Exercícios de Campo elétrico com resolução comentada

A tensão elétrica U entre dois pontos de um campo elétrico uniforme relaciona-se com a intensidade do campo elétrico E e com a distância d entre esses pontos pela expressão:

\[U = E \cdot d\]

Nessa relação, U é a tensão elétrica, medida em volts (V), E é a intensidade do campo elétrico, medida em newtons por coulomb (N/C), e d é a distância entre os eletrodos, medida em metros (m). Como a distância fornecida está em milímetros, é necessário convertê-la para o Sistema Internacional:

5 mm = 5 × 10⁻³ m

A força elétrica F que atua sobre uma carga elétrica q em um campo elétrico de intensidade E é dada por:

\[E = \frac{F}{q}\]

Essa expressão mostra que a intensidade da força pode ser obtida multiplicando-se a carga pela intensidade do campo. A carga de cada íon de lítio é q = 1,6 × 10⁻¹⁹ C. Como a tensão e a distância determinam o campo elétrico, podemos combinar as duas relações:

\[\text{E}= \frac{F}{q} = \frac{U}{d}\] \[F = \frac{q \cdot U}{d} = \frac{1.6 \cdot 10^{- 19} \text{C} \cdot 4 \text{V}}{5 \cdot 10^{- 3} \text{m}}\] \[F = 1.28 \cdot 10^{- 16} \text{N}\]

Na substituição, foram utilizados a carga do íon, q = 1,6 × 10⁻¹⁹ C, a tensão aplicada, U = 4 V, e a distância entre os eletrodos, d = 5 × 10⁻³ m. A unidade resultante é o newton, que corresponde à unidade de força no Sistema Internacional.

Portanto, a intensidade da força elétrica que atua sobre cada íon de lítio é 1,28 × 10⁻¹⁶ N. Dessa forma, a alternativa correta é c) 1,28 × 10⁻¹⁶ N.

A carga está inicialmente em repouso, mas isso não significa que permanecerá parada. Como há um campo elétrico uniforme na região, a carga sofre uma força elétrica constante. Como a força gravitacional foi desprezada, essa é a única força resultante que atua sobre a partícula.

Força elétrica e sentido do movimento

Uma carga elétrica inserida em um campo elétrico sofre uma força cuja intensidade é relacionada ao módulo da carga e ao módulo do campo por:

\(F_{e} = q \cdot E\) 

Nessa expressão, F_e representa a força elétrica, q representa o módulo da carga e E representa o módulo do campo elétrico. O sentido da força depende do sinal da carga:

• para uma carga positiva, a força elétrica tem o mesmo sentido do campo elétrico;
• para uma carga negativa, a força elétrica tem sentido oposto ao campo elétrico.

Como o campo está orientado da esquerda para a direita, ele aponta no sentido positivo do eixo x. Portanto, uma carga positiva desloca-se ao longo do eixo x positivo, enquanto uma carga negativa se deslocaria ao longo do eixo x negativo.

Cálculo da aceleração

De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante sobre um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração:

\(F_{R} = m \cdot a\) 

Como a única força considerada é a força elétrica, a força resultante coincide com ela. Assim, podemos igualar as duas expressões:

\[F_{e} = F_{R}\] \[q \cdot E = m \cdot a\]

Para obter a aceleração, dividimos os dois lados da igualdade pela massa m. Dessa forma, a aceleração é:

\(a = \frac{q \cdot E}{m}\) 

Assim, o módulo da aceleração é diretamente proporcional ao módulo da carga e ao módulo do campo elétrico, e inversamente proporcional à massa da partícula. Como a carga é abandonada em repouso, a força elétrica produz uma aceleração constante e, a partir daí, a partícula passa a se mover no sentido da força.

Análise das alternativas

[A] Falsa. A carga não permanece em repouso, pois o campo elétrico exerce sobre ela uma força elétrica não nula. Portanto, existe uma força resultante e, consequentemente, uma aceleração.

[B] Falsa. O sentido indicado está correto para uma carga negativa: ela se moveria no sentido negativo do eixo x, oposto ao campo. Entretanto, a expressão apresentada para a aceleração está incorreta. A relação correta é qE/m, e não mq/E.

[C] Verdadeira. Para uma carga positiva, a força elétrica tem o mesmo sentido do campo, isto é, o sentido positivo do eixo x. Além disso, pela segunda lei de Newton, o módulo da aceleração é qE/m. Portanto, essa alternativa está correta.

[D] Falsa. O campo elétrico é horizontal e paralelo ao eixo x. Logo, a força elétrica também é horizontal, não podendo produzir movimento vertical para cima. Além disso, a expressão mqE não corresponde à aceleração obtida pela combinação da força elétrica com a segunda lei de Newton.

Portanto, a alternativa correta é c): se a carga for positiva, ela se deslocará ao longo do eixo x positivo com aceleração de módulo qE/m.

A alternativa A está incorreta porque o movimento espontâneo em direção a potenciais menores é uma característica exclusiva de cargas com sinal positivo, não sendo uma regra para todas as cargas elétricas.

A opção B apresenta-se como correta, visto que a definição de um campo elétrico uniforme implica que a intensidade e a direção da força elétrica sobre qualquer carga presente na região permanecerão invariáveis.

Quanto à alternativa C, ela é falsa pois o deslocamento realizado estritamente sobre uma superfície equipotencial não acarreta mudanças no valor da energia potencial elétrica do sistema.

A afirmação D é improcedente, dado que processos espontâneos de movimentação resultam na redução da energia potencial elétrica, e não em seu aumento.

Por fim, a alternativa E está errada ao confundir os conceitos, pois superfícies equipotenciais são caracterizadas pela uniformidade do potencial elétrico em seus pontos, e não pela igualdade dos vetores de campo elétrico.

Aceleração da partícula B

A partícula A permanece descarregada e, portanto, não sofre força elétrica. Já a partícula B possui carga elétrica, de modo que fica submetida à força elétrica exercida pelo campo uniforme. Como o campo é uniforme, essa força e, consequentemente, a aceleração de B permanecem constantes.

O módulo da força resultante sobre B é igual ao módulo da força elétrica:

\[F_{R} = F_{\text{el}}\]

Pela segunda lei de Newton, a força resultante é o produto da massa pela aceleração. Para uma carga elétrica em um campo elétrico uniforme, o módulo da força elétrica é dado pelo produto do módulo da carga pelo módulo do campo:

\[ma = q_{B} E\]

Embora a carga de B seja negativa, o sinal apenas indica que a força tem sentido oposto ao do campo elétrico. Para calcular a aceleração em módulo, usamos o módulo da carga, igual a 8 μC = 8 · 10⁻⁶ C. A massa é 40 g = 40 · 10⁻³ kg, e a intensidade do campo é 2,0 · 10³ V·m⁻¹:

\[40 \cdot 10^{- 3} \cdot a = 8 \cdot 10^{- 6} \cdot 2 \cdot 10^{3}\]

Isolando a aceleração, obtemos:

\[a = 0.4 \text{m} / s^{- 2}\]

Assim, a partícula B realiza movimento uniformemente variado, com aceleração de módulo 0,4 m/s², enquanto A mantém velocidade constante, pois está descarregada e não sofre força elétrica.

Determinação dos limites para a velocidade de A

Para que ocorram duas ultrapassagens, é necessário analisar o movimento relativo entre as partículas. Como elas se movem no mesmo sentido, a velocidade relativa inicial depende da soma dos módulos envolvidos na situação representada. A distância inicial entre as partículas é d = 2000 m.

Usamos a equação de Torricelli para relacionar velocidade, velocidade inicial, aceleração e deslocamento:

\[v^{2} = \left(v_{0}\right)^{2} + 2 aΔs\]

Nos limites do intervalo possível, a velocidade relativa atinge as situações extremas associadas às duas ultrapassagens. Para o menor valor possível de |v_A|, a velocidade relativa final é nula. Para o maior valor possível, a velocidade relativa final corresponde ao próprio módulo da velocidade de A. Portanto, as condições-limite são:

\[\begin{cases} 0 = \left(v_{B} + v_{A_{\text{m}\acute{i}\text{n}}}\right)^{2} – 2 ad \\ \left(v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}}\right)^{2} = \left(v_{B} + v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}}\right)^{2} – 2 ad \end{cases}\]

Substituindo v_B = 32 m/s, a = 0,4 m/s² e d = 2000 m, resulta:

\[\begin{cases} 0 = \left(32 + v_{A_{\text{m}\acute{i}\text{n}}}\right)^{2} – 2 \cdot 0.4 \cdot 2000 \\ \left(v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}}\right)^{2} = \left(32 + v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}}\right)^{2} – 2 \cdot 0.4 \cdot 2000 \end{cases}\]

O termo 2ad vale 2 · 0,4 · 2000 = 1600. Logo:

\[\begin{array}{l}\begin{cases} 0 = \left(32 + v_{A_{\text{m}\acute{i}\text{n}}}\right)^{2} – 1600 \\ \left(v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}}\right)^{2} = \left(32 + v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}}\right)^{2} – 1600 \end{cases} \\ \begin{cases} \left(32 + v_{A_{\text{m}\acute{i}\text{n}}}\right)^{2} = 1600 \\ 0 = 1024 + 64 v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}} – 1600 \end{cases}\end{array}\]

Resolvendo cada equação, encontramos os valores-limite:

\[\begin{array}{l}\begin{cases} 32 + v_{A_{\text{m}\acute{i}\text{n}}} = 40 \\ 64 v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}} = 576 \end{cases} \\ \begin{cases} v_{A_{\text{m}\acute{i}\text{n}}} = 8 \\ v_{A_{\text{m}\acute{a}\text{x}}} = 9 \end{cases}\end{array}\]

Portanto, o módulo da velocidade da partícula A deve estar entre 8 m/s e 9 m/s, com os extremos não incluídos. Esse intervalo corresponde à alternativa B.

[I] Falsa. A existência de um campo elétrico associado a uma partícula está relacionada à presença de carga elétrica. Nem toda partícula elementar possui carga elétrica não nula. O nêutron, por exemplo, é eletricamente neutro; portanto, a afirmação de que toda partícula elementar possui um campo elétrico associado a ela é incorreta.

[II] Falsa. Para uma carga elétrica puntiforme, a intensidade do campo elétrico depende do inverso do quadrado da distância entre a carga e o ponto considerado, e não apenas do inverso da distância. Essa relação é expressa por:

\[E = \frac{k \cdot \left|q\right|}{d^{2}}\]

Nessa expressão, E representa a intensidade do campo elétrico, k é a constante eletrostática do meio, |q| é o módulo da carga que produz o campo e d é a distância até o ponto em que o campo está sendo calculado. Como a distância aparece elevada ao quadrado no denominador, o campo diminui proporcionalmente a 1/d². Assim, a dependência indicada na afirmativa, proporcional a 1/d, está incorreta.

[III] Verdadeira. Uma partícula com carga elétrica não nula, quando colocada em uma região onde existe um campo elétrico, fica sujeita à ação de uma força elétrica. A relação entre a força, a carga e o campo é:

\[F = q \cdot E\]

Nessa equação, F é a intensidade da força elétrica, q é o valor da carga da partícula e E é a intensidade do campo elétrico no ponto em que ela foi colocada. Como a carga é não nula e há um campo elétrico na região, a força elétrica atua sobre a partícula.

Portanto, a sequência correta é F – F – V, correspondente à alternativa b).

A velocidade permanece constante, portanto a aceleração da carga é nula. Como a única força considerada é a força elétrica, a força resultante também deve ser igual a zero.

A força elétrica sobre uma carga Q em um campo elétrico é dada por \(\overset{\rightarrow}{F} = Q \overset{\rightarrow}{E}\). Assim, para que a força resultante seja nula, o campo elétrico total na região precisa desaparecer:

\(\left(\overset{\rightarrow}{E}\right)_{1} + \left(\overset{\rightarrow}{E}\right)_{2} = \overset{\rightarrow}{0}\)

Como o primeiro campo é \(\left(\overset{\rightarrow}{E}\right)_{1} = \left(E , 0.0\right)\), isolando o segundo campo na igualdade vetorial, obtém-se:

\(\left(\overset{\rightarrow}{E}\right)_{2} = – \left(\overset{\rightarrow}{E}\right)_{1}\)

A operação de multiplicação por −1 troca o sinal de cada componente do vetor. Portanto, a componente x, que era E, passa a ser −E, enquanto as componentes y e z permanecem nulas:

\(\left(\overset{\rightarrow}{E}\right)_{2} = \left(- E , 0.0\right)\)

Como o campo elétrico é nulo para pontos externos à esfera, sua expressão deve coincidir com o valor correspondente na superfície, isto é, em \[r = R\]. Pela definição da função por partes, nessa fronteira o campo vale zero. Portanto, substituímos \[r = R\] na expressão válida no interior

\[E = Acos \left(\frac{3 rπ}{2 R}\right) + \frac{\left(2 – r\right)^{2}}{R} – 1\] \[0 = Acos \left(\frac{3 Rπ}{2 R}\right) + \frac{\left(2 – R\right)^{2}}{R} – 1\] \[0 = Acos \left(\frac{3 \pi}{2}\right) + \frac{\left(2 – R\right)^{2}}{R} – 1\] \[\left(2 – R\right)^{2} = R\] \[R^{2} – 5 R + 4 = 0\] \[R = 1 \text{m} ou R = 4 \text{m}\]

A substituição de \(r = R\) elimina a variável radial da primeira parcela e conduz à equação quadrática para o raio. As duas soluções matemáticas possíveis são \(R = 1 \text{m}\) e \(R = 4 \text{m}\). Entretanto, o enunciado estabelece que o raio deve satisfazer \(R < 3 \text{m}\). Logo, a solução admissível é \(R = 1 \text{m}\)

Com o raio determinado, avaliamos agora o campo no centro da esfera. No centro, a distância radial é \(r = 0\). O campo resultante deve ser nulo, e a substituição de \(r = 0\) e \(R = 1 \text{m}\) fornece

\[0 = Acos \left(\frac{3 \cdot 0 \cdot \pi}{2 \cdot 1}\right) + \frac{\left(2 – 0\right)^{2}}{1} – 1\] \[0 = A + 4 – 1\] \[A = – 3 \text{V} / \text{m}\]

Na última etapa, a parcela que contém o cosseno resulta em \(A\), pois o argumento do cosseno é nulo. A parcela racional vale \(4\), já que \(\left(2 – 0\right)^{2}\) é igual a \(4\) e o denominador é \(1\). Assim, a condição de campo nulo no centro resulta em \(A + 4 – 1 = 0\), de onde se obtém \(A = – 3 \text{V} / \text{m}\)

Portanto, a alternativa correta é c) − 3

Componentes horizontal e vertical do campo resultante E_R entre E₁ e E₂:

\[E_{R_{x}} = – E_{1} cos 45^{\circ} – E_{2} = – \frac{kQ}{\left(d \sqrt{2}\right)^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{kQ}{d^{2}} = – \frac{kQ}{d^{2}} \left(\frac{\sqrt{2} + 4}{4}\right)\] \[E_{R_{y}} = – E_{1} sen 45^{\circ} = – \frac{kQ}{\left(d \sqrt{2}\right)^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = – \frac{kQ \sqrt{2}}{4 d^{2 }}\]

\[E_{x} = \frac{kQ}{d^{2}} \left(\frac{\sqrt{2} + 4}{4}\right)\] \[E_{y} = \frac{kQ \sqrt{2}}{4 d^{2 }}\]

\[tgθ = \frac{E_{y}}{E_{x}} = \frac{\frac{kQ \sqrt{2}}{4 d^{2}}}{\frac{kQ}{d^{2}} \left(\frac{\sqrt{2} + 4}{4}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2} + 4} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 4} \cdot \frac{\sqrt{2} – 4}{\sqrt{2} – 4} = \frac{2 – 4 \sqrt{2}}{2 – 16} = \frac{2 \sqrt{2} – 1}{7}\] \[\theta = arctg \left(\frac{2 \sqrt{2} – 1}{7} \right)\]

Para determinar qual ponto da tela será atingido, é necessário analisar a força elétrica exercida pelo campo elétrico sobre o feixe de elétrons na região B.

A força elétrica que atua sobre uma carga colocada em um campo elétrico é determinada pela relação:

\[F = q \cdot E\] \[\overset{\rightarrow}{F}\] \[q\] \[\overset{\rightarrow}{E}\]

Nessa expressão, \(\overset{\rightarrow}{F}\) representa o vetor força elétrica, \(q\) representa a carga elétrica da partícula e \(\overset{\rightarrow}{E}\) representa o vetor campo elétrico na região considerada.

O feixe é formado por elétrons. Como o elétron possui carga negativa, \(q\) < 0. Por isso, a força elétrica que atua sobre ele tem sentido oposto ao do campo elétrico. Essa inversão de sentido ocorre porque, na relação entre força, carga e campo, uma carga negativa altera o sentido do vetor força em relação ao vetor campo.

De acordo com a configuração mostrada para a região B, o campo elétrico aponta verticalmente para cima. Portanto, como os elétrons têm carga negativa, a força elétrica sobre o feixe aponta verticalmente para baixo.

O feixe já se desloca em direção à tela e, ao atravessar a região B, sofre esse desvio descendente. Assim, ele não atingirá os pontos superiores da tela, mas alcançará o ponto situado na parte inferior, indicado pelo número 2.

Para compreender o comportamento da partícula, é necessário analisar a interação entre as forças que atuam sobre ela no sistema de placas paralelas. O enunciado indica que o campo elétrico possui uma direção e sentido verticais específicos. Como as linhas de campo elétrico emergem de cargas positivas e convergem para cargas negativas, a orientação do vetor campo elétrico para cima implica que a placa inferior possui potencial positivo e a placa superior possui potencial negativo.

A primeira força a ser considerada é a força elétrica, cuja intensidade é dada pelo produto da magnitude da carga pela magnitude do campo. A direção dessa força depende estritamente do sinal da carga q. Se a partícula possuir uma carga negativa, a força elétrica terá sentido oposto ao vetor campo elétrico, ou seja, apontará para baixo. Caso a carga seja positiva, a força elétrica seguirá o mesmo sentido do campo, apontando para cima.

A segunda força presente é a força gravitacional, que atua sempre com sentido para baixo, independentemente da natureza da carga. Essa força é definida pelo produto da massa m pela aceleração da gravidade

\[\overset{\rightarrow}{g}\]

Analisando o cenário onde a carga q é negativa, tanto a força elétrica quanto a força gravitacional estarão direcionadas para baixo. Como ambas as forças atuam no mesmo sentido, a resultante será uma força total voltada para baixo, provocando um movimento de descida com aceleração constante, caracterizando um movimento retilíneo uniformemente variado.

Por outro lado, se a carga q for positiva, a força elétrica apontará para cima e a força gravitacional apontará para baixo. Nesse caso, as forças são antagônicas. Se o enunciado estabelece que a intensidade da força gravitacional é menor do que a intensidade da força elétrica, a força resultante terá sentido para cima. Isso significa que a aceleração resultante será positiva (para cima), fazendo com que a partícula suba com uma velocidade que aumenta linearmente com o tempo, o que define um movimento retilíneo uniformemente variado.

Conclui-se, portanto, que ao considerar uma carga positiva e uma força elétrica superior à gravitacional, a partícula experimentará uma aceleração ascendente, validando a alternativa D como a correta.