Exercícios de Força Centrípeta com resolução comentada

I. Verdadeira. No ponto mais baixo, a corda está vertical e o centro da trajetória circular encontra-se acima da esfera. Assim, a tensão T aponta para cima, em direção ao centro, enquanto o peso P aponta para baixo. Como a aceleração centrípeta é dirigida para o centro da trajetória, a força resultante radial também deve apontar para cima. Portanto, nesse ponto, a tensão precisa ser maior que o peso, e a resultante centrípeta é dada pela diferença entre essas forças:\(F_{\text{cp}} = T – P ,\)

Isolando a tensão, obtém-se:\(T = P + F_{\text{cp}} .\)

O módulo da força centrípeta depende do quadrado da velocidade e é inversamente proporcional ao raio da trajetória. Como o raio é o comprimento da corda, L, tem-se:\(F_{\text{cp}} = \frac{m \cdot v^{2}}{L}\)

Na ausência de dissipação de energia, a esfera apresenta sua maior velocidade no ponto mais baixo, pois a energia potencial gravitacional diminui à medida que a esfera desce e é convertida em energia cinética. Consequentemente, a força centrípeta também é máxima nesse ponto. Logo, a tensão, que é a soma do peso com a força centrípeta, também é máxima na posição mais baixa.

Assim, no ponto mais baixo, a tensão máxima pode ser escrita como:\(T_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = P + F_{\text{cp}} = m \cdot g + \frac{m \cdot v^{2}}{L} = m \left(g + \frac{v^{2}}{L}\right) \overset{v^{2} = 2 gh}{\rightarrow}\)

\[T_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = mg \left(1 + \frac{2 \text{h}}{L}\right) .\]

II. Verdadeira. A aceleração centrípeta é a componente da aceleração responsável por alterar a direção da velocidade em um movimento circular. Por definição, ela aponta sempre radialmente para o centro da trajetória. No ponto mais baixo, o centro da circunferência está verticalmente acima da esfera; portanto, a aceleração centrípeta aponta para cima, na direção do centro.

III. Falsa. A energia potencial gravitacional depende da altura da esfera em relação a um nível de referência e é dada por:\(E_{\text{pg}} = m \cdot g \cdot h\)

Se o ponto mais baixo for escolhido como nível de referência, sua altura é zero e, portanto, a energia potencial gravitacional também é mínima nesse ponto:

Ao descer, a esfera perde altura e sua energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética. Por isso, no ponto mais baixo, a esfera possui a maior velocidade, enquanto sua energia potencial gravitacional é mínima. A energia potencial é máxima na posição inicial, de onde a esfera foi liberada, e também no ponto mais alto que ela alcançar, considerando que não haja perda de energia por atrito. Portanto, a proposição III é falsa.

IV. Verdadeira. A força resultante é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a esfera. No ponto mais baixo, as forças consideradas são o peso, de módulo P, dirigido para baixo, e a tensão da corda, de módulo T, dirigida para cima. Como essas forças possuem sentidos opostos, a resultante radial é obtida pela diferença entre seus módulos:

No ponto mais baixo, essa resultante é justamente a força centrípeta, pois é ela que aponta para o centro da trajetória circular. Assim, a força resultante é formada pela soma vetorial do peso com a tensão, e seu módulo é dado por:\(F_{\text{cp}} = T – P .\)

V. Verdadeira. A energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial gravitacional:\(E_{\text{mec}} = E_{\text{cin}} + E_{\text{pg}}\)

A força gravitacional é conservativa. Além dela, atua a tensão da corda, mas essa força não realiza trabalho sobre a esfera, pois a tensão é radial e o deslocamento instantâneo da esfera é tangencial à trajetória; portanto, são perpendiculares. Uma força perpendicular ao deslocamento realiza trabalho nulo. Dessa forma, não há perda de energia mecânica por trabalho da tensão, e a energia mecânica permanece constante ao longo do movimento.

As proposições verdadeiras são I, II, IV e V. A proposição III é falsa, pois a energia potencial gravitacional é mínima no ponto mais baixo. Portanto, a alternativa correta é d) Somente as proposições I, II, IV e V são verdadeiras.

Para o movimento circular uniforme, a força centrípeta é a força resultante direcionada para o centro da trajetória. Sua intensidade é dada por F = mv²/R, em que m é a massa do objeto, v é a velocidade tangencial e R é o raio da curva. Como a massa do objeto permanece constante nos dois movimentos, podemos escrever:

\[\left\{\right. \begin{matrix}F_{1} = \frac{mv_{1}^{2}}{R_{1}} \\ F_{2} = \frac{mv_{2}^{2}}{R_{2}}\end{matrix} \rangle\] \[\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{\cancel{m} v_{2}^{2}}{R_{2}} \times \frac{R_{1}}{\cancel{m} v_{1}^{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot \left(\frac{v_{2}}{v_{1}}\right)^{2} = \frac{\cancel{R_{1}}}{2 \cancel{R_{1}}} \cdot \left(\frac{2 \cancel{v} 1}{\cancel{v_{1}}}\right)^{2} = \frac{4}{2}\] \[\frac{F_{2}}{F_{1}} = 2\]

Na razão entre as forças, a massa aparece tanto no numerador quanto no denominador e, por isso, é cancelada. Em seguida, usamos as relações fornecidas no enunciado: a velocidade do segundo movimento é o dobro da primeira, de modo que v₂/v₁ = 2, enquanto o raio da segunda trajetória também é o dobro do primeiro, de modo que R₂ = 2R₁. Como a velocidade está elevada ao quadrado na expressão da força centrípeta, o fator associado às velocidades é 2² = 4. O aumento do raio introduz um fator 2 no denominador, resultando na razão 4/2 = 2.

Portanto, a força centrípeta necessária no segundo movimento possui intensidade duas vezes maior que a do primeiro movimento. Assim, a alternativa correta é c).

No ponto mais alto do looping, o centro da trajetória circular está abaixo do avião. Portanto, a aceleração centrípeta — e, consequentemente, a força centrípeta resultante — aponta para baixo.

Para que o piloto não sinta nenhuma força exercida pelo assento ou pelo cinto, a força normal deve ser nula. Assim, nesse instante, a única força relevante na direção radial é o peso do conjunto avião-piloto. Logo, o peso é responsável por fornecer integralmente a força centrípeta:

\[F_{c} = P + N \overset{N = 0}{\rightarrow} F_{c} = P\] \[\frac{\cancel{m} \cdot v^{2}}{R} = \cancel{m} \cdot g\] \[v = \sqrt{Rg}\]

Na primeira igualdade, F_c representa a força centrípeta, P representa o peso e N representa a força normal exercida pelo assento ou pelo cinto. Como N é igual a zero, a força centrípeta fica igual ao peso.

Em seguida, substitui-se a força centrípeta por sua expressão, mv²/R, e o peso por mg. A massa m aparece nos dois lados da igualdade e pode ser cancelada, pois é diferente de zero. Dessa forma, obtém-se a relação entre a velocidade v, o raio R da curva e a aceleração da gravidade g.

Substituindo o raio da curva, em metros, e a aceleração da gravidade fornecida no enunciado, obtém-se:

\[v = \sqrt{Rg}\] \[v = \sqrt{1000 \text{m} \cdot 10 \text{m} / s^{2}} = \sqrt{10000 \left( m / \text{s}\right)^{2}}\] \[v = 100 \text{m} / \text{s}\]

O resultado encontrado está em metros por segundo. Para convertê-lo para quilômetros por hora, utiliza-se o fator de conversão correspondente, pois 1 m/s equivale a 3,6 km/h:

\[v = 100 \text{m} / \text{s} \cdot \frac{3.6 k m / \text{h}}{1 \text{m} / \text{s}}\] \[v = 360 k m / \text{h}\]

Portanto, a velocidade necessária para que, no topo do looping, o piloto não sofra força do assento nem do cinto de segurança é 360 km/h. Assim, a alternativa correta é c).

Como a corda é inextensível e não há dissipação de energia mencionada, conserva-se a energia mecânica entre o ponto A, de altura máxima, e o ponto B, o ponto mais baixo da trajetória. Em A, a velocidade é nula, pois o pêndulo inverte o sentido do movimento; portanto, sua energia é exclusivamente potencial gravitacional. Em B, tomando esse ponto como nível de referência, a energia é exclusivamente cinética.

A diferença de altura entre A e B é igual ao comprimento da corda, pois, em A, a corda está na horizontal e, em B, está na vertical. Assim, h_A = l = 60 cm = 0,60 m. Aplicando a conservação da energia mecânica:

\[E_{B} = E_{A}\] \[\frac{\cancel{m} v_{B}^{2}}{2} = \cancel{m} gh_{A}\] \[v_{B} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.6}\] \[v_{B} = 2 \sqrt{3} m / \text{s}\]

Nessa sequência, a massa aparece nos dois lados da igualdade e é cancelada. Em seguida, são substituídos o valor da aceleração da gravidade, g = 10 m/s², e a altura, h_A = 0,60 m. Dessa forma, a velocidade do pêndulo no ponto B é 2√3 m/s.

No ponto B, a aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória, que está acima da massa, ao longo da direção da corda. A tensão T aponta para cima, enquanto o peso P = mg aponta para baixo. Portanto, a força resultante radial é a diferença entre a tensão e o peso:

\[T – P = F_{c p}\] \[T – m g = \frac{\left(m v\right)_{B}^{2}}{I}\] \[T – 0.5 \cdot 10 = \frac{0.5 \cdot 12}{0.6}\] \[T = 15 \text{N}\]

Na última etapa, foram utilizados m = 0,50 kg, g = 10 m/s², v_B² = (2√3)² = 12 e o comprimento da corda, 0,60 m. O resultado mostra que a tensão precisa ser maior que o peso, pois, além de equilibrar o peso, ela deve fornecer a força centrípeta necessária para manter a massa em movimento circular.

Logo, a tensão no fio no ponto mais baixo B é 15 N. Portanto, a alternativa correta é d).

Para compreender a dinâmica do veículo durante a curva, é necessário analisar as forças que atuam no plano horizontal e vertical para manter o movimento circular. A força centrípeta é uma resultante necessária para que qualquer corpo realize uma trajetória curvilínea, sendo sempre direcionada para o centro geométrico da curva percorrida.

No cenário de uma pista inclinada, a componente horizontal da força normal contribui para essa aceleração central. No entanto, em situações onde há inclinação e movimento, deve-se considerar também as forças de contato entre os pneus e o solo. O atrito estático desempenha um papel na estabilidade do automóvel: ele atua no sentido oposto à tendência de deslizamento lateral.

Considerando a geometria da pista, se não houvesse a atuação das forças de atrito, a inércia do veículo faria com que ele tendesse a subir a rampa, afastando-se do centro da trajetória. Portanto, para impedir esse deslocamento radial indesejado e garantir que o carro permaneça na curva, a força de atrito estático deve ser direcionada para baixo, ou seja, em direção ao centro da curva (sentido radial interno).

Dessa forma, estabelecemos as orientações vetoriais solicitadas: a força centrípeta aponta obrigatoriamente para o centro da trajetória circular, enquanto a força de atrito estático deve apontar para baixo na inclinação para contrabalançar a tendência de subida do veículo.

Ao observar a direção dos vetores na representação visual, confirma-se que a força centrípeta é direcionada para o centro da curva e a força de atrito estático atua paralelamente à superfície da pista, apontando para baixo.

Para determinar a velocidade orbital, utiliza-se a condição de movimento circular uniforme: a força resultante que aponta para o centro da órbita é a força centrípeta. Nesse caso, a força de atração elétrica exerce o papel de força centrípeta sobre o elétron.

A força centrípeta é dada pela expressão:

\[F = \frac{mv^{2}}{r}\] \[v = \sqrt{\frac{Fr}{m}}\] \[v = \sqrt{\frac{10^{- 7} \cdot 0.5 \cdot 10^{- 10}}{10^{- 30}}}\] \[v = \sqrt{5 \cdot 10^{12}}\] \[v = \sqrt{5} \cdot 10^{6} \text{m} / \text{s}\]

Na primeira expressão, F representa a força centrípeta, m é a massa do elétron, v é sua velocidade orbital e r é o raio da órbita. Isolando a velocidade, obtém-se a segunda expressão, na qual se calcula a raiz quadrada do produto entre a força e o raio, dividido pela massa.

Substituindo os valores fornecidos, a força é 10⁻⁷ N, o raio é 0,5 × 10⁻¹⁰ m e a massa é 10⁻³⁰ kg. A divisão das potências de dez resulta em uma potência de expoente 13 no numerador antes da simplificação do fator 0,5; por isso, a expressão sob a raiz pode ser escrita como 5 × 10¹².

Como a raiz quadrada de 5 é um número da ordem de 1, a principal contribuição para a ordem de grandeza vem de 10⁶. Assim, a velocidade calculada é aproximadamente 2,2 × 10⁶ m/s, mas sua ordem de grandeza é 10⁶ m/s.

Portanto, a velocidade orbital do elétron é da ordem de 10⁶ m/s, correspondente à alternativa d).

No ponto A

No ponto A, o corpo está no início do movimento circular. As forças relevantes são a força exercida pelo tubo, de intensidade F, e o peso P, cuja intensidade é mg. Considerando a orientação radial indicada pela trajetória, a força resultante centrípeta é a diferença entre essas duas forças.

A aplicação da segunda lei de Newton na direção radial fornece

\[F – P = F_{\text{cp}}\] \[F – mg = \frac{mv_{0}^{2}}{R}\] \[\left(v_{0}^{}\right)^{2} = \frac{FR}{m} – gR \left(I\right)\]

Nessas expressões, F_cp representa a força centrípeta, isto é, a resultante radial necessária para manter o corpo na trajetória circular. Como a força centrípeta tem módulo \(\frac{m}{v^{2}}\) e, no ponto A, a velocidade é v₀, obtém-se a segunda igualdade. Isolando \(v_{0}^{2}\), resulta a equação (I).

De A para B

Entre A e B, o corpo se desloca pelo tubo sem atrito. Portanto, a energia mecânica se conserva. O ponto B está a uma altura \(2 R + h\) acima do nível de referência adotado em A, de modo que o aumento da energia potencial gravitacional é \(mg \left(2 R + h\right)\).

A conservação da energia mecânica é escrita como

\[E_{M_{A}} = E_{M_{B}}\] \[\frac{\cancel{\text{m}} \left(v_{0}\right)^{2}}{2} = \frac{\cancel{\text{m}} v^{2}}{2} + \cancel{m} g \left(2 R + h\right)\] \[\frac{FR}{m} – gR = v^{2} + 2 \text{g} \left(2 R + h\right)\] \[v^{2} = \frac{FR}{m} – 5 gR – 2 gh \left(II\right)\]

Na primeira igualdade, os termos correspondentes à massa podem ser cancelados. Em seguida, substitui-se \(v_{0}^{2}\) pelo resultado obtido em (I). Ao desenvolver o termo gravitacional e reorganizar a expressão para deixar \(v^{2}\) isolado, chega-se à equação (II), que fornece a velocidade do corpo ao atingir o ponto B.

De B para C

De B até a entrada no fluido, o corpo sobe uma altura H − h. Ao entrar no fluido, sua energia cinética é \(\frac{m v^{2}}{2}\). O enunciado informa que o módulo do trabalho realizado pela força de atrito viscoso é igual a um terço dessa energia cinética. Como o atrito realiza trabalho contrário ao movimento, seu trabalho é negativo.

Aplicando o teorema trabalho–energia, segundo o qual o trabalho resultante é igual à variação da energia mecânica, temos

\[\tau_{\text{Fat}} = ΔE_{M}\] \[\frac{1}{3} \left(- \frac{\cancel{m} v^{2}}{2}\right) = \cancel{m} \left(H – h\right) – \frac{\cancel{m} v^{2}}{2}\] \[v^{2} = 3 \text{g} \left(H – h\right)\]

A massa se cancela nessa relação. Depois, isolando a velocidade de entrada no fluido, obtém-se a relação entre v² e a elevação adicional H − h. Substituindo nessa equação o resultado encontrado em (II), segue que

\[\frac{FR}{m} – 5 gR – 2 gh = 3 gH – 3 gh\]

Dividindo todos os termos por g e reorganizando os termos que contêm H, resulta

\[\frac{FR}{mg} – 5 R + h = 3 \text{H}\]

Finalmente, dividindo a igualdade por 3, encontramos

\[H = \frac{1}{3} \left(h – 5 R + \frac{FR}{mg}\right)\]

Portanto, a altura máxima atingida pelo corpo é expressa pela alternativa c.

Para que a água permaneça no copo durante toda a manobra, é necessário analisar a condição mais crítica do movimento: o instante em que o copo está na parte superior da trajetória circular. Nesse ponto, a aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória, isto é, para baixo, no mesmo sentido da força peso.

No limite mínimo para que a água não derrame, a força resultante necessária para produzir a aceleração centrípeta deve ser igual ao peso da água. Assim, a força centrípeta deve satisfazer:

\[F_{\text{cp}} = P\]

A intensidade da força centrípeta é dada por mv²/R, em que m é a massa da água, v é a velocidade da aeronave e R é o raio do “parafuso”. O peso da água é mg, em que g é a aceleração da gravidade. Portanto:

\[\frac{\cancel{m} v^{2}}{R} = \cancel{m} g\]

A massa aparece nos dois lados da igualdade e, por isso, pode ser cancelada. Isso mostra que a velocidade mínima não depende da quantidade de água, mas apenas do raio da trajetória e da aceleração da gravidade. Isolando a velocidade, obtemos:

\[v = \sqrt{Rg} = \sqrt{100 \cdot 10}\]

Substituindo o raio R = 100 m e adotando g = 10 m/s², a velocidade mínima é:

\[v \simeq 31.62 \text{m} / \text{s} = 113.84 \text{km} / \text{h}\]

Como essa é a velocidade-limite, a aeronave deve voar com velocidade igual ou superior a aproximadamente 113,84 km/h. Entre os intervalos oferecidos, esse valor está compreendido entre 100 km/h e 120 km/h. Portanto:

\[100 k m / \text{h} \leq v <</mo>120km/h\]

Logo, a alternativa correta é a) 100 km/h ≤ v < 120 km/h.

Como o telescópio Webb e a Terra orbitam o Sol com o mesmo período de translação, ambos realizam uma volta completa no mesmo intervalo de tempo. Portanto, suas velocidades angulares são iguais:

\[\left(\omega\right)\]

Na expressão da força resultante necessária para manter um corpo em movimento circular uniforme, m representa a massa do corpo, ω é a velocidade angular e R é o raio da órbita medido em relação ao centro da trajetória. Assim, para o telescópio, cuja massa é m_W e cujo raio orbital é R_W, tem-se:

\[\begin{cases} F_{W} = m_{W} \omega^{2} R_{W} \\ F_{T} = m_{T} \omega^{2} R_{T} \end{cases} \rangle \div\]

A primeira igualdade corresponde à força resultante sobre o Webb, e a segunda, à força resultante sobre a Terra. Como o objetivo é comparar as duas forças, divide-se a primeira expressão pela segunda:

\[\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{W} \cancel{\omega^{2}} R_{W}}{m_{T} \cancel{\omega^{2}} R_{T}}\]

O fator \(\omega^{2}\) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Como as velocidades angulares são iguais, esse fator pode ser cancelado. Restam, portanto, as massas e os raios orbitais:

\[\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{W} R_{W}}{m_{T} R_{T}}\]

Logo, a razão entre as forças é diretamente proporcional ao produto da massa pelo raio orbital de cada corpo. A expressão obtida corresponde à alternativa c):

\[\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{W} R_{W}}{m_{T} R_{T}}\]

A aceleração centrípeta é a aceleração dirigida para o eixo de rotação. No ponto considerado, ela deve ter o mesmo módulo da aceleração da gravidade terrestre, para que o efeito produzido pela rotação seja equivalente ao peso aparente de um astronauta.

Para um ponto situado a uma distância R do eixo de rotação e com velocidade angular ω, a aceleração centrípeta é dada por a_cp = ω²R. Como o problema informa que essa aceleração deve ser igual a g = 9,8 m/s², usamos a relação:

\[a_{c p} = \omega^{2} R = g\] \[\omega^{2} \cdot 20 = 9.8\] \[\omega = \sqrt{0.49}\] \[\omega = 0.70 r a d / \text{s}\]

Na substituição, foi utilizado R = 20 m, que é a distância do ponto ao eixo longitudinal do cilindro. Como a aceleração centrípeta é proporcional ao quadrado da velocidade angular, isolamos ω dividindo ambos os lados por 20 e, em seguida, extraindo a raiz quadrada. A unidade da velocidade angular é o radiano por segundo, representada por rad/s.

Assim, a velocidade angular necessária é 0,70 rad/s. Portanto, a alternativa correta é a b).