Exercícios de Movimento Harmônico Simples com resolução comentada

A aceleração escalar média mede quanto a velocidade escalar varia durante determinado intervalo de tempo. Por isso, ela é calculada dividindo-se a variação da velocidade pelo intervalo de tempo correspondente. Assim, considerando os instantes inicial t = 1 s e final t = 4 s, temos:

A aceleração média\(\left(Δv\right)\)é dada pela razão da variação da velocidade\(\left(Δv\right)\)pelo tempo gasto\(\left(Δt\right)\)entre essa variação. A expressão fornecida para a velocidade permite determinar os valores da velocidade nos dois instantes considerados:

\[v \left(t\right) = – \frac{0.3 \pi}{2} \cdot sen \left(\frac{\pi}{2} \cdot t\right)\]

Nessa expressão,\(v \left(t\right)\)representa a velocidade escalar da sombra no instante\(t\), medida em m/s. O fator que multiplica o seno determina a escala dos valores da velocidade, enquanto o argumento do seno depende do tempo.

A velocidade no instante t = 1 s é obtida substituindo esse valor de tempo na expressão da velocidade:

\[\text{v}(\text{1}\textrm{ }\text{s})=- \frac{0.3 \pi}{2} \cdot sen \left(\frac{\pi}{2} \cdot 1\right)\]

Efetuando a substituição e utilizando o valor correspondente do seno, obtém-se:

\[v \left(1 \text{s}\right) = – \frac{0.3 \pi}{2} \text{m} / \text{s} = – \frac{3 \pi}{20} \text{m} / \text{s}\]

Portanto, no instante inicial do intervalo analisado, a velocidade escalar é negativa. O sinal indica o sentido do movimento segundo a orientação adotada para a sombra.

Agora, calculamos a velocidade no instante t = 4 s:

\[v \left(\right. 4 \text{s} )=- \frac{0.3 \pi}{2} \cdot sen \left(\frac{\pi}{2} \cdot 4\right)\]

A substituição do instante final na função fornece:

\[v \left(4 \text{s}\right) = – \frac{0.3 \pi}{2} \cdot sen \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \text{m} / \text{s}\]

Assim, a variação da velocidade no intervalo considerado é a velocidade final menos a velocidade inicial. É importante manter os sinais algébricos, pois a velocidade inicial é negativa:

\[Δv = v \left(4 \text{s}\right) – v \left(\right. 1 \text{s} )= \left(0 – \left(- \frac{3 \pi}{20}\right)\right) m / \text{s}\]

Subtrair um número negativo equivale a adicioná-lo em módulo. Portanto:

\[Δv = \frac{3 \pi}{20} \text{m} / \text{s}\]

O intervalo de tempo entre os instantes 1 s e 4 s é:

\[\text{a}_{m} = \frac{Δv}{Δt} = \frac{\frac{3 \pi}{20} \text{m} / \text{s}}{\left(4 – 1\right) s}\]

Como a diferença entre os instantes é 3 s, a expressão fica:

\[a_{m} = \frac{\frac{3 \pi}{20} \text{m} / \text{s}}{3 \text{s}}\]

Dividindo a fração por 3, obtemos a aceleração média em unidades de m/s²:

\[a_{m} = \frac{\pi}{20} \text{m} / s^{2} = 0.05 \pi m / s^{2}\]

Para um pêndulo simples, o período de oscilação, isto é, o tempo necessário para realizar uma oscilação completa, depende do comprimento do fio e da aceleração da gravidade no local:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]

Nessa expressão, T representa o período, L é o comprimento do fio e g é a aceleração da gravidade. Como o comprimento do fio do pêndulo inicialmente permanece o mesmo, a alteração relevante ao levá-lo da Terra para a Lua é a redução do valor de g, pois a gravidade lunar é menor que a terrestre.

Assim, como g_Lua < g_Terra, a razão L/g aumenta na Lua. Pela expressão do período, isso faz com que o período do pêndulo aumente. Como frequência e período são grandezas inversamente proporcionais, a frequência diminui, já que \(f = \frac{1}{\text{T}} .\)

Para que a frequência volte a ser igual à que o pêndulo apresentava na Terra, seu período também deve voltar ao valor original. Mantendo-se a gravidade lunar, a maneira de reduzir o período é diminuir o comprimento do fio, pois um fio menor torna a oscilação mais rápida.

Portanto, na Lua, a frequência de oscilação diminui e, para compensar esse efeito e recuperar a frequência original, o comprimento do fio deve ser diminuído. A alternativa correta é a e).

No MHS sem forças resistivas, a energia mecânica total permanece constante durante todo o movimento. Essa energia é igual à energia potencial elástica máxima, atingida nos pontos de elongação máxima, isto é, quando x = A.

A energia potencial elástica associada a uma posição qualquer x é:

\[U = \frac{1}{2} kx^{2}\]

Como a partícula está na posição \(\frac{A}{2} :\), substituímos x por A/2 na expressão da energia potencial:

\[U = \frac{1}{2} k \left(\frac{A}{2}\right)^{2}\]

Ao elevar \(\frac{A}{2}\) ao quadrado, obtemos \(\frac{A^{2}}{4}\). Multiplicando esse resultado pelo fator \(\frac{1}{2}\), segue que:

\[U = \frac{1}{8} kA^{2}\]

A energia mecânica total é igual à energia potencial máxima. No ponto de elongação máxima, x = A, a velocidade é nula e, portanto, a energia cinética também é nula. Assim, toda a energia mecânica está na forma de energia potencial:

\[E = \frac{1}{2} kA^{2}\]

A energia cinética K é obtida pela diferença entre a energia mecânica total e a energia potencial na posição considerada:

\[K = E – U\]

Substituindo os valores encontrados para E e U:

\[K = \frac{1}{2} kA^{2} – \frac{1}{8} kA^{2}\]

Como \(\frac{1}{2}\) é equivalente a \(\frac{4}{8}\), a subtração resulta em:

\[K = \frac{3}{8} kA^{2}\]

A razão solicitada entre a energia cinética e a energia potencial é definida por:

\[R = \frac{K}{U} = \frac{\frac{3}{8} kA^{2}}{\frac{1}{8} kA^{2}}\]

Os fatores comuns \(\frac{1}{8}\) e \(kA^{2}\) aparecem tanto no numerador quanto no denominador e, portanto, são cancelados. Resta:

\[R = 3\]

Como a questão solicita R², elevamos esse resultado ao quadrado:

\[R^{2} = 3^{2}\] \[R = 9\]

Logo, o valor pedido é 9, correspondente à alternativa b).

Como as duas molas são idênticas e o bloco foi deslocado 0,5 m em relação à posição de equilíbrio, uma mola sofre compressão de 0,5 m e a outra sofre alongamento de 0,5 m. Assim, ambas armazenam energia elástica. A deformação tem o mesmo módulo nas duas molas, portanto a energia potencial elástica total é a soma das energias armazenadas individualmente:

\[E_{\text{el}} = \frac{2 kx^{2}}{2} = 8 \cdot 0 , 5^{2}\] \[E_{\text{el}} = 2 \text{J}\]

Nessa expressão, o fator 2 representa a contribuição das duas molas, k é a constante elástica de cada mola, igual a 8 N/m, e x é o módulo da deformação de cada uma, igual a 0,5 m. Portanto, inicialmente, o bloco possui 2 J de energia potencial elástica.

Ao ser abandonado, o bloco começa a oscilar. Como não há atrito nem resistência do ar, a energia mecânica permanece constante. A velocidade máxima ocorre quando o bloco passa pela posição de equilíbrio, pois nesse ponto as molas estão relaxadas e a energia potencial elástica é mínima. Consequentemente, toda a energia elástica inicial se transforma em energia cinética:

\[E_{\text{el}} = E_{\text{cin}} = \frac{\left(mv_{\text{m}\acute{a}\text{x}}\right)^{2}}{2}\] \[2 = \frac{0.2 \left(v_{\text{m}\acute{a}\text{x}}\right)^{2}}{2}\] \[v_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = 2 \sqrt{5} m / \text{s}\]

Na substituição, foi utilizada a massa de 200 g, convertida para 0,2 kg, unidade compatível com a expressão da energia cinética. Portanto, o módulo da velocidade máxima é 2√(5) m/s, correspondente à alternativa b.

Como os dois sistemas são idênticos, ambos possuem o mesmo período de oscilação T. As equações mostram que os movimentos estão em oposição de fase, pois o sistema 2 apresenta um acréscimo de \(\pi\) na fase em relação ao sistema 1. Assim, quando um sistema está deslocado em determinado sentido, o outro está deslocado no sentido oposto.

Para que a luz estroboscópica faça as massas parecerem estacionárias no ponto A, os lampejos devem ocorrer nos intervalos mínimos de tempo que reproduzem a mesma configuração visual do dispositivo. Nesse caso, devido à oposição de fase entre os sistemas, a configuração observada se repete a cada metade do período de oscilação, isto é, após um intervalo igual a T/2.

A frequência estroboscópica é o inverso do intervalo entre dois lampejos consecutivos. Portanto, a maior frequência compatível com essa observação é obtida usando o menor intervalo de repetição, T/2:

\[f_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = \frac{1}{T/2} = \frac{2}{\text{T}} = \frac{2}{\left(2 \pi\right)/\left(\omega\right)} = \frac{\omega}{\pi}\]

Na última igualdade, foi utilizada a relação entre o período e a pulsação do movimento harmônico simples: o período é \(\frac{2 \pi}{\omega}\). Substituindo essa relação na expressão da frequência estroboscópica, obtém-se o valor máximo indicado.

Logo, a alternativa correta é a) \(\frac{\omega}{\pi} .\)

Para o bloco A isolado, o período do MHS é determinado pela massa do bloco e pela constante elástica da mola. Após a colisão, os blocos A e B permanecem unidos, de modo que a massa oscilante passa a ser a massa total m_A + m_B. A constante elástica da mola permanece igual a k = 150 N/m.

Como o novo período é o dobro do período inicial, podemos relacionar as duas expressões do período do sistema massa-mola. A massa do bloco A é 4 kg, portanto:

\[T^{'} = 2 \text{T}\]

A expressão do período de um sistema massa-mola é T = 2π√(m/k). Antes da colisão, a massa é 4 kg; depois, a massa é 4 kg + m_B. Assim, substituindo essas massas na relação entre os períodos:

\[2 \pi \sqrt{\frac{4 + m_{B}}{k}} = 2 \cdot 2 \pi \sqrt{\frac{4}{k}}\]

Os fatores comuns 2π e a constante elástica k podem ser simplificados. Depois, elevando os dois lados ao quadrado, obtém-se a relação entre a massa total após a colisão e a massa inicial:

\[\sqrt{4 + m_{B}} = 4\]

Ao elevar essa igualdade ao quadrado, resulta em 4 + m_B = 16. Portanto, a massa do bloco B é:

\[m_{B} = 12 \text{kg}\]

Como o bloco A foi abandonado a partir da posição de máxima deformação, após um período completo ele retorna a essa mesma posição e tem velocidade instantânea nula. Assim, imediatamente antes da colisão, a quantidade de movimento do sistema é fornecida apenas pelo bloco B.

Durante a colisão, os blocos permanecem unidos. Considerando o sistema A + B isolado de forças externas durante o choque, conserva-se a quantidade de movimento. A velocidade comum imediatamente após a colisão é indicada por v_f:

\[m_{B} v_{B} = \left(m_{A} + m_{B}\right) v_{f}\]

Substituindo m_B = 12 kg, v_B = 2 m/s e m_A + m_B = 4 + 12 = 16 kg:

\[12 \cdot 2 = 16 v_{f}\]

Logo, a velocidade do conjunto imediatamente depois da colisão é:

\[v_{f} = 1.5 \text{m} / \text{s}\]

Para determinar a nova amplitude, usamos a conservação da energia mecânica no movimento posterior à colisão. Logo após o choque, o sistema possui energia cinética associada à velocidade v_f e energia potencial elástica associada à deformação inicial da mola, que corresponde à amplitude inicial de 0,50 m. Quando o sistema atinge a nova amplitude A_f, sua velocidade é nula e toda a energia está armazenada na mola:

\[\frac{\left(m_{A} + m_{B}\right) \left(v_{f}\right)^{2}}{2} + \frac{\left(kA_{0}\right)^{2}}{2} = \frac{\left(kA_{f}\right)^{2}}{2}\]

Nessa igualdade, o primeiro termo representa a energia cinética do sistema AB logo após a colisão, o segundo representa a energia potencial elástica já armazenada na mola e o termo do lado direito representa a energia potencial elástica correspondente à nova amplitude. Substituindo os valores numéricos:

\[16 \cdot 1 , 5^{2} + 150 \cdot 0 , 5^{2} = 150 \left(A_{f}\right)^{2}\]

O lado esquerdo reúne as energias disponíveis imediatamente após a colisão. Isolando a amplitude final, encontramos:

\[A_{f} = 0.7 \text{m}\]

Portanto, a amplitude de oscilação do sistema AB é 0,70 m, correspondente à alternativa d).

[I] Correta. A função da posição do movimento é

\[x \left(t\right) = A \cdot cos \left(ωt + \varphi\right) ,\]

que é a forma geral da posição em um movimento harmônico simples. Nessa expressão, A é a amplitude, ω é a pulsação ou frequência angular, e φ é a fase inicial. Comparando a função fornecida, x(t) = 5·cos(4πt + π/3), com a forma geral, identifica-se que o coeficiente de t é a pulsação. Portanto,

\[\omega = 4 \pi rad / \text{s} .\]

A relação entre a frequência angular e a frequência comum é ω = 2πf. Isolando a frequência, divide-se a pulsação por 2π:

\[f = \omega / 2 \pi = 4 \pi / 2 \pi = 2 \text{Hz} .\]

Assim, tanto a pulsação de 4π rad/s quanto a frequência de 2 Hz estão corretas.

[II] Correta. Na função do MHS, a amplitude é o valor que multiplica o cosseno. Nesse caso, A = 5 mm. A amplitude corresponde ao maior afastamento possível da posição de equilíbrio, isto é, à elongação máxima em módulo. Logo, a elongação máxima da lâmina é de 5 mm.

[III] Correta. No movimento harmônico simples, a aceleração está relacionada à posição pela expressão

\[a \left(t\right) = – \omega^{2} \cdot x \left(t\right) ,\]

em que a(t) é a aceleração instantânea, x(t) é a elongação em relação à posição de equilíbrio e ω é a pulsação. O fator ω² mostra que a aceleração é proporcional à elongação. O sinal negativo indica que a aceleração tem sentido oposto ao deslocamento: quando a lâmina está deslocada para um lado, a aceleração aponta para a posição de equilíbrio. Portanto, a afirmativa está correta.

[IV] Correta. A velocidade no MHS pode ser obtida derivando a função da posição em relação ao tempo. Seu valor máximo ocorre quando a lâmina passa pela posição de equilíbrio e é dado pelo produto entre a pulsação e a amplitude:

\[v \left(max\right) = \omega \cdot A = 4 \pi \cdot 5 = 20 \pi mm / \text{s} .\]

Como a amplitude está expressa em milímetros e a pulsação em radianos por segundo, considerando o radiano uma unidade adimensional, a unidade da velocidade é milímetro por segundo. Portanto, o módulo da velocidade máxima é 20π mm/s.

[V] Incorreta. Em um MHS ideal, não há dissipação de energia por atrito ou por outras forças resistivas. A energia mecânica total é formada pela soma das energias cinética e potencial e permanece constante durante o movimento. Ocorre apenas uma transformação contínua entre essas duas formas de energia: nos extremos da trajetória, a energia é predominantemente potencial; ao passar pela posição de equilíbrio, é predominantemente cinética.

A força restauradora pode realizar trabalho ao longo do movimento, mas esse trabalho apenas transforma energia potencial em cinética ou energia cinética em potencial. Portanto, ela não provoca variação da energia mecânica total. A afirmação de que essa energia varia devido ao trabalho da força restauradora contradiz a conservação da energia no MHS ideal.

As afirmativas I, II, III e IV estão corretas, enquanto a afirmativa V está incorreta. Portanto, a alternativa correta é a letra B: Apenas I, II, III e IV estão corretas.

As coordenadas do ponto luminoso na tela são dadas por dois movimentos harmônicos de mesma frequência angular \(\omega\), com amplitudes \(A\) e \(B\) e diferença de fase \(\delta\). A trajetória resultante depende da diferença de fase entre as oscilações. Para verificar cada afirmação, analisamos separadamente os valores indicados de \(\delta\).

I. Verdadeira. Para \(\delta = 0 ,\) teremos:

\[\begin{cases} X \left(t\right) = Bcos \left(ωt\right) \\ Y \left(t\right) = Acos \left(ωt\right) \end{cases}\] \[\frac{X}{Y} = \frac{B \cancel{cos \left(ωt\right)}}{A \cancel{cos \left(ωt\right)}}\] \[Y = \frac{A}{B} X\]

Na segunda passagem algébrica, os fatores comuns \(cos \left(ωt\right)\) são cancelados, pois aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Obtém-se, assim, uma relação linear entre \(X\) e \(Y\):

\[Y = \frac{A}{B} X\]

Essa é a equação de uma reta que passa pela origem. Como \(X\) varia entre \(- B\) e \(B\), enquanto \(Y\) varia entre \(- A\) e \(A\), essa reta corresponde a uma das diagonais do retângulo de lados \(2 \text{A}\) e \(2 B\).

II. Verdadeira. Para \(\delta = \pi / 2 ,\) teremos:

\[\begin{cases} X \left(t\right) = Bcos \left(ωt\right) \\ Y \left(t\right) = Acos \left(ωt + \frac{\pi}{2}\right) = – Asen \left(ωt\right) \end{cases}\] \[\left(\frac{X}{B}\right)^{2} + \left(\frac{Y}{A}\right)^{2} = 1\]

A identidade trigonométrica utilizada transforma o cosseno deslocado de \(\pi / 2\) em menos seno. Ao eliminar o parâmetro tempo, a relação obtida é a equação de uma elipse centrada na origem, com semieixo horizontal \(B\) e semieixo vertical \(A\). Portanto, seus eixos estão orientados segundo os eixos coordenados.

Além da forma geométrica, o sinal negativo diante do seno determina o sentido de percurso da trajetória: à medida que o tempo aumenta, o ponto percorre a elipse no sentido horário. Logo, a afirmação II é verdadeira.

III. Falsa. Para \(\delta = 3 \pi / 2\) e \(A = B\), teremos:

\[\begin{cases} X \left(t\right) = Acos \left(ωt\right) \\ Y \left(t\right) = Acos \left(ωt + \frac{3 \pi}{2}\right) = Asen \left(ωt\right) \end{cases}\] \[\left(\frac{X}{A}\right)^{2} + \left(\frac{Y}{A}\right)^{2} = 1\] \[X^{2} + Y^{2} = A^{2 }\]

Como as amplitudes são iguais, a elipse se transforma em uma circunferência de raio \(A\), conforme mostram as duas últimas relações. Entretanto, a fase \(3 \pi / 2\) produz \(Y = A sen \left(ωt\right)\), e a evolução temporal correspondente faz o ponto percorrer a circunferência no sentido anti-horário, não no sentido horário. Assim, a afirmação III é falsa.

IV. Verdadeira. Para

\(\delta = \pi ,\)\[\begin{cases} X \left(t\right) = Bcos \left(ωt\right) \\ Y \left(t\right) = Acos \left(ωt + \pi\right) = – Acos \left(ωt\right) \end{cases}\] \[\frac{X}{Y} = \frac{B \cancel{cos \left(ωt\right)}}{- A \cancel{cos \left(ωt\right)}}\] \[Y = – \frac{A}{B} X\]

A relação de fase utilizada é \(cos \left(ωt + \pi\right) = – cos \left(ωt\right)\). Por isso, os fatores dependentes do tempo também podem ser cancelados na razão entre \(X\) e \(Y\), resultando em uma reta com coeficiente angular negativo:

\[Y = – \frac{A}{B} X\]

Essa é a equação da outra diagonal do retângulo de lados \(2 \text{A}\) e \(2 B\). Portanto, a afirmação IV é verdadeira.

As afirmações corretas são I, II e IV. A afirmação III é incorreta porque, embora a trajetória seja circular quando \(A = B\), o sentido do movimento é anti-horário. Logo, a resposta é a) I, II e IV apenas.

Para que o componente de massa M não perca o contato com a plataforma, a força normal que a plataforma exerce sobre ele não pode se tornar negativa. A condição crítica ocorre no instante em que o componente está no limite de perder o contato, isto é, quando a força vertical disponível para sustentá-lo se iguala ao seu peso.

O peso do componente é P = Mg. Como a plataforma oscila verticalmente, a força restauradora associada à oscilação é determinada pela constante elástica equivalente k e pelo deslocamento máximo, que corresponde à amplitude A. No limite crítico, igualamos a força restauradora ao peso:

\[F_{\text{res}} = P\] \[k A = M g\] \[\frac{k}{M} = \frac{g}{A}\]

A primeira igualdade expressa a condição de limite entre manter e perder o contato. Na segunda, utiliza-se a expressão da força restauradora máxima, kA, e a expressão do peso, Mg. Dividindo ambos os lados por MA, obtemos a relação entre a constante elástica por unidade de massa e a razão entre a aceleração da gravidade e a amplitude.

A frequência de um sistema que realiza movimento harmônico simples é dada pela relação entre a constante elástica e a massa. Assim:

\[F = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{M}}\] \[F^{2} = \frac{1}{4 \pi^{2}} \cdot \frac{k}{M}\] \[F^{2} = \frac{g}{4 \pi^{2} \text{A} }\]

Na primeira expressão, F é a frequência de oscilação, k é a constante elástica equivalente do sistema e M é a massa do componente. Ao elevar a expressão ao quadrado, elimina-se a raiz quadrada e surge o fator 4π² no denominador. Em seguida, substitui-se a relação anteriormente obtida, k/M = g/A.

Portanto, o quadrado da frequência crítica é proporcional à aceleração da gravidade e inversamente proporcional à amplitude da oscilação. A expressão obtida corresponde à alternativa a), isto é, g/(4π²A).

O fenômeno descrito no enunciado envolve a interação entre o inseto e a estrutura da teia de aranha. Quando o animal tenta se libertar, ele aplica forças mecânicas sobre os fios que compõem a armadilha, provocando deformações nessas estruturas.
A capacidade de uma teia de ser esticada e retornar à sua configuração original é uma propriedade física característica de materiais elásticos. De acordo com os princípios da mecânica clássica, quando um corpo sofre uma deformação, surge uma força restauradora que atua no sentido oposto ao deslocamento para tentar anular essa alteração.
No contexto apresentado, o movimento de vai e vem (oscilação) ocorre porque a teia funciona como um sistema de molas ou elementos elásticos. À medida que o inseto puxa os fios, a energia potencial elástica é armazenada na estrutura e, ao ser liberada, impulsiona a teia de volta, gerando as vibrações que servem de sinal para a aranha.
Portanto, a força responsável por sustentar esse comportamento oscilatório e permitir que a teia reaja aos puxões do inseto é classificada como uma força elástica.