 \cdot 10^{- 6}\right) \cdot A_{o }\]

O resultado mostra que a área dos rebites aumenta em \(\left(41.6 \cdot 10^{- 6}\right) \cdot A_{o}\). Como os furos da fuselagem não aumentam, essa expansão dos rebites impede sua inserção sem folga.

Logo, a alternativa correta é a): os rebites não entravam nos furos, pois houve uma variação de área de (41,6⋅10⁻⁶)⋅A₀.

Para determinar a variação percentual da área, utiliza-se a relação da dilatação superficial. Para uma placa, o coeficiente de dilatação superficial β é aproximadamente o dobro do coeficiente de dilatação linear α:

\[ΔA = A_{0} βΔθ\]

Nessa expressão, ΔA representa a variação da área, A₀ é a área inicial, β é o coeficiente de dilatação superficial e Δθ é a variação de temperatura. Como o coeficiente fornecido é linear, calcula-se o coeficiente superficial por β = 2α. Ao dividir a expressão pela área inicial, obtém-se diretamente a variação relativa da área:

\[\frac{ΔA}{A_{0}} = 2 \cdot 1.5 \cdot 10^{- 5} \cdot \left(60 – 20\right)\]

A variação de temperatura é a diferença entre a temperatura final e a inicial, portanto, Δθ = 60 − 20 = 40 °C. O fator 2 aparece porque a dilatação ocorre em duas dimensões da placa, comprimento e largura. A área inicial informada não precisa ser utilizada no cálculo percentual, pois ela aparece tanto na variação da área quanto na razão ΔA/A₀ e, assim, é cancelada.

Efetuando a multiplicação, a razão obtida ainda está na forma decimal. Para convertê-la em percentual, multiplica-se por 100:

\[\frac{ΔA}{A_{0}} \cdot 100 \% = 0.12 \%\]

Logo, o percentual de variação da área da placa foi de 0,12%. Portanto, a alternativa correta é b).

Gabarito oficial: ANULADA

Gabarito SuperPro®: [A]

Resolução:

A área inicial da forma, desprezando-se a altura da borda, é calculada pelo produto de suas dimensões: 20 cm por 40 cm. Como a temperatura diminui de 90°C para 10°C, o material sofre contração térmica, isto é, sua área final torna-se menor que a área inicial. A área final \(\left(A_{0}\right)\) é obtida considerando-se a variação da área \(\left(\Delta A\right)\), que será negativa por causa da redução de temperatura.

Assim, a relação entre a área final, a área inicial e a variação da área é

\[A = A_{0} + \Delta A\]

Para uma superfície, a dilatação ou contração térmica é calculada por

\[ΔA = A_{0} \cdot \beta \cdot ΔT ,\]

em que \(\beta =\) é o coeficiente de dilatação superficial do material e \(\Delta T =\) é a variação de temperatura. A variação de temperatura é calculada pela diferença entre a temperatura final e a temperatura inicial; portanto, será negativa neste caso.

O enunciado fornece o coeficiente de dilatação linear \(\left(\alpha\right)\). Para uma placa que se dilata nas duas dimensões do plano, o coeficiente de dilatação superficial é o dobro do coeficiente linear. Logo,

\[ΔA = A_{0} \cdot 2 \alpha \cdot ΔT\]

Substituindo essa expressão na relação da área final, obtém-se uma fórmula direta para a área após a variação de temperatura:

\[A = A_{0} \cdot \left(1 + 2 \alpha \cdot ΔT\right)\]

A área inicial é o produto das dimensões da forma, e a variação de temperatura é 10°C − 90°C = −80°C. Utilizando o valor do coeficiente indicado no cálculo, tem-se

\[A = \left(20 \text{cm} \cdot 40 \text{cm}\right) \left(1 + 2 \cdot 10 \cdot \left(10^{- 6}\right)^{\circ} C^{- 1} \cdot \left(10^{\circ} \text{C} – 90^{\circ} \text{C}\right)\right) =\]

A multiplicação das dimensões fornece a área inicial de 800 cm². Além disso, o fator associado à temperatura é negativo, confirmando que ocorre contração, e não expansão:

\[= 800 cm^{2} \left(1 + 2 \cdot \left(10^{- 5}\right)^{\circ} C^{- 1} \cdot \left(- 80^{\circ} \text{C}\right)\right) =\]

O produto entre o coeficiente superficial e a variação de temperatura resulta em uma redução de 1,28 cm² na área. Portanto,

\[= 800 cm^{2} – 1.28 cm^{2} \text{A} = 798.72 cm^{2}\]

Logo, a área total final é 798,72 cm², correspondente à alternativa [A].

A questão foi oficialmente anulada porque houve um problema na grafia do coeficiente de dilatação linear transcrito na prova. O valor apresentado de forma correta deveria ser

\[\left(\alpha = 10 \cdot 10 – 6^{\circ} C^{- 1}\right)\]

enquanto a forma correta da notação científica é

\[\left(\alpha = 10 \cdot 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1}\right)\]

Assim, embora o resultado calculado conduza à alternativa [A], o gabarito oficial da banca permanece ANULADA.

Para uma chapa metálica homogênea, a dilatação ocorre em todas as direções. Assim, tanto o raio externo quanto o raio interno variam proporcionalmente às respectivas dimensões iniciais. Podemos relacionar essa dilatação à dilatação superficial da região circular associada a cada raio.

Para o raio externo, a variação da área é descrita por:

\[ΔA = A_{0} βΔθ\]

Nessa expressão, \(ΔA\) representa a variação da área, \(A_{0}\) é a área inicial, \(\beta\) é o coeficiente de dilatação superficial e \(Δθ\) é a variação de temperatura. Para uma circunferência de raio \(a\), a área é proporcional ao quadrado do raio. Portanto, a relação fornecida para o raio externo é:

\[\cancel{\pi} Δa^{2} = \cancel{\pi} a^{2} βΔθ\]

O fator \(\pi\) aparece nos dois membros e, por isso, pode ser cancelado. Isolando o fator comum de dilatação térmica, obtém-se:

\[βΔθ = \frac{Δa^{2}}{a^{2}}\]

Esse fator depende apenas do material e da variação de temperatura. Como a chapa é do mesmo material e sofre a mesma variação de temperatura em toda a sua extensão, o mesmo fator deve ser aplicado ao raio interno \(b\):

\[\cancel{\pi} Δb^{2} = \cancel{\pi} b^{2} βΔθ\]

Substituindo nessa relação o fator de dilatação obtido para o raio externo, resulta:

\[\Delta b^{2} = \left(\frac{a}{3}\right)^{2} \frac{\Delta a^{2}}{a^{2}}\]

Como \(a = 3 b\), segue que \(b = \frac{a}{3}\). Logo, ao substituir a razão entre os raios e simplificar os fatores comuns, temos:

\[\Delta b^{2} = \frac{1}{3^{2}} \Delta a^{2}\]

Como as variações consideradas são positivas, podemos tomar a raiz positiva da relação anterior. Assim, a variação do raio interno é igual à variação do raio externo dividida por 3:

\[\Delta b = \frac{1}{3} \Delta a\]

Portanto, a alternativa correta é c) \(\Delta b = \frac{1}{3} \Delta a\). O sinal é positivo porque, ao aquecer a chapa, tanto o raio externo quanto o raio interno aumentam.

Para determinar o aumento da área superficial, utiliza-se a relação da dilatação superficial. Como o bloco é cúbico e o material se dilata igualmente em todas as direções, o coeficiente de dilatação superficial B é o dobro do coeficiente de dilatação linear α. Portanto, neste caso, B = 2α.

Na expressão, ΔA representa a variação da área superficial, A₀ é a área inicial, Δθ é a variação de temperatura e B é o coeficiente de dilatação superficial. Assim, o aumento relativo da área é calculado por:

\[\Delta A = A_{0} B \Delta \theta\]
\[\frac{\Delta A}{A_{0}} = 2 \cdot 1.25 \cdot 10^{- 5} \cdot 200\]
\[\frac{\Delta A}{A_{0}} = 0.005\]
\[\frac{\Delta A}{A_{0}} = 0.50 \%\]

O valor 0,005 corresponde à fração do aumento da área em relação à área inicial. Para expressá-lo em porcentagem, multiplica-se por 100, obtendo-se 0,50%. Logo, o bloco teve um aumento de área superficial de 0,50%, e a alternativa correta é c).

ANULADA

A questão foi anulada no gabarito oficial porque há mais de uma alternativa compatível com a situação descrita.

Considere d como a distância inicial entre duas placas vizinhas. A temperatura aumenta de 18 °C para 38 °C, portanto a variação de temperatura é de 20 °C.

Em uma análise simplificada, considerando apenas a dilatação linear das placas, cada placa aumenta seu comprimento de acordo com a relação entre o coeficiente de dilatação linear α, o comprimento inicial L e a variação de temperatura. Como as duas placas se aproximam do espaço entre elas, a condição geométrica correspondente é:

\[\frac{d}{2} > \frac{ΔL}{2}\]

Multiplicando os dois lados por 2, obtém-se que a distância deve ser maior que a dilatação linear:

\[d > ΔL\]

Usando a expressão da dilatação linear, ΔL = LαΔT, e substituindo ΔT = 38 − 18 = 20 °C:

\[d > L \alpha \left(38 – 18\right)\]

Logo:

\[d > 20 L \alpha\]

Esse resultado corresponde à alternativa b) 20Lα.

Entretanto, como as placas são quadradas, também é possível considerar a dilatação de sua área. Nesse caso, o lado do conjunto formado por uma placa e pelo espaço entre placas deve ser comparado ao lado dilatado da placa. A área inicial da placa é proporcional a L², e a dilatação superficial é obtida a partir do fator de dilatação linear aplicado às duas dimensões:

\[\left(L + d\right)^{2} > L^{2} \left[1 + 2 \alpha \left(38 – 18\right)\right]\]

Como a variação de temperatura é igual a 20 °C, o termo 2α(38 − 18) torna-se 40α. Assim, a desigualdade pode ser escrita como:

\[\left(L + d\right)^{2} > L^{2} \left(1 + 40 \alpha\right)\]

Como os comprimentos são positivos, pode-se extrair a raiz quadrada dos dois lados:

\[L + d > L \sqrt{1 + 40 \alpha}\]

Isolando d, subtrai-se L dos dois lados:

\[d > L \left(\sqrt{1 + 40 \alpha} – 1\right)\]

Esse resultado corresponde à alternativa d) L(√(1+40α)−1).

Portanto, a resolução permite identificar simultaneamente as alternativas b e d, dependendo do modelo de dilatação adotado. Como uma questão de múltipla escolha deve apresentar apenas uma alternativa correta, conclui-se que ela possui mais de uma resposta possível e, por isso, foi anulada.

Como o anel é aquecido, sua área interna também aumenta. Embora se trate de um orifício, ele se dilata como se o material que o delimita fosse expandido; portanto, a área do espaço interno cresce na mesma proporção da área superficial do material.

A área inicial é A₀ = 20,0 cm², e a área necessária para a peça atravessar o anel é A = 20,8 cm². Assim, a variação de área é a diferença entre a área final e a área inicial. Para a dilatação superficial, utiliza-se o coeficiente de dilatação superficial β. Como o coeficiente fornecido é o de dilatação linear, α, vale a relação β = 2α, pois a área possui duas dimensões que se dilatam.

Aplicando a expressão da dilatação superficial:

\[ΔA = A_{0} βΔT\]

Como ΔA = A − A₀ e β = 2α, isolamos a variação de temperatura ΔT dividindo a variação de área pelo produto entre a área inicial e o coeficiente de dilatação superficial:

\[ΔT = \frac{A – A_{0}}{A_{0} \left(2 \alpha\right)} = \frac{20.8 – 20.0}{20 \times 2 \times 25 \times 10^{- 6}} = \frac{8 \times 10^{- 1}}{10^{- 3}}\]

Nessa substituição, a diferença entre as áreas é 20,8 − 20,0 = 0,8 cm². No denominador, utiliza-se a área inicial, 20 cm², multiplicada por 2α, isto é, por 2 × 25 × 10⁻⁶ °C⁻¹. A conversão para a forma equivalente apresentada na expressão permite efetuar a divisão e obter:

\[ΔT = 800^{\circ} \text{C}\]

Portanto, o anel deve sofrer uma variação de temperatura de 800 °C para que sua área interna aumente de 20,0 cm² para 20,8 cm². Logo, a alternativa correta é d) 800 °C.

A amplitude térmica corresponde à diferença entre a maior e a menor temperatura registrada. Como a temperatura varia de −10 °C a 50 °C, a variação de temperatura é calculada por 50 − (−10) = 60 °C. O sinal negativo da menor temperatura deve ser considerado: subtrair −10 °C equivale a adicionar 10 °C.

Como se deseja determinar o aumento da área da chapa, utiliza-se a expressão da dilatação superficial dos sólidos. Nessa expressão, ΔA é o aumento da área, A₀ é a área inicial, α é o coeficiente de dilatação linear e ΔT é a variação de temperatura. O fator 2 aparece porque a dilatação ocorre em duas dimensões da chapa, comprimento e largura.

Da expressão da dilatação superficial dos sólidos:

\[\Delta A = A_{0} 2 \alpha \Delta T\]

Substituindo os valores fornecidos, usa-se A₀ = 5 m², α = 1,2 × 10⁻⁵ °C⁻¹ e ΔT = 50 − (−10) °C. Assim, a unidade °C do coeficiente é cancelada pela unidade °C da variação de temperatura, restando a unidade de área, m².

\[\Delta A = 5 \cdot 2 \cdot 1.2 \times 10^{- 5} \left(50 – \left(- 10\right)\right)\]

Efetuando as operações numéricas, primeiro calcula-se a variação de temperatura, que vale 60 °C. Em seguida, o produto dos fatores numéricos é realizado, resultando no aumento de área indicado abaixo.

\[\Delta A = 7.2 \times 10^{- 3} \left( m\right)^{2}\]

Portanto, o aumento da área da chapa de ferro é 7,2 × 10⁻³ m². Logo, a alternativa correta é d).

Para determinar a leitura obtida pelo estudante, é necessário considerar que tanto a haste de cobre quanto a trena de aço sofrem contração ao serem resfriadas de 20,0 °C para −15,0 °C. Como a leitura depende da comparação entre o comprimento da haste e a escala da trena, calculamos separadamente o comprimento final de cada metal.

O comprimento de um corpo após uma variação de temperatura é calculado pela expressão da dilatação linear:

\[L = L_{0} \left(1 + \alpha \cdot \Delta T\right)\]

Nessa relação, L é o comprimento final, L₀ é o comprimento inicial, α é o coeficiente de dilatação linear do material e ΔT é a variação de temperatura. O sinal de ΔT será negativo porque os metais são resfriados.

O enunciado fornece o coeficiente de dilatação superficial do cobre. Para obter o coeficiente linear, divide-se o coeficiente superficial por 2:

\[\alpha_{\text{cobre}} = \frac{34.0 \times 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1}}{2}\]
\[\alpha_{\text{cobre}} = 17 \times 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1}\]

Assim, o coeficiente linear do cobre é 17 × 10⁻⁶ °C⁻¹.

O enunciado fornece o coeficiente de dilatação volumétrica do aço. Para obter o coeficiente linear, divide-se o coeficiente volumétrico por 3:

\[\alpha_{a \dot{c} o} = \frac{33.0 \times 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1}}{3}\]
\[\alpha_{a c c o} = 11 \times 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1}\]

Logo, o coeficiente linear do aço é 11 × 10⁻⁶ °C⁻¹.

A variação de temperatura é a temperatura final menos a temperatura inicial:

\[\Delta T = – 15 – 20\]
\[\Delta T = – 35^{\circ} \text{C}\]

Portanto, a temperatura diminui 35 °C. Aplicando a expressão da dilatação linear ao cobre, cujo comprimento inicial é 95 cm:

\[L_{\text{cobre}} = 95 c m \left(1 + 17 \times 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1} \cdot \left(- 35\right)^{\circ} \text{C}\right)\]
\[L_{\text{cobre}} = 94.94 c m\]

O produto entre o coeficiente de dilatação e a variação de temperatura é negativo, indicando contração. Assim, a haste de cobre passa a medir 94,94 cm.

Para a trena de aço:

\[L_{a \dot{c} o} = 95 c m \left(1 + 11 \times 10^{- 6} ^{\circ} C^{- 1} \cdot \left(- 35\right)^{\circ} \text{C}\right)\]
\[L_{a \dot{c} o} = 94.96 c m\]

A escala da trena, portanto, passa a representar 94,96 cm quando o comprimento correspondente inicialmente era 95 cm. Como a haste de cobre mede 94,94 cm nessa temperatura, a leitura correspondente na trena é obtida por proporcionalidade:

\[\frac{95 c m}{94.96 c m} = \frac{x}{94.94 c m}\]
\[x = 94.97 c m\]

Convertendo para metros, 94,97 cm corresponde a 0,9497 m. Portanto, a alternativa correta é c) 0,9497 m.

A dilatação térmica depende de três fatores principais: a dimensão inicial considerada, o material da placa e a variação de temperatura sofrida. Para a dilatação linear na direção paralela ao eixo x, a relação é expressa por

\[\Delta L = \alpha L_{0} \Delta T\]

Nessa expressão, \(\Delta L\) representa o aumento do comprimento, \(\alpha\) é o coeficiente de dilatação linear do material, \(L_{0}\) é o comprimento inicial na direção analisada e \(\Delta T\) é a variação de temperatura.

Como as três placas são constituídas do mesmo material, possuem o mesmo valor de \(\alpha\). Além disso, todas sofrem o mesmo aumento de temperatura, de modo que \(\Delta T\) também é igual para todas. Assim, os únicos fatores que podem diferenciar a dilatação linear são os comprimentos iniciais paralelos ao eixo x.

Observando as dimensões indicadas na figura, as placas A e C apresentam o maior comprimento inicial nessa direção. Por isso, são as que apresentam o maior aumento da dimensão paralela ao eixo x. Em símbolos, para essas duas placas, o valor de \(L_{0}\) na direção x é maior, mantendo-se iguais o material e a variação de temperatura.

Para a dilatação superficial, o aumento da área depende da área inicial da placa, do material e da variação de temperatura. Essa dependência pode ser representada por

\[\Delta A = \beta A_{0} \Delta T\]

Nessa relação, \(\Delta A\) é o aumento da área, \(\beta\) é o coeficiente de dilatação superficial, \(A_{0}\) é a área inicial e \(\Delta T\) é a mesma variação de temperatura para todas as placas.

Como o material e o aumento de temperatura são iguais, a placa que possui a maior área inicial também terá o maior aumento de área. Pela figura, essa é a placa A. Portanto, a maior dilatação na direção paralela ao eixo x ocorre nas placas A e C, enquanto o maior aumento de área ocorre na placa A.

Logo, a resposta correta é e) C e A.