Exercícios de Ciclo de Carnot com resolução comentada

Seja m’_água a massa de água obtida após o derretimento do gelo. Como a mistura inicialmente contém 45 g de água líquida e a razão entre a massa de gelo e a massa de água líquida é 27, temos:

\[\frac{m_{\text{gelo}}}{45} = 27\] \[m_{\text{gelo}} = m '_{\acute{a}\text{gua}} , = 1215 \text{g} ,\]

Portanto, a massa de gelo é 1215 g. Quando esse gelo derrete, ele se transforma na mesma massa de água líquida, isto é, m’_água = 1215 g. Assim, depois do derretimento, a massa total de água será a soma da água que já estava líquida com a água proveniente do gelo:

\[m_{\text{total}} = 45 + 1215 = 1260 \text{g}\]

Para que toda a mistura inicialmente a 0 °C se transforme em vapor de água a 100 °C, o calor recebido deve ser dividido em quatro etapas:

• aquecer os 45 g de água que já estavam no estado líquido de 0 °C até 100 °C;
• derreter os 1215 g de gelo a 0 °C;
• aquecer de 0 °C até 100 °C a água formada pelo derretimento do gelo;
• vaporizar toda a massa de água, que totaliza 1260 g, a 100 °C.

Usando o calor específico da água, o calor latente de fusão e o calor latente de vaporização fornecidos, o calor total necessário é:

\[Q = m_{\acute{a}\text{gua}} cΔθ + m_{\text{gelo}} L_{\text{fus}\tilde{a}\text{o}} + m '_{\acute{a}\text{gua}} cΔθ^{'} + \left(m_{\acute{a}\text{gua}} + m '_{\acute{a}\text{gua}}\right) L_{\text{vaporiza}\dot{c}\tilde{a}\text{o}}\]

Na expressão, os dois primeiros termos correspondem, respectivamente, ao aquecimento da água inicial e à fusão do gelo. O terceiro termo representa o aquecimento da água proveniente do gelo, e o último termo corresponde à vaporização da massa total de água.

Substituindo os valores, com as massas em gramas, o calor específico em cal/(g·°C) e os calores latentes em cal/g, resulta:

\[Q = 45 \cdot 1 \cdot \left(100 – 0\right) + 1215 \cdot 80 + 1215 \cdot 1 \cdot \left(100 – 0\right) + 1260 \cdot 540\]

O primeiro e o terceiro termos são calor sensível, pois envolvem variação de temperatura. O segundo e o quarto termos são calor latente, pois correspondem a mudanças de estado físico sem variação de temperatura. A soma desses termos fornece:

\[Q = 903600 cal\]

Calor rejeitado pela máquina à fonte fria

Para uma máquina de Carnot, o rendimento depende apenas das temperaturas absolutas da fonte quente e da fonte fria. A fonte quente está a 420 K, e a fonte fria, a 315 K. O trabalho realizado por ciclo é 600 cal.

O rendimento também pode ser escrito como a razão entre o trabalho realizado, representado por τ, e o calor recebido da fonte quente, representado por Q_Q:

\[\eta = 1 – \frac{T_{F}}{T_{Q}} = \frac{\tau}{Q_{Q}}\]

Substituindo as temperaturas e o trabalho realizado em cada ciclo:

\[1 – \frac{315}{420} = \frac{600}{Q_{Q}}\]

O lado esquerdo vale 1/4. Portanto, o calor recebido da fonte quente por ciclo é:

\[Q_{Q} = 2400 cal\]

Em uma máquina térmica de Carnot, a razão entre os calores trocados com as fontes é igual à razão entre as respectivas temperaturas absolutas:

\[\frac{T_{F}}{T_{Q}} = \frac{Q_{F}}{Q_{Q}}\]

Assim, usando o calor recebido da fonte quente por ciclo, determina-se o calor rejeitado à fonte fria em cada ciclo:

\[\frac{315}{420} = \frac{Q_{F}}{2400}\]

Logo, a fonte fria recebe 1800 cal a cada ciclo:

\[Q_{F} = 1800 cal\]

Como todo o calor rejeitado pela máquina é transferido para a mistura, o número de ciclos necessários é obtido dividindo o calor total exigido pela mistura pelo calor fornecido em cada ciclo:

\[N = \frac{903600}{1800} = 502\]

Portanto, são necessários 502 ciclos para que toda a mistura se transforme em vapor de água a 100 °C. A alternativa correta é a letra d).

Como a usina é considerada uma máquina térmica reversível, seu rendimento máximo é determinado pelo rendimento de Carnot. Esse rendimento depende apenas das temperaturas absolutas da fonte quente e da fonte fria, sendo dado por T_Q e T_F, respectivamente.

As temperaturas fornecidas estão em graus Celsius, mas a expressão do rendimento de Carnot exige temperaturas na escala absoluta Kelvin. A conversão é feita somando-se 273 a cada temperatura:

• Fonte quente: 127 °C, portanto 127 + 273 = 400 K;
• Fonte fria: 27 °C, portanto 27 + 273 = 300 K.

O rendimento máximo é a razão entre o trabalho útil produzido e o calor recebido da fonte quente. Para uma máquina reversível, essa relação pode ser calculada pela expressão de Carnot:

\[\eta = 1 – \frac{T_{F}}{T_{Q}} = 1 – \frac{27 + 273}{127 + 273} = 1 – \frac{300}{400} = 0.25 = 25 \%\]

Nessa expressão, η representa o rendimento, T_Q é a temperatura absoluta da fonte quente e T_F é a temperatura absoluta da fonte fria. O resultado 0,25 indica que, no máximo, 25% da energia térmica recebida da fonte quente poderia ser convertida em trabalho mecânico e, posteriormente, em energia elétrica. Os 75% restantes seriam necessariamente rejeitados para a fonte fria.

Portanto, o rendimento máximo da usina seria de 25%, correspondente à alternativa d).

Em uma máquina térmica que opera no ciclo de Carnot, o rendimento máximo depende exclusivamente das temperaturas absolutas dos reservatórios quente e frio. Portanto, devem ser usadas temperaturas em kelvin: T_q = 250 K para o reservatório quente e T_f = 150 K para o reservatório frio.

Para o ciclo de Carnot, o rendimento ou eficiência é obtido por:

\[\eta = 1 – \frac{T_{f}}{T_{q}} = 1 – \frac{150 \text{K}}{250 \text{K}}\] \[\eta = 1 – \frac{3}{5}\] \[\eta = \frac{2}{5 }\]

Assim, o rendimento máximo é 2/5. Isso significa que, a cada ciclo, a fração 2/5 da energia recebida do reservatório quente é convertida em trabalho mecânico, enquanto o restante é rejeitado para o reservatório frio.

O calor rejeitado pelo reservatório frio pode ser calculado usando a relação característica do ciclo de Carnot. Nessa relação, os módulos dos calores trocados são proporcionais às temperaturas absolutas dos respectivos reservatórios:

\[\frac{\left|Q_{f}\right|}{\left|Q_{q}\right|} = \frac{T_{f}}{T_{q}}\] \[\frac{\left|Q_{f}\right|}{\left|1500 \text{J}\right|} = \frac{150 \text{K}}{250 \text{K}}\] \[\left|Q_{f}\right| = 1500 \text{J} \cdot \frac{150 \text{K}}{250 \text{K}}\] \[\left|Q_{f}\right| = 900 \text{J}\]

Na substituição, |Q_q| = 1500 J é o calor recebido do reservatório quente. A razão entre as temperaturas é 150/250 = 3/5, de modo que o calor rejeitado corresponde a 3/5 de 1500 J, resultando em |Q_f| = 900 J. O uso dos módulos indica apenas as quantidades de energia envolvidas, sem considerar os sinais convencionais da termodinâmica.

Finalmente, o trabalho realizado pela máquina em cada ciclo é a diferença entre o calor recebido do reservatório quente e o calor rejeitado para o reservatório frio:

\[\tau = \left|Q_{q}\right| – \left|Q_{f}\right| = 1500 \text{J} – 900 \text{J}\] \[\tau = 600 \text{J}\]

Esse resultado também expressa a conservação da energia: dos 1500 J recebidos do reservatório quente, 900 J são liberados para o reservatório frio e os 600 J restantes são transformados em trabalho.

Logo, a eficiência máxima, o trabalho realizado e a energia liberada para o reservatório frio são, respectivamente, 2/5, 600 J e 900 J. Portanto, a alternativa correta é [A].

Para estimar a taxa máxima de extração de calor, considera-se que a OTEC opere como uma máquina térmica ideal segundo o ciclo de Carnot. O rendimento η representa a razão entre a potência útil produzida, P_U, e a potência térmica recebida da fonte quente, P_T. Para uma máquina de Carnot, esse rendimento também pode ser calculado a partir das temperaturas absolutas da fonte fria, T_F, e da fonte quente, T_Q.

Assim, utiliza-se a relação

\[\eta = \frac{P_{U}}{P_{T}} = 1 – \frac{T_{F}}{T_{Q}}\]

O trabalho útil é realizado à taxa de 2 MW, portanto P_U = 2 MW. As temperaturas fornecidas estão em graus Celsius, mas a expressão do rendimento de Carnot exige temperaturas absolutas, medidas em kelvins. Para isso, soma-se aproximadamente 273 a cada temperatura: a fonte fria está a 10 + 273 K e a fonte quente, a 25 + 273 K.

Substituindo esses valores na expressão do rendimento, obtém-se

\[\frac{2}{P_{T}} = 1 – \frac{10 + 273}{25 + 273}\]

O lado direito corresponde ao rendimento máximo possível entre essas duas temperaturas. Efetuando as somas, a razão entre as temperaturas absolutas é 283/298. Logo, a diferença em relação a 1 pode ser escrita como 15/298:

\[\frac{2}{P_{T}} = \frac{15}{298}\]

Essa igualdade permite determinar P_T, a taxa de extração de calor da água da superfície. Isolando essa grandeza, encontra-se aproximadamente

\[P_{T} \cong 40 mW\]

Portanto, considerando a unidade de potência indicada nas alternativas e a taxa de trabalho de 2 MW, a taxa de extração de calor é aproximadamente 40 MW. Assim, a alternativa correta é b) 40 MW.

Da expressão do rendimento para o ciclo de Carnot:

1. A.0,72
2. B.0,64
3. C.0,48
4. D.0,36
5. E.0,25

O rendimento de uma máquina térmica é definido como a razão entre o trabalho útil realizado pela máquina, representado por τ, e o calor recebido da fonte quente, representado por Q₁. Portanto, o rendimento da máquina analisada é

\[\eta = \frac{\tau}{Q_{1}}\]

O enunciado informa que esse rendimento corresponde a 75% do rendimento de uma máquina de Carnot que opera entre as temperaturas T₁ e T₂. O rendimento de Carnot é dado por 1 menos a razão entre a temperatura da fonte fria e a temperatura da fonte quente. Como as temperaturas devem ser expressas em kelvin, a temperatura da fonte quente, indicada como 127 °C na figura, deve ser convertida para essa escala: 127 + 273 = 400 K.

Assim, a relação entre o rendimento da máquina e o rendimento de Carnot é escrita da seguinte maneira:

\[\eta = 0.75 \eta_{C}\] \[\frac{\tau}{Q_{1}} = 0.75 \left(1 – \frac{T_{2}}{T_{1}}\right)\]

De acordo com os valores indicados na figura, a máquina realiza um trabalho de 1200 e recebe 4000 unidades de calor da fonte quente. Logo, seu rendimento é 1200 dividido por 4000, isto é, 0,4. Além disso, a temperatura da fonte quente é 400 K. Substituindo essas informações na relação anterior:

\[\frac{1200}{4000} = 0.75 \left(1 – \frac{T_{2}}{127 + 273}\right)\]

A fração 1200/4000 é igual a 0,4. Efetuando também o produto de 0,75 pela expressão entre parênteses, obtém-se:

\[0.4 = 1 – \frac{T_{2}}{400}\]

Para isolar a razão entre T₂ e 400, subtrai-se 0,4 de 1. Como 1 − 0,4 = 0,6, resulta:

\[\frac{T_{2}}{400} = 0.6\]

Multiplicando ambos os lados por 400 K, encontra-se a temperatura da fonte fria:

\[T_{2} = 240 \text{K}\]

Portanto, a temperatura da fonte fria é 240 K, correspondente à alternativa b).

Para uma máquina térmica de Carnot, o rendimento depende exclusivamente das temperaturas absolutas da fonte quente e da fonte fria. Assim, utiliza-se a relação entre o trabalho realizado e o calor recebido da fonte quente:

\[\eta = 1 – \frac{T_{\text{frio}}}{T_{\text{quente}\textrm{ }}} .\]

Nessa expressão, T_frio é a temperatura absoluta da fonte fria e T_quente é a temperatura absoluta da fonte quente. As temperaturas devem ser usadas na mesma escala, como ocorre com as temperaturas apresentadas no esquema.

Para o sistema completo, a temperatura da fonte fria é 1.125 e a temperatura da fonte quente é 3.000. Portanto, substituindo esses valores na expressão do rendimento de Carnot, obtém-se:

\[\eta = 1 – \frac{1.125}{3.000}\]

A fração entre as temperaturas pode ser simplificada dividindo-se numerador e denominador por 375. Com isso, a razão entre a temperatura fria e a temperatura quente é igual a 3/8:

\[\eta = 1 – \frac{3}{8}\]

Subtraindo 3/8 de 1, ou seja, de 8/8, resulta:

\[\eta = \frac{5}{8}\]

Esse é o rendimento da máquina de Carnot considerada como um todo, entre as temperaturas extremas. A separação do trabalho em dois estágios não permite somar diretamente os rendimentos η₁ e η₂, pois o rendimento total depende da relação entre o calor rejeitado pela fonte fria e o calor recebido da fonte quente.

Logo, a afirmação correta é a alternativa d): a eficiência de Carnot associada ao trabalho da máquina é igual a 5/8.

O rendimento de uma máquina térmica é definido como a razão entre o trabalho realizado e o calor recebido da fonte quente. Portanto, usando os valores fornecidos, o rendimento da máquina é:

\[\eta = \frac{\tau}{Q_{Q}} = \frac{400}{1000} = 0.4\]

Isso significa que a máquina converte 40% do calor retirado da fonte quente em trabalho. O enunciado informa que esse rendimento corresponde a 70% do rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas. Assim, sendo η_C o rendimento de Carnot, temos:

\[\eta = 0.7 \eta_{C} = 0.7 \left(1 – \frac{T_{F}}{T_{Q}}\right)\]

Para aplicar a expressão do rendimento de Carnot, as temperaturas devem estar na escala absoluta, isto é, em kelvin. A temperatura da fonte quente é 600 °C, portanto:

\[0.4 = 0.7 \left(1 – \frac{T_{F}}{600 + 273}\right)\]

Nessa relação, T_F é a temperatura da fonte fria, em kelvin, e T_Q = 600 + 273 = 873 K é a temperatura da fonte quente. Dividindo 0,4 por 0,7, obtemos 4/7. Em seguida, isolamos a razão entre a temperatura da fonte fria e a temperatura da fonte quente:

\[\frac{T_{F}}{873} = 1 – \frac{4}{7} = \frac{3}{7}\]

Multiplicando os dois lados por 873 K, determinamos a temperatura da fonte fria na escala kelvin. Depois, para retornar à escala Celsius, subtraímos 273:

\[T_{F} = 374 \text{K} = 101^{\circ} \text{C}\]

Logo, a temperatura da fonte fria é 101 °C. Portanto, a alternativa correta é a) 101.

Observação: para aplicar corretamente as relações da Termodinâmica, as temperaturas devem ser expressas em uma escala absoluta, como a escala kelvin. Portanto, a afirmação de que uma fonte está a uma temperatura que corresponde ao dobro da outra deve ser interpretada em termos de temperaturas absolutas, e não diretamente em graus Celsius.

O maior rendimento que uma máquina térmica pode alcançar ao operar entre duas fontes térmicas é o rendimento de uma máquina de Carnot. Assim, mesmo que a máquina descrita seja ideal, seu rendimento não pode ultrapassar o limite estabelecido por essa máquina reversível.

O rendimento máximo é dado pela razão entre as temperaturas absolutas da fonte fria e da fonte quente:

\[\eta_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = 1 – \frac{T}{2 \text{T}} = 1 – \frac{1}{2}\]

Nessa expressão, \(\eta_{\text{m}\acute{a}\text{x}}\) representa o rendimento máximo, \(T\) representa a temperatura absoluta da fonte quente e \(2 \text{T}\) representa a temperatura absoluta da fonte fria, conforme a relação indicada no enunciado. Por isso, a razão entre a temperatura fria e a temperatura quente é igual a \(\frac{1}{2}\).

Substituindo essa razão na expressão do rendimento, obtém-se:

\[\eta_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = \frac{1}{2}\]

Isso significa que o maior rendimento possível é metade da energia térmica recebida da fonte quente, ou seja:

\[\eta_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = 50 \%\]

Logo, um rendimento de 80% não pode ser alcançado nessas condições. A alternativa e) está correta, pois afirma que a máquina jamais poderia atingir 80% e que sua maior eficiência possível é de 50%.