Exercícios de Lei de Coulomb com resolução comentada

A força elétrica entre duas cargas pontuais é determinada pela lei de Coulomb. Para o módulo da força, consideram-se os módulos das cargas e a distância entre elas:

\[F = k \cdot \frac{q \cdot Q}{d^{2}}\]

Nessa expressão, k é a constante eletrostática, q e Q são as cargas elétricas e d é a distância entre elas. Como as duas situações ocorrem no mesmo meio e envolvem a carga q, a constante k e a carga q permanecem iguais. Portanto, basta comparar a carga substituída e o quadrado da distância.

Na primeira situação, a carga é Q₁ e a distância é d₁. Assim:

\[F_{1} = k \cdot \frac{q \cdot Q_{1}}{\left(d_{1}\right)^{2}}\]

Na segunda situação, o enunciado informa que a nova carga é quatro vezes maior, Q₂ = 4Q₁, enquanto a nova distância é duas vezes maior, d₂ = 2d₁. Aplicando essas duas relações à lei de Coulomb:

\[F_{2} = k \cdot \frac{q \cdot Q_{2}}{\left(d_{2}\right)^{2}} \rightarrow_{d_{2} = 2 d_{1}}^{Q_{2} = 4 Q_{1}} F_{2} = k \cdot \frac{q \cdot 4 Q_{1}}{\left(2 d_{1}\right)^{2}} = k \cdot \frac{4 q \cdot Q_{1}}{4 \left(d_{1}\right)^{2}}\]

O fator 4 introduzido no numerador vem do aumento da carga. No denominador, a distância aparece elevada ao quadrado; por isso, ao substituir d₂ por 2d₁, obtém-se (2d₁)² = 4d₁². Esses dois fatores 4 se cancelam:

\[F_{2} = k \cdot \frac{q \cdot Q_{1}}{\left(d_{1}\right)^{2}}\]

Logo, a expressão obtida para F₂ é exatamente igual à expressão de F₁. Portanto, as duas forças possuem o mesmo módulo:

\[\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{k \cdot \frac{q \cdot Q_{1}}{\left(d_{1}\right)^{2}}}{k \cdot \frac{q \cdot Q_{1}}{\left(d_{1}\right)^{2}}}\]

Como numerador e denominador são a mesma expressão, a razão é igual a 1:

\[\frac{F_{1}}{F_{2}} = 1\]

Pela regra do paralelogramo, obtemos:

Inicialmente, as cargas estão nas posições (0,0) e (0,d). Como possuem a mesma coordenada x, a distância entre elas é exclusivamente a separação vertical, isto é, r₁ = d.

O enunciado informa que as cargas se atraem. Pela Lei de Du Fay, cargas elétricas só se atraem quando possuem sinais contrários: uma carga deve ser positiva e a outra, negativa. Portanto, as alternativas que afirmam que as cargas possuem o mesmo sinal, [B] e [D], estão incorretas.

Relação entre a força elétrica e a distância

O módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é determinado pela Lei de Coulomb:

\[F = k \frac{\left|q_{1} \cdot q_{2}\right|}{r^{2}}\]

Nessa expressão, F é o módulo da força elétrica, k é a constante eletrostática do vácuo, q₁ e q₂ são os módulos das cargas e r é a distância entre elas. Como as cargas não são alteradas durante o deslocamento, os fatores k e |q₁ · q₂| permanecem constantes. Assim, a força é inversamente proporcional ao quadrado da distância:

\[F \propto \frac{1}{d^{2}} .\]

Na situação inicial, portanto, a distância é r₁ = d, pois a separação entre os pontos (0,0) e (0,d) é d.

Depois, a carga q₁ é deslocada para (X,0), enquanto q₂ permanece em (0,d). A diferença horizontal entre as cargas é X, e a diferença vertical é d. Esses segmentos formam os catetos de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a nova distância r₂ entre as cargas. Pelo teorema de Pitágoras:

\[\left(r_{2}\right)^{2} = X^{2} + d^{2}\]

O enunciado informa que, após o deslocamento, o módulo da força passa a ser F/2. Como a força é inversamente proporcional ao quadrado da distância, podemos escrever:

\[\frac{F}{2} \propto \frac{1}{\left(r_{2}\right)^{2}}\]

Substituindo a expressão de r₂², obtemos:

\[\frac{F}{2} \propto \frac{1}{X^{2} + d^{2}}\]

Comparando a situação inicial com a final, dividimos a expressão correspondente à força inicial pela expressão correspondente à força final. Os fatores constantes, relacionados às cargas e à constante eletrostática, cancelam-se:

\[\frac{F}{\frac{F}{2}} = \frac{\frac{1}{d^{2}}}{\frac{1}{X^{2} + d^{2}}}\]

O lado esquerdo vale 2, pois dividir F por F/2 equivale a multiplicar F por 2/F. No lado direito, a divisão entre as frações resulta em:

\[2 = \frac{X^{2} + d^{2}}{d^{2}}\]

Como 2d² − d² = d², segue que:

\[X^{2} = d^{2}\]

O enunciado estabelece que X > 0. Portanto, devemos escolher a raiz positiva:

\[X = d\]

Logo, a força passa a ser metade da inicial quando a distância entre as cargas aumenta de d para uma distância cujo quadrado é o dobro do valor inicial. Geometricamente, isso ocorre para X = d. Como as cargas inicialmente se atraem, elas possuem sinais contrários.

Resposta: alternativa [A] — sinais contrários e X = d.

A força eletrostática é determinada pela lei de Coulomb, segundo a qual o módulo da força é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

\(F = k \frac{Q q}{R^{2}}\)

Na expressão, k é a constante eletrostática, Q e q são as cargas e R é a distância entre elas. Para comparar as duas forças, basta substituir na fórmula os novos valores, pois k permanece inalterada.

\(F_{2} = k \frac{\left(4 Q\right) \left(\frac{q}{2}\right)}{\left(2 R\right)^{2}}\)

O produto das cargas transformadas é 4Q · q/2 = 2Qq. Como a distância foi multiplicada por 2, seu quadrado foi multiplicado por 4: (2R)² = 4R². Assim, a nova força fica igual a metade da força inicial.

\(F_{2} = k \frac{2 Q q}{4 R^{2}} = \frac{1}{2} F_{1}\)

Invertendo essa relação, obtém-se a razão solicitada:

\(\frac{F_{1}}{F_{2}} = 2\)

Se q < 0, q₁ > 0 e q₂ > 0, de modo que q₁ + q₂ = +Q (ou seja, q₁ e q₂ < Q), a força resultante não seria como a descrita:

A figura abaixo demonstra o diagrama de forças para uma partícula.

Observa-se na figura que a tangente de é a razão que é semelhante à razão das forças obtendo-se a seguinte expressão:

Assim, o ângulo é a função inversa da tangente e tem-se:

(resposta da primeira lacuna)

Para a separação 2 L entre as cargas elétricas pode ser obtida sabendo-se que a tangente de 45° = 1 e substituindo-se na expressão anteriormente obtida para a tangente de

(resposta da segunda lacuna)

Com relação à figura abaixo, temos as seguintes considerações:

Se a carga q é colocada na posição y = 0, a força resultante sobre ela é nula.

Se a carga q é colocada em uma posição ela passa a descrever um MHS sobre o eixo y.

O sentido das forças resultantes depende das posições da carga q em relação às demais cargas.

A intensidade da força elétrica entre duas cargas puntiformes, ou entre esferas carregadas quando suas dimensões podem ser desprezadas em relação à distância entre elas, é determinada pela lei de Coulomb. Nessa expressão, F representa a intensidade da força elétrica, k é a constante eletrostática do meio, q₁ e q₂ são os valores das cargas e d é a distância entre seus centros.

Assim, utiliza-se:

\[F = \frac{kq_{1} q_{2}}{d^{2}}\]

Antes da substituição, é necessário converter as cargas de microcoulombs para coulombs, pois a constante fornecida está expressa em N·m²/C². Como 1 μC = 10⁻⁶ C, temos 2 μC = 2·10⁻⁶ C e 4 μC = 4·10⁻⁶ C. A distância já está em metros, portanto pode ser utilizada diretamente. Substituindo também k = 9·10⁹ N·m²/C² e d = 2 m, resulta:

\[F = \frac{9 \cdot 10^{9} \cdot 2 \cdot 10^{- 6} \cdot 4 \cdot 10^{- 6}}{2^{2}}\]

O denominador corresponde ao quadrado da distância, portanto 2² = 4. No numerador, multiplicam-se os valores das cargas e as potências de dez. Após essa simplificação, obtém-se a intensidade da força elétrica:

\[F = 0.018 \text{N}\]

Logo, a intensidade da força elétrica entre as esferas é 0,018 N. Portanto, a alternativa correta é a b).

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]

As bases nitrogenadas B₁ e B₂ são, respectivamente, timina e adenina. Esse é um dos pareamentos possíveis no DNA: a adenina se associa à timina por meio de duas ligações de hidrogênio, representadas no enunciado pelas combinações O⋯H−N e N−H⋯N.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Física]

Como as quatro combinações entre as bases são paralelas, as forças elétricas têm apenas duas possíveis orientações ao longo da mesma direção. Assim, as forças que atuam no mesmo sentido devem ser somadas, enquanto as forças que atuam em sentidos opostos devem ser subtraídas.

De acordo com a orientação indicada na figura, as forças F₁ e F₄ contribuem em um sentido, enquanto F₂ e F₃ contribuem no sentido contrário. Portanto, a intensidade da força resultante é obtida pela diferença entre essas duas somas:

\[F_{R} = \left(F_{1} + F_{4}\right) – \left(F_{2} + F_{3}\right) = \left[\right. \left(8.0 + 6.4\right) – \left(\right. 3.0 + 2 ,6)]×10-9⇒\] \[F_{R} = \left(14.4 – 5.6\right) \times 10^{- 9}\] \[\boxed{ F_{R} = 8.8 \times 10^{- 9} \text{N} }\]

Na primeira etapa, somam-se as forças de intensidades 8,0×10⁻⁹ N e 6,4×10⁻⁹ N, que atuam no mesmo sentido. Em seguida, subtraem-se as forças de intensidades 3,0×10⁻⁹ N e 2,6×10⁻⁹ N, que atuam no sentido oposto. O resultado é positivo, indicando que o sentido escolhido para a primeira soma prevalece, e sua intensidade é 8,8×10⁻⁹ N.

Logo, B₁ é timina, B₂ é adenina, e a intensidade da força elétrica resultante que B₂ exerce em B₁ é 8,8×10⁻⁹ N. Portanto, a alternativa correta é c).

As forças exercidas pelas duas cargas do sistema sobre a carga externa +Q têm sentidos opostos, pois as cargas estão alinhadas.

A carga +2Q e a carga externa +Q possuem o mesmo sinal. Portanto, ocorre repulsão: a carga +2Q empurra a carga externa para a direita. A distância entre essas duas cargas é a soma dos dois segmentos de comprimento a, isto é, 2a.

Aplicando a lei de Coulomb, o módulo da força entre cargas puntiformes é proporcional ao produto dos módulos das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas

\[F_{2 Q} = k \frac{2 Q^{2}}{\left(2 a\right)^{2}}\]

No numerador aparece o produto entre os módulos das cargas, 2Q · Q = 2Q². No denominador, a distância é 2a, cujo quadrado é 4a². Assim, simplificando a fração, obtemos

\[F_{2 Q} = \frac{k Q^{2}}{2 a^{2}}\]

A carga −Q e a carga externa +Q possuem sinais opostos. Logo, a interação entre elas é atrativa, e a carga externa é puxada para a esquerda. A distância entre essas cargas é a.

Novamente pela lei de Coulomb, o módulo dessa força é

\[F_{- Q} = k \frac{Q^{2}}{a^{2}}\]

Como as duas forças têm sentidos contrários, a força resultante é determinada pela diferença entre seus módulos. A força de atração exercida por −Q é maior, pois, além de ter o mesmo fator de carga em módulo, atua a uma distância a, enquanto a força repulsiva de +2Q atua a uma distância maior, 2a.

Considerando a direção da atração como a direção resultante, fazemos

\[F = \frac{k Q^{2}}{a^{2}} – \frac{k Q^{2}}{2 a^{2}}\]

Colocando os termos sobre o mesmo denominador, o primeiro termo equivale a duas vezes kQ²/(2a²). Portanto, a subtração resulta em

\[F = \frac{k Q^{2}}{2 a^{2}}\]

O resultado é positivo quando se adota como referência o sentido da atração. Isso confirma que a força resultante aponta para a carga −Q, sendo, portanto, atrativa. Seu módulo é

\[\left|F\right| = \frac{k Q^{2}}{2 a^{2}}\]

Logo, a alternativa correta é a c): a força é atrativa e possui módulo kQ²/(2a²).