Exercícios de Capacitor

A análise da carga elétrica nos capacitores baseia-se na aplicação da fórmula Q = CU, que estabelece a relação entre a carga, a capacitância e a voltagem aplicada. Ao atingir o regime estacionário, verifica-se que os capacitores C₁ e C₂ estão conectados diretamente à influência do gerador E₁, o que faz com que ambos acumulem uma carga de valor CE₁.

Quanto ao capacitor C₃, sua posição no arranjo das malhas caracteriza uma ponte de Wheatstone equilibrada. Como os resistores são idênticos e estão dispostos de forma simétrica, a diferença de potencial nos terminais desse componente é zero, impedindo o acúmulo de carga elétrica. Dessa maneira, as cargas para C₁, C₂ e C₃ são CE₁, CE₁ e 0, respectivamente, o que confirma a alternativa A.

[I] Verdadeiro. Somente o ramo 3 conduz corrente após os capacitores estarem carregados.

${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}={\mathrm{R}}_3+{\mathrm{R}}_4$
${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}=6\mathrm{x}{10}^3+4\mathrm{x}{10}^3$
$\mathrm{R}=10\mathrm{x}{10}^3\mathrm{\Omega }$

[II] Verdadeiro. Energia em C₁:  

$\mathrm{i}= \mathrm{V}/\mathrm{R}$
$\mathrm{i}= 300/10\mathrm{x}{10}^3$
$\mathrm{i}= 30 \mathrm{mA}$

$\mathrm{E}=\left(\mathrm{C}·{\mathrm{V}}^2\right)/2$
$\mathrm{E}=\left({10}^5·{300}^2\right)/2$
$\mathrm{E}=450\mathrm{mJ}$

[III] Falso. Se C₂ está completamente carregado, ele atinge a mesma ddp da fonte: V = 300 V.

[IV] Verdadeiro.

$\mathrm{Q}=\mathrm{C}·\mathrm{V}$
${\mathrm{Q}}_1={10}^5·300$
${\mathrm{Q}}_1=3\mathrm{x}{10}^{–3}\mathrm{C}$

${\mathrm{Q}}_2=2\mathrm{x}{10}^{–5}·300$
${\mathrm{Q}}_2=6\mathrm{x}{10}^{–3}\mathrm{C}$

Logo,

${\mathrm{Q}}_{\mathrm{eq}}+{\mathrm{Q}}_1+{\mathrm{Q}}_2$
${\mathrm{Q}}_{\mathrm{eq}}= 9 \mathrm{mC}$

[V] Falso. Com a chave A aberta, haverá corrente no circuito RC devido as cargas e tensões existentes nos capacitores.

A afirmação I está incorreta porque a função primordial de um indutor é o armazenamento de energia por meio da criação de um campo magnético, e não via campos eletrostáticos.

Quanto ao item II, a proposição é verdadeira, uma vez que os resistores realizam a transformação de energia elétrica em energia térmica, fenômeno conhecido como efeito Joule.

A afirmação III também é correta, pois a presença de uma resistência em um circuito provoca uma redução na diferença de potencial ao longo do componente, gerando uma queda de tensão.

O item IV apresenta um erro conceitual, visto que o armazenamento de energia nos capacitores ocorre por meio de um campo elétrico, diferindo da natureza magnética dos indutores.

Por fim, a proposição V é verdadeira, pois o montante de energia acumulado em um indutor corresponde ao trabalho realizado para que uma determinada corrente elétrica flua através dele.

No momento em que a chave é fechada, a ddp sobre o capacitor é nula (pois este está totalmente descarregado). Dessa forma, com o resistor R₂ em curto-circuito (e i_B = 0 A), toda a corrente elétrica do circuito passa pelo amperímetro A, e o seu valor é:

$$\mathrm{U}={\mathrm{R}}_1{\mathrm{i}}_{\mathrm{A}}$$
$$12=2{\mathrm{i}}_{\mathrm{A}}$$
$${\mathrm{i}}_{\mathrm{A}}=6\mathrm{A}$$

Após o capacitor ficar totalmente carregado, o seu ramo se comportará como um aberto, e a malha de cima poderá ser desconsiderada. Sendo assim, o valor das correntes será:

$$\mathrm{U}=({\mathrm{R}}_1+{\mathrm{R}}_2)\mathrm{i}$$
$$12=(2+10)\mathrm{i}$$
$$\mathrm{i}{‘}_{\mathrm{A}}=\mathrm{i}{‘}_{\mathrm{B}}=\mathrm{i}=1 \mathrm{A}$$

Ao fechar a chave, ficamos com a seguinte relação:

$${\mathrm{R}}_1{\mathrm{i}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{R}}_2{\mathrm{i}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{U}$$
$$2{\mathrm{i}}_{\mathrm{A}}+10{\mathrm{i}}_{\mathrm{B}}=12$$
$${\mathrm{i}}_{\mathrm{A}}=6-5{\mathrm{i}}_{\mathrm{B}}$$

Como se trata de uma relação linear, o gráfico que melhor descreve o comportamento relativo das correntes em A e B é dado pela alternativa [A].

Sendo $\mathcal{l}$ o diâmetro da maçã, o tempo para atravessá-la vale:

$\mathrm{\Delta t}=\frac{\mathcal{l}}{\mathrm{v}}=\frac{\mathcal{l}}{500}$

Igualando este valor à constante de tempo do circuito RC, obtemos:

$\mathrm{\Delta t}=\mathrm{RC}$
$\frac{\mathcal{l}}{500}=10\mathrm{C}$
$\mathrm{C}=\frac{\mathcal{l}}{5000}$

Tomando $\mathcal{l}=7,5 \mathrm{cm},$ chegamos a:

$$\mathrm{C}=\frac{7,5·{10}^{-2}}{5·{10}^3}=1,5\cdot {10}^{-5}$$
$$\mathrm{C}=15 \mathrm{\mu F}$$

O coeficiente angular da reta tangente seria dado por:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }}$

Como $\frac{\mathrm{\Delta Q}}{\mathrm{\Delta t}}=\mathrm{i},$ a grandeza representada seria a corrente elétrica no capacitor naquele instante.

ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Do gráfico, temos que:

R x = 60 20
” class=”Wirisformula” role=”math” height=”41″ width=”133″ alt=”R over x equals 60 over 20 not stretchy rightwards double arrow R equals 3 x” style=”vertical-align: -15px;”>

Temos então o circuito:

Corrente elétrica que passa pela malha esquerda:

1 , 5 = 60 ⋅ i
” class=”Wirisformula” role=”math” height=”23″ width=”169″ alt=”1 comma 5 equals 60 times i not stretchy rightwards double arrow i equals 0 comma 025 A” style=”vertical-align: -7px;”>

Tensão elétrica sobre o capacitor:

U = 3 x ⋅ 0 , 025
” class=”Wirisformula” role=”math” height=”23″ width=”249″ alt=”U equals 3 x times 0 comma 025 not stretchy rightwards double arrow U equals 0 comma 075 cross times V divided by c m” style=”vertical-align: -7px;”>

Logo, a carga o capacitor deve ser de:

Q = C ⋅ U = 10 ⋅ 0 , 075 x ∴ Q = 0 , 75 x μ C / c m ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”51″ width=”170″ alt=”table row cell Q equals C times U equals 10 times 0 comma 075 x end cell row cell therefore Q equals 0 comma 75 x blank straight mu blank C divided by c m end cell end table” style=”vertical-align: -20px;”>

Dessa forma, concluímos que não há alternativa correta.

ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Na figura do enunciado, consta o valor de 1 C ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”19″ width=”22″ alt=”1 C” style=”vertical-align: -4px;”> ao lado do capacitor, o que possibilita duas interpretações:

1ª – O valor correto era de 1  F ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”20″ width=”24″ alt=”Error converting from MathML to accessible text.” style=”vertical-align: -4px;”>. Nesse caso:

Tensão sobre o capacitor:

E = C U 2 2

” class=”Wirisformula” role=”math” height=”47″ width=”250″ alt=”E equals C U to the power of 2 end exponent over 2 not stretchy rightwards double arrow 4 comma 5 equals fraction numerator 1 times U to the power of 2 end exponent over denominator 2 end fraction not stretchy rightwards double arrow U equals 3 text end text V” style=”vertical-align: -15px;”>

Dependendo da polaridade, podemos ter:

i ( 0 ) = 5 ± 3 2 ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”42″ width=”82″ alt=”i not stretchy left parenthesis 0 not stretchy right parenthesis equals fraction numerator 5 plus-or-minus 3 over denominator 2 end fraction” style=”vertical-align: -15px;”>

Como i(0)>2A,” class=”Wirisformula” role=”math” height=”21″ width=”65″ alt=”straight i left parenthesis 0 right parenthesis greater than 2 straight A comma” style=”vertical-align: -5px;”> devemos ter que:

i ( 0 ) = 5 + 3 2
” class=”Wirisformula” role=”math” height=”42″ width=”168″ alt=”i not stretchy left parenthesis 0 not stretchy right parenthesis equals fraction numerator 5 plus 3 over denominator 2 end fraction not stretchy rightwards double arrow i not stretchy left parenthesis 0 not stretchy right parenthesis equals 4 text end text A” style=”vertical-align: -15px;”>

Portanto, o módulo da variação de tensão entre os terminais do capacitor seria de 5  V + 3  V = 8  V ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”20″ width=”105″ alt=”Error converting from MathML to accessible text.” style=”vertical-align: -4px;”>.

2ª – O valor indicava a carga de 1 C ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”19″ width=”22″ alt=”1 C” style=”vertical-align: -4px;”> no capacitor. Nesse outro caso:

Tensão sobre o capacitor:

E = Q U 2

” class=”Wirisformula” role=”math” height=”45″ width=”237″ alt=”E equals fraction numerator Q U over denominator 2 end fraction not stretchy rightwards double arrow 4 comma 5 equals fraction numerator 1 times U over denominator 2 end fraction not stretchy rightwards double arrow U equals 9 text end text V” style=”vertical-align: -15px;”>

Portanto, para a única polaridade possível, o módulo da variação de tensão entre os terminais do capacitor seria de 5V+9V=14V.” class=”Wirisformula” role=”math” height=”20″ width=”107″ alt=”5 straight V plus 9 straight V equals 14 straight V.” style=”vertical-align: -4px;”>

Para o primeiro circuito, temos:

Tensão em cada ramo:

$$\mathrm{E}=\frac{{\mathrm{CU}}^2}{2}$$
$$16\cdot {10}^{-6}=\frac{8\cdot {10}^{-6}\cdot {\mathrm{U}}^2}{2}$$
$$\mathrm{U}=2\mathrm{V}$$

Corrente do circuito:

$$\mathrm{U}={\mathrm{R}}_2\mathrm{i}$$
$$2=2\mathrm{i}$$
$$\mathrm{i}=1\mathrm{A}$$

Força eletromotriz $\mathrm{\epsilon }:$

$$\mathrm{U}=\mathrm{\epsilon }-{\mathrm{R}}_1\mathrm{i}$$
$$2=\mathrm{\epsilon }-4\cdot 1$$
$$\mathrm{\epsilon }=6\mathrm{V}$$

Para o segundo circuito, temos:

Corrente do circuito:

$\begin{array}{cl}\mathrm{\epsilon }& ={\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}{\mathrm{i}}^{\mathrm{\prime }}\\ 6& =(2//2+5+4){\mathrm{i}}^{\mathrm{\prime }}\\ 6& =10{\mathrm{i}}^{\mathrm{\prime }}\\ {\mathrm{i}}^{\mathrm{\prime }}& =0,6 \mathrm{A}\end{array}$

Tensão sobre o ramo do capacitor:

$$\mathrm{U}‘=(2//2+5)\cdot \mathrm{i}‘$$
$$\mathrm{U}‘=6\cdot 0,6$$
$$\mathrm{U}‘=3,6 \mathrm{V}$$

Nova energia armazenada no capacitor:

$$\mathrm{E}‘=\frac{{\mathrm{CU}}^{\mathrm{\prime }2}}{2}$$
$$\mathrm{E}‘=\frac{8\cdot {10}^{-6}\cdot 3,6^2}{2}$$
$$\mathrm{E}‘=51,84 \mathrm{\mu J}$$

Com o capacitor totalmente carregado, temos:

Corrente elétrica do circuito:

$$U=(R_1+R_2+R_3)i$$
$$200=(20+60+20)i$$
$$i=2A$$

Tensão no resistor ${\mathrm{R}}_2:$

$${\mathrm{U}}_{{\mathrm{R}}_2}={\mathrm{R}}_2\mathrm{i}=60\cdot 2$$
$${\mathrm{U}}_{{\mathrm{R}}_2}=120\mathrm{V}$$

Como a tensão sobre o capacitor é a mesma sobre o resistor ${\mathrm{R}}_2.$ obtemos:

$$\mathrm{Q}={\mathrm{C}\mathrm{U}}_{{\mathrm{R}}_2}=2\cdot {10}^{-6}\cdot 120$$
$$\mathrm{Q}=2,4\cdot {10}^{-4}\mathrm{C}$$