Exercícios de Física Ondulatória com resolução comentada

A alternativa A está incorreta porque o som viaja com maior rapidez na água em comparação ao ar.

Quanto à opção B, ela é improcedente, visto que a velocidade sonora é diretamente influenciada pelas propriedades do meio de propagação.

No que diz respeito à afirmação C, o erro reside no fato de que as ondas sonoras possuem natureza tridimensional, e não unidimensional.

A alternativa D apresenta um equívoco conceitual ao descrever uma onda transversal como longitudinal, sendo que o movimento vertical da corda caracteriza a natureza transversal.

Por fim, a opção E é a correta, pois confirma que a propagação sonora ocorre de maneira mais veloz em materiais sólidos do que em estados gasosos.

A questão apresenta uma onda sonora, que é uma onda mecânica longitudinal, e um gráfico da variação da pressão do ar em função da distância. Portanto, é necessário interpretar cada dimensão do gráfico de acordo com a grandeza representada em seus eixos.

Em uma representação espacial da onda, a distância horizontal entre dois pontos consecutivos que estão na mesma fase da oscilação — por exemplo, entre duas compressões consecutivas ou entre duas rarefações consecutivas — corresponde ao comprimento de onda, representado pelo símbolo \(\lambda .\)

Assim, a dimensão X, que mede horizontalmente a distância correspondente a um ciclo completo da variação da pressão, representa o comprimento de onda da onda sonora.

A dimensão Y, por sua vez, indica a variação máxima da pressão em relação ao valor de equilíbrio. Essa grandeza corresponde à amplitude da onda. Como o gráfico relaciona pressão e distância, o eixo horizontal representa uma distância, enquanto o eixo vertical representa a variação da pressão.

Análise das alternativas:

[A] Incorreta. O período é o intervalo de tempo necessário para que a onda complete uma oscilação. Como o gráfico apresentado relaciona a pressão com a distância, e não com o tempo, a dimensão X não representa o período.

[B] Correta. A dimensão X representa a distância de um ciclo espacial completo da onda. Essa distância é, por definição, o comprimento de onda.

[C] Incorreta. A amplitude corresponde à máxima variação da pressão em relação ao equilíbrio e é indicada pela dimensão vertical Y, não pela dimensão horizontal X.

[D] Incorreta. A dimensão Y representa a amplitude da variação de pressão. Para determinar o período, seria necessário um gráfico em função do tempo ou uma informação temporal equivalente.

[E] Incorreta. O comprimento de onda é uma distância medida na direção de propagação da onda, portanto está associado à dimensão horizontal X. A dimensão Y representa uma variação de pressão.

Logo, a associação correta é entre X e o comprimento de onda da onda sonora. Portanto, a resposta é a alternativa B.

Para compreender a natureza dos estímulos captados pelos sentidos humanos, é necessário analisar as propriedades físicas das ondas que compõem o som e a luz. O processo de audição ocorre por meio da percepção de ondas sonoras, que são classificadas como ondas mecânicas. Isso significa que elas exigem um meio material, como o ar ou líquidos, para se propagarem, transportando energia através de vibrações das partículas desse meio. No caso específico do som, essas oscilações ocorrem na mesma direção em que a onda se desloca, caracterizando uma natureza longitudinal.

Por outro lado, a visão humana é estimulada pela radiação eletromagnética, com destaque para o espectro da luz visível. Diferente do som, as ondas eletromagnéticas não necessitam de um suporte material para viajar, podendo propagar-se inclusive no vácuo. Do ponto de vista geométrico, essas ondas apresentam uma orientação em que a oscilação dos campos elétricos e magnéticos ocorre de forma perpendicular à direção de propagação, o que as define como ondas transversais.

Portanto, ao relacionar os sistemas biológicos com seus respectivos fenômenos físicos, conclui-se que a audição responde a ondas mecânicas longitudinais e a visão responde a ondas eletromagnéticas.

Para solucionar essa questão, é fundamental distinguir a natureza física das ondas empregadas em cada método de diagnóstico por imagem. A tomografia computadorizada (TC) fundamenta-se no uso de raios X, que são radiações eletromagnéticas caracterizadas por alta frequência e elevado poder de penetração, posicionando-se no espectro entre o ultravioleta e os raios gama.

Da mesma forma, a ressonância magnética (RM) opera através da aplicação de ondas de rádio em conjunto com campos magnéticos potentes. Essas ondas de rádio também possuem natureza eletromagnética, diferenciando-se dos raios X por apresentarem frequências e energias significativamente menores, situando-se em uma região distinta do espectro eletromagnético.

Em contrapartida, a ultrassonografia (USG) não utiliza radiação eletromagnética, mas sim ondas sonoras de alta frequência. O som é classificado como uma onda mecânica, o que implica a necessidade indispensável de um meio material para sua propagação por meio de vibrações moleculares, ao passo que as ondas eletromagnéticas têm a capacidade de viajar inclusive no vácuo.

Dessa maneira, conclui-se que apenas a TC e a RM utilizam ondas do tipo eletromagnético, validando a alternativa D.

Determinação da tração inicial

No instante inicial, t = 0, a força externa ainda não contribui, pois sua intensidade é nula nesse instante. Assim, sobre o bloco atuam verticalmente apenas o peso, dirigido para baixo, e a tração inicial do fio, dirigida para cima. Como o bloco permanece em repouso, a resultante das forças verticais é nula; portanto, a tração tem a mesma intensidade do peso.

\[T_{0} = P = m \cdot g = 0.1 \text{kg} \cdot 10 \text{m} / s^{2}\]

Nessa igualdade, m é a massa do bloco e g é a aceleração da gravidade. O produto dessas grandezas fornece o peso, em newtons.

\[T_{0} = 1 \text{N}\]

Logo, a tração inicial no fio é de 1 N.

Determinação da tração em função do tempo

A partir de t = 0, passa a atuar sobre o bloco uma força externa vertical para baixo, cuja intensidade varia com o tempo. O enunciado informa que o bloco continua em repouso. Portanto, em cada instante, a tração do fio deve equilibrar a soma das forças dirigidas para baixo: o peso do bloco e a força externa aplicada.

Assim, a tração instantânea é dada por:

\[T \left(t\right) = P + F \left(t\right)\]

Como o peso vale 1 N e a força externa é F(t) = 0,01t² + 0,2t, obtemos:

\[T \left(t\right) = 1 + 0.01 t^{2} + 0.2 t\]

O polinômio obtido é um trinômio quadrado perfeito, pois:

\[T \left(t\right) = \left(0.1 t + 1\right)^{2}\]

Essa forma será útil para calcular a velocidade de propagação do pulso.

Determinação da velocidade de propagação do pulso

Para uma corda ideal, a velocidade de propagação de um pulso depende da tração T e da densidade linear \(\mu\) da corda. A densidade linear representa a massa por unidade de comprimento. Neste problema:

\[\left(\mu = 4 \times 10^{- 4} \text{kg} / \text{m}\right)\]

A relação entre a velocidade do pulso, a tração e a densidade linear é:

\[v \left(t\right) = \sqrt{\frac{T \left(t\right)}{\mu}} = \sqrt{\frac{\left(0.1 t + 1\right)^{2}}{4 \times 10^{- 4}}} = \frac{0.1 t + 1}{2 \times 10^{- 2}}\]

Na última igualdade, utiliza-se o fato de que a raiz quadrada do quadrado do numerador fornece o próprio numerador, pois a expressão é positiva no intervalo considerado. Além disso, a raiz quadrada de 4 × 10⁻⁴ é 2 × 10⁻².

\[v \left(t\right) = 5 t + 50\]

Portanto, a velocidade não é constante: ela aumenta com o tempo porque a força externa aumenta a tração no fio.

Cálculo do tempo de viagem do pulso

Como a velocidade varia com o tempo, não se pode utilizar diretamente a relação L = vt com uma única velocidade constante. É necessário somar os deslocamentos infinitesimais realizados em cada intervalo de tempo. Matematicamente, isso é feito por meio da integração.

A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo:

\[v \left(t\right) = \frac{dx}{dt}\]

Substituindo a expressão da velocidade, temos:

\[\frac{dx}{dt} = 5 t + 50\]

Multiplicando ambos os lados por dt, obtém-se o deslocamento realizado em um intervalo de tempo infinitesimal:

\[dx = \left(5 t + 50\right) dt\]

O pulso parte no instante 0 e percorre a porção horizontal de comprimento L = 10 m. Assim, integramos o deslocamento de 0 até L e o tempo de 0 até o instante final t_f:

\[\int_{0}^{L} dx = \int_{0}^{t_{f}} \left(5 t + 50\right) dt\]

Integrando o lado esquerdo, resulta o comprimento percorrido L. No lado direito, integramos termo a termo: a integral de 5t é 5t²/2, e a integral de 50 é 50t.

\[L = \left[\frac{5 t^{2}}{2} + 50 t\right]_{0}^{t_{f}}\]

Aplicando os limites de integração, o valor no instante final é subtraído do valor no instante inicial. Como no instante inicial t = 0 ambos os termos são nulos, resta:

\[L = \frac{5 \left(t_{f}\right)^{2}}{2} + 50 t_{f} \overset{L = 10}{\rightarrow} 10 = \frac{5 \left(t_{f}\right)^{2}}{2} + 50 t_{f}\]

Multiplicando essa igualdade por 2, dividindo todos os termos por 5 e reorganizando a expressão, chega-se à equação quadrática:

\[\left(t_{f}\right)^{2} + 20 t_{f} – 4 = 0\]

Resolução da equação quadrática

A equação possui a forma at_f² + bt_f + c = 0, com coeficientes a = 1, b = 20 e c = −4. Aplicando a fórmula de Bhaskara:

\[\left(t_{f}\right)^{2} + 20 t_{f} – 4 = 0\] \[t_{f} = \frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} – 4 \cdot 1 \cdot \left(- 4\right)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 20 \pm \sqrt{416}}{2} = – 10 \pm \sqrt{104}\]

A equação fornece duas raízes. Entretanto, o tempo transcorrido desde o lançamento do pulso não pode ser negativo. Por isso, deve-se escolher a raiz positiva:

\[t_{f} = – 10 + \sqrt{104}\]

Expressando o resultado com a unidade de tempo:

\[t_{f} = \left(\sqrt{104} – 10\right) s\]

Portanto, o intervalo de tempo para o pulso alcançar a extremidade da corda presa à parede é √104 − 10 s, correspondente à alternativa e).

A distância entre duas cristas sucessivas corresponde ao comprimento de onda, representado por \(\lambda\). Portanto, os dados fornecidos permitem identificar diretamente o comprimento de onda e a frequência da onda:

\(\lambda\) = 4,00 m e \(f\) = 25,0 Hz.

Para uma onda periódica, a velocidade de propagação é determinada pela equação fundamental que relaciona a velocidade \(v\), o comprimento de onda \(\lambda\) e a frequência \(f\):

\[v = \lambda \cdot f\]

Substituindo o comprimento de onda de 4 m e a frequência de 25 Hz na relação, obtém-se:

\[v = 4 \text{m} \cdot 25 \text{Hz}\]

Como 1 Hz = 1 s⁻¹, o produto das unidades resulta em metros por segundo. Efetuando a multiplicação dos valores numéricos:

\[v = 100 \text{m} / \text{s}\]

Assim, a velocidade de propagação da onda é 100 m/s. Portanto, a alternativa correta é d) v = 100 m/s.

Para uma corda presa nas duas extremidades, as ondas estacionárias permitidas correspondem aos harmônicos. A frequência do harmônico de ordem \(f_{n} = \frac{nv}{2 L} = \frac{n}{2 L} \sqrt{\frac{T}{\mu }} ,\)

Nessa expressão, n representa a ordem do harmônico, L é o comprimento da corda, T é a intensidade da força de tração e μ é a densidade linear de massa da corda, isto é, a massa por unidade de comprimento. A velocidade de propagação da onda na corda é determinada pela razão entre a tração e a densidade linear, representada pelo fator que aparece na raiz quadrada.

Como se deseja a variação de frequência entre o sexto e o quarto harmônicos, devem ser calculadas as frequências correspondentes a n = 6 e n = 4 e, em seguida, feita a diferença entre elas. Substituindo essas ordens na expressão geral, obtém-se

\[f_{6} – f_{4} = \frac{6}{2 L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} – \frac{4}{2 L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}\] \[\Delta f = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

O fator \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\) é comum aos dois termos e pode ser colocado em evidência. Além disso, a diferença dos coeficientes numéricos é \(\frac{6}{2 L} – \frac{4}{2 L} = \frac{2}{2 L} = \frac{1}{L}\). Portanto, a variação entre as frequências do sexto e do quarto harmônicos é proporcional à raiz quadrada da razão entre a tração e a densidade linear e inversamente proporcional ao comprimento da corda.

Assim, a expressão obtida corresponde à alternativa c)

Na propagação de uma onda, a velocidade v, o comprimento de onda λ e a frequência f estão relacionados pela equação fundamental:

\[v = \lambda \cdot f\]

Nessa relação, v representa a velocidade de propagação da onda, medida em metros por segundo (m/s); λ representa o comprimento de onda, medido em metros (m); e f representa a frequência, medida em hertz (Hz).

O enunciado fornece a velocidade da onda portadora como 3 × 10⁸ m/s e a frequência como 75 MHz. Como o prefixo mega corresponde a 10⁶, a frequência deve ser expressa em hertz para manter a compatibilidade entre as unidades:

\[3 \cdot 10^{8} = \lambda \cdot 75 \cdot 10^{6}\]

Para obter o comprimento de onda, divide-se a velocidade pela frequência. Numericamente, a divisão entre 3 × 10⁸ e 75 × 10⁶ resulta em 4. As unidades também se simplificam corretamente, pois (m/s) dividido por (1/s) resulta em metros:

\[\lambda = 4 \text{m} .\]

Assim, o comprimento de onda da onda portadora é 4,0 m. Portanto, a alternativa correta é d) 4,0 m.

Para compreender a viabilidade desse experimento, é fundamental analisar a natureza das ondas envolvidas no processo de comunicação sonora. O som é classificado como uma onda mecânica, o que significa que sua propagação depende obrigatoriamente da existência de um meio material — seja ele sólido, líquido ou gasoso — para que ocorra a transmissão de energia através de vibrações moleculares.

No cenário descrito, os astronautas encontram-se no espaço, onde predomina o vácuo. Como o vácuo é a ausência de matéria, ele não oferece as partículas necessárias para que as ondas mecânicas se desloquem, impossibilitando a transmissão do som pelo ar ou pelo vazio entre as estações. Entretanto, a presença do barbante tensionado altera essa condição física.

Ao conectar as duas latas por meio do fio, o barbante passa a atuar como o suporte físico indispensável para o fenômeno. Quando um astronauta fala próximo à lata, as vibrações de sua voz são transferidas para o metal e, consequentemente, para o barbante. Como o fio é um meio material sólido, ele permite que essas oscilações mecânicas percorram a distância entre os dois pontos até atingirem a outra extremidade.

Portanto, conclui-se que a comunicação só ocorre porque o barbante funciona como o canal de propagação para as ondas mecânicas, suprindo a incapacidade do vácuo em transmitir o som.

O espaçamento entre dentes consecutivos da serra corresponde ao comprimento de onda \[\lambda\] associado aos pulsos mecânicos produzidos na placa. Como esse espaçamento é de 4 mm, é necessário convertê-lo para metros, pois a velocidade foi fornecida em m/s:

4 mm = 4 ⋅ 10⁻³ m

A relação entre velocidade de propagação, comprimento de onda e frequência é:

\[v = λf\]

Nessa expressão, v é a velocidade da serra, λ é a distância entre dentes consecutivos e f é a frequência com que os dentes atingem a placa. Substituindo v = 0,5 m/s e λ = 4 ⋅ 10⁻³ m:

\[0.5 = 4 \cdot 10^{- 3} f\]

Para determinar a frequência, divide-se a velocidade pelo comprimento de onda:

\[f = 125 \text{Hz}\]

Logo, a placa vibra com frequência de 125 Hz, pois recebe 125 pulsos mecânicos por segundo. Portanto, a alternativa correta é b) 125 Hz.