Exercícios de Potencial elétrico com resolução comentada

A energia elétrica armazenada em um capacitor depende da capacitância e do quadrado da diferença de potencial aplicada. Essa relação é expressa por

\[U = \frac{C \cdot \left(ΔV\right)^{2}}{2}\]

Nessa expressão, U representa a energia armazenada, medida em joules; C é a capacitância, medida em farads; e\(\left(ΔV\right)\)é a diferença de potencial entre as armaduras do capacitor, medida em volts. Como a tensão aparece elevada ao quadrado, uma alteração na tensão produz uma alteração quadrática na energia.

Aplicando essa expressão aos dois capacitores, a razão entre as energias é obtida dividindo-se a energia do capacitor 2 pela energia do capacitor 1:

\[\frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{\frac{C_{2} \cdot \left(ΔV_{2}\right)^{2}}{\cancel{2}}}{\frac{C_{1} \cdot \left(ΔV_{1}\right)^{2}}{\cancel{2}}}\] \[\frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{C_{2} \cdot \left(ΔV_{2}\right)^{2}}{C_{1} \cdot \left(ΔV_{1}\right)^{2}} \rightarrow_{ΔV_{1} = 2 ΔV_{2}}^{C_{1} = 3 C_{2}}\] \[\frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{C_{2} \cdot \left(ΔV_{2}\right)^{2}}{3 C_{2} \cdot \left(2 ΔV_{2}\right)^{2}} = \frac{\cancel{C_{2}} \cdot \cancel{\left(ΔV_{2}\right)^{2}}}{12 \cancel{C_{2}} \cdot \cancel{\left(ΔV_{2}\right)^{2}}} \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{1}{12}\]

Na primeira passagem, os fatores\(2\)presentes no denominador de cada energia se cancelam, pois aparecem tanto no numerador quanto no denominador da razão. Em seguida, utilizam-se as relações fornecidas no enunciado:\(C_{1} = 3 C_{2}\)e\(ΔV_{1} = 2 ΔV_{2}\). Assim, o denominador contém o fator 3 proveniente da capacitância e o fator\(2^{2} = 4\)proveniente do quadrado da tensão. O produto desses fatores é\(3 \cdot 4 = 12\).

Portanto, a energia armazenada no segundo capacitor corresponde a um doze avos da energia armazenada no primeiro. Logo, a alternativa correta é e), pois

\[\frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{1}{12}\]

Esta questão é resolvida pelo Teorema do Trabalho–Energia Cinética, segundo o qual o trabalho resultante realizado sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética. Como o enunciado informa que não existem perdas por radiação nem por colisões, o trabalho realizado pelos campos elétricos nos gaps é integralmente convertido em energia cinética da partícula.

Em cada gap, a partícula de carga q atravessa uma diferença de potencial ΔV_k. Conforme informado no enunciado, o trabalho associado a esse gap é o produto da carga pela diferença de potencial. Portanto, considerando os N gaps, o trabalho total é a soma dos trabalhos individuais:

\[W = \sum_{k = 1}^{N} q \cdot ΔV_{k} = q \sum_{k = 1}^{N} ΔV_{k}\]

O fator q é constante para todos os gaps e, por isso, pode ser colocado em evidência. A soma que permanece corresponde à soma das diferenças de potencial aplicadas nos gaps.

O enunciado estabelece que essas diferenças de potencial formam uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é ΔV e cuja razão é r. Assim, o k-ésimo termo é:

\[ΔV_{k} = ΔV \cdot r^{k – 1}\]

Isso significa que, para k igual a 1, obtém-se o primeiro termo ΔV, pois r⁰ é igual a 1. A soma dos N termos dessa progressão geométrica, para r diferente de 1, é:

\[S_{N} = ΔV \cdot \left(\frac{r^{N} – 1}{r – 1}\right)\]

Substituindo essa soma na expressão do trabalho total, resulta:

\[W = q \cdot S_{N}\] \[W = q \cdot ΔV \cdot \left(\frac{r^{N} – 1}{r – 1}\right)\]

A expressão anterior representa o trabalho total realizado pela ação elétrica ao longo dos N gaps. O fator entre parênteses contabiliza o efeito da progressão geométrica dos potenciais, enquanto qΔV representa a escala de energia associada ao primeiro gap.

Agora, analisemos a variação da energia cinética. A partícula parte do repouso, portanto sua velocidade inicial é zero e sua energia cinética inicial também é nula. Após atravessar o último gap, sua velocidade é U. Logo:

\[ΔK = K_{\text{final}} – K_{\text{inicial}} = \frac{1}{2} mU^{2} – 0\] \[ΔK = \frac{1}{2} mU^{2}\]

Nessa expressão, m é a massa da partícula e U é sua velocidade final. A hipótese de regime não relativístico permite utilizar a expressão usual da energia cinética, igual a metade do produto da massa pelo quadrado da velocidade.

Pelo Teorema do Trabalho–Energia Cinética, o trabalho total é igual à variação da energia cinética:

\[W = ΔK\] \[q \cdot ΔV \cdot \left(\frac{r^{N} – 1}{r – 1}\right) = \frac{1}{2} mU^{2}\]

Para determinar a razão carga/massa, dividimos a igualdade por m e reorganizamos os fatores de modo a deixar q/m isolado. Inicialmente, obtém-se:

\[\frac{q}{m} = \frac{1}{2} \frac{U^{2}}{ΔV \cdot \left(\frac{r^{N} – 1}{r – 1}\right)}\] \[\frac{q}{m} = \frac{U^{2} \left(r – 1\right)}{2 ΔV \cdot \left(r^{N} – 1\right)}\]

Na última forma, o fator r − 1, que estava no denominador da soma da progressão geométrica, passa para o numerador. Assim, a razão carga/massa depende da velocidade final ao quadrado e é inversamente proporcional à soma efetiva das diferenças de potencial aplicadas nos gaps.

Portanto, a expressão obtida corresponde à alternativa b):

U²(r − 1) / [2ΔV(r^N − 1)]

Associação de capacitores em paralelo

Quando capacitores ideais são ligados em paralelo, todos ficam submetidos à mesma diferença de potencial, e a capacitância equivalente é obtida pela soma das capacitâncias individuais. Como há M capacitores do tipo A, cada um com capacitância de 100 μF, e N capacitores do tipo B, cada um com capacitância de 1000 μF, a capacitância total em paralelo é a soma de M parcelas de 100 μF com N parcelas de 1000 μF.

\[M \left(100 μF\right) + N \left(1000 μF\right) = C_{eq \left(paralelo\right)}\]

O enunciado informa que a capacitância equivalente nessa associação é 2300 μF. Portanto:

\[M \left(100 μF\right) + N \left(1000 μF\right) = 2300 μF\]

Como todos os termos possuem a unidade μF, ela pode ser suprimida durante a manipulação algébrica. Assim, a expressão fica:

\[100 M + 1000 \text{N} = 2300\]

Dividindo todos os termos por 10, obtemos uma forma mais simples da primeira equação:

\[10 M + 100 \text{N} = 230 \left(eq 1\right)\]

Associação de capacitores em série

Quando capacitores são ligados em série, a capacitância equivalente não é a soma direta das capacitâncias. Nesse caso, soma-se o inverso de cada capacitância, e o resultado é igual ao inverso da capacitância equivalente. Como há M capacitores iguais ao tipo A, a contribuição deles é M vezes o inverso de 100 μF. Analogamente, os N capacitores do tipo B contribuem com N vezes o inverso de 1000 μF.

\[\frac{M}{100 μF} + \frac{N}{1000 μF} = \frac{1}{C_{eq \left(série\right)}}\]

O segundo experimento fornece uma capacitância equivalente de 31,25 μF. Substituindo esse valor na relação para a associação em série:

\[\frac{M}{100 μF} + \frac{N}{1000 μF} = \frac{1}{31.25 μF}\]

Para eliminar os denominadores, escrevemos o primeiro termo com denominador 1000 μF. Como 1000 é dez vezes 100, o numerador correspondente passa a ser 10M. Além disso, o inverso de 31,25 μF pode ser escrito como 32 dividido por 1000 μF, pois 31,25 multiplicado por 32 é igual a 1000.

\[\frac{10 M}{\cancel{1000 μF}} + \frac{N}{\cancel{1000 μF}} = \frac{32}{\cancel{1000 μF}}\]

Como os três termos têm o mesmo denominador, esses denominadores podem ser cancelados. Resulta, então, a segunda equação:

\[10 M + N = 32 \left(eq 2\right)\]

As duas medições produziram, portanto, o seguinte sistema de equações lineares:

\[\begin{array}{l}\begin{cases} 10 M + 100 \text{N} = 230 \\ 10 M + N = 32 \end{cases}\end{array}\]

Para eliminar o termo 10M, subtraímos a equação (2) da equação (1). Isso significa subtrair os membros correspondentes das duas igualdades:

\[\begin{array}{l}\begin{cases} 10 M + 100 \text{N} = 230 \\ – 10 M – N = – 32 \end{cases}\end{array}\]

Os termos com M se cancelam. No lado esquerdo, resta 100N − N, isto é, 99N; no lado direito, 230 − 32 resulta em 198:

\[99 \text{N} = 198\]

Dividindo ambos os lados por 99, encontramos o número de capacitores do tipo B:

\[N = \frac{198}{99} \text{N} = 2\]

Agora, substituímos N = 2 na equação (2), porque essa equação contém apenas uma incógnita restante, M:

\[10 M + N = 32\] \[10 M + 2 = 32\]

Subtraindo 2 dos dois lados, obtemos:

\[10 M = 30\]

Por fim, dividindo os dois lados por 10, determinamos o número de capacitores do tipo A:

\[M = \frac{30}{10} M = 3\]

Assim, foram utilizados M = 3 capacitores do tipo A e N = 2 capacitores do tipo B. A razão solicitada é:

\[\frac{M}{N} = \frac{3}{2}\]

Logo, a resposta correta é a alternativa c) 3/2.

A energia eletrostática de um sistema de cargas pontuais é obtida somando a energia associada a cada par de cargas. Como o triângulo é equilátero, todas as separações entre as cargas são iguais a L. Assim, cada par contribui com\(\frac{k q_{i} q_{j}}{L}\), em que k é a constante eletrostática.

Na configuração inicial, as cargas são +Q, +Q e −Q. Os três pares de cargas são:

\(\left(+ Q\right) \left(+ Q\right) = + Q^{2}\)
\(\left(+ Q\right) \left(- Q\right) = – Q^{2}\)
\(\left(+ Q\right) \left(- Q\right) = – Q^{2}\)

A soma dos produtos das cargas é, portanto, +Q² − Q² − Q² = −Q². Logo, a energia inicial é\(E_{1} = – \frac{k Q^{2}}{L}\).

Após substituir uma das cargas +Q por −Q, a configuração passa a ser formada por duas cargas −Q e uma carga +Q.

Novamente, há um par de cargas negativas, cujo produto é +Q², e dois pares com sinais opostos, cada um com produto −Q². A soma permanece igual a −Q², de modo que\(E_{2} = – \frac{k Q^{2}}{L}\).

As duas energias têm o mesmo valor algébrico. Portanto, a razão entre elas é\(\frac{E_{2}}{E_{1}} = 1\).

Como não há atrito nem qualquer outra força dissipativa, a energia mecânica da carga permanece constante durante o movimento. Assim, a energia mecânica no ponto A é igual à energia mecânica no ponto B:

1. Energia mecânica no ponto A

No ponto A, a carga é abandonada em repouso. Portanto, sua velocidade inicial é nula e sua energia cinética também é nula \(\left(\right. v_{A} = 0\)
\(E_{C \left(A\right)} = 0 \left.\right)\). Além disso, A está no nível do solo, que será tomado como nível de referência para a energia potencial gravitacional. Logo, \(\left(\right. h_{A} = 0\)

\[E_{pg \left(A\right)} = 0 \left.\right) .\]

A única energia potencial presente em A é a energia potencial eletrostática associada à interação entre as cargas positivas Q e q. Como a distância entre O e A é d, essa energia é:

\[E_{A} = \frac{kQq}{d}\]

Essa expressão é positiva porque Q e q têm o mesmo sinal. Portanto, a energia mecânica inicial é \(E_{A}\).

2. Geometria e distância entre O e B

Para determinar a energia potencial eletrostática em B, é necessário calcular a distância entre B e O. Os segmentos OA e AB têm comprimento d. O ângulo interno do triângulo OAB em A é \(180 \circ – \theta\), pois θ é o ângulo externo formado pela rampa e pela horizontal.

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo OAB:

\[\left(\bar{OB}\right)^{2} = d^{2} + d^{2} – 2 d^{2} \cdot cos \left(180 \circ – \theta\right)\] \[\left(\bar{OB}\right)^{2} = 2 d^{2} \left(1 – cos \left(180 \circ – \theta\right)\right)\]

Usamos agora a identidade trigonométrica para o cosseno da diferença de dois ângulos:

\[cos \left(a – b\right) = cos a \cdot cos b + sen a \cdot sen b ,\]

Como \(cos 180 \circ = – 1\) e \(sen 180 \circ = 0\), resulta:

\[cos \left(180 \circ – \theta\right) = cos 180 \circ \cdot cos \theta + sen 180 °⋅ sen \theta \rightarrow_{sen 180 \circ = 0}^{cos 180 \circ = – 1} cos \left(180 \circ – \theta\right) = – cos \theta\]

Substituindo esse resultado na lei dos cossenos:

\[\left(\bar{OB}\right)^{2} = 2 d^{2} \left(1 – cos \left(180 \circ – \theta\right)\right) = 2 d^{2} \left(1 – \left(- cos \theta\right)\right)\] \[\left(\bar{OB}\right)^{2} = 2 d^{2} \left(1 + cos \theta\right)\] \[\bar{OB} = \sqrt{2 d^{2} \left(1 + cos \theta\right)} = d \sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}\]

Assim, a distância entre a carga Q e a carga q quando q está em B é \(\bar{OB} = d \sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}\).

3. Energias no ponto B

A energia potencial eletrostática em B é obtida dividindo kQq pela distância OB:

\[E_{pe \left(B\right)} = \frac{kQq}{\bar{OB}} = \frac{kQq}{d \sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}}\]

A altura de B em relação ao solo é a componente vertical do segmento AB. Como AB tem comprimento d:

\[sen \theta = \frac{h}{d}\] \[h = d \cdot sen \theta\]

Logo, a energia potencial gravitacional em B é:

\[E_{pg \left(B\right)} = mgh = mgd \cdot sen \theta\]

Por fim, como a velocidade em B é \(v_{B}\), a energia cinética nesse ponto é:

\[E_{c \left(B\right)} = \frac{m \cdot \left(v_{B}\right)^{2}}{2}\]

A energia mecânica total em B é a soma das energias potencial eletrostática, potencial gravitacional e cinética:

\[E_{B} = E_{pe \left(B\right)} + E_{pg \left(B\right)} + E_{c \left(B\right)} = \frac{kQq}{d \sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}} + mgd \cdot sen \theta + \frac{m \cdot \left(v_{B}\right)^{2}}{2}\]

4. Aplicação da conservação da energia mecânica

Igualando as energias mecânicas nos pontos A e B:

\[E_{A} = E_{B}\] \[\frac{kQq}{d} = \frac{kQq}{d \sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}} + mgd \cdot sen \theta + \frac{m \cdot \left(v_{B}\right)^{2}}{2}\]

Isolando a energia cinética, subtraímos do lado esquerdo as energias potenciais existentes em B:

\[\frac{m \cdot \left(v_{B}\right)^{2}}{2} = \frac{kQq}{d} – \frac{kQq}{d \sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}} – mgd \cdot sen \theta\]

Multiplicando toda a igualdade por \(\frac{2}{\text{m}}\), obtemos:

\[\left(v_{B}\right)^{2} = \frac{2 kQq}{md} – \frac{2 kQq}{md \sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}} – 2 gd \cdot sen \theta\]

Nos dois primeiros termos, colocamos \(\frac{2 kQq}{md}\) em evidência:

\[\left(v_{B}\right)^{2} = \frac{2 kQq}{md} \left(1 – \frac{1}{\sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}}\right) – 2 gd \cdot sen \theta\]

Extraindo a raiz quadrada e considerando o módulo da velocidade, resulta:

\[v_{B} = \sqrt{\frac{2 kQq}{md} \left(1 – \frac{1}{\sqrt{2 \left(1 + cos \theta\right)}}\right) – 2 gd \cdot sen \theta}\]

Essa expressão corresponde à alternativa D. Portanto, a resposta correta é D.

1. Capacitância do capacitor vazio

Para um capacitor de placas paralelas preenchido com vácuo, a capacitância é determinada pela permissividade elétrica do vácuo, pela área das placas e pela distância entre elas. Assim, usando\(\epsilon_{0}\)para a permissividade do vácuo, A para a área das placas e d para a distância total entre as placas, temos:

\[C_{0} = \frac{\epsilon_{0}}{d} \cdot A\]

Essa expressão será usada como referência para comparar a capacitância de cada camada dielétrica com a capacitância do capacitor totalmente preenchido com vácuo.

2. Capacitância de cada camada dielétrica

As oito camadas estão empilhadas na direção perpendicular às placas. Portanto, cada camada ocupa toda a área A, mas possui espessura d/8. Como as camadas estão entre as placas, elas funcionam como capacitores associados em série.

Para um material cuja constante dielétrica relativa é k_n, a capacitância de uma camada é multiplicada por essa constante em relação à capacitância correspondente no vácuo. Logo:

\[C_{n} = k_{n} \frac{\epsilon_{0}}{d / 8} \cdot A = 8 k_{n} \frac{\epsilon_{0}}{d} \cdot A \overset{C_{0} = \frac{\epsilon_{0}}{d} \cdot A}{\rightarrow} C_{n} = 8 k_{n} C_{0}\]

Assim, a capacitância da camada n pode ser escrita como 8k_nC₀. O fator 8 surge porque a espessura de cada camada é oito vezes menor que a distância total d.

3. Constantes dielétricas das oito camadas

A primeira camada tem constante dielétrica k₁ = 10. Como cada camada seguinte possui metade da constante da camada anterior, os valores formam uma progressão geométrica de razão 1/2:

\[k_{1} = 10 , k_{2} = \frac{10}{2} , k_{3} = \frac{10}{2^{2}} , \hdots , k_{n} = \frac{10}{2^{n – 1}}\] \[k_{8} = \frac{10}{2^{7}}\]

O índice do expoente aumenta uma unidade a cada camada. Por isso, na oitava camada aparece o expoente 7.

4. Associação em série

Como as camadas estão dispostas sucessivamente entre as placas, a associação é em série. Para capacitores em série, soma-se o inverso das capacitâncias individuais:

\[\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} + \hdots + \frac{1}{C_{8}}\]

Substituindo cada capacitância individual por C_n = 8k_nC₀ e colocando o fator comum em evidência, obtemos:

\[\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{8 k_{1} C_{0}} + \frac{1}{8 k_{2} C_{0}} + \frac{1}{8 k_{3} C_{0}} + \hdots + \frac{1}{8 k_{8} C_{0}} = \frac{1}{8 C_{0}} \left(\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + \frac{1}{k_{3}} + \hdots + \frac{1}{k_{8}}\right)\]

Agora substituímos os valores das constantes dielétricas. Como cada constante é 10 dividido por uma potência de 2, seus inversos correspondem a potências sucessivas de 2 divididas por 10:

\[\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{8 C_{0}} \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{10 / 2} + \frac{1}{10 / 2^{2}} + \hdots + \frac{1}{10 / 2^{7}}\right)\]

Fatorando 1/10 dentro dos parênteses, a expressão passa a envolver a soma das potências de 2 de 0 até 7:

\[\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{80 C_{0}} \left(1 + 2 + 2^{2} + \hdots + 2^{7}\right)\]

5. Soma da progressão geométrica

A soma entre parênteses possui oito termos, primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2. Para uma progressão geométrica finita, utiliza-se:

\[1 + 2 + 2^{2} + \hdots + 2^{7} = S_{8} = \frac{a_{1} \cdot \left(q^{n} – 1\right)}{q – 1}\]

Nesta aplicação, a₁ = 1, q = 2 e n = 8. Portanto:

\[1 + 2 + 2^{2} + \hdots + 2^{7} = S_{8} = \frac{1 \cdot \left(2^{8} – 1\right)}{2 – 1}\] \[S_{8} = \frac{256 – 1}{1} = 255\]

Logo, a soma dos oito termos é 255. Substituindo esse resultado na expressão da capacitância equivalente:

\[\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{80 C_{0}} \left(1 + 2 + 2^{2} + \hdots + 2^{7}\right)\] \[\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{255}{80 C_{0}}\]

Para encontrar C_eq, basta inverter os dois lados da igualdade. Em seguida, a fração 80/255 pode ser simplificada por 5, resultando em 16/51:

\[C_{\text{eq}} = \frac{80 C_{0}}{255} \overset{simplificando}{\rightarrow} C_{\text{eq}} = \frac{16 C_{0}}{51}\]

Portanto, conforme o gabarito indicado, a capacitância total é expressa pela alternativa D, adaptada:

Alternativa D:\(\frac{2}{51} C_{0}\)

A energia eletrostática armazenada em um capacitor de capacitância C, submetido a uma diferença de potencial V, é calculada pela expressão

\[E = \frac{CV^{2}}{2 } ,\]

em que C representa a capacitância e V, a diferença de potencial entre os terminais do capacitor.

Inicialmente, apenas o capacitor de capacitância X está conectado à fonte e carregado até a diferença de potencial V. Portanto, sua energia armazenada é obtida substituindo C = X na expressão da energia.

Quando o segundo capacitor é conectado em paralelo, as capacitâncias se somam, pois capacitores em paralelo ficam submetidos à mesma diferença de potencial. Assim, a capacitância equivalente do conjunto é

\[C_{\text{eq}} = C_{1} + C_{2 } ,\]

e, para os capacitores do problema, essa capacitância equivalente é X + Y. Usando a mesma expressão da energia, a energia inicial U e a energia do conjunto U′ são representadas por

\[\begin{cases} U = \frac{XV^{2}}{2} \\ U^{′} = \frac{\left(X + Y\right) V^{2}}{2} \end{cases}\]

Para encontrar a razão solicitada, divide-se a expressão de U pela expressão de U′. Como numerador e denominador possuem o fator comum V²/2, esse fator pode ser cancelado. O resultado é

\[\frac{U}{U^{′}} = \frac{\frac{X \cancel{V^{2}}}{\cancel{2}}}{\frac{\left(X + Y\right) \cancel{V^{2}}}{\cancel{2}}} = \frac{X}{X + Y }\]

Logo, a razão entre as energias é dada por U/U′ = X/(X + Y). Portanto, a alternativa correta é a d).

Princípio da conservação da energia mecânica

A partícula B se desloca exclusivamente sob a ação da força elétrica exercida pela partícula A. Como a força elétrica é conservativa, a energia mecânica do sistema permanece constante durante o movimento. Portanto, a energia mecânica inicial é igual à energia mecânica final

\(\text{E}_{mec . inicial} = E_{mec . final}\)

A energia mecânica é a soma da energia potencial elétrica, representada por \(\left(E_{mec .}\right)\), com a energia cinética, representada por K. Assim, a conservação da energia pode ser escrita como

\(U_{\text{inicial}} + K_{\text{inicial}} = U_{\text{final}} + K_{\text{final}}\)

Usando as abreviações para as situações inicial e final, a mesma relação fica

\(U_{i} + K_{i} = U_{f} + K_{f}\)

Determinação das energias pelo gráfico

A situação inicial corresponde à separação r_i = 0,25 m. A situação final corresponde à separação r_f = 1,75 m. Os valores da energia potencial elétrica devem ser lidos diretamente no gráfico fornecido

Para a separação inicial de 0,25 m, o gráfico indica

U_i = 0,035 J

Para a separação final de 1,75 m, o gráfico indica

U_f = 0,005 J

Energia cinética inicial

A partícula B é liberada a partir do repouso. Isso significa que sua velocidade inicial é nula, isto é, v_i = 0. A energia cinética é calculada pela expressão que depende da massa e do quadrado da velocidade

\(\text{K}_{i} = \frac{m_{B} \cdot \left(v_{i}\right)^{2}}{2} \overset{v_{i} = 0}{\rightarrow}\)

Como o quadrado de uma velocidade nula também é nulo, a energia cinética inicial é

\(K_{i} = 0 \text{J}\)

Cálculo da energia cinética final

Substituindo na conservação da energia os valores das energias potencial e cinética inicial, obtém-se

\(U_{i} + K_{i} = U_{f} + K_{f}\)

Inserindo os valores numéricos, com todas as energias expressas em joules

\(0.035 \text{J} + 0 \text{J} = 0.005 \text{J} + K_{f}\)

Para isolar a energia cinética final, subtrai-se a energia potencial final dos dois lados da igualdade

\(K_{f} = 0.035 \text{J} – 0.005 \text{J}\)

Logo, a energia cinética adquirida pela partícula B é

\(K_{f} = 0.030 \text{J}\)

Cálculo da velocidade final

A energia cinética final relaciona-se com a massa da partícula e sua velocidade final por meio da expressão

\(K_{f} = \frac{m_{B} \cdot \left(v_{f}\right)^{2}}{2}\)

Isolando a velocidade, multiplica-se a igualdade por 2, divide-se o resultado pela massa e, em seguida, extrai-se a raiz quadrada

\(v_{f} = \sqrt{\frac{2 \cdot K_{f}}{m_{B}}}\)

Agora, substituem-se a energia cinética final, K_f = 0,030 J, e a massa da partícula B, m_B = 2 kg

\(\text{v}_{f} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.030 \text{J}}{2 \text{kg}}} = \sqrt{0.030 \left(\frac{m}{s}\right)^{2}}\)

A unidade resultante é compatível com velocidade, pois a raiz quadrada de \(\left(\frac{m}{s}\right)^{2}\) fornece metros por segundo. Portanto

\(v_{f} \approx 0.173 \text{m} / \text{s}\)

Assim, a velocidade da partícula B quando a separação passa a ser 1,75 m é 0,173 m/s, correspondente à alternativa e

A energia potencial eletrostática do sistema é a soma das energias associadas a cada par de cargas. Para um par, essa energia é proporcional ao produto dos módulos das cargas e inversamente proporcional à distância entre elas.

Ao dobrar cada carga, o produto entre duas cargas é multiplicado por 4. Ao mesmo tempo, dobrar o lado do triângulo dobra a distância entre todos os pares de cargas, o que introduz um fator 2 no denominador. Assim, cada parcela da energia é multiplicada por:

\(\frac{2^{2}}{2} = 2\)

Como todas as três interações entre pares de cargas sofrem esse mesmo fator, a energia total também dobra. Partindo de 10 mJ, obtém-se:

\(U_{f} = 2 \times 10 \text{ mJ} = 20 \text{ mJ}\)

I — Incorreta. Não há evidência experimental de monopolos magnéticos isolados na natureza. Os ímãs apresentam sempre dois polos, norte e sul; quando um ímã é dividido, cada fragmento continua formando um dipolo magnético, com os dois polos. Portanto, não se observam cargas magnéticas isoladas de modo análogo às cargas elétricas.

II — Correta. A intensidade da força eletrostática entre duas cargas puntiformes é dada pela lei de Coulomb e varia inversamente com o quadrado da distância entre elas. Se a distância inicial é r, a força tem intensidade proporcional a 1/r². Ao dobrar essa distância, ela passa a ser proporcional a 1/(2r)², isto é, 1/(4r²). Assim, a nova força corresponde a 1/4 da força inicial.

III — Correta. A energia eletrostática entre duas cargas puntiformes varia inversamente com a distância, sendo proporcional a 1/r. Quando a distância passa de r para 2r, a energia passa a ser proporcional a 1/(2r), correspondendo à metade do valor inicial. Em termos de intensidade, a energia eletrostática fica igual a 1/2 da inicial.

As afirmativas II e III são as únicas compatíveis com as relações físicas envolvidas.