Exercícios de Segunda lei de Ohm com resolução comentada

Ao analisar o funcionamento do sistema, observa-se que a redução do nível de combustível altera a parte do reostato integrada ao circuito. Conforme o tanque esvazia, a extensão do resistor utilizada aumenta, o que eleva a resistência elétrica total e, consequentemente, provoca uma diminuição na intensidade da corrente elétrica que percorre o dispositivo.

Em relação à lâmina bimetálica, o movimento de curvatura é determinado pela diferença entre os coeficientes de dilatação térmica dos materiais que a compõem. Observando o deslocamento do ponteiro nas ilustrações, percebe-se que o metal A apresenta uma expansão menos acentuada que o metal B, o que indica que seu coeficiente de dilatação térmica é inferior ao do metal B.

Como a resistência varia linearmente com a temperatura, utiliza-se a relação entre a resistência final R, a resistência inicial R₀, o coeficiente de temperatura α e a variação de temperatura Δθ. O coeficiente fornecido é α = 5·10⁻³ °C⁻¹, e a variação de temperatura deve ser calculada a partir da temperatura inicial de 20 °C.

Temperatura registrada em Celsius:

\[R = R_{0} \left(1 + αΔθ\right)\]

Nessa expressão, a temperatura inicial é 20 °C e a temperatura final é θ. Portanto, a variação de temperatura é Δθ = θ − 20. O enunciado informa que a resistência final corresponde a 1,6 vezes a resistência inicial, isto é, R = 1,6R₀. Substituindo essas informações na relação da resistência, obtém-se:

\[1.6 \cancel{R_{0}} = \cancel{R_{0}} \left(1 + 5 \cdot 10^{- 3} \cdot \left(\theta – 20\right)\right)\]

Como R₀ é diferente de zero, ele pode ser cancelado nos dois membros. Em seguida, distribui-se o fator 5·10⁻³ pela diferença de temperaturas. Assim, a equação fica:

\[1.6 = 1 + 5 \cdot 10^{- 3} \theta – 0.1\]

O termo 0,1 surge do produto entre 5·10⁻³ e 20. Isolando θ, encontra-se a temperatura do componente na escala Celsius:

\[\theta = 140 \circ C\] 

Convertendo para Fahrenheit, chegamos a:

Para relacionar as escalas Celsius e Fahrenheit, utiliza-se a igualdade entre as razões de cada temperatura em relação aos pontos de referência das duas escalas. Como 0 °C corresponde a 32 °F e 100 °C corresponde a 212 °F, a conversão da temperatura de 140 °C é dada por:

\[\frac{140}{5} = \frac{\theta – 32}{9}\]

Resolvendo essa proporção, a temperatura indicada pelo painel, na escala Fahrenheit, é:

\[\theta = 284 \circ F\]

Logo, a alternativa correta é d) 284.

A resistência elétrica de um fio é determinada pela segunda lei de Ohm, segundo a qual ela depende da resistividade do material, do comprimento do fio e da área de sua seção transversal. Como os resistores R₁ e R₂ são constituídos do mesmo material e possuem a mesma área de seção transversal, a resistência é diretamente proporcional ao comprimento.

Analisando as duas posições do ponteiro, observa-se que:

– quando o ponteiro está em I, a corrente percorre todo o resistor R₂, cujo comprimento é 4L;

– quando o ponteiro está em II, o resistor R₂ fica em curto-circuito. Portanto, sua resistência não participa da resistência equivalente do circuito, pois a corrente passa pelo caminho de resistência nula.

Aplicando a segunda lei de Ohm aos dois resistores:

\[\begin{cases} R_{1} = \frac{ρL}{A} \\ R_{2 \mid} = \frac{\rho \left(4 L\right)}{A} = 4 \frac{ρL}{A} \\ R_{2 II} = 0 \end{cases} \rangle\] \[R_{2 \mid} = 4 R_{1}\]

Nessas expressões, ρ representa a resistividade do material, L é o comprimento de R₁ e A é a área da seção transversal. Assim, o resistor de comprimento 4L possui resistência quatro vezes maior que a de R₁.

Agora, aplica-se a Lei de Ohm-Pouillet, que relaciona a tensão aplicada, a resistência equivalente e a corrente elétrica:

\[U = R_{e q} i\]

Se o ponteiro está em I, a corrente é i₁ = 0,3 A e a corrente percorre a lâmpada, o resistor R₁ e todo o resistor R₂. Denotando a resistência da lâmpada por R_L, a resistência total é a soma das resistências em série:

\[\begin{array}{l}120 = \left(R_{L} + R_{1} + R_{21}\right) i_{1} \\ 120 = \left(R_{L} + R_{1} + 4 R_{1}\right) 0.3 \\ \frac{120}{0.3} = R_{L} + R_{1} + 4 R_{1} \\ \underset{\underline}{R_{L}} + R_{1} + 4 R_{1} = 400 \mid \left(1\right)\end{array}\]

O valor 400 Ω aparece porque a tensão de 120 V é dividida pela corrente de 0,3 A. Essa é a resistência equivalente total do circuito nessa posição.

Quando o ponteiro está em II, o resistor R₂ está em curto-circuito e, portanto, sua resistência equivalente é zero. A corrente é então i_∥1 = 0,5 A:

\[\begin{array}{l}(\text{II}) : 120 = \left(R_{L} + R_{1} + R_{2 \left|\right|}\right) i_{\mid} \\ 120 = \left(R_{L} + R_{1} + 0\right) 0.5 \\ \frac{120}{0.5} = R_{L} + R_{1}\end{array}\] \[\underset{\underline}{R_{L} + R_{1} = 240} (\text{2})\textrm{ }\]

Como a corrente nessa posição é 0,5 A, a resistência equivalente total é 240 Ω, obtida pela razão entre a tensão de 120 V e a corrente de 0,5 A.

Substituindo a relação (2) na relação (1), determina-se primeiro a resistência de R₁:

\[240 + 4 R_{1} = 400\] \[4 R_{1} = 160\] \[R_{1} = 40 \Omega\]

Portanto, R₁ vale 40 Ω. Substituindo esse valor na relação (2), obtém-se a resistência da lâmpada:

\[R_{L} + 40 = 240\] \[R_{L} = 200 \Omega\]

Logo, a resistência elétrica da lâmpada é 200 Ω. Portanto, a alternativa correta é a).

Para comparar as resistências dos quatro condutores, utiliza-se a 2ª Lei de Ohm. Essa relação mostra que a resistência elétrica depende de três fatores: da resistividade ρ do material, do comprimento l do fio e da área da secção transversal S. Assim, quanto maior forem a resistividade e o comprimento, maior será a resistência; quanto maior for a área transversal, menor será a resistência.

A expressão geral é:

\[R = \frac{\rho \mathcal{l}}{S}\]

Nessa expressão, R é a resistência elétrica do condutor, medida em ohms; ρ é a resistividade do material; l é o comprimento do condutor; e S é a área de sua secção transversal. Para facilitar a comparação, considera-se como referência a resistência R associada aos valores de referência de comprimento, área e resistividade apresentados no enunciado.

No condutor A, o comprimento é igual a 2l, enquanto a área e a resistividade correspondem aos valores de referência. Portanto, somente o comprimento é duplicado em relação à referência. Como a resistência é diretamente proporcional ao comprimento, ela também fica duplicada:

\[R_{A} = \frac{\rho \cdot 2 \mathcal{l}}{S} = 2 R\]

Logo, a resistência do condutor A é igual a 2R.

No condutor B, a área da secção transversal é 2S, mantendo-se os demais fatores nos valores de referência. Como a área aparece no denominador da expressão da resistência, dobrar a área reduz a resistência à metade:

\[R_{B} = \frac{\rho \cdot \mathcal{l}}{2 S} = \frac{R}{2}\]

Assim, o condutor B apresenta resistência igual a R/2.

No condutor C, tanto o comprimento quanto a área da secção transversal são reduzidos para 0,5 de seus valores de referência. Esses dois fatores variam na mesma proporção: o comprimento reduz a resistência, pois está no numerador, e a área também reduz a resistência quando diminui? Como a área está no denominador, reduzir a área aumenta a resistência. Neste caso, os fatores de redução do comprimento e da área se cancelam na razão entre eles:

\[R_{C} = \frac{0.5 \rho \cdot \mathcal{l}}{0.5 S} = R\]

Portanto, a resistência do condutor C permanece igual à resistência de referência, isto é, R.

No condutor D, o comprimento e a resistividade correspondem aos valores de referência, mas a área da secção transversal é igual a 3S. Como a área está no denominador, triplicá-la faz com que a resistência seja dividida por três em relação à situação de referência. De acordo com os valores utilizados na resolução, obtém-se:

\[R_{D} = \frac{0.5 \rho \cdot \mathcal{l}}{3 S} = \frac{R}{6}\]

Comparando os resultados, o condutor D é o que apresenta a menor resistência ôhmica, pois sua resistência é R/6, menor que as resistências dos demais condutores.

Portanto, deve ser utilizado o condutor D, correspondente à alternativa d).

São fornecidos a tensão no quadro de distribuição, o comprimento total do par de fios, a área da seção reta, a resistividade do cobre e a corrente do circuito. Esses dados são:

\[U = 220 \text{V} ; L = 28 \text{m} ; A = 4 mm^{2} = 4 \times 10^{- 6} m^{2} ; \rho = 1.7 \times 10^{- 8} Ωm ; i = 30 \text{A}\]

A área da seção reta precisa ser expressa em metros quadrados, pois a resistividade está dada em ohm-metro. Assim, 4 mm² = 4 × 10⁻⁶ m², como indicado nos dados.

Pela segunda lei de Ohm, a resistência de um fio é diretamente proporcional à resistividade do material e ao comprimento do fio, e inversamente proporcional à área de sua seção reta. Portanto, para a resistência da fiação, utiliza-se:

\[R = \frac{ρL}{A} = \frac{1.7 \times 10^{- 8} \cdot 28}{4 \times 10^{- 6}}\]

A substituição dos valores na expressão mostra que a resistência equivalente da fiação é aproximadamente:

\[\underline{R \cong 0.12 \Omega\right|}\]

Essa resistência provoca uma queda de tensão no circuito. Pela primeira lei de Ohm, a queda de tensão é igual ao produto da resistência pela corrente que percorre os fios:

\[U_{f} = Ri = 0.12 \times 30\]

Logo, a tensão perdida na fiação é:

\[\underline{U_{f} = 3.6 \text{V}\right|}\]

A tensão fornecida pelo quadro de distribuição se divide entre a fiação e a torneira. Assim, a tensão nos terminais da torneira, indicada por U_t, somada à queda de tensão nos fios, indicada por U_f, deve ser igual à tensão total de 220 V:

\[U_{t} + U_{f} = U\]

Substituindo a queda de tensão calculada, obtém-se:

\[U_{t} + 3.6 = 220\]

Portanto, a tensão efetivamente aplicada aos terminais da torneira é aproximadamente:

\[\boxed{U_{t} \cong 216 \text{V}}\]

Assim, considerando a resistência elétrica dos fios, a tensão nos terminais da torneira é mais próxima de 216 V.

O comprimento do resistor diminui de 1,00 m para 0,80 m, pois foi removido um trecho de 20 cm = 0,20 m. Como o material e a área da seção transversal do fio permanecem os mesmos, a resistência elétrica é diretamente proporcional ao comprimento do resistor.

Essa relação é expressa pela segunda lei de Ohm, em que R representa a resistência elétrica, ρ é a resistividade do material, L é o comprimento do resistor e A é a área de sua seção transversal:

\[R = \frac{ρL}{A}\] \[\langle \begin{matrix}R_{1} = \frac{\rho \left(1\right)}{A} \\ R_{2} = \frac{\rho \left(1 – 0.2\right)}{A} = \frac{\rho \left(\right. 0 ,8)}{A}\end{matrix} \rangle\] \[\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{\rho}{A} \times \frac{A}{0.8}\] \[\boxed{ R_{2} = 0.8 R_{1}}\]

Assim, a resistência final corresponde a 80% da resistência inicial. Isso ocorre porque, mantendo-se constantes a resistividade e a área da seção transversal, a redução do comprimento em 20% provoca a mesma redução percentual na resistência.

Para comparar a potência elétrica, utiliza-se a expressão válida para um resistor ligado a uma tensão constante. Nessa relação, P é a potência elétrica, U é a tensão aplicada e R é a resistência do resistor:

\[P = \frac{U^{2}}{R}\] \[\langle \begin{matrix}P_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} \\ P_{2} = \frac{U^{2}}{R_{2}} = \frac{U^{2}}{0.8 R_{1}}\end{matrix} \rangle\] \[\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{\cancel{U^{2}}}{0.8 \bcancel{R_{1}}} \times \frac{\bcancel{R_{1}}}{\cancel{U^{2}}}\] \[P_{2} = \frac{P_{1}}{0.8}\] \[P_{2} = 1.25 P_{1}\]

Como a tensão da secadora permanece em 110 V, ela é a mesma antes e depois da retirada do trecho. Portanto, ao diminuir a resistência, a potência aumenta: a potência final é 1,25 vez a potência inicial, ou seja, corresponde a 125% do valor inicial.

A energia elétrica consumida durante um intervalo de tempo é proporcional à potência e ao tempo de funcionamento. Como a secadora continuará ligada pelo mesmo intervalo de tempo, a variação percentual da energia será igual à variação percentual da potência. Logo, a energia consumida aumentará em 25%.

Resposta: alternativa c) aumentará em 25%.

Para que o LED não seja danificado, a corrente no circuito deve ser, no máximo, 20 mA. Como o LED e o resistor estão ligados em série, a mesma corrente percorre os dois componentes. Portanto, podemos determinar inicialmente a resistência equivalente do LED pela Primeira Lei de Ohm, usando a tensão máxima de 4 V e a corrente máxima de 20 mA.

Resistência equivalente do LED:

\[R_{L E D} = \frac{4 \text{V}}{20 \text{m} A} = 200 \Omega\]

Assim, considerando o LED como uma resistência equivalente de 200 Ω, a resistência total necessária para que uma fonte de 12 V produza uma corrente de 20 mA é obtida novamente pela relação entre tensão, resistência e corrente. A tensão de 12 V é distribuída entre o LED e o resistor adicional, pois eles estão em série. Por isso, a resistência total do conjunto deve ser igual à razão entre a tensão da fonte e a corrente máxima permitida.

Valor da resistência que deve ser ligada em série ao LED:

\[R + 200 = \frac{12 \text{V}}{20 \text{mA}}\]

A divisão de 12 V por 20 mA resulta na resistência total do circuito. Como 20 mA corresponde à corrente máxima suportada pelo LED, essa é a menor resistência total compatível com a segurança do componente.

\[R + 200 = 600\]

Subtraindo a resistência equivalente do LED, que é de 200 Ω, da resistência total de 600 Ω, obtemos o valor mínimo do resistor externo que deve ser ligado em série.

\[R = 400 \Omega\]

Logo, o resistor deve ter resistência mínima de 400 Ω. Esse valor limita a corrente a 20 mA quando o circuito é alimentado pela fonte de 12 V, protegendo o LED. Portanto, a alternativa correta é a) 400 Ω.

A figura ilustra os dois condutores conectados pelas bases.

Como os condutores A e B possuem o mesmo diâmetro, suas áreas de seção transversal são iguais. Além disso, ambos têm o mesmo comprimento. Portanto, na expressão da segunda lei de Ohm, R = ρL/A, a área A e o comprimento L são os mesmos para os dois condutores. A única diferença entre suas resistências é a resistividade.

Se a resistividade do condutor A é duas vezes maior que a do condutor B, podemos representar a resistividade de B por ρ e a de A por 2ρ. Assim, as resistências são:

\[R_{B} = \frac{ρL}{A} \begin{cases} R_{A} = \frac{2 ρl}{A} \\ R_{B} = \frac{ρl}{A} \end{cases} \rangle \div\] \[\overline{\left.\right)\overline{\left.\right)R_{B}}}\]

Para determinar a ordem crescente das resistências elétricas apresentadas, é fundamental recorrer à segunda lei de Ohm, que estabelece a relação entre a resistência elétrica de um condutor e suas características geométricas, bem como ao material do qual é constituído.

\[R = \rho \frac{L}{A} \left\{\right. \begin{matrix}R 1 = \rho \frac{312}{9} \Rightarrow R 1 \simeq 34.7 \rho \\ R 2 = \rho \frac{47}{4} \Rightarrow R 2 \simeq 11.8 \rho \\ R 3 = \rho \frac{54}{2} \Rightarrow R 3 = 27.0 \rho \\ R 4 = \rho \frac{106}{1} \Rightarrow R 4 = 106.0 \rho\end{matrix} \rangle\]

Nessa expressão, o símbolo ρ representa a resistividade intrínseca do material, uma grandeza que permanece constante conforme informado no enunciado. A resistência elétrica R é diretamente proporcional ao comprimento L e inversamente proporcional à área da seção transversal A. Dessa forma, para comparar os valores de cada fio sem precisar conhecer o valor numérico exato da resistividade, basta calcular a razão entre o comprimento e a área fornecida na tabela.

Realizando as divisões indicadas para cada caso, obtemos coeficientes que multiplicam ρ. Para o primeiro condutor, a divisão de 312 por 9 resulta em aproximadamente 34,7, o que significa que sua resistência equivale a cerca de 34,7 vezes a resistividade do material. No segundo fio, ao dividirmos 47 por 4, chegamos a um valor próximo de 11,8 ρ. Já para o terceiro condutor, a razão entre 54 e 2 fornece exatamente 27,0 ρ. Por fim, analisando o quarto fio, onde o comprimento é dividido pela área unitária, o resultado é 106,0 ρ.

\[\boxed{R 2 < R 3 < R 1 < R 4}\]

Com base nos coeficientes calculados, a análise comparativa torna-se direta. O menor valor corresponde ao segundo fio, seguido pelo terceiro, depois pelo primeiro e, por último, o quarto fio apresenta a maior resistência.

A resistividade \(\left(\rho\right)\) é uma propriedade característica do material do condutor e está relacionada à sua resistência elétrica pela 2ª lei de Ohm:

\[R = \rho \frac{L}{A}\]

Nessa relação, \(R\) representa a resistência elétrica, \(\rho\) é a resistividade do material, \(L\) é o comprimento do condutor e \(A\) é a área de sua seção transversal. Como os quatro condutores têm o mesmo comprimento e a mesma espessura, os valores de \(L\) e \(A\) são iguais para todos. Portanto, a comparação entre as resistividades pode ser feita diretamente pela comparação entre as resistências elétricas.

No gráfico da tensão \(u\) em função da corrente elétrica \(i\), a inclinação de cada curva corresponde à razão entre a tensão e a corrente. Essa razão representa a resistência elétrica do condutor. Assim, quanto mais inclinada for a curva, maior será a resistência.

A curva correspondente ao condutor I é a mais inclinada. Logo, esse condutor apresenta a maior resistência elétrica e, como todos possuem as mesmas dimensões, também apresenta a maior resistividade elétrica.

Portanto, a alternativa correta é a) I.