Exercícios de Leis de Kepler com resolução comentada

Para determinar quando os planetas voltarão a ocupar a configuração inicial, é necessário encontrar primeiro o período orbital de B e, em seguida, comparar as posições angulares dos dois planetas.

1. Período orbital do planeta B

Como A e B orbitam o mesmo astro central, pode-se aplicar a terceira lei de Kepler. Para corpos que descrevem órbitas circulares em torno do mesmo centro, a razão entre o quadrado do período orbital e o cubo do raio orbital é constante. Assim,

\[\frac{\left(T_{A}\right)^{2}}{\left(R_{A}\right)^{3}} = \frac{\left(T_{B}\right)^{2}}{\left(R_{B}\right)^{3}}\]

Nessa relação, \(T_{A}\) e \(T_{B}\) representam os períodos orbitais de A e B, enquanto \(R_{A}\) e \(R_{B}\) são os respectivos raios orbitais.

Isolando o período de B, obtém-se

\[T_{B} = T_{A} \sqrt{\left(\frac{R_{B}}{R_{A}}\right)^{3}}\]

O planeta A tem período de 1 ano. Além disso, o raio da órbita de B é quatro vezes o raio da órbita de A, pois \(R_{B}\) é \(4\) vezes \(R_{A}\). Portanto,

\[T_{B} = 1 \cdot \sqrt{\left(\frac{4 \cdot \cancel{10^{8}}}{1 \cdot \cancel{10^{8}}}\right)^{3}}\]

As potências de 10 se cancelam na razão entre os raios. Assim, a expressão fornece

\[T_{B} = 8 anos\]

Logo, o planeta B completa uma volta em 8 anos. Consequentemente, suas velocidades angulares são diferentes: A percorre uma volta completa em 1 ano, enquanto B percorre uma volta completa em 8 anos.

2. Posições angulares dos planetas

Considere \(\theta_{A}\) e \(\theta_{B}\) como as posições angulares dos planetas A e B, respectivamente. A posição angular de um planeta em movimento circular uniforme é dada pela posição inicial somada ao produto da velocidade angular pelo tempo.

Como os planetas estão inicialmente alinhados com S, tomam-se os ângulos iniciais iguais a zero. Para que o menor tempo seja obtido, considera-se que os planetas se movem em sentidos opostos. Nesse caso, os ângulos evoluem conforme

\[\begin{cases} \theta_{A} = \theta_{0_{\text{A}}} + \omega_{A} t \\ \theta_{B} = \theta_{0_{B}} + \omega_{B} t \end{cases}\]

Substituindo os ângulos iniciais nulos e usando os períodos orbitais determinados, as posições angulares são escritas como

\[\begin{cases} \theta_{A} = 0 + \frac{2 \pi}{1} t \\ \theta_{B} = 0 – \frac{2 \pi}{8} t \end{cases}\]

O sinal negativo na expressão de B indica que esse planeta está sendo considerado em movimento no sentido oposto ao adotado para A. Simplificando as expressões, resulta

\[\begin{cases} \theta_{A} = 2 πt \\ \theta_{B} = – \frac{\pi}{4} t \end{cases}\]

3. Condição para o novo alinhamento na mesma sequência

Para que os planetas estejam novamente alinhados com S na sequência S – A – B, o planeta A deve ter avançado angularmente em relação à posição de B até que a diferença angular entre eles corresponda a uma volta completa, isto é, a \(\theta_{A} + \theta_{B} = 2 \pi\). Assim,

\[\cancel{\pi} t – \frac{\cancel{\pi}}{4} t = 2 \cancel{\pi}\]

Cancelando o fator comum e reunindo os termos que contêm \(t\), chega-se a

\[\frac{7 t}{4} = 2\]

Isolando o tempo, obtém-se

\[t = \frac{8}{7} anos\]

Portanto, o tempo mínimo para que os planetas voltem a estar alinhados com o astro central na sequência S – A – B é 8/7 anos, correspondente à alternativa b).

Para determinar qual satélite está mais distante de Júpiter, deve-se relacionar o período orbital de cada um com o raio médio de sua órbita. Para isso, aplica-se a Terceira Lei de Kepler, também chamada Lei dos Períodos:

\[\frac{T^{2}}{R^{3}} = K\]

Nessa relação, T representa o período orbital, isto é, o tempo necessário para o satélite completar uma volta ao redor de Júpiter, enquanto R representa o raio médio da órbita, ou seja, a distância média entre o satélite e o centro de Júpiter. A constante K tem o mesmo valor para os satélites que orbitam o mesmo corpo central, pois depende da massa de Júpiter e não da massa de cada satélite.

Como a razão entre T² e R³ é constante, um período orbital maior corresponde a um raio orbital maior. Portanto, entre os quatro satélites, aquele que demora mais tempo para completar uma revolução é também o que está mais distante de Júpiter.

Comparando os dados da tabela, os períodos orbitais são: Calisto, 16,7 dias; Ganimedes, 7,2 dias; Europa, 3,6 dias; e Io, 1,8 dia. O maior período é o de Calisto, com 16,7 dias.

[C] Correta. Calisto possui o maior período orbital. Assim, pela Terceira Lei de Kepler, possui também o maior raio médio orbital e é o satélite mais distante de Júpiter.

[B] Incorreta. Io apresenta o menor período orbital, de 1,8 dia. Isso indica que sua órbita tem o menor raio médio entre as quatro, tornando-o o satélite mais próximo de Júpiter, e não o mais distante.

[A] e [E] Incorretas. Os períodos orbitais permitem comparar as distâncias médias dos satélites em relação a Júpiter, mas não permitem determinar suas massas. Na relação utilizada, a massa relevante é a do corpo central, Júpiter. Portanto, não é possível concluir, a partir dos períodos apresentados, que Ganimedes tenha o dobro da massa de Io ou o dobro da massa de Europa.

[D] Incorreta. Assim como nas alternativas anteriores, a massa de Io não pode ser determinada por seu período orbital. O fato de Io ter o menor período indica apenas que ele está, em média, mais próximo de Júpiter.

Logo, conclui-se que Calisto é o mais distante de Júpiter. Portanto, a alternativa correta é c).

Para resolver a questão, é necessário comparar a distância do asteroide ao Sol no periélio e no afélio e, em seguida, analisar como essa distância influencia a força gravitacional e a velocidade orbital.

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a intensidade da força gravitacional entre o Sol e o asteroide é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles \(\left(F \propto \frac{1}{d^{2}}\right) .\) Isso significa que, quanto menor for a distância ao Sol, maior será a força gravitacional; quanto maior for a distância, menor será essa força.

No periélio, o asteroide está mais próximo do Sol. Portanto, sua distância ao Sol é menor e a força gravitacional que atua sobre ele é maior. No afélio, o asteroide está mais distante, de modo que a força gravitacional é menor. Assim, conclui-se que F_P > F_A.

A velocidade também varia ao longo da órbita elíptica. Pela Segunda Lei de Kepler, o segmento que liga o Sol ao astro varre áreas iguais em tempos iguais. Quando o asteroide está mais próximo do Sol, uma mesma área precisa ser varrida em igual intervalo de tempo; para isso, o asteroide deve percorrer uma distância maior nesse intervalo. Consequentemente, sua velocidade é maior no periélio.

No afélio, por estar mais distante do Sol, o asteroide se desloca mais lentamente. Logo, v_P > v_A.

Portanto, tanto a força gravitacional quanto a velocidade do asteroide são maiores no periélio:

F_P > F_A e v_P > v_A.

Análise das alternativas:

[A] Correta. A alternativa apresenta corretamente as duas relações: a força gravitacional é maior no periélio porque a distância ao Sol é menor, e a velocidade também é maior no periélio em razão da variação da velocidade ao longo da órbita elíptica.

[B] Incorreta. As forças não são iguais, pois as distâncias do asteroide ao Sol no periélio e no afélio são diferentes. Como a força depende da distância, ela também apresenta valores diferentes nesses pontos.

[C] Incorreta. A relação está invertida. No periélio, o asteroide está mais próximo do Sol, portanto a força gravitacional e a velocidade são maiores, e não menores.

[D] Incorreta. Além de as forças não serem iguais, as velocidades também não são iguais. A órbita possui grande excentricidade, portanto não corresponde a uma órbita circular uniforme.

[E] Incorreta. A relação entre as forças está correta, mas a velocidade não é a mesma nos dois pontos da órbita. O asteroide é mais rápido no periélio e mais lento no afélio.

Logo, a alternativa correta é A.

Para compreender a dinâmica do movimento orbital do satélite S em torno do corpo C, é fundamental aplicar os princípios da mecânica celeste, especificamente a Segunda Lei de Kepler, também conhecida como Lei das Áreas. Esta lei estabelece que o vetor posição do satélite varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais, o que implica uma variação na velocidade escalar conforme a distância entre os corpos muda ao longo da trajetória elíptica.

Quando analisamos a energia cinética, que é definida pela relação entre a massa do objeto e o quadrado de sua velocidade, observamos que ela atinge seu valor máximo no ponto de maior proximidade com o centro de massa (periélio) e seu valor mínimo no ponto de maior afastamento (afélio). Considerando os pontos indicados na trajetória, o satélite apresenta uma velocidade superior ao passar pelo ponto 1 em comparação ao ponto 3. Consequentemente, a relação entre as energias cinéticas nesses dois momentos é expressa por

\[\text{E}_{\text{c1}}\text{ }>\text{ E}_{\text{c3}}\]

Simultaneamente, devemos considerar o comportamento da energia potencial gravitacional. Em um sistema de interação gravitacional, a energia potencial depende da distância radial entre os dois corpos; quanto maior for essa separação, maior será o valor da energia potencial (tornando-a menos negativa em termos matemáticos de potencial gravitacional). No contexto desta questão, o ponto 3 representa uma posição mais distante do corpo central do que o ponto 1. Portanto, ao comparar as energias potenciais nos referidos pontos, conclui-se que a energia no ponto 1 é inferior à energia no ponto 3, o que resulta na seguinte desigualdade

\[\text{E}_{\text{p1}}\text{ }<\text{ E}_{\text{p3}}\]

Em suma, ao integrar os conceitos de conservação de energia e as leis keplerianas, identificamos que a alternativa correta deve contemplar tanto o aumento da energia cinética conforme o satélite se aproxima do corpo central quanto o aumento da energia potencial conforme ele se afasta. Assim, validamos que E_p1 < E_p3 e E_c1 > E_c3, o que corresponde à opção D.

A situação pode ser resolvida relacionando o período orbital de cada satélite ao raio de sua órbita. O período orbital é o tempo necessário para completar uma volta ao redor da Terra.

A terceira lei de Kepler estabelece que, para corpos que orbitam o mesmo astro, o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do raio da órbita:

\[T^{2} \alpha R^{3}\]

Nessa relação, \(T\) representa o período orbital e \(R\) representa o raio da órbita. Como a ISS e o satélite geoestacionário orbitam a Terra, podemos comparar diretamente seus períodos e seus raios.

Um satélite geoestacionário completa uma volta em 24 horas. Isso ocorre porque seu período orbital é igual ao período de rotação da Terra, fazendo com que ele permaneça aparentemente sobre o mesmo ponto da superfície terrestre. Portanto, para o satélite geoestacionário:

\[T_{\text{EST}} = 24 \text{h}\]

Aplicando a terceira lei de Kepler aos dois satélites, relacionamos a razão entre seus períodos com a razão entre os raios de suas órbitas. O enunciado informa que o cubo da razão entre os raios é igual a 256:

\[\left(\frac{T_{\text{EST}}}{T_{\text{ISS}}}\right)^{2} = \left(\frac{R_{\text{EST}}}{R_{\text{ISS}}}\right)^{3} \rightarrow_{T_{\text{EST}} = 24}^{\left(\frac{R_{\text{EST}}}{R_{\text{ISS}}}\right)^{3} = 256}\]

Substituindo o período do satélite geoestacionário, \(T_{\text{EST}} = 24 \text{h}\), e o valor fornecido para a razão dos raios, obtemos:

\[\begin{array}{l}\left(\frac{24}{T_{\text{ISS}}}\right)^{2} = 256 \\ \sqrt{\left(\frac{24}{T_{\text{ISS}}}\right)^{2}} = \sqrt{256}\end{array}\]

Ao extrair a raiz quadrada dos dois membros, a razão entre o período de 24 horas e o período da ISS é igual a 16:

\[\frac{24}{T_{\text{ISS}}} = 16\]

Isso significa que o período da ISS é 16 vezes menor que o período do satélite geoestacionário. Isolando \(T_{\text{ISS}}\), encontramos:

\[T_{\text{ISS}} = \frac{24}{16} T_{\text{ISS}} = 1.5 \text{h}\]

Portanto, a ISS leva 1,5 hora, ou seja, 1 hora e 30 minutos, para completar uma volta ao redor da Terra.

Para determinar o número total de voltas em 1000 dias, primeiro convertemos esse intervalo para horas. Como cada dia corresponde a 24 horas, o tempo total é obtido multiplicando 1000 por 24. Em seguida, dividimos o tempo total pelo período de uma volta da ISS:

\[n \circ voltas = 1000 dias . \frac{24 \text{h} / dia}{1.5 / volta}\]

Como o período de cada volta é 1,5 hora, a divisão fornece:

\[n \circ voltas = 16000 voltas\]

Assim, quando o cosmonauta completar mil dias a bordo da ISS, terá realizado 16 000 voltas ao redor da Terra. Portanto, a alternativa correta é d) 16000.

De acordo com a primeira lei de Kepler, a órbita de um planeta é uma elipse, e a estrela responsável por governar esse movimento ocupa um dos focos da elipse. Os focos estão necessariamente sobre o eixo maior, isto é, sobre a direção do maior comprimento da trajetória elíptica.

Observando a figura, os pontos focais devem estar alinhados com o eixo maior e localizados a uma distância do centro da elipse menor que o semieixo maior. Visualmente, o ponto que melhor representa essa posição é o ponto P. Para confirmar essa identificação de maneira aproximada, podemos calcular a distância entre o centro da elipse e um de seus focos.

Adotemos a origem do sistema de coordenadas (x, y) no centro da elipse, indicado pelo ponto Q, e consideremos que o lado de cada quadrículo da figura corresponde a 1 unidade (u).

Na elipse, representamos por a o semieixo maior, por b o semieixo menor e por c a distância entre o centro da elipse e cada foco. Pela leitura da figura, temos:

a = 9 u, que corresponde ao semieixo maior, isto é, à metade do comprimento total da elipse na direção horizontal.

b \(\cong\) 4,5 u, que corresponde ao semieixo menor, isto é, à metade do comprimento total da elipse na direção perpendicular ao eixo maior.

c = ?, pois precisamos determinar a distância do centro até o foco.

Essas três grandezas formam um triângulo retângulo associado à elipse. Por isso, elas se relacionam pelo teorema de Pitágoras. Como a é a hipotenusa e b e c são os catetos, vale a relação:

\[\begin{array}{l}a^{2} = b^{2} + c^{2} \\ c^{2} = a^{2} – b^{2} \\ c^{2} \cong 9^{2} – 4 , 5^{2}\end{array}\]

A primeira igualdade é a relação fundamental entre os semieixos e a distância focal. Em seguida, isolamos c², subtraindo b² dos dois lados. Depois, substituímos os valores aproximados obtidos na figura: a = 9 u e b \(\cong\) 4,5 u.

\[c^{2} \cong 81 – 20.25\]

Calculando os quadrados, temos 9² = 81 e 4,5² = 20,25. Portanto, a diferença entre esses valores fornece aproximadamente o quadrado da distância focal:

\[c \cong \sqrt{60.75}\]

Para obter c, extraímos a raiz quadrada dos dois lados da igualdade. Isso resulta em:

\[c \cong 7.8 u\]

Assim, cada foco está aproximadamente 7,8 unidades afastado do centro Q, ao longo do eixo maior. Comparando essa distância com a posição dos pontos indicados na figura, o foco correspondente à estrela encontra-se aproximadamente na coordenada associada ao ponto P:

\[\boxed{x_{p} = 8 u }\]

O valor 8 u é compatível com o resultado aproximado de 7,8 u, considerando a leitura da malha da figura. Portanto, a estrela está sobre o ponto P, correspondente à alternativa d).

Para determinar o período orbital, considera-se que o satélite descreve uma órbita circular. Nesse movimento, a força gravitacional exercida pela Terra funciona como a força centrípeta responsável por manter o satélite em sua trajetória.

Assim, igualamos a força de atração gravitacional à força centrípeta:

\[F_{g} = F_{\text{cp}}\] \[\frac{GM \cancel{m}}{\left(\right. R + h \left.\right) \cancel{^{2}}} = \frac{\cancel{m} v^{2}}{\cancel{\left(R + h\right)}}\] \[\frac{GM}{R + h} = v^{2 }\]

Nessas expressões, G é a constante de gravitação universal, M é a massa da Terra, m é a massa do satélite e v é sua velocidade orbital. A distância entre o centro da Terra e o satélite é R + h, pois o satélite está a uma altura h acima da superfície, cujo raio é R.

A massa do satélite aparece nos dois lados da igualdade e, por isso, é cancelada. Isso mostra que, desprezando outros efeitos, o período orbital não depende da massa do satélite. Depois do cancelamento e da simplificação de um fator R + h, obtém-se a relação entre a velocidade orbital e o raio da órbita apresentada na última igualdade.

Em uma órbita circular, o satélite percorre, em uma volta completa, uma distância igual ao comprimento da circunferência, isto é, 2π(R + h). Como o período T é o tempo necessário para completar essa volta, a velocidade média do movimento circular é:

\[v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2 \pi \left(R + h\right)}{T} ,\]

Substituindo essa expressão da velocidade na relação obtida pela igualdade entre as forças, temos:

\[\begin{array}{l}\frac{GM}{R + h} & = \left(\frac{2 \pi \left(R + h\right)}{T}\right)^{2} \\ \frac{GM}{R + h} & = \frac{4 \pi^{2} \left(R + h\right)^{2}}{T^{2}} \\ T^{2} & = \frac{4 \pi^{2} \left(R + h\right)^{3}}{GM }\end{array}\]

Na última etapa, multiplica-se a igualdade pelo fator necessário para isolar T². O fator R + h, que já estava no denominador do primeiro membro, combina-se com o fator (R + h)² do segundo membro. Por isso, o resultado apresenta (R + h)³ no numerador.

Portanto, o quadrado do período do satélite é dado pela expressão final, que corresponde à alternativa d).

De acordo com a 3ª Lei de Kepler, para corpos que orbitam o mesmo astro, a razão entre o quadrado do período de translação e o cubo da distância média ao Sol é constante. Assim, podemos comparar diretamente Ceres com a Terra:

A comparação é escrita como

\[\frac{T_{C}^{2}}{R_{C}^{3}} = \frac{T_{T}^{2}}{R_{T}^{3}}\]

Nessa expressão, T_C e R_C representam, respectivamente, o período orbital e a distância média de Ceres ao Sol. Para a Terra, os valores apresentados na tabela são T_T = 1,00 ano e R_T = 1,00 u.a. Como a distância média de Ceres é 2,77 u.a., substituímos esses dados na relação:

\[\frac{T_{C}^{2}}{2 , 77^{3}} = \frac{1}{1}\]

Como a razão para a Terra é igual a 1, a igualdade mostra que o quadrado do período de Ceres deve ser igual ao cubo de sua distância média ao Sol. A partir dos dados da tabela, esse cubo é aproximadamente 21,25, de modo que o período de Ceres é obtido extraindo a raiz quadrada:

\[T_{C} \sqrt{21.25}\]

Portanto, o período orbital de Ceres é aproximadamente

\[T_{C} = 4.62 anos\]

Logo, a alternativa correta é c) 4,62 anos.

A dinâmica orbital de um planeta é regida pela segunda lei de Kepler, também conhecida como lei das áreas, que estabelece uma relação fundamental entre o tempo e a varredura de espaço ao longo da trajetória elíptica. De acordo com esse princípio, o segmento de reta que conecta o Sol ao planeta percorre áreas idênticas em intervalos de tempo equivalentes.

Essa característica implica variações na velocidade orbital conforme a distância entre o astro e o Sol se altera. Quando o planeta se desloca do afélio, seu ponto mais distante da estrela, em direção ao periélio, sua posição mais próxima, ocorre um aumento na velocidade de translação, caracterizando um movimento acelerado. Por outro lado, no trajeto de retorno do periélio para o afélio, a velocidade diminui, resultando em um movimento retardado.

Portanto, embora as velocidades oscilem durante o ciclo orbital, a conservação das áreas varridas garante que os percursos realizados entre esses dois pontos extremos apresentem magnitudes de área rigorosamente iguais.

De acordo com a terceira lei de Kepler, a razão entre o quadrado do período orbital e o cubo do raio médio da órbita é a mesma para todos os planetas que orbitam o Sol. Assim, quanto menor for o período de translação T, menor deverá ser também o raio médio da órbita R.

Comparando os parâmetros do planeta desconhecido com os da Terra, temos que:

\[\frac{T_{P}^{2}}{R_{P}^{3}} = \frac{T_{T}^{2}}{R_{T}^{3}}\] \[R_{P} = R_{T} \sqrt[3]{\left(\frac{T_{P}}{T_{T}}\right)^{2}}\] \[T_{P} < T_{T}\] \[\sqrt[3]{\left(T_{P_{T_{T}}}\right)^{2}} < 1 :\] \[R_{P} < R_{T}\]

Nessas expressões, o índice P representa o planeta analisado, enquanto o índice T representa a Terra. A condição T_P < T_T indica que o ano do planeta é menor que o ano terrestre, isto é, dura menos de 365 dias. Pela terceira lei de Kepler, isso implica que o planeta possui uma órbita com raio médio menor que o da Terra.

Portanto, o planeta procurado deve estar mais próximo do Sol do que a Terra. Entre as alternativas apresentadas, o planeta que satisfaz essa condição é Vênus.

Resposta: alternativa D) Vênus.