Exercícios de Leis de Kepler

Período do planeta B:

$$\frac{{{\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}}^2}{{{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}}^3}=\frac{{{\mathrm{T}}_{\mathrm{B}}}^2}{{{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}}^3}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}}\right)}^3}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{B}}=1\cdot \sqrt{{\left(\frac{4\cdot \cancel{{10}^8}}{1\cdot \cancel{{10}^8}}\right)}^3}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{B}}=8\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{anos}$$

Posição angular dos planetas A e B (o tempo mínimo será dado quando os planetas se moverem em sentidos opostos):$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{A}}={\mathrm{\theta }}_{0_{\mathrm{A}}}+{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{A}}\mathrm{t}\\ {\mathrm{\theta }}_{\mathrm{B}}={\mathrm{\theta }}_{0_{\mathrm{B}}}+{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{B}}\mathrm{t}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{A}}=0+\frac{2\mathrm{\pi }}{1}\mathrm{t}\\ {\mathrm{\theta }}_{\mathrm{B}}=0-\frac{2\mathrm{\pi }}{8}\mathrm{t}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{A}}=2\mathrm{\pi t}\\ {\mathrm{\theta }}_{\mathrm{B}}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\mathrm{t}\end{array}$

O primeiro encontro ocorrerá para ${\mathrm{\theta }}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{B}}=2\mathrm{\pi }:$

$$\cancel{\mathrm{\pi }}\mathrm{t}-\frac{\cancel{\mathrm{\pi }}}{4}\mathrm{t}=2\cancel{\mathrm{\pi }}$$
$$\frac{7\mathrm{t}}{4}=2$$
$$\mathrm{t}=\frac{8}{7}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{anos}$$

Para resolver esta questão, aplicamos a Terceira Lei de Kepler (Lei dos Períodos), que estabelece uma relação direta entre o período de translação de um satélite e sua distância média ao corpo central.

A lei é expressa pela fórmula: $\frac{{\mathrm{T}}^2}{{\mathrm{R}}^3}=\mathrm{K}$

Onde T é o período orbital e R é o raio médio da órbita. Isso significa que quanto maior o tempo que um satélite leva para completar uma volta (período), maior será sua distância do planeta.

Análise das alternativas:

[C] Correta. Calisto possui o maior período orbital (16,7 dias), logo, pela Terceira Lei de Kepler, é o satélite mais afastado de Júpiter.

[B] Incorreta. Io possui o menor período (1,8 dias), sendo, portanto, o mais próximo do planeta.

[A] e [E] Incorretas. O período orbital depende da massa do corpo central (Júpiter) e da distância, mas não da massa do próprio satélite. Não se pode inferir a massa dos satélites apenas pelos períodos orbitais.

[D] Incorreta. Novamente, a massa do satélite não é determinada pelo seu período orbital nesta relação.

Para resolver esta questão, aplicamos dois conceitos fundamentais da Gravitação Universal:

Segundo a Lei da Gravitação de Newton, a força é inversamente proporcional ao quadrado da distância $\left(\mathrm{F}\propto \frac{1}{{\mathrm{d}}^2}\right).$ Como o periélio é o ponto mais próximo do Sol, a distância é menor, logo a força F_P é maior que no afélio (F_A).

De acordo com a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas), o vetor posição de um planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Para que isso ocorra, o astro deve se mover mais rápido quando está mais próximo da estrela. Portanto, no periélio, a velocidade v_P é máxima, e no afélio, v_A é mínima.

Analisando as alternativas:

[A] Correta: Identifica corretamente que tanto a força quanto a velocidade são maiores no periélio.

[B] Incorreta: Erra ao afirmar que as forças são iguais; a distância varia em órbitas elípticas.

[C] Incorreta: Inverte a relação; no afélio a força e a velocidade são menores devido à maior distância.

[D] Incorreta: Descreve um movimento circular uniforme, o que não se aplica ao caso de ‘grande excentricidade’ mencionado.

[E] Incorreta: Acerta a relação da força, mas erra ao propor velocidades iguais.

De acordo com a 2ª Lei de Kepler (lei das áreas), as velocidades do satélite mais próximo do centro de massa do sistema (periélio) são maiores em relação ao ponto mais afastado (afélio), assim, a energia cinética, que depende da velocidade tem a mesma característica, ou seja, E_c1 > E_c3. Por outro lado, a região da maior distância do centro de massa do sistema, tem maior energia potencial e a mais próxima tem menor energia potencial. Assim, E_p1< E_p3.

A terceira lei de Kepler estabelece a relação entre o período orbital (T) e o raio da órbita (R):

${\mathrm{T}}^2\alpha {\mathrm{R}}^3$

Para um satélite geoestacionário, o período orbital é igual a 24 h, pois o satélite fica sempre voltado para o mesmo ponto da Terra, portanto T_EST= 24 h.

Pela terceira lei de Kepler, podemos relacionar os períodos orbitais e seus raios correspondentes e determinar o período de tempo correspondente a cada volta da ISS:

$${\left(\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{EST}}}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{ISS}}}\right)}^2={\left(\frac{{\mathrm{R}}_{\mathrm{EST}}}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{ISS}}}\right)}^3\underset{{\mathrm{T}}_{\mathrm{EST}}=24}{\overset{{\left(\frac{{\mathrm{R}}_{\mathrm{EST}}}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{ISS}}}\right)}^3=256}{\to }}$$
$${\left(\frac{24}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{ISS}}}\right)}^2=256\Rightarrow \sqrt{{\left(\frac{24}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{ISS}}}\right)}^2}=\sqrt{256}\Rightarrow$$
$$\frac{24}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{ISS}}}=16\Rightarrow {\mathrm{T}}_{\mathrm{ISS}}=\frac{24}{16}{\mathrm{T}}_{\mathrm{ISS}}=1,5\mathrm{h}$$

Assim, o número de voltas efetuadas pelo astronauta durante 1000 dias será:

$\mathrm{n}° \mathrm{voltas}=1000 \mathrm{dias}. \frac{24\mathrm{h}/\mathrm{dia}}{1,5/\mathrm{volta}}\therefore \mathrm{n}°\mathrm{voltas}=16000 \mathrm{voltas}$

De acordo com a primeira lei de Kepler, a trajetória de um planeta é elíptica, com o sol (estrela que governa a órbita do planeta) ocupando um dos focos da elipse, situado sobre o eixo maior. No caso, mais aproximadamente, o ponto P.

Para uma determinação mais precisa pode-se calcular o ponto focal, adotando a origem do sistema de eixos ( x, y ) no centro da elipse (ponto Q) e o lado do quadrículo igual 1 unidade (u), como indicado na figura.

Assim, da figura:

a = 9 u (semieixo maior)

b $\cong$ 4,5 u (semieixo menor)

c = ? (ponto focal)

Usando a relação pitagórica da elipse:

$${\mathrm{a}}^2={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\Rightarrow {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2\Rightarrow {\mathrm{c}}^2\cong 9^2-4,5^2\Rightarrow$$
$${\mathrm{c}}^2\cong 81-20,25\Rightarrow \mathrm{c}\cong \sqrt{60,75}\Rightarrow \mathrm{c}\cong 7,8\mathrm{u}$$

Voltando à figura:

$\boxed{{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}=8\mathrm{u} }$

De fato, a posição da estrela é muito aproximadamente o ponto P.

Igualando a força de atração gravitacional com a força centrípeta, temos:

$${\mathrm{F}}_{\mathrm{g}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{cp}}$$
$$\frac{\mathrm{GM}\cancel{\mathrm{m}}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})\cancel{{}^2}}=\frac{\cancel{\mathrm{m}}{\mathrm{v}}^2}{\cancel{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}}$$
$$\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}={\mathrm{v}}^{2 }$$

Como $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{2\mathrm{\pi }(\mathrm{R}+\mathrm{h})}{\mathrm{T }},$ chegamos a:

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}& ={\left(\frac{2\mathrm{\pi }(\mathrm{R}+\mathrm{h})}{\mathrm{T}}\right)}^2\\ \frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}& =\frac{4{\mathrm{\pi }}^2(\mathrm{R}+\mathrm{h}{)}^2}{{\mathrm{T}}^2}\\ \therefore {\mathrm{T}}^2& =\frac{4{\mathrm{\pi }}^2(\mathrm{R}+\mathrm{h}{)}^3}{\mathrm{GM} }\end{array}$

Comparando Ceres e a Terra na 3ª Lei de Kepler:

$\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{C}}^2}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{C}}^3}=\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}^2}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{T}}^3}\Rightarrow \frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{C}}^2}{2,{77}^3}=\frac{1}{1}\Rightarrow {\mathrm{T}}_{\mathrm{C}}\sqrt{21,25}\Rightarrow {\mathrm{T}}_{\mathrm{C}}=4,62 \mathrm{anos}$

O movimento do afélio para o periélio é acelerado e do periélio para o afélio é retardado, sendo iguais as áreas varridas nos dois percursos. A segunda lei de Kepler garante que o seguimento de reta Sol-planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

Comparando os parâmetros do planeta desconhecido com a Terra, temos que:

$$\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{P}}^2}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{P}}^3}=\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}^2}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{T}}^3}$$
$${\mathrm{R}}_{\mathrm{P}}={\mathrm{R}}_{\mathrm{T}}\sqrt[3]{{\left(\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{P}}}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}}\right)}^2}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{P}}<{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}\Rightarrow \sqrt[3]{{\left(\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{P}}}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}}\right)}^2}<1:$$
$${\mathrm{R}}_{\mathrm{P}}<{\mathrm{R}}_{\mathrm{T}}$$

Ou seja, o planeta deve possuir o raio médio de órbita menor que o da Terra. Dentre as opções apresentadas, o planeta que satisfaz a condição dada é Vênus.