Exercícios de Trabalho de uma força com resolução comentada

Como não há forças dissipativas e a força aplicada é a única força horizontal considerada, ela corresponde à força resultante na direção do movimento. A aceleração pode, portanto, ser determinada pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, também conhecido como 2ª Lei de Newton, que relaciona a força resultante F, a massa m e a aceleração a.

A massa informada deve ser convertida para o Sistema Internacional de Unidades: 500 g correspondem a 0,5 kg. Assim, aplicando a 2ª Lei de Newton:

\[F = m \cdot a\]

Isolando a aceleração, divide-se a força pela massa. Substituindo a força de 10 N e a massa de 0,5 kg, obtém-se:

\[a = \frac{F}{m} = \frac{10 \text{N}}{0.5 k g}\]

O resultado da divisão é uma aceleração de 20 m/s²:

\[a = 20 \text{m} / s^{2}\]

O trabalho realizado por uma força constante é calculado pelo produto entre o módulo da força, o módulo do deslocamento e o cosseno do ângulo entre eles. Neste caso, a força é paralela à superfície e tem a mesma direção e sentido do deslocamento; portanto, o ângulo entre a força e o deslocamento é zero, e o cosseno desse ângulo vale 1. Dessa forma, a expressão se reduz ao produto entre a força e o deslocamento:

\[\tau = F \cdot d\]

Substituindo a força de 10 N e o deslocamento de 360 m:

\[\tau = 10 \text{N} \cdot 360 \text{m}\]

Como 1 N⋅m corresponde a 1 J, o trabalho realizado é:

\[\tau = 3600 \text{J}\]

Para determinar o intervalo de tempo, utiliza-se a equação horária da posição do movimento retilíneo uniformemente variado. O objeto parte do repouso, portanto, sua velocidade inicial é igual a zero. Por isso, o termo correspondente à velocidade inicial desaparece da equação, restando a relação entre o deslocamento, a aceleração e o tempo:

\[d = v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2} \overset{v_{0} = 0}{\rightarrow} d = \frac{a}{2} t^{2}\]

Isolando o tempo, multiplica-se a igualdade por 2, divide-se pela aceleração e, em seguida, extrai-se a raiz quadrada. Considera-se a raiz positiva, pois o tempo decorrido é uma grandeza positiva:

\[t = \sqrt{\frac{2 d}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 360 \text{m}}{2 0 \text{m} / s^{2}}}\]

Substituindo os valores, o intervalo de tempo necessário para percorrer os 360 m é:

\[t = 6 \text{s}\]

Logo, os valores são aceleração de 20 m/s², trabalho de 3.600 J e intervalo de tempo de 6 s. Portanto, a alternativa correta é d).

O trabalho total necessário para erguer o corpo até o topo deve compensar dois efeitos: o aumento da energia potencial gravitacional, associado à altura de \(3 \text{m}\), e a energia dissipada pelo atrito durante o deslocamento ao longo do plano. Portanto, calcula-se separadamente o comprimento do plano, a força de atrito e o trabalho correspondente, além do trabalho associado à elevação do corpo.

O plano inclinado forma um triângulo retângulo com catetos de \(3 \text{m}\) e \(4 \text{m}\). O deslocamento do corpo ao longo do plano é a hipotenusa desse triângulo. Assim, aplica-se o teorema de Pitágoras:

\[d^{2} = \left(3 \text{m}\right)^{2} + \left(4 \text{m}\right)^{2}\] \[d = \sqrt{25 m^{2}}\] \[d = 5 \text{m}\]

Logo, o corpo percorre \(5 \text{m}\) ao longo do plano inclinado. Para calcular o atrito, é necessário determinar a força normal. Como não há aceleração perpendicular ao plano, a força normal tem módulo igual ao da componente do peso perpendicular à superfície:

A componente perpendicular do peso é obtida por \(m \cdot g \cdot cos \alpha\). Pela geometria do triângulo, o cosseno do ângulo é a razão entre o cateto adjacente, de \(4 \text{m}\), e a hipotenusa, de \(5 \text{m}\). Portanto:

\[\left|N\right| = \left|Py\right| = m \cdot g \cdot cos \alpha = 10 \text{kg} \cdot 10 \text{m} / s^{2} \cdot \frac{4 \text{m}}{5 \text{m}}\] \[\left|N\right| = \left|Py\right| = 80 \text{N}\]

A força de atrito cinético é calculada multiplicando-se o coeficiente de atrito dinâmico pela força normal. Como o coeficiente é \(\mu = 0.2\) e a força normal vale \(80 \text{N}\), tem-se:

\[\left|F_{a t}\right| = \mu \cdot \left|N\right| = 0.280 \text{N}\] \[\left|F_{a t}\right| = 16 \text{N}\]

O trabalho dissipado pelo atrito é obtido pelo produto do módulo da força de atrito pela distância percorrida. Nesse cálculo, considera-se o módulo do trabalho dissipativo, pois ele representa a energia que deve ser fornecida para compensar a oposição do atrito ao movimento:

\[T_{F_{\text{at}}} = \left|F_{\text{at}}\right| \cdot d = 16 \text{N} \cdot 5 \text{m}\] \[T_{F_{\text{at}}} = 80 \text{J}\]

Além de vencer o atrito, é necessário elevar o corpo em uma altura de \(3 \text{m}\). O trabalho útil associado à elevação é calculado pelo produto entre o peso, \(m \cdot g\), e a altura vertical atingida:

\[\tau_{P} = m \cdot g \cdot h = 10 k g \cdot 10 \text{m} / s^{2} \cdot 3 \text{m}\] \[\tau_{p} = 300 \text{J}\]

Finalmente, o trabalho total necessário é a soma do trabalho correspondente à elevação do corpo com o trabalho dissipado pelo atrito:

\[\tau_{\text{total}} = \tau_{F_{a t}} + \tau_{P} = 80 \text{J} + 300 \text{J}\] \[\tau_{\text{total}} = 380 \text{J}\]

Assim, o trabalho total é igual a \(380 \text{J}\), valor inferior a \(400 \text{J}\). Portanto, a alternativa correta é a) inferior a 400 J.

O trabalho realizado por uma força constante é determinado pelo produto escalar entre a força e o deslocamento. Como a força está orientada ao longo do eixo x e a partícula se move no sentido de x crescente, considera-se o deslocamento na direção da força. Assim, o trabalho depende apenas da variação da coordenada x; a equação da trajetória, y = −x + 3, não é necessária para esse cálculo.

A partícula se desloca da posição x = 0 até a posição x = 3. Portanto, o deslocamento na direção do eixo x é dado pela diferença entre a posição final e a posição inicial. Como a força e o deslocamento têm o mesmo sentido, o trabalho é positivo:

\[\tau = F \cdot d_{x}\]

Nessa expressão, \[\tau = F \cdot d_{x}\] representa o trabalho, F é o módulo da força, igual a 5 N, e d_x é o deslocamento na direção do eixo x. Substituindo o valor da força e as posições inicial e final, obtém-se:

\[\tau = 5 \cdot \left(3 – 0\right)\]

A diferença \[\left(3 – 0\right)\] corresponde ao deslocamento de 3 m. Multiplicando esse deslocamento pelo módulo da força, o trabalho realizado é:

\[\tau = 15 \text{J}\]

Logo, o trabalho da força no intervalo considerado é igual a 15 J. Portanto, a alternativa correta é e) 15.

Como atuam apenas a força peso e a força conservativa F, o trabalho total dessas forças é igual à variação da energia cinética da partícula, de acordo com o teorema trabalho–energia.

As velocidades inicial e final têm o mesmo módulo. Portanto, as energias cinéticas inicial e final também são iguais, de modo que a variação da energia cinética é nula. Assim, o trabalho total realizado pelas duas forças é zero:

\[\tau_{F} + \tau_{P} = 0\]

Isso significa que o trabalho realizado pela força F deve compensar exatamente o trabalho realizado pelo peso.

A partícula se desloca da altura inicial de 1,0 m para a altura final de 3,0 m. Logo, sua variação de altura é:

\[h = 3 – 1 = 2 \text{m}\]

Como o deslocamento vertical ocorre para cima, no sentido oposto ao da força peso, o trabalho do peso é negativo. Para uma força peso constante, esse trabalho é calculado pelo produto do peso pela variação de altura, com sinal negativo:

Trabalho da força peso:

\[\tau_{P} = – P \cdot h\] \[\tau_{P} = – 40 \cdot \left(3 – 1\right)\] \[\tau_{P} = – 80 \text{J}\]

O valor de 40 N é o módulo do peso, e o deslocamento vertical de 2 m faz com que o trabalho seja medido em joules, pois \(N \cdot m\) equivale a J.

Como o trabalho total é nulo, o trabalho da força F deve ser igual, em módulo, a 80 J e ter sinal positivo:

Trabalho da força F:

\[\tau_{F} + \tau_{P} = 0\] \[\tau_{F} – 80 = 0\] \[\tau_{F} = 80 \text{J}\]

Portanto, o trabalho total realizado pela força F é 80,0 J, correspondente à alternativa e).

O trabalho realizado por uma força durante um deslocamento depende do módulo da força, do módulo do deslocamento e do ângulo entre a direção da força e a direção do deslocamento. Assim, quando a força tem a mesma direção do deslocamento, o trabalho é calculado pelo produto entre o módulo da força e o deslocamento; quando forma um ângulo, utiliza-se a componente da força na direção do deslocamento.

Para as forças indicadas, os trabalhos são expressos por:

\[\overset{\rightharpoonup}{\tau_{f_{1}}} = F_{1} d\]

Nessa expressão, a força \(F_{1}\) possui componente na mesma direção do deslocamento horizontal \(d\). Por isso, o trabalho é dado diretamente pelo produto entre o módulo da força e o módulo do deslocamento.

\[\overset{\rightharpoonup}{\tau_{f_{5}}} = F_{5} d\]

De modo análogo, a força \(F_{5}\) também realiza trabalho com módulo igual ao produto entre sua intensidade e o deslocamento. Como todas as forças têm o mesmo módulo, resulta que os módulos desses dois trabalhos são iguais.

\[\overset{\rightharpoonup}{\tau_{f_{2}}} = F_{2} d cos 45^{\circ}\]

Para a força \(F_{2}\), o ângulo com o deslocamento é de 45°. Portanto, somente a componente de \(F_{2}\) na direção do deslocamento contribui para o trabalho, sendo essa componente determinada por \(F_{2} cos 45^{\circ}\).

\[\overset{\rightharpoonup}{\tau_{f_{4}}} = F_{4} d cos 45^{\circ}\]

A força \(F_{4}\) também forma um ângulo de 45° com o deslocamento. Por essa razão, seu trabalho é calculado utilizando a componente de \(F_{4}\) paralela ao deslocamento.

\[\overset{\rightharpoonup}{\tau_{f_{3}}} = 0\]

O trabalho da força \(F_{3}\) é nulo porque sua direção é perpendicular ao deslocamento. Nesse caso, não existe componente da força na direção do movimento, e uma força perpendicular não realiza trabalho nesse deslocamento.

Como as forças têm o mesmo módulo, as expressões dos trabalhos de \(F_{1}\) e \(F_{5 .}\) possuem o mesmo valor em módulo. Logo, em módulo, o trabalho realizado por \(F_{1}\) é igual ao trabalho realizado por \(F_{5 .}\).

Portanto, a alternativa correta é e). Como as forças têm o mesmo módulo, o deslocamento promovido seria vertical para cima.

Como o movimento ocorre em linha reta, com aceleração constante, podemos determinar a aceleração do caixote usando a equação de Torricelli. Nessa equação, v é a velocidade final, v₀ é a velocidade inicial, a é a aceleração e d é o deslocamento. O caixote parte do repouso, portanto v₀ = 0, e percorre uma distância de 3,0 m até atingir 3,0 m/s.

\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot d\] \[\left(3 \text{m} / \text{s}\right)^{2} = 0^{2} + 2 a \cdot 3 \text{m} \cdot\] \[a = \frac{9}{6} = 1.5 \text{m} / s^{2}\]

Assim, a aceleração do caixote é 1,5 m/s². Para obter a força resultante horizontal, aplicamos o Princípio Fundamental da Dinâmica, segundo o qual a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração. A unidade resultante é o newton, pois 1 N = 1 kg·m/s².

\[F_{R} = m \cdot a\] \[F_{R} = 20 k g \cdot 1.5 \text{m} / s^{2}\] \[F_{R} = 30 \text{N}\]

A força resultante horizontal não é igual apenas à força exercida pelo feirante, porque o atrito cinético atua em sentido contrário ao deslocamento. Portanto, considerando como positivo o sentido do movimento, a resultante é a diferença entre a força aplicada F e a força de atrito cinético F_at.

\[F_{R} = F – F_{a t}\] \[F = F_{R} + F_{a t}\]

Para calcular o atrito cinético, usamos F_at = μ_cN. Como o caixote está sobre uma superfície horizontal e não possui aceleração vertical, a força normal N equilibra o peso. Logo, N = mg = 20 · 10 = 200 N. Com o coeficiente de atrito cinético igual a 0,10, temos:

\[F_{a t} = \mu_{c} \cdot N = 0.1 \cdot 200 \text{N}\] \[F_{a t} = 20 \text{N}\]

O atrito, portanto, tem módulo 20 N e atua contra o movimento. Como a força aplicada deve compensar o atrito e ainda produzir a força resultante de 30 N, somamos esses dois valores:

\[F = F_{R} + F_{a t} = 30 + 20\] \[F = 50 \text{N}\]

Por fim, o trabalho realizado pelo feirante é calculado por τ_F = F·d. A força aplicada e o deslocamento têm a mesma direção e o mesmo sentido, portanto o trabalho é positivo. A unidade de trabalho é o joule, equivalente a N·m.

\[\tau_{F} = F \cdot d\] \[\tau_{F} = 50 \text{N} 3 \text{m}\] \[\tau_{F} = 150 \text{J} = 1.5 \cdot 10^{2} \text{J}\]

Portanto, o trabalho realizado pelo feirante sobre o caixote foi de 150 J, ou 1,5 × 10² J. A resposta correta é a alternativa a).

Como o homem se movimenta com velocidade constante, a distância percorrida pode ser determinada pelo produto entre a velocidade e o intervalo de tempo. Antes do cálculo, é necessário converter a velocidade de quilômetros por hora para metros por segundo e o tempo de minutos para segundos, pois a unidade de distância utilizada será o metro.

Distância percorrida sobre a esteira:

\[Δs = vΔt\] \[Δs = \frac{7.2}{3.6} \cdot 20 \cdot 60\] \[Δs = 2400 \text{m}\]

A divisão por 3,6 converte a velocidade de 7,2 km/h para 2,0 m/s, enquanto a multiplicação de 20 por 60 converte 20 minutos em 1200 segundos. Assim, durante o intervalo considerado, o homem percorre 2400 m sobre a esteira.

O texto informa que o gasto energético máximo na esteira é de 750 kcal por hora. Como o exercício dura apenas 20 minutos, isto é, um terço de hora, o gasto energético nesse período corresponde a um terço de 750 kcal. Em seguida, convertemos quilocalorias em joules utilizando a relação fornecida: 1 cal = 4,0 J. Portanto, 1 kcal = 1000 cal = 4000 J.

Gasto energético máximo em 20 minutos:

\[E = 750 \cdot 10^{3} \frac{c a l}{h} \cdot \frac{20}{60} \text{h} \cdot 4 \frac{J}{c a l}\]

O fator \(\frac{20}{60}\) representa a conversão de 20 minutos para horas. O fator \(10^{3}\) converte quilocalorias em calorias, e o fator \(4 \frac{J}{c a l}\) converte calorias em joules. Efetuando essas conversões, obtemos:

\[= 10^{6} \text{J}\]

Como o gasto energético máximo é de 10⁶ J e a força considerada é paralela ao deslocamento, o trabalho realizado pode ser calculado pelo produto entre a intensidade da força e a distância percorrida. Nesse caso, não é necessário utilizar um fator trigonométrico, pois o ângulo entre força e deslocamento é zero.

Intensidade da força paralela ao deslocamento:

\[E = FΔs\] \[10^{6} = F \cdot 2400\] \[F \simeq 420 \text{N}\]

Na última etapa, isolamos a força dividindo a energia pelo deslocamento. A unidade obtida é o newton, pois joule por metro equivale a newton. Logo, a intensidade aproximada da força paralela ao deslocamento exercida pelo homem sobre a esteira é de 420 N.

Portanto, a alternativa correta é a letra c) 420 N.

A análise do fenômeno descrito baseia-se nas propriedades fundamentais das forças conservativas em sistemas físicos. Quando uma partícula se desloca sob a influência exclusiva de forças conservativas, o trabalho realizado pelo sistema depende apenas da posição inicial e final, sendo totalmente independente da trajetória percorrida entre esses dois pontos.

No entanto, o cenário proposto apresenta uma particularidade: caso ocorra uma variação na energia cinética do objeto ao completar um ciclo fechado — ou seja, ao retornar exatamente ao ponto de partida com uma velocidade diferente daquela que possuía inicialmente —, conclui-se que a conservação de energia foi alterada. Essa discrepância indica que o trabalho total realizado no circuito não é nulo.

Dessa forma, se o estado energético final diverge do inicial em um percurso que retorna ao ponto de origem, torna-se evidente a presença de forças não conservativas atuando sobre a partícula. Nesses casos, os trabalhos realizados nos trajetos X e Y não se anulam, pois as forças dissipativas ou externas introduzem uma diferença de energia que depende especificamente do caminho escolhido para o deslocamento.

Como a força possui sempre a mesma direção e o mesmo sentido do deslocamento, o trabalho pode ser determinado pela área algébrica sob o gráfico da força em função da posição. Áreas acima do eixo da posição correspondem a trabalho positivo; áreas abaixo correspondem a trabalho negativo.

No trecho em que a força é negativa, o gráfico forma um triângulo de base 4 m e altura 2 N. Por isso, sua área é subtraída do trabalho total. No trecho em que a força é positiva, o gráfico forma um trapézio com base 4 m e forças extremas de 6 N e 2 N. Essa área é somada, pois corresponde a trabalho positivo.

Assim, utilizando as áreas geométricas indicadas no gráfico:

\[\tau = – \frac{2 \cdot 4}{2} + \frac{\left(6 + 2\right) \cdot 4}{2}\] \[\tau = 12 \text{J}\]

O sinal negativo no primeiro termo representa o trabalho realizado no trecho em que a força está abaixo do eixo, enquanto o segundo termo representa o trabalho positivo no trecho em que a força está acima do eixo. A soma algébrica dessas contribuições fornece o trabalho total, igual a 12 J.

Portanto, a alternativa correta é c) 12 J.

O trabalho realizado por uma força constante é determinado pelo produto entre o módulo da força, o deslocamento e o cosseno do ângulo formado entre a força e o deslocamento. Como o corpo se desloca horizontalmente e a corrente forma um ângulo de 30° acima da horizontal, utiliza-se esse ângulo na expressão do trabalho.

A força exercida pela corrente tem módulo de 12,5 N, e o corpo percorre 5,30 m. Além disso, o enunciado fornece cos 30° = 0,86. Portanto, substituindo esses valores na expressão do trabalho:

\[W = F \Delta S cos 30^{\circ} = 12.5 \times 5.3 \times 0.86\] \[W = 56.97 \text{J}\]

O cosseno aparece porque somente a componente da força na direção horizontal contribui para o trabalho realizado ao longo do deslocamento. A unidade do trabalho é o joule (J), equivalente a N·m.

Assim, o trabalho exercido pela corrente sobre o corpo é 56,97 J. Portanto, a alternativa correta é d).