Exercícios de Lei da Atração Gravitacional com resolução comentada

A energia armazenada na bateria será totalmente convertida em energia potencial gravitacional para elevar a massa. Portanto, igualamos a energia da bateria à variação da energia potencial gravitacional. Nessa situação, m representa a massa, g é a aceleração da gravidade e y é a altura atingida em relação ao solo.

\[E_{b} = E_{\text{pg}} = m \cdot g \cdot y\]

A energia fornecida está expressa em watt-hora, mas, para utilizar a expressão da energia potencial gravitacional com as grandezas dadas no Sistema Internacional, é necessário convertê-la para joules. Como 1 Wh corresponde a 3600 J, fazemos a conversão por meio da relação entre hora e segundo

\[E_{b} = 15 \text{W} \cancel{h} \cdot \frac{3600 \text{s}}{1 \cancel{h}}\]

As unidades hora se cancelam, e o produto watt-segundo é equivalente a joule. Assim, a energia armazenada na bateria é

\[E_{b} = 54000 \text{J}\]

Agora, substituímos a energia convertida, a massa e a aceleração da gravidade na relação da energia potencial gravitacional. Em seguida, isolamos a altura y, dividindo ambos os lados da igualdade pelo produto m ⋅ g

\[\begin{array}{l}E_{b} = E_{\text{pg}} = m \cdot g \cdot y \\ 54000 \text{J} = 45 \text{kg} \cdot 10 \text{m} / s^{2} \cdot y\end{array}\]

A expressão obtida para a altura é

\[y = \frac{54000 \text{J}}{45 \text{kg} \cdot 10 \text{m} / s^{2}} y = 120 \text{m}\]

Logo, a altura necessária para que a variação da energia potencial gravitacional seja igual à energia armazenada na bateria é de 120 m. Portanto, a alternativa correta é c) 120 m.

A questão trata do movimento orbital de duas estrelas submetidas exclusivamente à atração gravitacional mútua. No referencial do centro de massa (CM), cada estrela descreve uma órbita circular em torno desse ponto. O objetivo é determinar o módulo da quantidade de movimento de cada estrela.

Sejam r₁ e r₂ as distâncias do centro de massa às estrelas de massas M₁ e M₂, respectivamente. Como o centro de massa está entre as duas estrelas, a distância total entre elas é a soma desses dois raios:

\[r_{1} + r_{2} = D_{} _{} _{} \left(1\right)\]

Adotando o centro de massa como a origem, sua coordenada é nula. Como as estrelas estão em lados opostos da origem, suas posições possuem sinais contrários. A condição de centro de massa é, portanto:

\[x_{\text{CM}} = 0\] \[\frac{- M_{1} \cdot r_{1} + M_{2} \cdot r_{2}}{M_{1} + M_{2}}\]

Multiplicando a igualdade pelo denominador e reorganizando os termos, obtém-se a relação entre as distâncias ao centro de massa:

\[M_{1} \cdot r_{1} = M_{2} \cdot \left(r_{2}\right)_{} _{} _{} \left(2\right)\]

A equação (2) mostra que a estrela de maior massa fica mais próxima do centro de massa. Isolando r₂ nessa relação:

\[r_{2} = \frac{M_{1} \cdot r_{1}}{M_{2}}\]

Substituindo essa expressão na equação (1):

\[r_{1} + \frac{M_{1} \cdot r_{1}}{M_{2}} = D\] \[r_{1} \left(1 + \frac{M_{1}}{M_{2}}\right) = D\]

Colocando os termos no mesmo denominador, resulta:

\[r_{1} = \frac{M_{2}}{M_{1} + M_{2}} D\]

De modo análogo, obtém-se:

\[r_{2} = \frac{M_{1}}{M_{1} + M_{2}} D\]

Para cada estrela, a força gravitacional exerce o papel de força centrípeta. Para a estrela de massa M₁, igualamos a força centrípeta à força gravitacional:

\[F_{c} = F_{g}\] \[\frac{\cancel{M_{1}} \cdot \left(v_{1}\right)^{2}}{r_{1}} = G \cdot \frac{\cancel{M_{1}} \cdot M_{2}}{D^{2}}\]

Cancelando M₁ e isolando a velocidade, temos:

\[\left(v_{1}\right)^{2} = G \cdot \frac{M_{2} \cdot r_{1}}{D^{2}} \overset{r_{1} = \frac{M_{2}}{M_{1} + M_{2}} D}{\rightarrow}\] \[v_{1} = M_{2} \sqrt{\frac{G}{D \left(M_{1} + M_{2}\right)}}\]

Para a estrela de massa M₂, o mesmo procedimento fornece:

\[F_{c} = F_{g}\] \[\frac{\cancel{M_{2}} \cdot \left(v_{1}\right)^{2}}{r_{2}} = G \cdot \frac{M_{1} \cdot \cancel{M_{2}}}{D^{2}}\] \[\left(v_{2}\right)^{2} = G \cdot \frac{M_{1} \cdot r_{2}}{D^{2}} \overset{r_{2} = \frac{M_{1}}{M_{1} + M_{2}} D}{\rightarrow}\] \[v_{2} = M_{1} \sqrt{\frac{G}{D \left(M_{1} + M_{2}\right)}}\]

A quantidade de movimento tem módulo igual ao produto da massa pela velocidade. Para a primeira estrela:

\[Q_{1} = M_{1} \cdot v_{1}\] \[Q_{1} = M_{1} \cdot M_{2} \sqrt{\frac{G}{D \left(M_{1} + M_{2}\right)}}\]

Para a segunda estrela:

\[Q_{2} = M_{2} \cdot v_{2}\] \[Q_{2} = M_{1} \cdot M_{2} \sqrt{\frac{G}{D \left(M_{1} + M_{2}\right)}}\]

As duas expressões são iguais. Isso também é esperado, pois, no referencial do centro de massa, as quantidades de movimento das duas estrelas têm módulos iguais e sentidos opostos, de modo que a quantidade de movimento total do sistema seja nula.

Logo, o módulo da quantidade de movimento de cada estrela é representado pela alternativa b).

A força gravitacional entre duas massas é calculada pela lei da gravitação universal de Newton:

\[F_{g} = \frac{G \cdot m_{1} \cdot m_{2}}{d^{2}}\]

Nessa expressão, F_g é o módulo da força gravitacional, medido em newtons (N); G é a constante de gravitação universal; m₁ e m₂ são as massas dos corpos, em quilogramas (kg); e d é a distância entre os centros de massa, em metros (m).

O valor da constante de gravitação universal é:

G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², ou, de forma equivalente:

G = 6,67 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²).

Como a esfera C está exatamente no ponto médio entre A e B, e a distância entre os centros de A e B é de 2 m, a distância de C até cada uma das outras esferas é de 1 m. As forças exercidas por A e B sobre C têm sentidos opostos: A atrai C para o lado de A, enquanto B atrai C para o lado de B.

Força gravitacional exercida por A sobre C

Aplicando a lei da gravitação universal às massas A e C, com m_A = 5 kg, m_C = 1 kg e d_AC = 1 m, obtém-se:

\[F_{\text{AC}} = \frac{G \cdot m_{A} \cdot m_{C}}{\left(d_{\text{AC}}\right)^{2}} = \frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}} \cdot 5 \text{kg} \cdot 1 \text{kg}}{\left(1 \text{m}\right)^{2}}\]

Como o denominador é 1² = 1, basta multiplicar a constante pelas massas. Portanto:

\[F_{\text{AC}} = 33.35 \cdot 10^{- 11} \text{N}\]

Essa força aponta para a esfera A, pois a gravidade é uma força de atração.

Força gravitacional exercida por B sobre C

Agora, considerando as massas B e C, com m_B = 10 kg, m_C = 1 kg e distância de 1 m, a força gravitacional é:

\[F_{\text{BC}} = \frac{G \cdot m_{A} \cdot m_{C}}{\left(d_{\text{AC}}\right)^{2}} = \frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}} \cdot 10 \text{kg} \cdot 1 \text{kg}}{\left(1 \text{m}\right)^{2}}\]

Novamente, o quadrado da distância vale 1. Assim, o resultado é:

\[F_{\text{BC}} = 66.7 \cdot 10^{- 11} \text{N}\]

Essa força aponta para a esfera B. Como a massa de B é maior que a massa de A, a atração de B sobre C é mais intensa.

Força resultante sobre C

As duas forças têm sentidos contrários. Por isso, o módulo da força resultante é obtido pela subtração entre a maior força, exercida por B, e a menor força, exercida por A:

\[F_{R \left(C\right)} = F_{\text{BC}} – F_{\text{AC}} =\] \[F_{\text{AC}} = 66.7 \cdot 10^{- 11} \text{N} – 33.35 \cdot 10^{- 11} \text{N}\]

Efetuando a subtração e convertendo a notação científica, o módulo da resultante é:

\[F_{R \left(C\right)} = 33.35 \cdot 10^{- 11} \text{N} = 3.335 \cdot 10^{- 10} \text{N}\]

Como a força exercida por B é maior, a força resultante aponta para o lado da esfera B. Portanto, a alternativa correta é a c) 3,34 × 10⁻¹⁰ N para o lado da esfera B.

A órbita descrita pelas coordenadas paramétricas é uma elipse. Para mostrar isso, parte-se da identidade trigonométrica fundamental, segundo a qual a soma dos quadrados do cosseno e do seno de um mesmo ângulo é igual a 1. Como

\[cos^{2} \left(ωt\right) + sen^{2} \left(ωt\right) = \frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{B^{2}}\] \[\frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1\]

Essa é a equação reduzida de uma elipse centrada na origem, com semieixos de comprimentos A e B. Como \(C = \sqrt{A^{2} – B^{2}} ,\) e A > B, A representa o semieixo maior. O valor C é a distância entre o centro da elipse e cada foco. O centro do planeta está localizado no foco de coordenadas (C, 0), portanto a distância entre o planeta e o satélite varia ao longo da órbita.

O potencial gravitacional de um satélite de massa m, situado a uma distância r de um planeta de massa M, é dado por \(E_{p} = – \frac{GmM}{r}\). O sinal negativo indica que a interação gravitacional é atrativa. Assim, quanto menor for a distância r, mais negativo será o potencial; quanto maior for r, menos negativo será o potencial.

Na extremidade mais próxima do foco localizado em (C, 0), a distância entre o satélite e o planeta é A − C. Na extremidade oposta, a distância é A + C. Consequentemente, o maior valor da energia potencial ocorre na maior distância, A + C, enquanto o menor valor ocorre na menor distância, A − C. A diferença entre esses valores é, portanto:

\[E_{p} = – \frac{GmM}{A + C} – \left(- \frac{GmM}{A – C}\right) = GmM \left(\frac{1}{A – C} – \frac{1}{A + C}\right)\] \[ΔE_{p} = GmM \cdot \frac{2 \text{C}}{A^{2} – C^{2}}\]

Na simplificação da diferença entre as frações, utiliza-se o denominador comum \(\left(A – C\right) \left(A + C\right)\). O numerador resultante é \(2 \text{C}\), e o produto do denominador é a diferença de quadrados, \(A^{2} – C^{2}\).

Como o enunciado fornece \(C = \sqrt{A^{2} – B^{2}}\), ao elevar ambos os lados ao quadrado, obtém-se \(C^{2} = A^{2} – B^{2}\). Logo, \(A^{2} – C^{2} = B^{2}\). Substituindo essa relação na expressão anterior:

\[ΔE_{p} = \frac{2 CGmM}{B^{2}}\]

Portanto, a diferença entre a maior e a menor energia potencial gravitacional é \(\frac{2 CGmM}{B^{2}}\), que corresponde à alternativa d).

A aceleração gravitacional na superfície de um corpo depende da massa desse corpo e da distância entre seu centro e sua superfície, que corresponde ao seu raio. Pela lei da gravitação universal de Newton, essa relação é expressa por:

\[g = \frac{GM}{R^{2 }} ,\]

Nessa expressão, g representa a aceleração gravitacional na superfície do planeta, G é a constante gravitacional universal, M é a massa do planeta e R é o seu raio. Como G tem o mesmo valor para todos os corpos, a comparação entre as acelerações gravitacionais de Urano e da Terra depende da razão entre a massa de cada planeta e o quadrado de seu raio.

Assim, se as acelerações gravitacionais na superfície de Urano e da Terra são próximas, então também são próximos os valores de M/R² para esses dois planetas. Portanto, a grandeza que deve apresentar valores próximos é a razão entre suas massas e seus raios elevados ao quadrado.

Logo, a alternativa correta é e) nas razões entre suas massas e seus raios elevados ao quadrado.

A força gravitacional entre dois corpos é determinada pela lei da gravitação universal de Newton. Essa lei estabelece que a intensidade da força é diretamente proporcional ao produto das massas dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros.

Nessa expressão, F representa a intensidade da força gravitacional, G é a constante gravitacional, m_A e m_B são as massas dos corpos A e B, respectivamente, e d é a distância entre eles. Portanto:

\[F = \frac{Gm_{A} m_{B}}{d^{2}}\]

Os valores fornecidos são G = 6,7 · 10⁻¹¹ N·m²/kg², m_A = 3 kg, m_B = 1 kg e d = 2 m. Substituindo esses valores na expressão, a distância deve ser elevada ao quadrado, pois aparece no denominador da fórmula:

\[F = \frac{6.7 \cdot 10^{- 11} \cdot 3 \cdot 1}{2^{2}}\]

Como 2² = 4 e 3 · 1 = 3, o cálculo numérico corresponde a dividir 6,7 · 3 por 4, mantendo a potência de dez. O resultado é aproximadamente 5 · 10⁻¹¹. A unidade obtida é o newton, pois a constante gravitacional foi fornecida em unidades compatíveis com massas em quilogramas e distância em metros:

\[F \cong 5 \cdot 10^{- 11} \text{N}\]

Assim, a intensidade aproximada da força gravitacional entre os corpos é 5 · 10⁻¹¹ N. Portanto, a alternativa correta é b).

[I] Verdadeira. A equação da curva pode ser reorganizada na forma padrão de uma elipse centrada na origem, comparando-a com a expressão x²/a² + y²/b² = 1. Assim, o denominador associado à variável x determina o semieixo maior, pois é o maior dos dois denominadores:

\[\left(\frac{5}{13} x\right)^{2} + \left(\frac{10}{17} y\right)^{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\left(\frac{13}{5}\right)^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\frac{17}{10}\right)^{2}} = 1\]

Logo, o semieixo maior tem comprimento:

\[a = \frac{13}{5 }\]

Como os vértices do eixo maior estão sobre o eixo x, suas coordenadas são obtidas tomando y = 0 e usando os valores positivo e negativo de a. Portanto:

\(T_{1} = \left(- \frac{13}{5} , 0\right)\) e \(M_{2} = \left(\frac{13}{5} , 0\right) .\)

Assim, a primeira afirmativa é verdadeira.

[II] Verdadeira. A força peso da sonda, de massa m, pode ser escrita como P = mg. A força gravitacional exercida pela Terra sobre a sonda, quando ela está a uma distância R + h do centro da Terra, é dada pela lei da gravitação universal. Nessa expressão, G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra, R é o raio terrestre e h é a altura da sonda em relação à superfície:

\[P = F_{\text{grav}}\] \[\cancel{m} g = \frac{GM \cancel{m}}{\left(R + h\right)^{2}}\]

A massa m aparece nos dois lados da igualdade e pode ser simplificada. Isolando a aceleração gravitacional g, obtém-se:

\[g = \frac{G M}{\left(R + h\right)^{2 }}\]

Portanto, a expressão apresentada para a aceleração gravitacional está correta, e a segunda afirmativa é verdadeira.

[III] Verdadeira. Os pontos são T₁ = (−13/5, 0), M₁ = (−13/5, −13/10) e M₂ = (13/5, 0). Para verificar a forma do triângulo, analisamos as direções de seus lados.

O segmento que liga M₁ a T₁ é vertical, pois os dois pontos têm a mesma abscissa, −13/5. Isso também aparece no cálculo do coeficiente angular:

\[m_{M_{1} T_{1}} = \frac{0 + \frac{13}{10}}{- \frac{13}{5} + \frac{13}{5}} = \frac{\frac{13}{10}}{0}\]

\(∄ m_{M_{1} T_{1}}\) (reta vertical)

Já os pontos T₁ e M₂ possuem a mesma ordenada, igual a zero. Portanto, o segmento T₁M₂ é horizontal. Uma reta vertical e uma reta horizontal são perpendiculares; logo, o ângulo formado em T₁ é reto. Consequentemente, o triângulo T₁M₁M₂ é retângulo, e a terceira afirmativa é verdadeira.

[IV] Falsa. O fato de a sonda estar a uma altura h acima da superfície terrestre não faz com que seu peso seja exatamente nulo. Enquanto a sonda estiver sob a influência gravitacional da Terra, continuará existindo uma força gravitacional sobre ela, embora essa força diminua à medida que a distância ao centro da Terra aumenta. Portanto, o peso da sonda não se anula para que ela seja enviada a Marte.

[V] Falsa. A trajetória C é uma elipse, e não uma circunferência. Em uma circunferência centrada na origem, a distância até a origem seria constante. Na elipse, porém, a distância de um ponto da curva até a origem varia conforme a posição do ponto. Assim, a distância euclidiana da sonda até O não permanece constante ao longo de todo o trajeto.

A sequência correta é V, V, V, F, F. Portanto, a alternativa correta é a).

A expressão da Lei da Gravitação Universal mostra que a intensidade da força gravitacional depende diretamente do produto das massas e inversamente do quadrado da distância entre os corpos. Como, nesta situação, as massas m₁ e m₂ e a constante G permanecem inalteradas, a única grandeza modificada é a distância r.

Quando a distância original é duplicada, ela passa a ser 2r. Portanto, é necessário substituir r por 2r no denominador da expressão da força:

\[F_{G} = G \times \frac{m_{1} \times m_{2}}{r^{2}} \overset{para 2 r}{\rightarrow} \left(F_{G}\right)^{'} = G \times \frac{m_{1} \times m_{2}}{\left(2 r\right)^{2}}\] \[\left(F_{G}\right)^{'} = G \times \frac{m_{1} \times m_{2}}{4 r^{2}} = \frac{1}{4} \left(G \times \frac{m_{1} \times m_{2}}{r^{2}}\right) \left(F_{G}\right)^{'} = \frac{F_{G}}{4 }\]

O fator 4 aparece porque o quadrado da nova distância é o quadrado de 2r. Assim, o denominador torna-se quatro vezes maior, enquanto o numerador permanece igual. Como a força é inversamente proporcional a esse denominador, sua intensidade passa a ser um quarto do valor original, ou seja, fica quatro vezes menor.

Logo, a alternativa correta é b) quatro vezes.

Para determinar a aceleração da gravidade na região da órbita, usamos a relação entre a força gravitacional, a massa do satélite e a aceleração da gravidade. A força gravitacional que atua sobre o satélite corresponde ao seu peso, cuja intensidade é dada pelo produto da massa pela aceleração da gravidade.

Assim, igualamos a força gravitacional ao peso:

\[F_{g} = P = mg\] \[g = \frac{F_{g}}{m} = \frac{1200 \text{N}}{6000 \text{kg}}\] \[g = 0.2 \text{m} / s^{2 }\]

Nessa expressão, F_g representa a força gravitacional, m é a massa do satélite e g é a aceleração da gravidade na posição orbital. Substituindo a força gravitacional de 1.200 N e a massa de 6.000 kg, obtemos 0,2 m/s². A unidade resulta de N/kg, que é equivalente a m/s².

Portanto, a aceleração da gravidade na região da órbita do satélite vale aproximadamente 0,2 m/s², correspondente à alternativa b).

A compreensão da dinâmica orbital dos planetas fundamenta-se na Lei da Gravitação Universal de Newton e nas Leis de Kepler. De acordo com o princípio gravitacional, a força de atração entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. No contexto do sistema solar, essa interação ocorre entre o Sol e os planetas, determinando a curvatura de suas trajetórias elípticas.

Ao analisarmos o movimento orbital, é essencial considerar as posições extremas da elipse: o periélio e o afélio. O periélio representa o ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol, enquanto o afélio marca a distância máxima alcançada na órbita. À medida que um corpo celeste se desloca em direção ao periélio, a distância radial entre ele e o centro de massa do sistema diminui significativamente.

Essa redução na distância tem consequências diretas sobre as grandezas físicas envolvidas. Como a intensidade da força gravitacional depende inversamente do quadrado da distância, uma proximidade menor resulta em uma força de atração muito mais intensa. Pela Segunda Lei de Newton, que estabelece que a aceleração de um objeto é diretamente proporcional à força resultante aplicada sobre ele, o aumento da força gravitacional implica necessariamente em um incremento na aceleração do planeta.

Portanto, ao observar o comportamento do planeta durante sua trajetória, nota-se que, no momento em que ele se aproxima do periélio, a redução da distância em relação ao Sol provoca um aumento tanto na intensidade da força de atração quanto na aceleração orbital. Isso valida a afirmação de que, ao aproximar-se dessa região de menor distância, o corpo apresentará uma maior aceleração devido à influência gravitacional intensificada.