Exercícios de Hidrodinâmica com resolução comentada

O gráfico apresenta o fluxo sanguíneo em função do tempo. O fluxo sanguíneo indica o volume de sangue que atravessa a seção transversal da artéria por unidade de tempo.

Quando uma grandeza é representada em função do tempo, a área sob a curva é obtida multiplicando-se, em cada intervalo, o valor do fluxo pelo intervalo de tempo correspondente. Como o fluxo pode variar entre 0,1 s e 0,3 s, a área destacada representa a soma dessas contribuições ao longo de todo o intervalo.

Isso ocorre porque as unidades do fluxo sanguíneo são volume por tempo, enquanto a unidade do tempo é segundo. Assim, ao multiplicar o fluxo pelo tempo, a unidade de tempo é simplificada, restando a unidade de volume

\[Fluxo sanguíneo \left(L / \text{s}\right) \cdot Tempo \left(s\right) = Volume \left(L\right)\]

Portanto, a área sob a curva entre 0,1 s e 0,3 s corresponde ao volume total de sangue que atravessou a seção transversal da artéria nesse intervalo de tempo. A alternativa correta é c) ao volume de sangue que atravessou a seção transversal da artéria.

[I] Verdadeira. Para um fluido incompressível em regime permanente, a vazão volumétrica se conserva ao longo do vaso. Isso significa que o produto entre a área da seção transversal e a velocidade média permanece constante:

\[A \cdot v = constante\]

Como a seção transversal da artéria é circular, sua área é proporcional ao quadrado do diâmetro. Portanto, quando o diâmetro passa de 8 mm para 16 mm, ele dobra e a área aumenta quatro vezes, pois 16²/8² = 4.

Assim, para que o produto entre área e velocidade permaneça constante, a velocidade deve ser reduzida na mesma proporção inversa, isto é, deve ficar quatro vezes menor. Partindo de 0,4 m/s, obtém-se:

\[v_{2} = \frac{v_{1}}{4} = \frac{0,4}{4} = 0,1 \text{ m}/\text{s}\]

Logo, a velocidade no aneurisma é aproximadamente 0,1 m/s, confirmando a afirmativa I.

[II] Falsa. A velocidade não aumenta no aneurisma. Embora a região dilatada tenha área maior, a mesma vazão precisa atravessar todas as seções do vaso. Como a vazão é dada pelo produto entre área e velocidade, o aumento da área provoca a redução da velocidade, e não o contrário. Portanto, a justificativa apresentada na afirmativa está incorreta.

[III] Verdadeira. O sangue é considerado incompressível e o escoamento é permanente. Nessas condições, não há acúmulo nem desaparecimento de volume ao longo do trecho analisado. Consequentemente, a vazão sanguínea, isto é, o volume de sangue que atravessa uma seção por unidade de tempo, permanece constante ao longo do vaso.

[IV] Falsa. A relação entre área e velocidade expressa pela equação da continuidade não depende de o fluido ser ideal ou não viscoso. Ela decorre da conservação da massa e pode ser utilizada para um fluido viscoso, desde que sejam válidas as condições consideradas no problema: fluido incompressível e escoamento permanente. A viscosidade pode influenciar outras características do escoamento, como a resistência ao movimento e a perda de energia, mas não invalida a conservação da vazão nessas condições.

[V] Verdadeira. No interior do aneurisma, a área da artéria é maior e, por consequência, a velocidade do sangue é menor. Essa redução da velocidade aumenta o tempo de permanência do sangue na região e pode favorecer a estase sanguínea, condição associada à formação de trombos.

Portanto, são verdadeiras as afirmativas I, III e V. A alternativa correta é a c) Somente as afirmativas I, III e V estão corretas.

A grandeza monitorada é a vazão, isto é, a razão entre o volume de água que passa pela tubulação e o intervalo de tempo considerado. Por isso, sua expressão é:

\[Q = \frac{V}{Δt }\]

Nessa relação, \(Q\) representa a vazão, \(V\) representa o volume de água e \(Δt\) representa o intervalo de tempo. Como o volume é uma grandeza tridimensional, sua unidade, quando as dimensões são dadas em centímetros, é o centímetro cúbico, cm³. O tempo é medido em segundos, cuja unidade é s.

Assim, a unidade da vazão é obtida dividindo-se a unidade de volume pela unidade de tempo:

\[\frac{\left[V\right]}{\left[\Delta t\right]} = \frac{\left(c m\right)^{3}}{s}\]

Portanto, a unidade correta é cm³/s, pois indica quantos centímetros cúbicos de água passam pela tubulação a cada segundo. Entre os rascunhos apresentados, essa unidade corresponde ao III.

Como o escoamento é estacionário e a água pode ser considerada incompressível, aplica-se a equação da continuidade. A vazão volumétrica Q é a mesma em todos os pontos da tubulação e relaciona-se com a área da seção transversal A e a velocidade média da água v por

\[Q = A v\]
\[1.2 = 0.6 v_{C}\]
\[v_{C} = 2 \text{m} / \text{s}\]
\[1.2 = 0.15 v_{A}\]
\[v_{A} = 8 \text{m} / \text{s}\]

Assim, no ponto de captação, identificado por C, a velocidade é 2 m/s. No ponto de abastecimento, identificado por A, a área é menor, portanto a velocidade aumenta para 8 m/s, de acordo com a conservação da vazão.

Como a viscosidade da água é desprezada, não há perda de energia por atrito ao longo da tubulação. Dessa forma, entre os pontos C e A, aplica-se a equação de Bernoulli:

\[P_{C} + ρgh_{C} + \frac{\left(ρv_{C}\right)^{2}}{2} = P_{A} + ρgh_{A} + \frac{\left(ρv_{A}\right)^{2}}{2}\]
\[400 \cdot 10^{3} + 1000 \cdot 10 \cdot 40 + \frac{1000 \cdot 2^{2}}{2} = P_{A} + 0 + \frac{1000 \cdot 8^{2}}{2}\]
\[802 \cdot 10^{3} = 32 \cdot 10^{3} + P_{A}\]
\[P_{A} = 770 \text{kPa}\]

Na aplicação da equação, foi adotado o nível do ponto de abastecimento como referência, de modo que h_A = 0, enquanto o ponto de captação está 40,0 m acima dessa referência, portanto h_C = 40,0 m. A pressão no ponto de captação foi convertida de 400 kPa para 400 ⋅ 10³ Pa, pois os termos de energia da equação estão sendo calculados no Sistema Internacional. A parcela gravitacional corresponde à energia associada à diferença de altura, e as parcelas com velocidade correspondem à energia cinética por unidade de volume.

O resultado obtido para a pressão no ponto de abastecimento é 770 kPa. Portanto, a alternativa correta é b) 770 kPa.

Como a água é considerada incompressível e a mangueira permanece preenchida, aplica-se a equação da continuidade. Essa equação expressa a conservação da vazão: em um escoamento contínuo, o volume de água que atravessa uma seção por unidade de tempo é o mesmo que atravessa qualquer outra seção da mangueira.

Da equação da continuidade, vem:

\[Q_{1} = Q_{2}\]
\[v_{1} A_{1} = v_{2} A_{2}\]
\[v_{1} \cancel{A_{1}} = v_{2} \frac{\cancel{A_{1}}}{3}\]
\[v_{2} = 3 v_{1}\]

Nessas expressões, Q representa a vazão, isto é, o volume de água que atravessa uma seção por unidade de tempo; v representa a velocidade do escoamento; e A representa a área da seção reta da mangueira. Os índices 1 e 2 identificam, respectivamente, a parte não estrangulada e a saída estrangulada.

Como a área da seção de saída é reduzida para um terço da área original, a conservação da vazão exige que a velocidade aumente na mesma proporção inversa. Portanto, a velocidade na saída estrangulada é três vezes maior que a velocidade na parte não estrangulada.

Assim, a alternativa a) está correta: a vazão permanece constante. A redução da área não reduz a vazão, pois é compensada pelo aumento da velocidade do escoamento.

A alternativa b) também está correta: ao passar pela seção menor, a água precisa escoar com maior velocidade para que o mesmo volume por unidade de tempo continue atravessando a mangueira.

A alternativa c) está correta porque o produto entre a área da seção reta e a velocidade do fluido corresponde à vazão. Pela equação da continuidade, esse produto possui o mesmo valor na entrada e na saída estrangulada.

A alternativa d) está incorreta. Embora a área da seção estrangulada seja reduzida para um terço, a vazão não é reduzida para um terço. O aumento da velocidade compensa a diminuição da área, mantendo constante o volume de água que atravessa a seção por unidade de tempo.

A alternativa e) está correta: como a água é tratada como um líquido incompressível e continua sendo o mesmo fluido, sua densidade permanece a mesma na entrada e na saída estrangulada.

Logo, a afirmação incorreta é a alternativa D.

O número de Reynolds é adimensional, portanto sua dimensão é igual a 1. Partindo da expressão fornecida, a viscosidade \(\eta\) deve apresentar a dimensão resultante do produto entre a velocidade média, o diâmetro do tubo e a densidade do fluido, pois o número de Reynolds não contribui dimensionalmente para o resultado.

Assim, isolando dimensionalmente a viscosidade, obtemos:

\[\left[\eta\right] = \frac{\left[\bar{v}\right] \left[D\right] \left[\rho\right]}{R_{e} \left]\right.}\]
\[\left[\eta\right] = \frac{\left(m \cdot s^{- 1}\right) \left(m\right) \cdot \left(kg^{- 3}\right)}{1}\]
\[\left[\eta\right] = \frac{kg}{m \cdot s}\]

Nessa substituição, a velocidade média tem unidade de metro por segundo, o diâmetro tem unidade de metro e a densidade tem unidade de quilograma por metro cúbico. Ao multiplicar essas dimensões e simplificar as potências de metro, resulta a unidade de quilograma vezes segundo por metro. Essa é a unidade, no SI, da viscosidade dinâmica.

Portanto, a alternativa correta é a), \(\frac{k g \cdot s}{m}\)

O jato de água realiza um lançamento horizontal: ele sai da mangueira com velocidade horizontal e, simultaneamente, sofre a ação da gravidade na direção vertical. Como a mangueira permanece na mesma altura nos dois casos e a base das plantas também está no mesmo nível, o tempo de queda da água é igual nas duas situações. Além disso, desprezando a resistência do ar, a componente horizontal da velocidade permanece constante durante o movimento.

Assim, o alcance horizontal D é determinado pelo produto entre a velocidade horizontal de saída e o tempo de queda. No primeiro caso, a água alcança uma distância de 2 m; no segundo, deve alcançar 4 m. Portanto, o segundo alcance é o dobro do primeiro. Aplicando a expressão do alcance horizontal aos dois casos:

\[\begin{cases} D^{'} = v^{'} t \\ D '' = v '' t \end{cases} \div\]

O símbolo com uma aspa representa a situação inicial, em que a água percorre 2 m, enquanto o símbolo com duas aspas representa a situação final, em que a água deve percorrer 4 m. Dividindo as duas expressões, o tempo de queda é cancelado, pois é o mesmo nos dois lançamentos:

\[\frac{\cancel{D^{'}}}{2 \cancel{D^{'}}} = \frac{v^{'} \cancel{t^{'}}}{v '' \cancel{t^{'}}}\]

Como o segundo alcance é duas vezes maior que o primeiro, a velocidade de saída também precisa ser duas vezes maior:

\[v '' = 2 v^{'}\]

Para relacionar essa mudança de velocidade com a área da abertura da mangueira, aplica-se a equação da continuidade. Para um líquido não compressível, a vazão deve ser a mesma em diferentes seções do tubo; portanto, o produto entre a velocidade do líquido e a área da seção transversal permanece constante:

\[V^{'} A^{'} = V^{"} A^{"}\]

Nessa relação, as velocidades são inversamente proporcionais às áreas. Isso significa que, para aumentar a velocidade de saída, é necessário reduzir a área da abertura. Substituindo a relação \(v '' = 2 v^{'}\) na equação da continuidade, obtém-se:

\[\cancel{V^{'}} A^{'} = 2 \cancel{V^{′}} A^{"}\]

As velocidades iguais que aparecem nos dois lados podem ser canceladas. Resta, então, uma relação entre as áreas: a nova área deve ser metade da área original.

\[\boxed{ A " = \frac{A^{′}}{2} }\]

Logo, para que a água alcance a planta situada a 4 m, a velocidade de saída deve dobrar e, pela equação da continuidade, a área da seção transversal da boca da mangueira deve ser reduzida à metade da área original. Portanto, a resposta é a alternativa c) 1/2 da área original.

Sejam os pontos \(A\) e B destacados na figura. O ponto A está na superfície do líquido, imediatamente abaixo do pistão, enquanto o ponto B está na saída do furo, à altura \(h\) em relação ao nível de saída considerado na figura

Para determinar a velocidade com que o líquido sai pelo furo, aplica-se a equação de Bernoulli entre os pontos A e B. Como a área da seção do recipiente é constante e o pistão se desloca lentamente, a velocidade do líquido no ponto A pode ser desprezada em comparação com a velocidade de saída no ponto B. Assim, considera-se \(v_{A} \cong 0 ,\)

A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a energia potencial gravitacional por unidade de volume e a energia cinética por unidade de volume nos dois pontos

\[P_{A} + \rho g h_{A} + \frac{\rho v_{A}^{2}}{2} = P_{B} + \rho g h_{B} + \frac{\rho v_{B}^{2}}{2}\]

No ponto A, a pressão exercida sobre o líquido é a pressão atmosférica acrescida da pressão exercida pelo pistão. A força peso do pistão é \(M g\) e, como essa força atua sobre a área \(A\), a pressão adicional produzida pelo pistão é \(\frac{M g}{A}\). Portanto, \(P_{A}\) é igual à soma da pressão atmosférica com essa parcela. No ponto B, o líquido está em contato com o ar, de modo que sua pressão é a pressão atmosférica

Além disso, a altura do ponto A é \(H\), enquanto a altura do ponto B é \(h\). Substituindo essas informações na equação de Bernoulli e usando \(v_{A} \cong 0\), obtém-se

\[P_{a t m} + \frac{M g}{A} + \rho g H + 0 = P_{a t m} + \rho g h + \frac{\rho v_{B}^{2}}{2}\]

As pressões atmosféricas aparecem nos dois lados da igualdade e, portanto, se cancelam. Isolando a velocidade \(v_{B}\), também se observa que o fator \(g\) pode ser colocado em evidência. A diferença de alturas fornece o termo \(H – h\), e a pressão produzida pelo pistão equivale a uma altura adicional de líquido igual a \(\frac{M}{\rho A}\). Dessa forma

\[v_{B} = \sqrt{2 \text{g} \left(H – h + \frac{M}{\rho A}\right)}\]

Depois de sair pelo furo, o líquido realiza um movimento horizontal com velocidade inicial \(v_{B}\) e queda vertical sob a ação da gravidade. Como a velocidade vertical inicial é nula, a distância vertical de queda é dada por

\[h = \frac{\left(g t\right)_{q} ^{2}}{2}\]

Isolando o tempo de queda, obtém-se

\[t_{q} = \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}}\]

O alcance horizontal é o produto da velocidade horizontal de saída pelo tempo durante o qual o jato permanece em queda. Logo

\[D = v_{B} \cdot t_{q} = \sqrt{2 \text{g} \left(H – h + \frac{M}{\rho A}\right)} \cdot \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}}\]

Ao multiplicar as duas raízes, os fatores \(g\) se cancelam, e o produto dos fatores numéricos fornece o fator 2. Assim, a expressão do alcance fica

\[D = 2 \sqrt{h \left(H – h + \frac{m}{\rho A}\right)}\]

Portanto, o alcance horizontal do jato é o indicado na alternativa c

ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Para compreender o procedimento originalmente utilizado, considera-se inicialmente a velocidade de saída da água no ponto indicado pela seta. Aplicando a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e esse ponto, ambos sujeitos à pressão atmosférica, os termos de pressão se cancelam. Além disso, a velocidade da superfície do reservatório é tomada como nula, conforme a observação do gabarito, pois a área do reservatório é muito maior que a área do filete.

Tomando como referência de altura nula o ponto indicado pela seta, a diferença de altura utilizada no desenvolvimento original é de 5 m. Assim, a energia potencial gravitacional por unidade de massa transforma-se em energia cinética:

\[v = \sqrt{2 \text{g} h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5}\]

Nessa expressão, v é a velocidade da água no ponto de saída, g é a aceleração da gravidade, em m/s², e h é a diferença de altura, em metros. Substituindo os valores fornecidos, obtém-se:

\[v = 10 \text{m} / \text{s}\]

Em seguida, aplica-se o princípio da continuidade. Para um escoamento permanente de um líquido incompressível, a vazão é a mesma em todas as seções do filete. Portanto, o produto entre a velocidade e a área da seção transversal permanece constante:

\[v \cdot A = v^{'} \cdot A^{'}\]

Como o filete é aproximadamente circular, sua área transversal é proporcional ao quadrado do raio: A = πr². O raio inicial é 1,0 cm e o raio final é 0,50 cm. Logo, substituindo esses valores na relação da continuidade:

\[10 \cdot \pi \cdot 1^{2} = v^{'} \cdot \pi \cdot 0.5^{2}\]

O fator π aparece nos dois lados e pode ser cancelado. Como o raio final é metade do raio inicial, sua área é um quarto da área inicial. Para manter a mesma vazão, a velocidade deve, portanto, aumentar quatro vezes:

\[v^{'} = 40 \text{m} / \text{s}\]

Por fim, relaciona-se o aumento da velocidade à queda do filete por meio da equação de Torricelli. Essa equação é uma consequência da conservação da energia mecânica durante a queda, considerando a aceleração gravitacional constante e desprezando a resistência do ar:

\[\left(v^{'}\right)^{2} = v^{2} + 2 \text{g} \Delta s\]

Substituindo a velocidade inicial do filete, a velocidade final calculada pela continuidade e a aceleração da gravidade:

\[40^{2} = 10^{2} + 2 \cdot 10 \cdot \Delta s\]

Isolando a distância de queda, indicada por Δs, tem-se:

\[\Delta s = 75 \text{m}\]

Assim, o desenvolvimento original conduz a uma distância de queda de 75 m, que corresponderia à alternativa e). Entretanto, conforme determinado no gabarito oficial, a questão foi anulada.

A grandeza física central para uma unidade hidrelétrica a fio-d’água é a vazão, isto é, o volume de água que atravessa uma determinada seção do rio por unidade de tempo. Como esse tipo de unidade geradora depende do fluxo contínuo do rio e possui mínimo ou nenhum armazenamento de água, uma vazão maior tende a permitir maior geração de energia.

Considere uma seção transversal do leito do rio com área A, atravessada por água cuja velocidade média de correnteza é v. A vazão é representada por Z e pode ser calculada por:

\[Z = v A\]

Nessa relação, a vazão aumenta quando aumenta a velocidade da água ou quando aumenta a área da seção transversal do leito. Portanto, ao comparar rios para a construção de uma unidade a fio-d’água, deve-se procurar aquele que apresente maior vazão. Entre as alternativas, a grandeza diretamente indicada para favorecer esse aumento é a maior velocidade de correnteza.

As alternativas relacionadas a maior desnível do relevo ou a características menores de área, volume por unidade de tempo e massa por unidade de tempo não correspondem ao critério solicitado para uma unidade a fio-d’água.