Exercícios de Associação de resistores

O gráfico da Figura 2 mostra a relação entre a ddp (U) e a corrente (i) no dispositivo. Quando a corrente é 10mA, o gráfico indica que a ddp aplicada é de 0,6V.

Como o resistor de $20\text{Ω}$ está em paralelo com o dispositivo, ambos estão submetidos à mesma diferença de potencial. Portanto, U_resistor = 0,6V.

Aplicação da Lei de Ohm: Para encontrar a corrente no resistor (i_R), usamos:

 ${\mathrm{i}}_{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}$
${\mathrm{i}}_{\mathrm{R}}=\frac{0,6}{20}$
${\mathrm{i}}_{\mathrm{R}}=0,03\mathrm{A}\equiv 30\mathrm{mA}$

Justificativa das Alternativas:

[A] Incorreta. 10mA é a corrente no dispositivo, não no resistor.

[B] Incorreta. Valor obtido por erro de leitura gráfica ou cálculo de ddp.

[C] Correta. Corresponde ao cálculo exato da Lei de Ohm para a ddp de 0,6V.

[D] Incorreta. Valor sugerido possivelmente para confundir com a resistência de $20\mathrm{\Omega }.$

[E] Incorreta. Resultaria se a ddp lida fosse 1,0V.

A corrente fornecida pela bateria é determinada pela lei de Ohm:

$I=\frac{V}{R_{\mathrm{eq}}}$

em que V é a tensão da bateria e R_eq é a resistência equivalente do conjunto de resistores.

Cada resistor possui resistência de 1,0 kΩ. Ao substituir os resistores pela resistência equivalente correspondente à associação mostrada no circuito, obtém-se R_eq = 600 Ω. Como a tensão fornecida pela bateria é 12 V, a corrente total é

$I=\frac{12V}{600\Omega }$

O resultado é 0,020 A. Convertendo para miliampères, usa-se 1 A = 1000 mA:

$\mathrm{0,020}A=20\mathrm{mA}$

Para que a potência dissipada seja de 14,4 W, a resistência equivalente do circuito deve ser de:

$${\mathrm{P}}_{\mathrm{d}}=\frac{{\mathrm{U}}^2}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}}$$
$$14,4=\frac{{12}^2}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}}$$
$${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}=10\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\Omega }$$

Dessa forma, o valor de R_x deve ser igual a:

$$\frac{{\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}\cdot (6+6)}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}+(6+6)}+2=10$$
$$12{\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}=8({\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}+12)$$
$$4{\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}=96$$
$${\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}=24\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\Omega }$$

Potência elétrica do circuito:

$$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{\Delta t}}=\frac{\mathrm{mc\Delta \theta }}{\mathrm{\Delta t}}$$
$$\mathrm{P}=\frac{40\cdot 0,9\cdot (85-25)\cdot 4,2}{4\cdot 60+12}$$
$$\mathrm{P}=36\mathrm{}\mathrm{W}$$

Resistência elétrica equivalente do circuito:

$$\mathrm{P}=\frac{{\mathrm{U}}^2}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}}$$
$$36=\frac{{12}^2}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}}$$
$${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}=4\mathrm{}\mathrm{\Omega }$$

Para que a resistência equivalente seja de $4\mathrm{\Omega },$ é necessário adicionar mais um resistor de $8\mathrm{\Omega }$ em paralelo com o resistor de $8\mathrm{\Omega }$ presente no circuito.

Para que as lâmpadas funcionem em seus valores nominais, a tensão (U) aplicada em cada contato do circuito deve ser exatamente igual à tensão nominal da lâmpada conectada a ele. 

Cálculo da Resistência das Lâmpadas:

Todas as lâmpadas têm potência P = 10 W. Usando a fórmula $\mathrm{P}=\frac{{\mathrm{U}}^2}{\mathrm{R}},$ podemos encontrar a resistência de cada uma:

$${\mathrm{L}}_1 \left(30\mathrm{V}\right):{\mathrm{R}}_1=\frac{{30}^2}{10}=\frac{900}{10}{\mathrm{R}}_1=90\mathrm{\Omega }$$
$${\mathrm{L}}_2 \left(60\mathrm{V}\right):{\mathrm{R}}_2=\frac{{60}^2}{10}=\frac{3600}{10}{\mathrm{R}}_2=360\mathrm{\Omega }$$
$${\mathrm{L}}_3 \left(20\mathrm{V}\right):{\mathrm{R}}_1=\frac{{20}^2}{10}=\frac{400}{10}{\mathrm{R}}_3=40\mathrm{\Omega }$$

Análise das Tensões nos Ramos do Circuito:

No circuito dessa questão, temos um gerador ideal de 60 V e uma associação de resistores (dois de $40\mathrm{\Omega }$ em um ramo e um de $90\mathrm{\Omega }$ em outro) os quais criam divisores de tensão nos pontos de contato X, Y e Z.

– Ponto Z: Está ligado em paralelo diretamente aos terminais do gerador. Portanto, a tensão disponível em Z é de 60 V. Assim, a lâmpada correta para esse ramo é L₂ (mesma tensão da fonte-circuito em paralelo).

– Ponto Y (Divisor de Tensão de 30 V): Como neste ramo já existe um resistor de  colocando-se a lâmpada L₁ (30 V) em série, a tensão total do ramo de  se divide igualmente para cada resistor (30 V cada).

– Ponto X (Divisor de Tensão de 20 V): No ponto X há dois resistores de $40\mathrm{\Omega }$ em série (totalizando $80\mathrm{\Omega }$). Cada elemento desse circuito fica com uma tensão de 20 V, pois tanto os resistores como a lâmpada L₃ tem resistências iguais, assim a tensão do ramo se divide igualmente entre os elementos. 

${\mathrm{U}}_{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}+\mathrm{R}+\mathrm{R}}\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{tot}}=\frac{40}{40+40+40}\cdot 60\mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot 60\mathrm{V}$
${\mathrm{U}}_{\mathrm{x}}=20\mathrm{V}$

A alternativa correta é a [B], pois conecta as lâmpadas L₁, L₂ e L₃ aos contatos Y, Z e X, respectivamente.

Para identificar a alternativa correta, é necessário analisar as propriedades fundamentais dos circuitos elétricos sob a ótica das leis de Ohm e Kirchhoff. Ao examinar a opção A, percebe-se um erro conceitual sobre associações em série. Em uma configuração onde os resistores estão conectados um após o outro no mesmo caminho condutor, não há ramificações para a passagem da carga elétrica. Por essa razão, a intensidade da corrente elétrica, que representa o fluxo de carga por unidade de tempo, deve ser idêntica em todos os componentes do trecho, sendo independente dos valores individuais de resistência de cada elemento.

Quanto à opção B, a afirmação inverte as propriedades das associações em paralelo. Em um circuito com múltiplos ramos conectados aos mesmos nós, o que permanece constante para todos os componentes é a diferença de potencial, ou seja, a tensão elétrica aplicada. A corrente, por outro lado, distribui-se entre os ramos de forma inversamente proporcional às resistências presentes, seguindo a Lei de Ohm.

A análise da opção C revela uma incorreção sobre o cálculo da resistência equivalente em paralelo. Quando adicionamos caminhos alternativos para a passagem da corrente, facilitamos o fluxo total do sistema, o que resulta em uma resistência equivalente que é obrigatoriamente inferior ao valor da menor resistência individual presente na associação. Matematicamente, isso ocorre porque o inverso da resistência equivalente é a soma dos inversos das resistências individuais.

Por fim, a opção D apresenta-se como correta por descrever precisamente um dos pilares da análise de circuitos: a Segunda Lei de Kirchhoff, também conhecida como Lei das Tensões ou Lei das Malhas. Este princípio estabelece que, em qualquer caminho fechado (malha) de um circuito, o somatório algébrico de todas as variações de potencial elétrico deve ser igual a zero. Em termos práticos, isso significa que toda a energia potencial fornecida pela fonte de tensão será consumida pelas quedas de tensão ocorridas ao atravessar os resistores do circuito. Portanto, a soma das quedas de tensão em uma associação em série é exatamente igual à tensão total disponibilizada pela fonte.

Conclui-se que a única afirmação tecnicamente precisa é a D, pois reflete corretamente o comportamento conservativo da energia elétrica em malhas fechadas conforme definido pelos princípios de Kirchhoff.

Os quatro resistores externos formam dois divisores de tensão idênticos entre A e B. Como todos possuem a mesma resistência, a tensão se divide igualmente em cada ramo: o ponto médio de um ramo fica no mesmo potencial elétrico que o ponto médio do outro.

O resistor R₅ liga justamente esses dois pontos médios. Portanto, a diferença de potencial entre suas extremidades é nula, mesmo havendo uma ddp de 100 V entre A e B:

U_R5 = 0 V

Pela relação entre potência, tensão e resistência,

P_R5 = U_R5²/R₅

Como U_R5 = 0 V, não há corrente atravessando R₅ e sua potência dissipada é 0 W.

Resistência elétrica equivalente do circuito:

$$\frac{1}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{1\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{k\Omega }}+\frac{1}{1\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{k\Omega }}+\frac{1}{1\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{k\Omega }}+\frac{1}{1\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{k\Omega }}$$
$${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{4}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{k\Omega }$$

Corrente total do circuito para a tensão na bateria de 9 V:

$$\mathrm{V}={\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}\cdot \mathrm{i}$$
$$9=\frac{1}{4}\cdot \mathrm{i}$$
$$\mathrm{i}=36\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{mA}$$

Cada resistor recebe uma corrente de $\frac{36\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{mA}}{4}=9\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{mA}.$ E as correntes no circuito ficam:

Corrente total do circuito para a tensão na bateria de 12 V:

$${\mathrm{v}}^{\mathrm{v}}={\mathrm{R}}_{\mathrm{R}}\mathrm{ai}$$
$$12=\frac{1}{4}\mathrm{i}$$
$$\mathrm{i}=48\mathrm{mA}$$

Cada resistor recebe uma corrente de $\frac{48\mathrm{mm}}{4}=12\mathrm{mm}.$ E as correntes no circuito ficam:

Portanto, considerando a corrente limiar de 25 mA, acenderam os dispositivos 1 e 2 nas duas situações.

Para compreender a dinâmica do aquecimento descrito, é fundamental analisar como a potência elétrica se comporta diante de alterações na configuração do circuito.

Definindo U como a tensão constante da rede e R como a resistência interna de cada aparelho idêntico, a taxa de conversão de energia elétrica em calor segue a lei básica da eletricidade:

Nesta expressão, observa-se que a potência é diretamente proporcional ao quadrado da tensão aplicada e inversamente proporcional à resistência total do caminho elétrico.

Ao optar pela interligação dos dois aquecedores em série, a impedância do sistema sofre uma modificação direta. Em associações sequenciais, as resistências se somam algebricamente, resultando em um valor equivalente de 2R. Ao substituir essa nova resistência na fórmula inicial, determinamos o novo regime de operação:

A manipulação algébrica demonstra claramente que a potência efetiva cai para metade do valor original, pois o denominador dobrou enquanto a tensão permaneceu inalterada.

O aquecimento da água até a ebulição demanda uma quantidade fixa de energia térmica, representada por E, necessária para elevar a temperatura do volume especificado. A potência atua como a velocidade com que essa energia é transferida ao meio, conforme a relação:

Tendo em vista que E é uma grandeza constante durante todo o processo, nota-se uma dependência inversamente proporcional entre a potência dissipada e o intervalo de tempo Δt. Isso implica que, ao reduzir a taxa de fornecimento energético pela metade, o período necessário para completar o aquecimento dobra.

Caso a infraestrutura elétrica fosse capaz de suportar a operação isolada do primeiro aparelho, a resistência total voltaria a ser apenas R, restaurando a potência nominal P. Como a potência dobra em relação ao regime série (que era P/2), o tempo requerido para atingir a mesma quantidade de energia E deve reduzir-se proporcionalmente pela metade. Aplicando essa lógica inversa ao intervalo t registrado na associação dupla, concluímos que o novo período será:

Portanto, se a rede não apresentasse limitações e permitisse o uso exclusivo de um único aquecedor, o volume de água ferveria em metade do tempo observado anteriormente, confirmando que a alternativa correta corresponde à D.

Como a fonte fornece uma tensão 20% maior que a tensão de funcionamento do equipamento, é necessário reduzir a tensão aplicada ao equipamento. Para isso, o resistor de proteção deve ser ligado em série com o equipamento, pois, nessa associação, a tensão da fonte é dividida entre os dois resistores.

Considere que a tensão recomendada para o equipamento seja U. A fonte disponível fornece, portanto, uma tensão igual a 1,2U. Assim, o equipamento deve receber a tensão U, enquanto o resistor de proteção deve ficar submetido à tensão excedente:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{fonte}}=1,2\mathrm{U}$

Como a associação é em série, a corrente elétrica i é a mesma no equipamento, cuja resistência é R_c, e no resistor de proteção, cuja resistência é R_p. Pela Lei de Ohm, a tensão em cada elemento é o produto de sua resistência pela corrente que o atravessa. Para o equipamento e para o resistor de proteção, temos:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{U}={\mathrm{R}}_{\mathrm{C}}\mathrm{i}\\ 0,2\mathrm{U}={\mathrm{R}}_{\mathrm{P}}\mathrm{i}\end{array}÷$$

A segunda relação ocorre porque o resistor de proteção deve receber os 20% de tensão que excedem o valor adequado ao equipamento. Dividindo a primeira equação pela segunda, a tensão U e a corrente i são canceladas:

$$\frac{\cancel{\mathrm{U}}}{0,2\cancel{\mathrm{U}}}=\frac{{\mathrm{R}}_{\mathrm{C}}\cancel{\mathrm{i}}}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{P}}\cancel{\mathrm{i}}}$$

Com a simplificação, obtém-se:

R_P = 0,2R_C

O resistor escolhido também deve ser capaz de dissipar a potência elétrica correspondente à energia transformada em calor, razão pela qual o enunciado ressalta que sua potência deve ser adequada. Portanto, a configuração correta é a de um resistor de proteção ligado em série, com resistência igual a 20% da resistência do equipamento. Isso corresponde à alternativa E.