Exercícios de Potencial elétrico

A energia armazenada em um capacitor (U) é dada pela expressão $\mathrm{U}=\frac{\mathrm{C}\cdot {\left(\mathrm{\Delta V}\right)}^2}{2}$, onde C é a capacitância em farad e $\left(\mathrm{\Delta V}\right)$ é a diferença de potencial em volts entre as armaduras do capacitor.

Logo, a razão entre as energias U₂ e U₁ armazenadas por cada capacitor é:

$$\frac{{\mathrm{U}}_2}{{\mathrm{U}}_1}=\frac{\frac{{\mathrm{C}}_2\cdot {\left({\mathrm{\Delta V}}_2\right)}^2}{\cancel{2}}}{\frac{{\mathrm{C}}_1\cdot {\left({\mathrm{\Delta V}}_1\right)}^2}{\cancel{2}}}$$
$$\frac{{\mathrm{U}}_2}{{\mathrm{U}}_1}=\frac{{\mathrm{C}}_2\cdot {\left({\mathrm{\Delta V}}_2\right)}^2}{{\mathrm{C}}_1\cdot {\left({\mathrm{\Delta V}}_1\right)}^2}\underset{{\mathrm{\Delta V}}_1=2{\mathrm{\Delta V}}_2}{\overset{{\mathrm{C}}_1=3{\mathrm{C}}_2}{\to }}$$
$$\frac{{\mathrm{U}}_2}{{\mathrm{U}}_1}=\frac{{\mathrm{C}}_2\cdot {\left({\mathrm{\Delta V}}_2\right)}^2}{3{\mathrm{C}}_2\cdot {\left(2{\mathrm{\Delta V}}_2\right)}^2}=\frac{\cancel{{\mathrm{C}}_2}\cdot \cancel{{\left({\mathrm{\Delta V}}_2\right)}^2}}{12\cancel{{\mathrm{C}}_2}\cdot \cancel{{\left({\mathrm{\Delta V}}_2\right)}^2}}\frac{{\mathrm{U}}_2}{{\mathrm{U}}_1}=\frac{1}{12}$$

Esta questão envolve o Teorema do Trabalho-Energia Cinética, que estabelece que o trabalho total realizado sobre a partícula é exatamente igual à variação da energia cinética. 

Trabalho total realizado (W):

Como o trabalho realizado em cada gap é o produto da carga q pela diferença de potencial ${\mathrm{\Delta V}}_{\mathrm{k}}$, para N gaps, o trabalho total é a soma dos trabalhos em cada um deles.

$\mathrm{W}=\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{q}\cdot {\mathrm{\Delta V}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{q}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{N}}{\mathrm{\Delta V}}_{\mathrm{k}}$

De acordo com o enunciado, as diferenças de potencial seguem uma progressão geométrica:

${\mathrm{\Delta V}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{\Delta V}\cdot {\mathrm{r}}^{\mathrm{k}-1}$

Onde ${\mathrm{\Delta V}}_{\mathrm{k}}$ é o termo geral, r é a razão e $\mathrm{\Delta V}$ é o primeiro termo, assim, a soma dos termos dessa PG de razão r e N termos é:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{N}}=\mathrm{\Delta V}\cdot \left(\frac{{\mathrm{r}}^{\mathrm{N}}-1}{\mathrm{r}-1}\right)$

Portanto, o trabalho total é:

$\mathrm{W}=\mathrm{q}\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{N}}$
$\mathrm{W}=\mathrm{q}\cdot \mathrm{\Delta V}\cdot \left(\frac{{\mathrm{r}}^{\mathrm{N}}-1}{\mathrm{r}-1}\right)$

Variação da Energia Cinética $\left(\mathrm{\Delta K}\right):$

A partícula parte do repouso (v₀ = 0) e atinge a velocidade final U. Logo:

$\mathrm{\Delta K}={\mathrm{K}}_{\mathrm{final}}-{\mathrm{K}}_{\mathrm{inicial}}=\frac{1}{2}{\mathrm{mU}}^2-0$
$\mathrm{\Delta K}=\frac{1}{2}{\mathrm{mU}}^2$

Igualando trabalho e Energia:

$\mathrm{W}=\mathrm{\Delta K}$
$\mathrm{q}\cdot \mathrm{\Delta V}\cdot \left(\frac{{\mathrm{r}}^{\mathrm{N}}-1}{\mathrm{r}-1}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{mU}}^2$

Isolando a razão carga/massa (q/m):

$\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{U}}^2}{\mathrm{\Delta V}\cdot \left(\frac{{\mathrm{r}}^{\mathrm{N}}-1}{\mathrm{r}-1}\right)}$
$\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{U}}^2(\mathrm{r}-1)}{2\mathrm{\Delta V}\cdot ({\mathrm{r}}^{\mathrm{N}}-1)}$

Associação de capacitores em paralelo:

Nesta associação basta somar as capacitâncias individuais para obter-se a capacitância equivalente da associação.

$$\mathrm{M}\left(100\mathrm{\mu F}\right)+\mathrm{N}\left(1000\mathrm{\mu F}\right)={\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}\left(\mathrm{paralelo}\right)}\Rightarrow$$
$$\mathrm{M}\left(100\mathrm{\mu F}\right)+\mathrm{N}\left(1000\mathrm{\mu F}\right)=2300\mathrm{\mu F}\Rightarrow$$
$$100\mathrm{M}+1000\mathrm{N}=2300\Rightarrow$$
$$10\mathrm{M}+100\mathrm{N}=230\left(\mathrm{eq}1\right)$$ 

Associação de capacitores em série:

Nesta associação, a soma dos inversos das capacitâncias é o inverso da capacitância equivalente.

$$\frac{\mathrm{M}}{100\mathrm{\mu F}}+\frac{\mathrm{N}}{1000\mathrm{\mu F}}=\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}\left(\mathrm{série}\right)}}\Rightarrow$$
$$\frac{\mathrm{M}}{100\mathrm{\mu F}}+\frac{\mathrm{N}}{1000\mathrm{\mu F}}=\frac{1}{31,25\mathrm{\mu F}}\Rightarrow$$
$$\frac{10\mathrm{M}}{\cancel{1000\mathrm{\mu F}}}+\frac{\mathrm{N}}{\cancel{1000\mathrm{\mu F}}}=\frac{32}{\cancel{1000\mathrm{\mu F}}}\Rightarrow$$
$$10\mathrm{M}+\mathrm{N}=32\left(\mathrm{eq}2\right)$$ 

Com as duas equações temos um sistema de equações lineares e subtraindo a equação (2) da (1), temos:

$$\{\begin{array}{l}10\mathrm{M}+100\mathrm{N}=230\\ 10\mathrm{M}+\mathrm{N}=32\end{array}\Rightarrow$$
$$\{\begin{array}{l}10\mathrm{M}+100\mathrm{N}=230\\ -10\mathrm{M}-\mathrm{N}=-32\end{array}\Rightarrow$$
$$99\mathrm{N}=198$$
$$\mathrm{N}=\frac{198}{99}\mathrm{N}=2$$

Substituindo o valor de N na equação (2):

$$10\mathrm{M}+\mathrm{N}=32\Rightarrow$$
$$10\mathrm{M}+2=32\Rightarrow$$
$$10\mathrm{M}=30$$
$$\mathrm{M}=\frac{30}{10}\mathrm{M}=3$$ 

Logo, a razão M/N é: $\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}=\frac{3}{2}$

A energia eletrostática de um sistema de cargas pontuais é obtida somando a energia associada a cada par de cargas. Como o triângulo é equilátero, todas as separações entre as cargas são iguais a L. Assim, cada par contribui com$\frac{k{q}_i{q}_j}{L}$, em que k é a constante eletrostática.

Na configuração inicial, as cargas são +Q, +Q e −Q. Os três pares de cargas são:

$(+Q)(+Q)=+Q^2$

$(+Q)(-Q)=-Q^2$

$(+Q)(-Q)=-Q^2$

A soma dos produtos das cargas é, portanto, +Q² − Q² − Q² = −Q². Logo, a energia inicial é$E_1=-\frac{k{Q}^2}{L}$.

Após substituir uma das cargas +Q por −Q, a configuração passa a ser formada por duas cargas −Q e uma carga +Q.

Novamente, há um par de cargas negativas, cujo produto é +Q², e dois pares com sinais opostos, cada um com produto −Q². A soma permanece igual a −Q², de modo que$E_2=-\frac{k{Q}^2}{L}$.

As duas energias têm o mesmo valor algébrico. Portanto, a razão entre elas é$\frac{E_2}{E_1}=1$.

Para resolver essa questão, utilizaremos o Teorema da Conservação da Energia Mecânica, uma vez que não há forças dissipativas (atrito).

Energia no Ponto A (Inicial):

No ponto A, a carga está em repouso $({\mathrm{v}}_{\mathrm{A}}=0$
${\mathrm{E}}_{\mathrm{C}\left(\mathrm{A}\right)}=0)$ ao nível do solo $({\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}=0$
${\mathrm{E}}_{\mathrm{pg}\left(\mathrm{A}\right)}=0).$ A única energia presente é a Energia Potencial Eletrostática devido à carga no ponto O.

${\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{kQq}}{\mathrm{d}}$

Energia no Ponto B (Final)

No ponto B, a carga possui energia cinética, potencial gravitacional e potencial eletrostática. Para determinar a energia potencial eletrostática, utilizaremos a Lei dos cossenos para determinar a distância OB necessária para o seu cálculo. 

Determinação da distância OB:

Temos um triangulo isósceles com dois lados iguais a d e o ângulo entre eles é de $180°–\mathrm{\theta },$ pois pela lei dos cossenos no triângulo, onde e o ângulo externo é $\mathrm{\theta }$ (o ângulo interno em A é $180°–\mathrm{\theta }):$

$${\overline{\mathrm{OB}}}^2={\mathrm{d}}^2+{\mathrm{d}}^2-2{\mathrm{d}}^2\cdot \cos (180°-\mathrm{\theta })\Rightarrow$$
$${\overline{\mathrm{OB}}}^2=2{\mathrm{d}}^2(1-\cos (180°-\mathrm{\theta }))$$

Usando a identidade trigonométrica $\cos (\mathrm{a}-\mathrm{b})=\cos \hspace{0.17em}\mathrm{a}\cdot \cos \hspace{0.17em}\mathrm{b}+\mathrm{sen}\hspace{0.17em}\mathrm{a}\cdot \mathrm{sen}\hspace{0.17em}\mathrm{b},$ temos:

$\cos (180°-\mathrm{\theta })=\cos \hspace{0.17em}180°\cdot \cos \hspace{0.17em}\mathrm{\theta }+\mathrm{sen}\hspace{0.17em}180°\cdot \mathrm{sen}\hspace{0.17em}\mathrm{\theta }\underset{\mathrm{sen}\mathrm{\hspace{0.17em}}180°=0}{\overset{\cos \mathrm{\hspace{0.17em}}180°=-1}{\to }}\cos (180°-\mathrm{\theta })=-\cos \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\theta }$

Substituindo na expressão de OB:

$${\overline{\mathrm{OB}}}^2=2{\mathrm{d}}^2(1-\cos (180°-\mathrm{\theta }))=2{\mathrm{d}}^2(1-(-\cos \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\theta }))\Rightarrow$$
$${\overline{\mathrm{OB}}}^2=2{\mathrm{d}}^2(1+\cos \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\theta })$$
$$\overline{\mathrm{OB}}=\sqrt{2{\mathrm{d}}^2(1+\cos \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\theta })}=\mathrm{d}\sqrt{2(1+\cos \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\theta })}$$ 

Energia potencial eletrostática no ponto B:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{pe}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{\mathrm{kQq}}{\overline{\mathrm{OB}}}=\frac{\mathrm{kQq}}{\mathrm{d}\sqrt{2(1+\cos \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\theta })}}$ 

Altura de B(h). A altura em relação ao solo é dada pela projeção vertical do segmento AB na rampa:

$\mathrm{sen}\hspace{0.17em}\mathrm{\theta }=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}$
$\mathrm{h}=\mathrm{d}\cdot \mathrm{sen}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\theta }$

Energia potencial gravitacional em B:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{pg}\left(\mathrm{B}\right)}=\mathrm{mgh}=\mathrm{mgd}\cdot \mathrm{sen}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\theta }$ 

Energia cinética em B: A partir da energia cinética no ponto B, descobriremos a velocidade da partícula que é o que se pede na questão.

${\mathrm{E}}_{\mathrm{c}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{\mathrm{m}\cdot {{\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}}^2}{2}$ 

Energia Total em B: A energia total no ponto B é a soma da energia potencial eletrostática, da energia potencial gravitacional e da energia cinética.

$E_B=E_{\mathrm{pe}\left(B\right)}+E_{\mathrm{pg}\left(B\right)}+E_{c\left(B\right)}=\frac{\mathrm{kQq}}{d\sqrt{2(1+\cos \hspace{0.17em}\theta )}}+\mathrm{mgd}\cdot \mathrm{sen}\hspace{0.17em}\theta +\frac{m\cdot {v_B}^2}{2}$ 

Usando o Princípio da Conservação da Energia para os pontos A e B, temos:

$E_A=E_B$
$\frac{\mathrm{kQq}}{d}=\frac{\mathrm{kQq}}{d\sqrt{2(1+\cos \hspace{0.17em}\theta )}}+\mathrm{mgd}\cdot \mathrm{sen}\hspace{0.17em}\theta +\frac{m\cdot {v_B}^2}{2}$ 

Isolando o termo da velocidade:

$\frac{m\cdot {v_B}^2}{2}=\frac{\mathrm{kQq}}{d}-\frac{\mathrm{kQq}}{d\sqrt{2(1+\cos \hspace{0.17em}\theta )}}-\mathrm{mgd}\cdot \mathrm{sen}\hspace{0.17em}\theta$

Multiplicando por $\frac{2}{m}:$

${v_B}^2=\frac{2\mathrm{kQq}}{\mathrm{md}}-\frac{2\mathrm{kQq}}{\mathrm{md}\sqrt{2(1+\cos \hspace{0.17em}\theta )}}-2\mathrm{gd}\cdot \mathrm{sen}\hspace{0.17em}\theta$ 

Colocando o fator comum em evidência:

${v_B}^2=\frac{2\mathrm{kQq}}{\mathrm{md}}(1-\frac{1}{\sqrt{2(1+\cos \hspace{0.17em}\theta )}})-2\mathrm{gd}\cdot \mathrm{sen}\hspace{0.17em}\theta$ 

Extraindo a raiz quadrada, obtemos a expressão da alternativa [D]:

$v_B=\sqrt{\frac{2\mathrm{kQq}}{\mathrm{md}}(1-\frac{1}{\sqrt{2(1+\cos \hspace{0.17em}\theta )}})-2\mathrm{gd}\cdot \mathrm{sen}\hspace{0.17em}\theta }$.

Gabarito Oficial: Anulada

Gabarito Super Professor®: [D] – adaptada

Capacitância de capacitor de placas paralelas no vácuo (C₀): A capacitância  de um capacitor de placas paralelas no vácuo é dada pela expressão que envolve a permissividade do dielétrico ${\mathrm{\epsilon }}_0$, a área das placas  e a distância entre as placas d.

${\mathrm{C}}_0=\frac{{\mathrm{\epsilon }}_0}{\mathrm{d}}\cdot \mathrm{A}$

Capacitância com materiais dielétricos diversos (C_n): A capacitância de capacitores com dielétricos diversos fica multiplicada pela constante de permissividade k do material em relação ao capacitor de placas paralelas no vácuo. Como serão inseridos 8 dielétricos de área A e espessura d/8 entre as placas do capacitor, podemos definir a capacitância de cada um dielétrico de acordo com a expressão:

${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{\epsilon }}_0}{\mathrm{d}/8}\cdot \mathrm{A}=8{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{\epsilon }}_0}{\mathrm{d}}\cdot \mathrm{A}\stackrel{{\mathrm{C}}_0=\frac{{\mathrm{\epsilon }}_0}{\mathrm{d}}\cdot \mathrm{A}}{\to }{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}=8{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0$  

Série dos dielétricos: Cada dielétrico a partir do primeiro é a metade do anterior, sendo k₁ = 10. A sequência dos dielétricos representa uma progressão geométrica de razão 1/2.

${\mathrm{k}}_1=10,\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{k}}_2=\frac{10}{2},\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{k}}_3=\frac{10}{2^2},\mathrm{\hspace{0.17em}}\cdots ,{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}=\frac{10}{2^{\mathrm{n}-1}}$
${\mathrm{k}}_8=\frac{10}{2^7}$

Capacitância equivalente (C_eq): O dispositivo representa uma associação em série de capacitores em que a capacitância equivalente é obtida pelo somatório dos inversos das capacitâncias individuais de cada dielétrico de constante k_i.

$\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{{\mathrm{C}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{C}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{C}}_3}+\cdots +\frac{1}{{\mathrm{C}}_8}\Rightarrow$

Substituindo-se pela expressão para cada dielétrico e fatorando:

$\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{8{\mathrm{k}}_1{\mathrm{C}}_0}+\frac{1}{8{\mathrm{k}}_2{\mathrm{C}}_0}+\frac{1}{8{\mathrm{k}}_3{\mathrm{C}}_0}+\cdots +\frac{1}{8{\mathrm{k}}_8{\mathrm{C}}_0}=\frac{1}{8{\mathrm{C}}_0}(\frac{1}{{\mathrm{k}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{k}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{k}}_3}+\cdots +\frac{1}{{\mathrm{k}}_8})$

Usando-se os valores para as constantes dos dielétricos:

$\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{8{\mathrm{C}}_0}(\frac{1}{10}+\frac{1}{10/2}+\frac{1}{10/2^2}+\cdots +\frac{1}{10/2^7})$

Fatorando mais uma vez, temos:

$\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{80{\mathrm{C}}_0}(1+2+2^2+\cdots +2^7)$

Nota-se que a soma dentro dos parênteses representa uma PG agora de razão 2. Assim, podemos determinar a soma finita.

$1+2+2^2+\cdots +2^7={\mathrm{S}}_8=\frac{{\mathrm{a}}_1\cdot ({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}-1)}{\mathrm{q}-1}$ (fórmula da soma dos termos de uma PG finita).

$1+2+2^2+\cdots +2^7=S_8=\frac{1\cdot (2^8-1)}{2-1}$
$S_8=\frac{256-1}{1}=255$

Finalmente, podemos obter a capacitância equivalente da associação:

$\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{80{\mathrm{C}}_0}(1+2+2^2+\cdots +2^7)$
$\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}}=\frac{255}{80{\mathrm{C}}_0}$

Invertendo os dois lados da equação:

${\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}=\frac{80{\mathrm{C}}_0}{255}\stackrel{\mathrm{simplificando}}{\to }{\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}=\frac{16{\mathrm{C}}_0}{51}$

Sabendo que a energia armazenada em um capacitor é dada por $\mathrm{E}=\frac{{\mathrm{CV}}^2}{2 },$ e que a capacitância equivalente de dois capacitores em paralelo é dada por ${\mathrm{C}}_{\mathrm{eq}}={\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_{2 },$ temos:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{U}=\frac{{\mathrm{XV}}^2}{2}\\ {\mathrm{U}}^{\mathrm{\prime }}=\frac{(\mathrm{X}+\mathrm{Y}){\mathrm{V}}^2}{2}\end{array}\right.$
$\frac{\mathrm{U}}{{\mathrm{U}}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{\frac{\mathrm{X}\cancel{{\mathrm{V}}^2}}{\cancel{2}}}{\frac{(\mathrm{X}+\mathrm{Y})\cancel{{\mathrm{V}}^2}}{\cancel{2}}}=\frac{\mathrm{X}}{\mathrm{X}+\mathrm{Y} }$

Princípio de Conservação de Energia

O problema afirma que a partícula B se desloca exclusivamente devido à força de interação elétrica. Como a força elétrica é uma força conservativa, a Energia Mecânica total do sistema se conserva.

${\text{E}}_{\mathrm{mec}.\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{inicial}}={\mathrm{E}}_{\mathrm{mec}.\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{final}}$

A Energia Mecânica $\left({\mathrm{E}}_{\mathrm{mec}.}\right)$ é a soma da Energia Potencial Elétrica (U) e da Energia Cinética (K):

${\mathrm{U}}_{\mathrm{inicial}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{inicial}}={\mathrm{U}}_{\mathrm{final}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{final}}$
${\mathrm{U}}_{\mathrm{i}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{i}}={\mathrm{U}}_{\mathrm{f}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}$

Determinação dos Valores de Energia no Gráfico

De acordo com o gráfico, a partícula B é liberada em r_i =0,25 m (inicial) e a velocidade é calculada em r_f =1,75 m (final).

[A] Energia Potencial Inicial (U_i): Pelo gráfico, na distância r_i =0,25 m, a energia potencial elétrica é: U_i =0,035 J

[B] Energia Potencial Final (U_f): Pelo gráfico, na distância r_f =1,75 m, a energia potencial elétrica é: U_f =0,005 J

[C] Energia Cinética Inicial (K_i): A partícula é liberada, o que implica que a velocidade inicial é nula (v_i =0).

${\text{K}}_{\mathrm{i}}=\frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\cdot {{\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}}^2}{2}\stackrel{{\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}=0}{\to }$
${\mathrm{K}}_{\mathrm{i}}=0\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{J}$

Cálculo da Velocidade Final (v_f)

Aplicando a conservação da energia, obtém-se a energia cinética final:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{i}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{i}}={\mathrm{U}}_{\mathrm{f}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}$
$0,035\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{J}+0\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{J}=0,005\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{J}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}$
${\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}=0,035\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{J}-0,005\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{J}$
${\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}=0,030\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{J}$

​

[D] Para o cálculo da Velocidade Final (v_f), Usamos a fórmula da energia cinética:

${\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}=\frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}\cdot {{\mathrm{v}}_{\mathrm{f}}}^2}{2}$
${\mathrm{v}}_{\mathrm{f}}=\sqrt{\frac{2\cdot {\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}}}}$​

Substituindo os valores: K_f = 0,030 J e m_B = 2 kg:

${\text{v}}_{\mathrm{f}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0,030\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{J}}{2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{kg}}}=\sqrt{0,030\mathrm{\hspace{0.17em}}{\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}$
${\mathrm{v}}_{\mathrm{f}}\approx 0,173\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

A energia potencial eletrostática do sistema é a soma das energias associadas a cada par de cargas. Para um par, essa energia é proporcional ao produto dos módulos das cargas e inversamente proporcional à distância entre elas.

Ao dobrar cada carga, o produto entre duas cargas é multiplicado por 4. Ao mesmo tempo, dobrar o lado do triângulo dobra a distância entre todos os pares de cargas, o que introduz um fator 2 no denominador. Assim, cada parcela da energia é multiplicada por:

$\frac{2^2}{2}=2$

Como todas as três interações entre pares de cargas sofrem esse mesmo fator, a energia total também dobra. Partindo de 10 mJ, obtém-se:

$U_f=2\times 10\text{mJ}=20\text{mJ}$

I — Incorreta. Não há evidência experimental de monopolos magnéticos isolados na natureza. Os ímãs apresentam sempre dois polos, norte e sul; quando um ímã é dividido, cada fragmento continua formando um dipolo magnético, com os dois polos. Portanto, não se observam cargas magnéticas isoladas de modo análogo às cargas elétricas.

II — Correta. A intensidade da força eletrostática entre duas cargas puntiformes é dada pela lei de Coulomb e varia inversamente com o quadrado da distância entre elas. Se a distância inicial é r, a força tem intensidade proporcional a 1/r². Ao dobrar essa distância, ela passa a ser proporcional a 1/(2r)², isto é, 1/(4r²). Assim, a nova força corresponde a 1/4 da força inicial.

III — Correta. A energia eletrostática entre duas cargas puntiformes varia inversamente com a distância, sendo proporcional a 1/r. Quando a distância passa de r para 2r, a energia passa a ser proporcional a 1/(2r), correspondendo à metade do valor inicial. Em termos de intensidade, a energia eletrostática fica igual a 1/2 da inicial.

As afirmativas II e III são as únicas compatíveis com as relações físicas envolvidas.