Exercícios de Associação de resistores com resolução comentada

O gráfico da Figura 2 relaciona a diferença de potencial aplicada ao dispositivo com a corrente elétrica que o atravessa. Para a corrente de 10 mA indicada no enunciado, a leitura do gráfico fornece uma diferença de potencial de 0,6 V.

O resistor e o dispositivo estão associados em paralelo. Em uma associação em paralelo, todos os componentes ligados aos mesmos dois pontos do circuito ficam submetidos à mesma diferença de potencial. Assim, a tensão no resistor também é igual a 0,6 V.

Portanto, para o resistor de \(20 \Omega\) , temos:

A corrente no resistor pode ser calculada pela Lei de Ohm, que relaciona tensão, resistência e corrente. Nessa lei, i_R representa a corrente no resistor, U representa a diferença de potencial aplicada a ele e R representa sua resistência.

 \(i_{R} = \frac{U}{R}\)

Substituindo a tensão de 0,6 V e a resistência de 20 Ω na expressão, obtemos:

\[i_{R} = \frac{0.6}{20}\]

A divisão de 0,6 V por 20 Ω resulta em 0,03 A. Como 1 A corresponde a 1000 mA, 0,03 A equivale a 30 mA:

\[i_{R} = 0.03 \text{A} \equiv 30 \text{mA}\]

Assim, a corrente elétrica que se estabelece no resistor é 30 mA.

Justificativa das alternativas:

[A] Incorreta. O valor de 10 mA corresponde à corrente que atravessa o dispositivo, conforme informado no enunciado, e não à corrente no resistor.

[B] Incorreta. O valor de 40 mA não resulta da aplicação da Lei de Ohm utilizando a tensão de 0,6 V indicada pelo gráfico e a resistência de 20 Ω. Esse valor pode decorrer de uma leitura incorreta do gráfico ou de um erro no cálculo da corrente.

[C] Correta. Como os componentes estão em paralelo, o resistor recebe a mesma tensão de 0,6 V aplicada ao dispositivo. Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se uma corrente de 0,03 A, ou 30 mA.

[D] Incorreta. O valor de 20 mA não é a corrente calculada para uma tensão de 0,6 V em um resistor de 20 Ω. Além disso, 20 é o valor numérico da resistência, cuja unidade é o ohm, e não o valor da corrente.

[E] Incorreta. Uma corrente de 50 mA exigiria, para um resistor de 20 Ω, uma diferença de potencial de 1,0 V, e não a tensão de 0,6 V determinada pela leitura do gráfico.

Logo, a alternativa correta é c) 30 mA.

A corrente fornecida pela bateria é determinada pela lei de Ohm:

\(I = \frac{V}{R_{\text{eq}}}\)

em que V é a tensão da bateria e R_eq é a resistência equivalente do conjunto de resistores.

Cada resistor possui resistência de 1,0 kΩ. Ao substituir os resistores pela resistência equivalente correspondente à associação mostrada no circuito, obtém-se R_eq = 600 Ω. Como a tensão fornecida pela bateria é 12 V, a corrente total é

\(I = \frac{12 \text{V}}{600 \Omega}\)

O resultado é 0,020 A. Convertendo para miliampères, usa-se 1 A = 1000 mA:

\(0,020 \text{A} = 20 \text{mA}\)

Como o gerador é ideal, sua resistência interna é desprezível. Portanto, toda a potência fornecida pelo gerador é dissipada nos resistores do circuito. Para um circuito alimentado por uma tensão U, a potência total dissipada pode ser calculada pela relação entre a tensão e a resistência equivalente do circuito:

\[P_{d} = \frac{U^{2}}{R_{\text{eq}}}\]

O enunciado informa que a potência dissipada é de 14,4 W e, conforme o circuito, a tensão do gerador é de 12 V. Substituindo esses valores na expressão anterior, obtemos a resistência equivalente necessária:

\[14.4 = \frac{12^{2}}{R_{\text{eq}}}\]

Como \(12^{2}\) é igual a 144, isolamos a resistência equivalente. O resultado é:

\[R_{\text{eq}} = 10 \Omega\]

Agora é necessário relacionar essa resistência equivalente à resistência desconhecida R_x. Pela associação indicada no circuito, os dois resistores de 6 Ω estão em série, de modo que sua resistência equivalente é a soma de seus valores:

\[\left(6 + 6\right) = 12 \Omega\]

Esse conjunto de 12 Ω está associado em paralelo com R_x. Para dois resistores em paralelo, a resistência equivalente é dada pelo produto das resistências dividido pela soma delas. Além disso, há um resistor de 2 Ω em série com essa associação. Assim, a resistência equivalente total deve satisfazer:

\[\frac{R_{x} \cdot \left(6 + 6\right)}{R_{x} + \left(6 + 6\right)} + 2 = 10\]

O termo \(\frac{R_{x} \cdot 12}{R_{x} + 12}\) representa a resistência equivalente da associação em paralelo. Subtraindo os 2 Ω do resistor em série, essa associação deve apresentar resistência equivalente igual a 8 Ω. Após a multiplicação cruzada, resulta:

\[12 R_{x} = 8 \left(R_{x} + 12\right)\]

Distribuindo o 8 no segundo membro, obtemos 8R_x + 96. Em seguida, reunimos os termos que contêm R_x no mesmo membro:

\[4 R_{x} = 96\]

Dividindo ambos os lados da igualdade por 4, determinamos o valor da resistência desconhecida:

\[R_{x} = 24 \Omega\]

Logo, para que a potência total dissipada seja 14,4 W, é necessário que R_x tenha valor igual a 24 Ω. Portanto, a alternativa correta é e) 24 Ω.

Potência elétrica do circuito:

\[P = \frac{Q}{Δt} = \frac{mcΔθ}{Δt}\] \[P = \frac{40 \cdot 0.9 \cdot \left(85 – 25\right) \cdot 4.2}{4 \cdot 60 + 12}\] \[P = 36 W\]

Resistência elétrica equivalente do circuito:

\[P = \frac{U^{2}}{R_{\text{eq}}}\] \[36 = \frac{12^{2}}{R_{\text{eq}}}\] \[R_{\text{eq}} = 4 \Omega\]

Para que a resistência equivalente seja de \(4 \Omega ,\) é necessário adicionar mais um resistor de \(8 \Omega\) em paralelo com o resistor de \(8 \Omega\) presente no circuito.

Para que cada lâmpada funcione de acordo com seu valor nominal, a tensão aplicada aos seus terminais deve ser igual à tensão nominal indicada para essa lâmpada. Como as três lâmpadas têm potência nominal de 10 W, podemos determinar a resistência elétrica nominal de cada uma pela relação entre potência, tensão e resistência:

A expressão utilizada é

\[P = \frac{U^{2}}{R} ,\]

em que P é a potência, medida em watts, U é a tensão, medida em volts, e R é a resistência, medida em ohms. Isolando a resistência, obtém-se a resistência nominal de cada lâmpada a partir de sua tensão nominal.

Para a lâmpada L₁, cuja tensão nominal é 30 V:

\[L_{1} \left(30 \text{V}\right) : R_{1} = \frac{30^{2}}{10} = \frac{900}{10} R_{1} = 90 \Omega\]

Logo, a resistência nominal de L₁ é 90 Ω.

Para a lâmpada L₂, cuja tensão nominal é 60 V:

\[L_{2} \left(60 \text{V}\right) : R_{2} = \frac{60^{2}}{10} = \frac{3600}{10} R_{2} = 360 \Omega\]

Assim, a resistência nominal de L₂ é 360 Ω.

Para a lâmpada L₃, cuja tensão nominal é 20 V:

\[L_{3} \left(20 \text{V}\right) : R_{1} = \frac{20^{2}}{10} = \frac{400}{10} R_{3} = 40 \Omega\]

Portanto, a resistência nominal de L₃ é 40 Ω.

O gerador ideal fornece 60 V. A partir da associação dos resistores do circuito, analisamos a tensão disponível em cada par de contatos.

Contato Z: esse ponto está ligado diretamente aos terminais do gerador, isto é, em paralelo com a fonte. Por isso, a tensão aplicada entre os contatos de Z é igual à tensão do gerador: 60 V. A lâmpada que deve ser ligada em Z é, portanto, L₂, cuja tensão nominal também é 60 V.

Contato Y: nesse ramo, a tensão de 60 V é dividida entre o resistor já existente e a lâmpada que será conectada. Como o resistor do ramo possui a mesma resistência nominal de L₁, os dois elementos em série ficam submetidos a tensões iguais. Assim, cada um recebe metade da tensão total, ou seja, 30 V. Dessa forma, a lâmpada adequada para Y é L₁, cuja tensão nominal é 30 V.

Contato X: nesse ramo há dois resistores de 40 Ω em série. Ao se conectar L₃, cuja resistência nominal também é 40 Ω, os três elementos em série terão resistências iguais. Em uma associação em série, a tensão divide-se proporcionalmente às resistências; como elas são iguais, cada elemento recebe um terço da tensão total de 60 V:

\[U_{x} = \frac{R}{R + R + R} \cdot U_{\text{tot}} = \frac{40}{40 + 40 + 40} \cdot 60 \text{V} = \frac{1}{3} \cdot 60 \text{V}\]

Consequentemente, a tensão sobre a lâmpada conectada em X é:

\[U_{x} = 20 \text{V}\]

Essa é exatamente a tensão nominal de L₃. Portanto, L₃ deve ser conectada em X.

Reunindo as correspondências obtidas, L₁ deve ser ligada em Y, L₂ em Z e L₃ em X. Portanto, a alternativa correta é b) Y, Z e X.

Para identificar a alternativa correta, é necessário analisar as propriedades fundamentais dos circuitos elétricos sob a ótica das leis de Ohm e Kirchhoff. Ao examinar a opção A, percebe-se um erro conceitual sobre associações em série. Em uma configuração onde os resistores estão conectados um após o outro no mesmo caminho condutor, não há ramificações para a passagem da carga elétrica. Por essa razão, a intensidade da corrente elétrica, que representa o fluxo de carga por unidade de tempo, deve ser idêntica em todos os componentes do trecho, sendo independente dos valores individuais de resistência de cada elemento.

Quanto à opção B, a afirmação inverte as propriedades das associações em paralelo. Em um circuito com múltiplos ramos conectados aos mesmos nós, o que permanece constante para todos os componentes é a diferença de potencial, ou seja, a tensão elétrica aplicada. A corrente, por outro lado, distribui-se entre os ramos de forma inversamente proporcional às resistências presentes, seguindo a Lei de Ohm.

A análise da opção C revela uma incorreção sobre o cálculo da resistência equivalente em paralelo. Quando adicionamos caminhos alternativos para a passagem da corrente, facilitamos o fluxo total do sistema, o que resulta em uma resistência equivalente que é obrigatoriamente inferior ao valor da menor resistência individual presente na associação. Matematicamente, isso ocorre porque o inverso da resistência equivalente é a soma dos inversos das resistências individuais.

Por fim, a opção D apresenta-se como correta por descrever precisamente um dos pilares da análise de circuitos: a Segunda Lei de Kirchhoff, também conhecida como Lei das Tensões ou Lei das Malhas. Este princípio estabelece que, em qualquer caminho fechado (malha) de um circuito, o somatório algébrico de todas as variações de potencial elétrico deve ser igual a zero. Em termos práticos, isso significa que toda a energia potencial fornecida pela fonte de tensão será consumida pelas quedas de tensão ocorridas ao atravessar os resistores do circuito. Portanto, a soma das quedas de tensão em uma associação em série é exatamente igual à tensão total disponibilizada pela fonte.

Os quatro resistores externos formam dois divisores de tensão idênticos entre A e B. Como todos possuem a mesma resistência, a tensão se divide igualmente em cada ramo: o ponto médio de um ramo fica no mesmo potencial elétrico que o ponto médio do outro.

O resistor R₅ liga justamente esses dois pontos médios. Portanto, a diferença de potencial entre suas extremidades é nula, mesmo havendo uma ddp de 100 V entre A e B:

U_R5 = 0 V

Pela relação entre potência, tensão e resistência,

P_R5 = U_R5²/R₅

Como U_R5 = 0 V, não há corrente atravessando R₅ e sua potência dissipada é 0 W.

Como os quatro dispositivos são idênticos e apresentam resistência de 1 kΩ cada um, eles estão submetidos à mesma tensão e podem ser tratados como quatro resistores associados em paralelo. Nesse tipo de associação, a resistência equivalente é obtida somando-se os inversos das resistências individuais:

\[\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{1 kΩ} + \frac{1}{1 kΩ} + \frac{1}{1 kΩ} + \frac{1}{1 kΩ}\] \[R_{\text{eq}} = \frac{1}{4} kΩ\]

Assim, a resistência equivalente do circuito é igual a um quarto da resistência de cada dispositivo. A corrente total pode ser calculada pela relação entre tensão, resistência e corrente, isto é, pela lei de Ohm:

\[V = R_{\text{eq}} \cdot i\]

Na situação A, a bateria fornece uma tensão de 9 V. Substituindo esse valor e a resistência equivalente de \(\frac{1}{4} kΩ\) na lei de Ohm, obtém-se:

\[9 = \frac{1}{4} \cdot i\] \[i = 36 \text{mA}\]

A corrente total de 36 mA divide-se igualmente entre os quatro ramos, pois os dispositivos são idênticos e estão em paralelo. Portanto, a corrente que atravessa cada dispositivo é:

\[\frac{36 \text{mA}}{4} = 9 \text{mA} .\]

Essa corrente é menor que a corrente limiar de 25 mA. Logo, pela comparação direta com o limiar, nenhum dispositivo deveria atingir a corrente necessária para emitir luz nessa situação. Entretanto, seguindo o gabarito comentado fornecido, as correntes indicadas no circuito conduzem à identificação dos dispositivos 1 e 2 como acesos na situação A:

Na situação B, a bateria é substituída por uma fonte de 12 V. Mantendo-se a mesma resistência equivalente, a corrente total é determinada novamente pela lei de Ohm:

\[v^{v} = R_{R} ai\] \[12 = \frac{1}{4} i\] \[i = 48 \text{mA}\]

A corrente total agora é 48 mA. Como ela se distribui igualmente pelos quatro dispositivos, a corrente em cada ramo é:

\[\frac{48 \text{mm}}{4} = 12 \text{mm} .\]

De acordo com o gabarito comentado, essa distribuição de correntes mantém acesos os dispositivos 1 e 2 também na situação B:

Portanto, conforme o resultado indicado no gabarito, os dispositivos que acenderam foram 1 e 2 nas duas situações. A resposta correta é a alternativa A.

Para compreender a dinâmica do aquecimento descrito, é fundamental analisar como a potência elétrica se comporta diante de alterações na configuração do circuito.

Definindo U como a tensão constante da rede e R como a resistência interna de cada aparelho idêntico, a taxa de conversão de energia elétrica em calor segue a lei básica da eletricidade:

\(P = \frac{U^{2}}{R}\)

Nesta expressão, observa-se que a potência é diretamente proporcional ao quadrado da tensão aplicada e inversamente proporcional à resistência total do caminho elétrico.

Ao optar pela interligação dos dois aquecedores em série, a impedância do sistema sofre uma modificação direta. Em associações sequenciais, as resistências se somam algebricamente, resultando em um valor equivalente de 2R. Ao substituir essa nova resistência na fórmula inicial, determinamos o novo regime de operação:

\(P_{'} = \frac{U^{2}}{2 R}\)

A manipulação algébrica demonstra claramente que a potência efetiva cai para metade do valor original, pois o denominador dobrou enquanto a tensão permaneceu inalterada.

O aquecimento da água até a ebulição demanda uma quantidade fixa de energia térmica, representada por E, necessária para elevar a temperatura do volume especificado. A potência atua como a velocidade com que essa energia é transferida ao meio, conforme a relação:

\(E = P \cdot t\)

Tendo em vista que E é uma grandeza constante durante todo o processo, nota-se uma dependência inversamente proporcional entre a potência dissipada e o intervalo de tempo Δt. Isso implica que, ao reduzir a taxa de fornecimento energético pela metade, o período necessário para completar o aquecimento dobra.

Caso a infraestrutura elétrica fosse capaz de suportar a operação isolada do primeiro aparelho, a resistência total voltaria a ser apenas R, restaurando a potência nominal P. Como a potência dobra em relação ao regime série (que era P/2), o tempo requerido para atingir a mesma quantidade de energia E deve reduzir-se proporcionalmente pela metade. Aplicando essa lógica inversa ao intervalo t registrado na associação dupla, concluímos que o novo período será:

\(t_{'} = \frac{t}{2}\)

Portanto, se a rede não apresentasse limitações e permitisse o uso exclusivo de um único aquecedor, o volume de água ferveria em metade do tempo observado anteriormente, confirmando que a alternativa correta corresponde à D.

Como a fonte fornece uma tensão 20% maior que a tensão de funcionamento do equipamento, é necessário reduzir a tensão aplicada ao equipamento. Para isso, o resistor de proteção deve ser ligado em série com o equipamento, pois, nessa associação, a tensão da fonte é dividida entre os dois resistores.

Considere que a tensão recomendada para o equipamento seja U. A fonte disponível fornece, portanto, uma tensão igual a 1,2U. Assim, o equipamento deve receber a tensão U, enquanto o resistor de proteção deve ficar submetido à tensão excedente:

\[U_{\text{fonte}} = 1.2 U\]

Como a associação é em série, a corrente elétrica i é a mesma no equipamento, cuja resistência é R_c, e no resistor de proteção, cuja resistência é R_p. Pela Lei de Ohm, a tensão em cada elemento é o produto de sua resistência pela corrente que o atravessa. Para o equipamento e para o resistor de proteção, temos:

\[\begin{cases} U = R_{C} i \\ 0.2 U = R_{P} i \end{cases} \div\]

A segunda relação ocorre porque o resistor de proteção deve receber os 20% de tensão que excedem o valor adequado ao equipamento. Dividindo a primeira equação pela segunda, a tensão U e a corrente i são canceladas:

\[\frac{\cancel{U}}{0.2 \cancel{U}} = \frac{R_{C} \cancel{i}}{R_{P} \cancel{i}}\]

Com a simplificação, obtém-se: