Exercícios de Magnetismo com resolução comentada

A dependência entre raio da curva e massa é obtida sabendo-se que a resultante centrípeta é a força magnética.

Nota-se, então, que o raio é diretamente proporcional à massa da partícula, assim quanto maior a massa, maior o raio e tem-se que a maior massa m₂ é a correspondente ao raio R_b.

Quanto aos sinais das cargas, usando-se a regra da mão direita e da mão esquerda, pode-se concluir que a partícula positiva faz o percurso do raio R_b e a partícula negativa faz o percurso de raio R_a.

Logo, a menor massa é negativa e faz o percurso a, enquanto a maior massa é positiva e faz o percurso b.

A partícula atravessa a região sem alterar sua velocidade nem sua direção. Portanto, a força resultante sobre ela deve ser nula. Como a carga se move em uma região com campo elétrico e campo magnético, atuam sobre ela as forças elétrica e magnética.

O módulo da força elétrica é dado por F_e = qE. Como o campo elétrico deve compensar a força magnética, os módulos dessas forças são iguais:

\(F_{e} = F_{m}\)

O módulo da força magnética sobre uma carga em movimento é F_m = qvB sen θ. O campo magnético é perpendicular à velocidade, portanto θ = 90° e sen 90° = 1. Assim, a força magnética fica F_m = qvB.

Substituindo as expressões das duas forças na condição de equilíbrio:

\(q E = q v B\)

A carga q aparece nos dois lados da igualdade e pode ser cancelada. Isso mostra que o campo elétrico necessário depende apenas da velocidade da partícula e do módulo do campo magnético:

\(E = v B\)

Com v = 3,0 × 10⁵ m/s e B = 2,0 × 10^-4 T:

\(E = \left(3,0 \times 10^{5}\right) \left(2,0 \times 10^{- 4}\right)\)

Multiplicando os valores numéricos e as potências de 10:

\(E = 6,0 \times 10^{1} \text{ N}/\text{C}\)

Como 6,0 × 10¹ = 60, o módulo do campo elétrico é 60 N/C.

A trajetória circular ocorre porque, com a velocidade perpendicular ao campo magnético, a força magnética atua perpendicularmente à velocidade. Assim, essa força não altera o módulo da velocidade, mas muda continuamente sua direção, desempenhando o papel de força centrípeta.

Em módulo, a força magnética é dada por \(F_m = Bqv\), enquanto a força centrípeta é \(F_c = \frac{mv^2}{R}\). Igualando essas forças:

\[F_{m} = F_{c}\] \[B \cancel{v} q = \frac{mv^{\cancel{2}}}{R}\] \[Bq = \frac{mv}{R}\]

Na última igualdade, um fator \(v\) foi simplificado nos dois lados. Como o campo magnético, o módulo da carga elétrica e o módulo da velocidade inicial permanecem os mesmos quando os elétrons são substituídos por prótons, a relação entre a massa e o raio deve permanecer compatível com essa igualdade. Portanto, mantendo-se \(B\), \(q\) e \(v\) constantes, o raio de curvatura é diretamente proporcional à massa da partícula.

Como a massa do próton é maior que a massa do elétron, o raio da trajetória dos prótons será maior que o raio da trajetória dos elétrons.

O sentido da trajetória depende do sinal da carga elétrica. O próton possui carga de sinal oposto ao do elétron. Por isso, mantendo inalterados o campo magnético e a velocidade inicial, a força magnética sobre o próton terá sentido oposto ao da força magnética sobre o elétron. Consequentemente, o movimento circular será invertido: se os elétrons descrevem uma trajetória no sentido horário, os prótons descreverão uma trajetória no sentido anti-horário.

Logo, a trajetória dos prótons terá raio maior e sentido anti-horário em relação à trajetória dos elétrons. Portanto, a alternativa correta é e) maior que o da trajetória descrita pelos elétrons e sentido anti-horário.

O campo magnético é paralelo ao eixo x, pois (B, 0, 0). Assim, a componente da velocidade do elétron na direção x é paralela ao campo e não sofre desvio magnético. Já a componente da velocidade na direção y é perpendicular ao campo e produz movimento circular no plano yz. A combinação desses movimentos resulta em uma trajetória helicoidal.

Para que a coordenada z atinja o maior valor possível, é necessário maximizar o raio da trajetória circular no plano perpendicular ao campo. Esse raio é dado pela razão entre o módulo da quantidade de movimento transversal, mv_y, e o produto entre o módulo da carga elétrica e o campo magnético, qB. Portanto, o maior raio ocorre quando a velocidade transversal do elétron é máxima.

A velocidade de oscilação do canhão é máxima quando ele passa pela posição de equilíbrio. Em um movimento harmônico simples, essa velocidade máxima é v_y = ωA, em que A é a amplitude e ω é a frequência angular da oscilação. Como as duas molas atuam conjuntamente, a constante elástica equivalente do sistema é k_eq = 2k. Logo, a frequência angular do canhão é obtida pela relação entre a constante equivalente e a massa do canhão.

Substituindo a velocidade transversal máxima e a frequência angular na expressão do raio, obtém-se:

\[\text{R}= \frac{mv_{y}}{qB} = \frac{mωA}{eB} = \frac{mA}{eB} \sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{M}} = \frac{mA}{eB} \sqrt{\frac{2 k}{M}}\]

Na primeira igualdade, R representa o raio do movimento circular causado pela componente da velocidade perpendicular ao campo. Na segunda, utiliza-se a velocidade máxima do elétron na direção y, dada por v_y = ωA. Em seguida, substitui-se a frequência angular do sistema massa-molas, considerando a constante equivalente das duas molas. Por fim, como k_eq = 2k, resulta a expressão com a raiz quadrada de 2k/M.

O movimento circular ocorre no plano yz. Quando o elétron percorre a circunferência, a maior coordenada z atingida corresponde ao próprio raio R, pois o centro da órbita pode ser tomado sobre o eixo x e a coordenada z varia entre valores extremos separados por esse raio. Assim, a maior coordenada z alcançada é:

\[\text{R}= \frac{mv_{y}}{qB} = \frac{mωA}{eB} = \frac{mA}{eB} \sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{M}} = \frac{mA}{eB} \sqrt{\frac{2 k}{M}}\]

Portanto, a alternativa correta é e).

A força magnética que atua sobre uma partícula carregada em movimento é determinada por

\[F = \left|Q\right| v B sen \theta\]

Nessa expressão, F é o módulo da força magnética, |Q| é o módulo da carga elétrica, v é o módulo da velocidade, B é a intensidade do campo magnético e sen θ representa o seno do ângulo entre a velocidade e o campo magnético. Como o problema fornece a força, a carga, o campo e o seno do ângulo, é possível isolar a velocidade:

\[v = \frac{F}{\left|Q\right| B sen \theta} = \frac{3.2 \times 10^{- 16}}{1.6 \times 10^{- 19} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot 3.2 \times 10^{- 16}}{1.6 \times 10^{- 19}}\]

Foi utilizado sen θ = 1/2, conforme informado no enunciado. Além disso, o fator correspondente ao campo magnético é igual a 1, pois B = 1,0 T. Assim, o denominador contém o produto da carga pelo campo e pelo seno do ângulo. A divisão dos coeficientes fornece o fator numérico, enquanto a divisão entre as potências de dez produz 10³, pois 10⁻¹⁶/10⁻¹⁹ = 10³.

Portanto, a velocidade da partícula é

\[v = 4 \times 10^{3} \text{m} / \text{s}\]

Logo, a alternativa correta é b), que apresenta o valor 4 × 10³ m/s.

A trajetória circular dos elétrons resulta da ação da força magnética perpendicular à velocidade. Essa força altera continuamente a direção do movimento, funcionando como força centrípeta. Como o movimento ocorre perpendicularmente ao campo magnético, o módulo da força magnética é dado por F_mag = |q|vB, enquanto a força centrípeta é F_cp = mv²/R. Portanto, igualamos as duas forças:

\[F_{\text{mag}} = F_{\text{Rcp}}\] \[\left|q\right| \cancel{v} B = \frac{m v^{\cancel{2}}}{R}\] \[B = \frac{m v}{R \left|q\right|}\] \[B = \frac{\omega \cancel{R}}{\cancel{R} \frac{\left|q\right|}{m}}\] \[B = \frac{2 \pi f}{\frac{\left|q\right|}{m}}\] \[B = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2.4 \times 10^{9}}{1.8 \times 10^{11}}\] \[B = 80 \times 10^{- 3} \text{T} B = 80 mT .\]

Nas primeiras igualdades, a velocidade v aparece nos dois lados e pode ser simplificada. Em seguida, utiliza-se a relação entre a velocidade angular e a frequência, ω = 2πf, e também a relação entre o raio, a velocidade linear e a velocidade angular, v = ωR. Assim, o raio R também se cancela, de modo que o campo magnético depende apenas da frequência de órbita e da razão entre a carga e a massa do elétron.

A frequência informada é 2,4 GHz, que corresponde a 2,4 × 10⁹ Hz. O valor fornecido para a relação carga-massa é 1,8 × 10¹¹ C/kg, e foi indicado que π = 3. Substituindo esses valores, obtém-se B = 80 × 10⁻³ T. Como 1 mT = 10⁻³ T, esse resultado equivale a 80 mT.

Logo, a intensidade do campo magnético é 80 mT, correspondente à alternativa c).

Para compreender o comportamento da bússola em relação ao ímã de barra, é fundamental analisar a natureza das linhas de indução magnética. Essas linhas representam o caminho percorrido pelo campo magnético e possuem uma convenção de direção específica: elas emergem do polo norte do ímã e penetram no seu polo sul. Em um ambiente onde o campo magnético terrestre é desprezível, como descrito no enunciado, a orientação da agulha magnética da bússola será determinada exclusivamente pelo campo gerado por esse ímã local.

A interação entre o ímã e a bússola ocorre porque a extremidade norte da agulha da bússola atua como um pequeno dipolo magnético que busca se alinhar ao campo externo. Fisicamente, isso significa que a ponta norte da agulha sempre apontará na mesma direção das linhas de indução, posicionando-se de forma tangente a essas trajetórias em qualquer ponto do espaço ao redor do ímã.

Ao analisar as posições 1, 2, 3 e 4 solicitadas pelo problema, deve-se observar o fluxo das linhas de campo em cada ponto simétrico. Nas regiões próximas aos polos, as linhas saem ou entram de forma radial, enquanto nas laterais do ímã, elas descrevem curvas que conectam as extremidades opostas. Ao posicionar a bússola nesses pontos, a agulha girará para que seu eixo norte tangencie o vetor campo magnético local, seguindo o sentido definido pelo fluxo do polo norte para o polo sul.

Portanto, a determinação das indicações da bússola depende estritamente de identificar para onde as linhas de indução estão apontando em cada uma das coordenadas mencionadas. Ao seguir essa lógica de tangenciamento e direção do fluxo magnético, é possível correlacionar o sentido das setas da agulha com as opções fornecidas, validando a sequência correta de orientações.

A força magnética sobre uma partícula carregada é perpendicular à sua velocidade. Por isso, ela pode mudar a direção do movimento, mas não realiza trabalho sobre a partícula e não altera o módulo de sua velocidade. Como as duas partículas entram no campo com módulo de velocidade v, ambas continuam com esse mesmo módulo enquanto permanecem na região magnetizada. A afirmação I é verdadeira.

Na situação de P₁, a velocidade é paralela ao campo magnético. Nesse caso, o ângulo entre a velocidade e o campo é zero, e a força magnética é nula. P₁, portanto, não descreve uma trajetória circular.

Já P₂ entra perpendicularmente ao campo magnético. Sobre ela atua uma força magnética, que permanece perpendicular à velocidade e funciona como força centrípeta, produzindo uma trajetória circular. O raio dessa trajetória é inversamente proporcional ao módulo da carga, pois r = mv/(|q|B). Como P₁ não realiza movimento circular e, além disso, possui carga q enquanto P₂ possui carga 2q, a afirmação II é falsa.

Para P₂, a intensidade da força magnética é F = 2qvB, porque sua carga tem módulo 2q e sua velocidade é perpendicular ao campo. Dividindo essa força pela massa m, obtém-se a aceleração:

\(a = \frac{2 q v B}{m}\)

Assim, a aceleração de P₂ tem módulo 2qvB/m, e não qvB/m. A afirmação III também é falsa.

Somente a afirmação I está de acordo com o movimento das partículas.

Dado que o campo magnético sai do polo norte e entra no polo sul, e como a agulha da bússola tende a ficar alinhada com as linhas de campo, as suas posições corretas estão representadas na figura abaixo:

A análise da primeira afirmação revela que ela é verdadeira. Quando uma carga elétrica pontual se desloca em um campo magnético, a força magnética resultante atua sempre de forma ortogonal ao vetor velocidade da partícula. Como o trabalho realizado por uma força é definido pelo produto escalar entre o vetor força e o vetor deslocamento, e dado que o ângulo entre a força magnética e a direção do movimento é de 90 graus, o valor do seno desse ângulo é zero, o que anula qualquer transferência de energia mecânica para ou da partícula através dessa interação específica.

Quanto à segunda afirmação, ela é incorreta. Embora o centro geométrico de uma configuração de cargas possa ser um ponto de equilíbrio, a estabilidade desse equilíbrio depende estritamente do perfil do potencial eletrostático no local. Para que um equilíbrio seja classificado como estável, a carga deve estar posicionada em um ponto de mínimo de energia potencial eletrostática, garantindo que qualquer pequeno deslocamento resulte em uma força que a retorne à posição original. Nem sempre o centro geométrico satisfaz essa condição de mínimo potencial.

A terceira afirmação também é falsa. O fato de existir uma força restauradora não garante, por si só, a ocorrência de um Movimento Harmônico Simples (MHS). Para que o fenômeno seja caracterizado como MHS, a força restauradora deve obedecer rigorosamente à Lei de Hooke, ou seja, sua magnitude deve ser diretamente proporcional ao deslocamento em relação à posição de equilíbrio e atuar em sentido oposto. Se a força for restauradora, mas não possuir essa proporcionalidade linear, o movimento será oscilatório, porém não harmônico simples.

Por fim, a quarta afirmação é falsa devido a um equívoco conceitual sobre as Leis de Newton. A força normal e a força peso não formam um par de ação e reação. De acordo com a Terceira Lei de Newton, forças de ação e reação devem atuar em corpos distintos e ser da mesma natureza. No caso de um objeto sobre uma superfície, o peso é a interação gravitacional entre o objeto e a Terra, enquanto a normal é a interação de contato entre o objeto e a superfície. Além disso, em superfícies inclinadas ou sob outras forças externas, a normal não precisa ser numericamente igual ao peso.