Exercícios de Campo elétrico

A tensão U em um campo elétrico uniforme E em relação à distância  d entre seus eletrodos é dada por:

$\mathrm{U}=\mathrm{E}\cdot \mathrm{d}$

A expressão que relaciona a força elétrica  F e a carga q com o campo elétrico é:

$\mathrm{E}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{q}}$

Juntando as duas equações tem-se uma relação envolvendo força, carga, tensão e distância, logo, substituindo-se os valores fornecidos e transformando-se as unidades para o Sistema Internacional, tem-se:

$\text{E=}\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{U}}{\mathrm{d}}$
$\mathrm{F}=\frac{\mathrm{q}\cdot \mathrm{U}}{\mathrm{d}}=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{C}\cdot 4\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{V}}{5\cdot {10}^{-3}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}}$
$\mathrm{F}=1,28\cdot {10}^{-16}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{N}$

Para resolver essa questão, analisaremos a interação entre a carga elétrica e o campo elétrico usando as leis da eletrostática e a segunda lei de Newton. 

Força elétrica:

Quando uma carga q é colocada em um campo elétrico E, ela sofre a ação de uma força dada por:

${\mathrm{F}}_{\mathrm{e}}=\mathrm{q}\cdot \mathrm{E}$ 

– Se a carga for positiva (q > 0): A força terá o mesmo sentido do campo elétrico. Como o campo está orientado para a direita (eixo x positivo), a carga se moverá para a direita.

– Se a carga for negativa (q < 0): A força terá o sentido oposto ao campo elétrico (moveria-se para o eixo x negativo).

Cálculo da Aceleração:

De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força resultante (neste caso, apenas a elétrica, pois desprezamos a gravidade) é igual ao produto da massa pela aceleração:

${\mathrm{F}}_{\mathrm{R}}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{a}$ 

Igualando as duas expressões:

$${\mathrm{F}}_{\mathrm{e}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{R}}$$
$$\mathrm{q}\cdot \mathrm{E}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{a}$$

Isolando a aceleração:

$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{q}\cdot \mathrm{E}}{\mathrm{m}}$

Análise das afirmativas:

[A] Falsa. Existe uma força resultante, logo haverá movimento acelerado.

[B] Falsa. Embora o sentido esteja correto para uma carga negativa, a fórmula da aceleração está invertida (mq/E em vez de qE/m).

[C] Verdadeira. Uma carga positiva segue o sentido do campo (eixo x positivo) e a aceleração é qE/m.

[D] Falsa. O campo é horizontal (paralelo ao eixo x), portanto a força não pode ser vertical. Além disso, a fórmula da aceleração apresentada não possui fundamento físico.

A alternativa A está incorreta porque o movimento espontâneo em direção a potenciais menores é uma característica exclusiva de cargas com sinal positivo, não sendo uma regra para todas as cargas elétricas.

A opção B apresenta-se como correta, visto que a definição de um campo elétrico uniforme implica que a intensidade e a direção da força elétrica sobre qualquer carga presente na região permanecerão invariáveis.

Quanto à alternativa C, ela é falsa pois o deslocamento realizado estritamente sobre uma superfície equipotencial não acarreta mudanças no valor da energia potencial elétrica do sistema.

A afirmação D é improcedente, dado que processos espontâneos de movimentação resultam na redução da energia potencial elétrica, e não em seu aumento.

Por fim, a alternativa E está errada ao confundir os conceitos, pois superfícies equipotenciais são caracterizadas pela uniformidade do potencial elétrico em seus pontos, e não pela igualdade dos vetores de campo elétrico.

Aceleração da partícula B:

$${\mathrm{F}}_{\mathrm{R}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{el}}$$
$$\mathrm{ma}={\mathrm{q}}_{\mathrm{B}}\mathrm{E}$$
$$40\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{a}=8\cdot {10}^{-6}\cdot 2\cdot {10}^3$$
$$\mathrm{a}=0,4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{-2}$$ 

Considerando as velocidades relativas entre A e B, os possíveis valores de $\left|{\overrightarrow{\mathrm{v}}}_{\mathrm{A}}\right|$ são dados por:

$${\mathrm{v}}^2={{\mathrm{v}}_0}^2+2\mathrm{a\Delta s}$$
$$\{\begin{array}{l}0={({\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{mín}}})}^2-2\mathrm{ad}\\ {{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}}}^2={({\mathrm{v}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}})}^2-2\mathrm{ad}\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}0={(32+{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{mín}}})}^2-2\cdot 0,4\cdot 2000\\ {{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}}}^2={(32+{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}})}^2-2\cdot 0,4\cdot 2000\end{array}$$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}0={(32+{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{mín}}})}^2-1600\\ {{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}}}^2={(32+{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}})}^2-1600\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{(32+{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{mín}}})}^2=1600\\ 0=1024+64{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}}-1600\end{array}$$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}32+{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{mín}}}=40\\ 64{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}}=576\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{mín}}}=8\\ {\mathrm{v}}_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{máx}}}=9\end{array}8\mathrm{m}/\mathrm{s}<\left|{\overrightarrow{\mathrm{v}}}_{\mathrm{A}}\right|<9\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

[I] Falsa. Nem toda partícula elementar possui carga elétrica (o que daria origem a um campo elétrico), como o nêutron, por exemplo.

[II] Falsa. O campo elétrico diminui com o quadrado de distância de acordo com a equação abaixo:

$E=\frac{k\cdot \left|q\right|}{d^2}$

[III] Verdadeira. Nesse caso, uma força passa a atuar sobre a carga de acordo com a equação abaixo:

$F=q\cdot E$

A velocidade permanece constante, portanto a aceleração da carga é nula. Como a única força considerada é a força elétrica, a força resultante também deve ser igual a zero.

A força elétrica sobre uma carga Q em um campo elétrico é dada por $\overrightarrow{F}=Q\overrightarrow{E}$. Assim, para que a força resultante seja nula, o campo elétrico total na região precisa desaparecer:

${\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{E}}_2=\overrightarrow{0}$

Como o primeiro campo é ${\overrightarrow{E}}_1=(E,0,0)$, isolando o segundo campo na igualdade vetorial, obtém-se:

${\overrightarrow{E}}_2=-{\overrightarrow{E}}_1$

A operação de multiplicação por −1 troca o sinal de cada componente do vetor. Portanto, a componente x, que era E, passa a ser −E, enquanto as componentes y e z permanecem nulas:

${\overrightarrow{E}}_2=(-E,0,0)$

Para r = R, E = 0. Logo:

$$\mathrm{E}=\mathrm{Acos}\left(\frac{3\mathrm{r\pi }}{2\mathrm{R}}\right)+\frac{(2-\mathrm{r}{)}^2}{\mathrm{R}}-1$$
$$0=\mathrm{Acos}\left(\frac{3\mathrm{R\pi }}{2\mathrm{R}}\right)+\frac{(2-\mathrm{R}{)}^2}{\mathrm{R}}-1$$
$$0=\mathrm{Acos}\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)+\frac{(2-\mathrm{R}{)}^2}{\mathrm{R}}-1$$
$$(2-\mathrm{R}{)}^2=\mathrm{R}$$
$${\mathrm{R}}^2-5\mathrm{R}+4=0$$
$$\mathrm{R}=1\mathrm{m} \mathrm{ou} \mathrm{R}=4\mathrm{m}$$

Como R < 3 m, R = 1 m. Como o campo resultante no centro é nulo, temos que:

$$0=\mathrm{Acos}\left(\frac{3\cdot 0\cdot \mathrm{\pi }}{2\cdot 1}\right)+\frac{(2-0{)}^2}{1}-1$$
$$0=\mathrm{A}+4-1$$
$$\mathrm{A}=-3\mathrm{V}/\mathrm{m}$$

Componentes horizontal e vertical do campo resultante E_R entre E₁ e E₂:

$${\mathrm{E}}_{{\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}}=-{\mathrm{E}}_1\cos {45}^{\circ }-{\mathrm{E}}_2=-\frac{\mathrm{kQ}}{{\left(\mathrm{d}\sqrt{2}\right)}^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\mathrm{kQ}}{{\mathrm{d}}^2}=-\frac{\mathrm{kQ}}{{\mathrm{d}}^2}\left(\frac{\sqrt{2}+4}{4}\right)$$
$${\mathrm{E}}_{{\mathrm{R}}_{\mathrm{y}}}=-{\mathrm{E}}_1\mathrm{sen}{45}^{\circ }=-\frac{\mathrm{kQ}}{{\left(\mathrm{d}\sqrt{2}\right)}^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\mathrm{kQ}\sqrt{2}}{4{\mathrm{d}}^{2 }}$$

Logo, as componentes de E devem ser:

$${\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{kQ}}{{\mathrm{d}}^2}\left(\frac{\sqrt{2}+4}{4}\right)$$
$${\mathrm{E}}_{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{kQ}\sqrt{2}}{4{\mathrm{d}}^{2 }}$$

Sendo assim, o ânguloé dado por:

$$\mathrm{tg\theta }=\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{y}}}{{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}}=\frac{\frac{\mathrm{kQ}\sqrt{2}}{4{\mathrm{d}}^2}}{\frac{\mathrm{kQ}}{{\mathrm{d}}^2}\left(\frac{\sqrt{2}+4}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{4}{\sqrt{2}+4}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+4}\cdot \frac{\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}-4}=\frac{2-4\sqrt{2}}{2-16}=\frac{2\sqrt{2}-1}{7}$$
$$\mathrm{\theta }=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\sqrt{2}-1}{7} \right)$$

Para determinar qual ponto da tela será atingido, é necessário analisar a força elétrica exercida pelo campo elétrico sobre o feixe de elétrons na região B.

A força elétrica que atua sobre uma carga colocada em um campo elétrico é determinada pela relação:

$F=q·E$

Nessa expressão,$\overrightarrow{\mathrm{F}}$representa o vetor força elétrica,$\mathrm{q}$representa a carga elétrica da partícula e$\overrightarrow{\mathrm{E}}$representa o vetor campo elétrico na região considerada.

O feixe é formado por elétrons. Como o elétron possui carga negativa,$\mathrm{q}$< 0. Por isso, a força elétrica que atua sobre ele tem sentido oposto ao do campo elétrico. Essa inversão de sentido ocorre porque, na relação entre força, carga e campo, uma carga negativa altera o sentido do vetor força em relação ao vetor campo.

De acordo com a configuração mostrada para a região B, o campo elétrico aponta verticalmente para cima. Portanto, como os elétrons têm carga negativa, a força elétrica sobre o feixe aponta verticalmente para baixo.

O feixe já se desloca em direção à tela e, ao atravessar a região B, sofre esse desvio descendente. Assim, ele não atingirá os pontos superiores da tela, mas alcançará o ponto situado na parte inferior, indicado pelo número 2.

Resposta: alternativa b) 2.

Para compreender o comportamento da partícula, é necessário analisar a interação entre as forças que atuam sobre ela no sistema de placas paralelas. O enunciado indica que o campo elétrico possui uma direção e sentido verticais específicos. Como as linhas de campo elétrico emergem de cargas positivas e convergem para cargas negativas, a orientação do vetor campo elétrico para cima implica que a placa inferior possui potencial positivo e a placa superior possui potencial negativo.

A primeira força a ser considerada é a força elétrica, cuja intensidade é dada pelo produto da magnitude da carga pela magnitude do campo. A direção dessa força depende estritamente do sinal da carga q. Se a partícula possuir uma carga negativa, a força elétrica terá sentido oposto ao vetor campo elétrico, ou seja, apontará para baixo. Caso a carga seja positiva, a força elétrica seguirá o mesmo sentido do campo, apontando para cima.

A segunda força presente é a força gravitacional, que atua sempre com sentido para baixo, independentemente da natureza da carga. Essa força é definida pelo produto da massa m pela aceleração da gravidade

Analisando o cenário onde a carga q é negativa, tanto a força elétrica quanto a força gravitacional estarão direcionadas para baixo. Como ambas as forças atuam no mesmo sentido, a resultante será uma força total voltada para baixo, provocando um movimento de descida com aceleração constante, caracterizando um movimento retilíneo uniformemente variado.

Por outro lado, se a carga q for positiva, a força elétrica apontará para cima e a força gravitacional apontará para baixo. Nesse caso, as forças são antagônicas. Se o enunciado estabelece que a intensidade da força gravitacional é menor do que a intensidade da força elétrica, a força resultante terá sentido para cima. Isso significa que a aceleração resultante será positiva (para cima), fazendo com que a partícula suba com uma velocidade que aumenta linearmente com o tempo, o que define um movimento retilíneo uniformemente variado.

Conclui-se, portanto, que ao considerar uma carga positiva e uma força elétrica superior à gravitacional, a partícula experimentará uma aceleração ascendente, validando a alternativa D como a correta.