Exercícios de Capacitor com resolução comentada

A análise da carga elétrica nos capacitores baseia-se na aplicação da fórmula Q = CU, que estabelece a relação entre a carga, a capacitância e a voltagem aplicada. Ao atingir o regime estacionário, verifica-se que os capacitores C₁ e C₂ estão conectados diretamente à influência do gerador E₁, o que faz com que ambos acumulem uma carga de valor CE₁.

Quanto ao capacitor C₃, sua posição no arranjo das malhas caracteriza uma ponte de Wheatstone equilibrada. Como os resistores são idênticos e estão dispostos de forma simétrica, a diferença de potencial nos terminais desse componente é zero, impedindo o acúmulo de carga elétrica. Dessa maneira, as cargas para C₁, C₂ e C₃ são CE₁, CE₁ e 0, respectivamente.

I. Verdadeira. Em regime permanente, após um tempo suficientemente longo com a chave A fechada, os capacitores estão completamente carregados. Nessa condição, eles se comportam como circuitos abertos para corrente contínua. Portanto, os ramos 1 e 2 deixam de conduzir corrente, e a corrente fornecida pela fonte percorre apenas o ramo 3, constituído pelos resistores em série.

Como os resistores do ramo 3 estão em série, sua resistência equivalente é obtida pela soma de suas resistências individuais:

\[R_{\text{eq}} = R_{3} + R_{4}\]
\[R_{\text{eq}} = 6 x 10^{3} + 4 x 10^{3}\]
\[R = 10 x 10^{3} \Omega\]

Aplicando a lei de Ohm, a corrente fornecida pela fonte é determinada pela razão entre a tensão da fonte e a resistência equivalente do ramo condutor:

\[i = V / R\]
\[i = 300 / 10 x 10^{3}\]
\[i = 30 \text{mA}\]

Assim, a corrente que atravessa a fonte ideal é de 30 mA, e a afirmativa I está correta.

II. Verdadeira. A energia elétrica armazenada em um capacitor completamente carregado é dada por E = CV²/2, em que C é a capacitância e V é a diferença de potencial entre as placas do capacitor. Como o capacitor C₁ está completamente carregado, sua tensão é igual à tensão da fonte, isto é, 300 V.

Para C₁, a capacitância é 10 μF, equivalente a 10⁻⁵ F. Substituindo esse valor e a tensão de 300 V na expressão da energia, obtém-se:

\[E = \left(C \cdot V^{2}\right) / 2\]
\[E = \left(10^{5} \cdot 300^{2}\right) / 2\]
\[E = 450 mJ\]

Logo, a energia armazenada em C₁ é 450 mJ, portanto a afirmativa II está correta.

III. Falsa. Enquanto o capacitor C₂ está sendo carregado, pode existir uma queda de tensão no resistor R₂, pois há corrente transitória no ramo. Entretanto, depois que o capacitor fica completamente carregado, a corrente nesse ramo se torna nula. Pela lei de Ohm, com corrente nula, a queda de tensão no resistor também é nula.

Consequentemente, toda a tensão da fonte fica aplicada ao capacitor C₂. Assim, o potencial elétrico sobre ele não é menor que 300 V; é igual a 300 V. Portanto, a afirmativa III está incorreta.

IV. Verdadeira. A carga elétrica armazenada em um capacitor é calculada por:

\[Q = C \cdot V\]

Como os dois capacitores estão completamente carregados e submetidos a 300 V, a carga de C₁ é:

\[Q_{1} = 10^{5} \cdot 300\]
\[Q_{1} = 3 x 10^{- 3} \text{C}\]

Portanto, C₁ armazena 3 mC. Para C₂, cuja capacitância é 20 μF, equivalente a 2 × 10⁻⁵ F, temos:

\[Q_{2} = 2 x 10^{- 5} \cdot 300\]
\[Q_{2} = 6 x 10^{- 3} \text{C}\]

Logo, C₂ armazena 6 mC. A carga total acumulada na associação é a soma das cargas armazenadas nos dois capacitores. O ramo formado apenas por resistores não armazena carga elétrica em capacitores e, portanto, não contribui para essa soma:

Logo,

\[Q_{\text{eq}} + Q_{1} + Q_{2}\]
\[Q_{\text{eq}} = 9 mC\]

Assim, a carga elétrica total acumulada é 9 mC, e a afirmativa IV está correta.

V. Falsa. Ao abrir a chave A, a fonte é isolada do circuito, mas os capacitores permanecem carregados. Como eles ainda possuem carga e diferença de potencial, podem fornecer energia aos resistores do circuito. Dessa forma, ocorre uma corrente de descarga durante o intervalo em que os capacitores liberam sua energia.

Portanto, imediatamente após a abertura da chave, haverá corrente no circuito RC devido às cargas e às tensões existentes nos capacitores. A corrente somente deixará de existir após a descarga dos capacitores, quando a diferença de potencial entre seus terminais se tornar nula. Assim, a afirmativa V está incorreta.

As afirmativas corretas são I, II e IV. A alternativa que reúne exatamente essas três afirmativas é a b).

A afirmação I está incorreta porque a função primordial de um indutor é o armazenamento de energia por meio da criação de um campo magnético, e não via campos eletrostáticos.

Quanto ao item II, a proposição é verdadeira, uma vez que os resistores realizam a transformação de energia elétrica em energia térmica, fenômeno conhecido como efeito Joule.

A afirmação III também é correta, pois a presença de uma resistência em um circuito provoca uma redução na diferença de potencial ao longo do componente, gerando uma queda de tensão.

O item IV apresenta um erro conceitual, visto que o armazenamento de energia nos capacitores ocorre por meio de um campo elétrico, diferindo da natureza magnética dos indutores.

Por fim, a proposição V é verdadeira, pois o montante de energia acumulado em um indutor corresponde ao trabalho realizado para que uma determinada corrente elétrica flua através dele.

Inicialmente, o capacitor está completamente descarregado. Portanto, no instante em que a chave K é fechada, a diferença de potencial entre suas placas é nula. Nesse instante, ele se comporta como um curto-circuito, permitindo a passagem de corrente por seu ramo.

Com isso, o resistor R₂ fica curto-circuitado, isto é, a corrente não passa por ele. Consequentemente, a corrente medida pelo amperímetro B é nula, enquanto toda a corrente do circuito passa pelo amperímetro A e pelo resistor R₁. Aplicando a lei de Ohm ao resistor R₁, usando a tensão da bateria, de 12 V, e sua resistência de 2 Ω, temos:

\[U = R_{1} i_{A}\]
\[12 = 2 i_{A}\]
\[i_{A} = 6 \text{A}\]

Assim, o ponto inicial do gráfico, correspondente ao instante em que a chave é fechada, é caracterizado por i_A = 6 A e i_B = 0 A.

À medida que o tempo passa, o capacitor acumula cargas e sua diferença de potencial aumenta. Quando ele fica completamente carregado, deixa de permitir a passagem de corrente contínua em seu ramo, comportando-se como um circuito aberto.

Nessa situação final, o ramo superior do circuito não conduz corrente e pode ser desconsiderado. Restam, no circuito, os resistores R₁ e R₂ associados em série. Em uma associação em série, a mesma corrente percorre os dois resistores. Por isso, as correntes indicadas pelos amperímetros A e B são iguais. A resistência equivalente é a soma das resistências:

\[U = \left(R_{1} + R_{2}\right) i\]
\[12 = \left(2 + 10\right) i\]
\[i '_{A} = i '_{B} = i = 1 \text{A}\]

Logo, no estado final, o ponto correspondente no gráfico é caracterizado por i_A = 1 A e i_B = 1 A.

Durante o processo de carga do capacitor, a corrente total medida pelo amperímetro A se divide entre os dois ramos. Pela lei dos nós, a corrente que passa por A é a soma das correntes que passam pelos ramos associados a R₁ e R₂. Como a tensão da bateria é 12 V, as quedas de tensão nos resistores são dadas por R₁i_A e R₂i_B. Portanto:

\[R_{1} i_{A} + R_{2} i_{B} = U\]
\[2 i_{A} + 10 i_{B} = 12\]
\[i_{A} = 6 – 5 i_{B}\]

Essa última expressão mostra que i_A varia linearmente com i_B. Além disso, quando i_B = 0 A, obtém-se i_A = 6 A; quando i_B = 1 A, obtém-se i_A = 1 A. Portanto, o gráfico deve ser uma reta que passa pelos pontos correspondentes a (0, 6) e (1, 1), com inclinação negativa.

Esse comportamento é representado pela alternativa A.

O intervalo de tempo do flash deve ser aproximadamente igual ao tempo que o projétil leva para atravessar a maçã. Como o projétil se move com velocidade constante, esse intervalo é obtido pela razão entre a distância percorrida e a velocidade. Sendo \(\mathcal{l}\) o diâmetro da maçã, o tempo para atravessá-la vale:

\[Δt = \frac{\mathcal{l}}{v} = \frac{\mathcal{l}}{500}\]

Nessa expressão, \(Δt\) representa o intervalo de tempo de atravessamento, \(\mathcal{l}\) é o diâmetro da maçã e a velocidade do projétil é \(500 \text{ m}/\text{s}\). Para que a imagem não fique borrada, a duração do flash deve ser da mesma ordem de grandeza desse intervalo.

A descarga do capacitor ocorre através de um resistor, formando um circuito RC. A grandeza que caracteriza o tempo de descarga desse circuito é a constante de tempo, dada pelo produto entre a resistência elétrica \(R\) e a capacitância \(C\). Portanto, igualamos o tempo de atravessamento à constante de tempo do circuito:

\[Δt = RC\]
\[\frac{\mathcal{l}}{500} = 10 \text{C}\]
\[C = \frac{\mathcal{l}}{5000}\]

O valor \(10\) representa a resistência do tubo, em ohms. Isolando a capacitância na última igualdade, obtemos uma expressão que permite calcular o valor necessário de \(C\) a partir do diâmetro da maçã.

Considerando o diâmetro da maçã como \(\mathcal{l} = 7.5 \text{cm} ,\) é necessário convertê-lo para metros antes de substituí-lo na expressão, pois a velocidade está expressa em metros por segundo. Assim, \(7.5 \text{cm}\) corresponde a \(7.5 \cdot 10^{- 2} \text{m}\). Substituindo esse valor na relação obtida anteriormente:

\[C = \frac{7.5 \cdot 10^{- 2}}{5 \cdot 10^{3}} = 1.5 \cdot 10^{- 5}\]
\[C = 15 μF\]

O resultado encontrado é \(15 μF\), isto é, uma capacitância de 15 microfarads. Esse valor produz uma constante de tempo compatível com o intervalo em que o projétil atravessa a maçã, permitindo registrar a imagem com menor desfoque.

Portanto, a alternativa correta é d) 15μF.

O coeficiente angular da reta tangente a uma curva em determinado ponto mede a taxa de variação instantânea da grandeza representada no eixo vertical em relação à grandeza representada no eixo horizontal.

Neste gráfico, a quantidade de carga elétrica armazenada, representada por Q, varia em função do tempo, representado por t. Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é obtido pela razão entre a variação da carga elétrica e a variação do tempo:

\[tg \alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta Q}{\Delta}\]

Nessa expressão, ΔQ representa a variação da carga elétrica armazenada, enquanto Δt representa o intervalo de tempo correspondente. Assim, o coeficiente angular indica quantas unidades de carga elétrica são armazenadas ou transferidas por unidade de tempo naquele instante.

Por definição, a intensidade da corrente elétrica é a razão entre a variação da carga elétrica e o intervalo de tempo:

Como \(\frac{ΔQ}{Δt} = i ,\) a grandeza representada pelo coeficiente angular da reta tangente é a corrente elétrica instantânea no capacitor. A unidade dessa grandeza é o ampere, equivalente a coulomb por segundo.

Logo, o coeficiente angular não representa diretamente a carga total armazenada, a energia, a resistência ou a capacitância. Ele representa a intensidade da corrente elétrica no capacitor naquele instante.

Resposta: alternativa c) a intensidade da corrente elétrica no capacitor naquele instante.

ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Para analisar o circuito, é necessário determinar a resistência do trecho do reostato entre uma extremidade e o ponto de contato do capacitor. O reostato possui resistência total de 60 Ω e comprimento total de 20 cm. Como ele é linear, a resistência é diretamente proporcional ao comprimento:

\[\frac{R}{x} = \frac{60}{20}\]

Nessa relação, R é a resistência correspondente ao trecho de comprimento x. Portanto, a resistência por unidade de comprimento é igual a 3 Ω/cm, e a resistência do trecho considerado pode ser escrita como:

\[R = 3 x\]

No regime estacionário, o capacitor está completamente carregado. Assim, ele se comporta como um circuito aberto para a corrente contínua, mas fica submetido à diferença de potencial entre o ponto de contato do reostato e a extremidade correspondente.

A corrente na malha que contém a fonte e o reostato é obtida pela lei de Ohm. Como a tensão da fonte é 1,5 V e a resistência total do reostato é 60 Ω, temos:

\[1.5 = 60 \cdot i\]

Isolando a corrente i, resulta:

\[i = 0.025 \text{A}\]

A tensão sobre o capacitor é a queda de tensão no trecho do reostato entre a extremidade e o ponto de contato. Pela lei de Ohm, essa tensão é o produto da resistência desse trecho pela corrente:

\[U = R \cdot i\]

Substituindo R por 3x e a corrente por 0,025 A:

\[U = 3 x \cdot 0.025\]

Logo, a diferença de potencial no capacitor é:

\[U = 0.075 \times V / c m\]

A carga armazenada em um capacitor é calculada pela relação Q = C·U, em que Q é a carga, C é a capacitância e U é a tensão aplicada. Com C = 10 μF:

\[Q = C \cdot U = 10 \cdot 0.075 x\]

Portanto, a carga depende da posição x do contato no reostato:

\[Q = 0.75 x \mu C / c m\]

Como o enunciado não fornece um valor numérico específico para x, não é possível obter uma carga única que corresponda a uma das alternativas apresentadas. Dessa forma, nenhuma alternativa está correta.

Conclusão: a questão foi anulada, pois não há alternativa correta.

ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

A anulação ocorre porque o valor indicado ao lado do capacitor, na figura do enunciado, permite duas interpretações distintas. Como cada interpretação conduz a um resultado diferente para a variação de tensão, não há uma única alternativa que possa ser considerada inequivocamente correta.

O capacitor inicialmente possui energia elétrica igual a 4,5 J. Além disso, no regime permanente, a corrente tende a zero, pois:

\[i \left(t \rightarrow \infty\right) = 0\]

O enunciado também informa que a corrente inicial satisfaz i(0) > 2 A. Essa condição será usada para selecionar a possibilidade compatível com o circuito.

1ª interpretação: o valor indicado é a capacitância de 1 F

Para um capacitor, a energia elétrica armazenada é dada por:

\[E = \frac{C U^{2}}{2}\]

Nessa expressão, E é a energia armazenada, em joules, C é a capacitância, em farads, e U é o módulo da tensão entre os terminais do capacitor, em volts.

Admitindo que a capacitância seja C = 1 F e substituindo a energia inicial, obtém-se:

\[4.5 = \frac{1 \cdot U^{2}}{2}\]

Multiplicando ambos os lados por 2, resulta em U² = 9. Como a tensão é tomada em módulo, considera-se a raiz positiva:

\[U = 3 \text{V}\]

Dependendo da polaridade do capacitor em relação ao restante do circuito, a corrente inicial pode ser representada por:

\[i \left(0\right) = \frac{5 \pm 3}{2}\]

As duas possibilidades são obtidas porque a tensão do capacitor pode se somar ou se opor à tensão associada aos demais elementos do circuito. Como o enunciado exige i(0) > 2 A, deve-se escolher a soma no numerador:

\[i \left(0\right) = \frac{5 + 3}{2}\]

Logo:

\[i \left(0\right) = 4 \text{A}\]

Nessa interpretação, a tensão inicial do capacitor tem módulo 3 V e, no regime permanente, a tensão correspondente ao circuito é 5 V. Como as polaridades são opostas, o módulo da variação de tensão é a soma dos módulos:

\[5 \text{V} + 3 \text{V} = 8 \text{V}\]

Assim, nessa primeira interpretação, seria obtida a alternativa e) 8.

2ª interpretação: o valor indicado representa a carga de 1 C

Também é possível interpretar a indicação da figura como uma carga elétrica inicial Q = 1 C. Nesse caso, utiliza-se a relação entre a energia, a carga e a tensão:

\[E = \frac{Q U}{2}\]

Substituindo E = 4,5 J e Q = 1 C:

\[4.5 = \frac{1 \cdot U}{2}\]

Multiplicando ambos os lados por 2, encontra-se:

\[U = 9 \text{V}\]

Para essa interpretação, a condição i(0) > 2 A também seleciona a polaridade que torna a corrente inicial compatível com o enunciado. A variação de tensão, portanto, seria:

\[5 \text{V} + 9 \text{V} = 14 \text{V}\]

Logo, nessa segunda interpretação, seria obtido o valor de 14 V, que não aparece entre as alternativas.

Portanto, a indicação presente na figura admite duas leituras: como capacitância de 1 F, conduzindo ao valor 8 V, ou como carga de 1 C, conduzindo ao valor 14 V. Como essas interpretações não produzem o mesmo resultado e o enunciado não permite determinar de forma inequívoca qual delas era pretendida, a questão foi anulada no gabarito oficial.

Em regime permanente, depois de o circuito atingir o equilíbrio, o capacitor se comporta como um circuito aberto para a corrente contínua. Assim, a tensão em seus terminais é determinada pela diferença de potencial estabelecida pelo circuito resistivo ao qual ele está conectado. A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor é dada por \(E = \frac{CU^{2}}{2}\)

Para o primeiro circuito, a energia armazenada é

\[E = \frac{CU^{2}}{2}\]
\[16 \cdot 10^{- 6} = \frac{8 \cdot 10^{- 6} \cdot U^{2}}{2}\]
\[U = 2 \text{V}\]

Nessa substituição, a energia deve ser expressa em joules, por isso \(16 \mu J\) é escrito como \(16 \cdot 10^{- 6} \text{J}\). A capacitância também é convertida de microfarads para farads: \(8 \mu F = 8 \cdot 10^{- 6} \text{F}\). O resultado mostra que a tensão nos terminais do capacitor no primeiro circuito é de 2 V.

Para determinar a força eletromotriz do gerador, usa-se o resistor de 2 Ω, que está submetido à tensão de 2 V. Pela lei de Ohm, a tensão em um resistor é o produto de sua resistência pela corrente que o atravessa:

\[U = R_{2} i\]
\[2 = 2 i\]
\[i = 1 \text{A}\]

Portanto, a corrente no circuito é de 1 A. Aplicando a relação entre a força eletromotriz do gerador, a tensão no capacitor e a queda de tensão no resistor de 4 Ω:

Força eletromotriz \(\epsilon :\)

\[U = \epsilon – R_{1} i\]
\[2 = \epsilon – 4 \cdot 1\]
\[\epsilon = 6 \text{V}\]

Logo, o gerador ideal apresenta força eletromotriz de 6 V. Essa mesma fonte será utilizada no segundo circuito.

Para o segundo circuito, os resistores de 2 Ω estão em paralelo. A indicação \(2 / / 2\) representa essa associação. Como os dois resistores possuem o mesmo valor, a resistência equivalente desse paralelo é 1 Ω. Essa associação está em série com os resistores de 5 Ω e 4 Ω, de modo que a resistência equivalente total é a soma dessas resistências.

Aplicando a lei de Ohm ao circuito completo:

\[\begin{matrix}\epsilon & = R_{\text{eq}} i^{′} \\ 6 & = \left(2 / / 2 + 5 + 4\right) i^{′} \\ 6 & = 10 i^{′} \\ i^{′} & = 0.6 \text{A}\end{matrix}\]

Assim, a corrente total no segundo circuito é de 0,6 A. Para encontrar a tensão sobre o ramo que contém o capacitor, consideram-se a resistência equivalente do paralelo de 2 Ω e a resistência de 5 Ω. A tensão nesse ramo é o produto dessa resistência equivalente pela corrente do circuito:

\[U^{'} = \left(2 / / 2 + 5\right) \cdot i^{'}\]
\[U^{'} = 6 \cdot 0.6\]
\[U^{'} = 3.6 \text{V}\]

Portanto, após o equilíbrio ser atingido, a tensão sobre o capacitor no segundo circuito é de 3,6 V. A nova energia armazenada é calculada pela mesma expressão da energia de um capacitor, agora usando essa nova tensão:

\[E^{'} = \frac{CU^{′ 2}}{2}\]
\[E^{'} = \frac{8 \cdot 10^{- 6} \cdot 3 , 6^{2}}{2}\]
\[E^{'} = 51.84 μJ\]

Logo, a nova energia potencial elétrica armazenada no capacitor é 51,84 μJ. Portanto, a alternativa correta é d) 51,84 μJ.

Com o capacitor totalmente carregado, ele se comporta como um circuito aberto para a corrente contínua. Assim, a corrente de regime permanente é determinada pelo circuito resistivo formado por R₁, R₂ e R₃. Como esses resistores estão em série, a resistência equivalente é a soma de suas resistências e a mesma corrente percorre os três resistores.

Aplicando a Lei de Ohm ao circuito completo:

\[U = \left(R_{1} + R_{2} + R_{3}\right) i\]

Nessa relação, U é a tensão fornecida pelo gerador, R₁ + R₂ + R₃ é a resistência equivalente do trecho resistivo e i é a corrente elétrica do circuito. Substituindo os valores fornecidos:

\[200 = \left(20 + 60 + 20\right) i\]

A soma das resistências é 100 Ω. Portanto, isolando a corrente, obtemos:

\[i = 2 \text{A}\]

Em seguida, determinamos a tensão no resistor \(R_{2} :\)

Como a corrente que atravessa R₂ é 2 A, a tensão nesse resistor é calculada pela Lei de Ohm, multiplicando a resistência pela corrente:

\[U_{R_{2}} = R_{2} i = 60 \cdot 2\]

Logo, a diferença de potencial no resistor R₂ é:

\[U_{R_{2}} = 120 \text{V}\]

De acordo com a associação mostrada no circuito, o capacitor está submetido à mesma tensão que o resistor \(R_{2} .\) Portanto, a tensão no capacitor é 120 V.

Para um capacitor, a carga acumulada é dada pelo produto entre a capacitância C e a tensão U_R2 aplicada entre suas placas. A capacitância deve ser expressa em farads e a tensão em volts, resultando em carga medida em coulombs:

\[Q = \left(C U\right)_{R_{2}} = 2 \cdot 10^{- 6} \cdot 120\]

Efetuando a multiplicação, a carga armazenada no capacitor é:

\[Q = 2.4 \cdot 10^{- 4} \text{C}\]

Assim, a quantidade de carga acumulada é 2,4⋅10⁻⁴ C, correspondente à alternativa b.