Exercícios de Equilíbrio de ponto material com resolução comentada

Para determinar a força F, é necessário analisar o equilíbrio da roldana móvel e a distribuição da tensão no cabo.

As duas roldanas fixas têm a função de mudar a direção do cabo. Em um sistema ideal, elas não alteram a intensidade da tensão nem reduzem, por si só, a força necessária para equilibrar a carga. A roldana móvel, por sua vez, é sustentada por dois ramos do mesmo cabo.

Considerando o cabo ideal, a tensão é a mesma em seus dois ramos. Como a roldana móvel está em repouso, a soma das forças verticais para cima deve equilibrar o peso P. Assim, os dois ramos do cabo exercem, juntos, uma força de intensidade igual a P sobre a roldana móvel. Portanto, cada ramo exerce uma tensão igual a \(\frac{P}{2} .\)

A extremidade do cabo que a pessoa segura corresponde a um desses ramos. Logo, a força F aplicada pela pessoa tem a mesma intensidade da tensão nesse ramo:

Portanto, \(\text{F}= \frac{P}{2} .\)

Assim, a alternativa [A] é a correta.

Estão incorretas:

[B] Incorreta. A relação \(\frac{P}{4}\) exigiria uma vantagem mecânica maior, como a obtida com duas roldanas móveis em uma configuração apropriada, e não apenas com a única roldana móvel presente no sistema.

[C] Incorreta. A relação \(\frac{P}{6}\) não resulta da configuração simples apresentada, na qual a única roldana móvel divide a carga igualmente entre dois ramos do cabo.

[D] Incorreta. A relação \(\frac{P}{3}\) não corresponde ao equilíbrio da roldana móvel mostrada, que é sustentada por dois ramos do cabo, e não por três.

[E] Incorreta. A relação \(\frac{P}{8}\) exigiria uma vantagem mecânica ainda maior, associada, em uma configuração ideal, a três roldanas móveis em cascata, e não à configuração apresentada.

Para o equilíbrio vertical do ponto O, temos:

\(matematica 1\)
\(matematica 2\)

Para o equilíbrio horizontal do ponto B, temos:

\(matematica 3\)

Logo, E a tração na corda vale:

\(matematica 4\)\(matematica 5\)\(matematica 6\)

E a distância do barco à estaca é de:

\(matematica 7\)\(matematica 8\)\(matematica 9\)

Para que o sistema permaneça em equilíbrio estático, a resultante das forças sobre o ponto de conexão dos fios deve ser nula. Isso significa que as componentes horizontal e vertical da tensão no fio inclinado devem equilibrar, respectivamente, a força elástica da mola e o peso do bloco.

A força exercida pela mola é dada pela lei de Hooke, F_mola = kx, em que k é a constante elástica da mola e x é sua elongação. A tensão no fio inclinado é representada por T. Considerando o ângulo α indicado na figura, suas componentes são Tcosα na direção horizontal e Tsenα na direção vertical.

Assim, o equilíbrio na direção horizontal estabelece que a força elástica da mola deve ter o mesmo módulo que a componente horizontal da tensão. Na direção vertical, o peso do bloco deve ser equilibrado pela componente vertical da tensão:

\[\begin{cases} kx = Tcosα \\ P = Tsenα \end{cases} \div\]

Dividindo a primeira equação pela segunda, eliminamos a tensão T, que aparece nas duas relações. No lado esquerdo, obtemos kx/P. No lado direito, o fator comum T é cancelado, restando a razão entre cosα e senα:

\[\frac{kx}{P} = \frac{\cancel{T} cosα}{\cancel{T} senα}\]

Pela definição das razões trigonométricas, a razão entre o cosseno e o seno do mesmo ângulo é a cotangente. Portanto:

\[\frac{kx}{P} = cotgα\]

Agora, isolamos a elongação x. Para isso, multiplicamos os dois membros por P e dividimos por k. Dessa maneira, a constante elástica permanece no denominador, enquanto o peso multiplica a razão trigonométrica:

\[x = \frac{P}{k} cotgα\]

Logo, de acordo com o gabarito indicado, a resposta é a alternativa A.

Para que o barco siga em uma direção paralela às margens, a força F₃ deve anular a resultante na direção perpendicular às margens. Ou seja:

\[F_{3} = \left|F_{2} sen 30^{\circ} – F_{1} sen 60^{\circ}\right|\]
\[F_{3} = \left|320 \cdot \frac{1}{2} – 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right|\]
\[F_{3} = \left|160 – 200 \sqrt{3}\right|\]
\[F_{3} = 10 \left(20 \sqrt{3} – 16\right) N\]

A esfera está em equilíbrio, portanto a resultante das forças que atuam sobre ela é nula. Isso significa que as forças se compensam vetorialmente.

As três forças relevantes são: o peso P = 1 N, vertical para baixo; a força horizontal aplicada, de módulo F = 2 N; e a tração T exercida pelo barbante, orientada ao longo do barbante. Como o peso e a força aplicada são perpendiculares entre si, seus módulos podem ser relacionados à tração por meio do teorema de Pitágoras. A tração corresponde ao lado que equilibra a resultante dessas duas forças.

\[T^{2} = P^{2} + F^{2}\]

Nessa relação, T é a tração no barbante, P é o peso da esfera e F é a força horizontal aplicada. Substituindo os valores fornecidos, isto é, P = 1 N e F = 2 N, obtemos:

\[T = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}\]

Calculando os quadrados dos módulos das forças, temos 1² = 1 e 2² = 4. Portanto, a soma dentro da raiz quadrada é igual a 5:

\[T = \sqrt{5} N\]

Assim, a tração no barbante tem módulo √5 N. Logo, a alternativa correta é a c).

O diagrama de forças é indicado na figura abaixo:

Como a caixa permanece em equilíbrio estático, a resultante das forças que atuam sobre ela é nula. Em particular, no eixo vertical, a componente vertical da tração exercida pela corda B deve equilibrar o peso da caixa. Assim, em módulo, essa componente vertical tem valor igual a 400 N:

\[\left|T_{y}\right| = \left|T_{1}\right| = \left|P\right| = 400 \text{N}\]

Nessa relação, \(\left(T_{y}\right)\) representa a componente vertical da tração, enquanto \(\left(T\right)\) representa o módulo da tração na corda B. Como a corda B forma um ângulo de 30° com a direção horizontal, sua componente vertical é obtida multiplicando-se a tração pelo seno desse ângulo:

\[\left|\left(\overset{\rightarrow}{T}\right)_{y}\right| = \left|\overset{\rightarrow}{T}\right| \cdot sen 30 \circ\]

Substituindo a componente vertical, que vale 400 N, e usando sen(30°) = 0,5, isolamos a tração \(\left|\overset{\rightarrow}{T}\right|\). Para isso, dividimos os dois lados da igualdade pelo seno de 30°:

\[\left|\overset{\rightarrow}{T}\right| = \frac{\left|\overset{\rightarrow}{T} y\right|}{sen 30 \circ} = \frac{400 \text{N}}{\frac{1}{2}}\]

Dividir por 0,5 equivale a multiplicar por 2. Portanto, a tração na corda B é:

\[\left|\overset{\rightarrow}{T}\right| = 800 \text{N}\]

Como 800 N é superior a 750 N, o valor da tração está na faixa indicada pela alternativa e).

Resposta: alternativa e) superior a 750 N.

Para analisar o comportamento mecânico dos dois equipamentos, devemos considerar que a elevação das cargas ocorre com velocidade constante. De acordo com a Primeira Lei de Newton, essa condição cinemática indica que o sistema encontra-se em equilíbrio translacional, o que significa que a força resultante atuante sobre cada massa é rigorosamente nula.

No primeiro dispositivo, observa-se uma configuração composta exclusivamente por polias fixas. Embora essas peças alterem a direção da tração aplicada pelo usuário, elas não modificam a intensidade da força transmitida pela corda inextensível. Assim, para manter o corpo de massa ₁M em equilíbrio estático ou dinâmico uniforme, a tensão exercida pelo atleta deve ser exatamente igual ao peso do objeto.

\[\begin{cases} F = P_{1} \Rightarrow F = M_{1} g \\ 2 \text{F} = P_{2} \Rightarrow 2 \text{F} = M_{2} g \end{cases} \div \frac{\bcancel{F}}{2 \bcancel{F}} = \frac{M_{1} \cancel{g}}{M_{2} \cancel{g}}\]

Já no segundo equipamento, a presença de uma polia móvel altera significativamente o balanço das forças. Nesse arranjo, o suporte da carga ₂M é compartilhado por dois trechos distintos do mesmo fio, cada um deles submetido à mesma tensão F aplicada pelo praticante. Consequentemente, a força total ascendente que contrabalança o peso torna-se duas vezes maior que a tração individual.

Ao aplicar novamente a condição de resultante nula para este segundo caso e proceder com a divisão algébrica entre as equações estabelecidas, simplificamos os termos comuns de aceleração da gravidade e força aplicada, isolando a relação direta entre as massas:

\[\frac{1}{2} = \frac{M_{1}}{M_{2}}\]

Invertendo a proporção para atender ao que foi solicitado pelo enunciado, obtemos o valor exato da razão entre ₂M e ₁M:

\[\frac{M_{2}}{M_{1}} = 2\]

Portanto, a razão ₂M/₁M corresponde ao valor numérico dois. Essa conclusão confirma que a alternativa D é a correta para a orientação dos frequentadores da academia.

ANULADA

Gabarito oficial: [C]

Gabarito SuperPro®: Anulada

Observação: para que um corpo extenso esteja em equilíbrio, é necessário satisfazer simultaneamente as condições de equilíbrio de translação e de rotação.

O equilíbrio de translação exige que a força resultante seja nula em todas as direções. Em particular, as componentes horizontal e vertical das forças devem se compensar. Já o equilíbrio de rotação exige que o momento resultante, calculado em relação ao ponto S, também seja nulo.

Na situação apresentada, a condição de equilíbrio horizontal fornece uma relação entre a força muscular F_m e a força de contato F_c. Considerando as componentes horizontais indicadas na figura, temos:

\[F_{m} cos \alpha = F_{c} cos \theta\]

Substituindo os valores fornecidos, cos α = 0,6 e cos θ = 0,8, obtém-se:

\[0.6 F_{m} = 0.8 F_{c}\]

Isolando F_m, divide-se ambos os lados da igualdade por 0,6. Como 0,8/0,6 = 4/3, resulta:

\[F_{m} = \frac{4}{3} F_{c}\]

Essa é a relação necessária para que as componentes horizontais se anulem. Entretanto, quando essa relação é utilizada na condição vertical de equilíbrio, surge uma inconsistência.

O peso da cabeça é P = 50 N. Pela decomposição das forças mostrada na figura, a condição vertical seria:

\[F_{c} sen \theta = F_{m} sen \alpha + P\]

Usando sen θ = 0,6, sen α = 0,8 e P = 50 N, essa igualdade pode ser escrita como:

\[0.6 F_{c} = 0.8 F_{F} + 50\]

Adotando a relação horizontal F_m = (4/3)F_c, a equação vertical conduz a um valor incompatível com o sentido da força indicado na figura: a força de contato aparece com módulo aproximadamente igual a 107 N, porém com sinal negativo. O sinal negativo não representa uma intensidade negativa; ele indica que o sentido real da força deveria ser oposto ao sentido desenhado.

Também é possível verificar o resultado seguindo a resolução baseada no equilíbrio de rotação. Tomando os momentos das forças em relação ao ponto S, a força cujo braço de alavanca é nulo não produz torque. A condição de momento resultante nulo fornece:

\[F_{m} sen \alpha = 50 \times 4\]

Como sen α = 0,8, segue que:

\[0.8 F_{m} = 200\]

Dividindo os dois lados por 0,8, determina-se a força muscular:

\[F_{m} = 250 \text{N}\]

A componente horizontal fornece F_c = (3/4)F_m. Portanto:

\[F_{c} = \frac{3}{4} \times 250 = 187.5 \text{N}\]

Esse valor coincide com a alternativa c) 187,5 N e com o gabarito oficial. Contudo, ao verificar a equação vertical, encontra-se:

\[187.5 \times 0.6 = 250 \times 0.8 + 50\]

O primeiro membro vale 112,5 N, enquanto o segundo vale 250 N. Assim, a igualdade não é satisfeita. Portanto, embora o cálculo dos momentos conduza à alternativa c), as forças não obedecem simultaneamente às condições de equilíbrio de translação.

Conclusão: os dados e os sentidos das forças apresentados no enunciado são inconsistentes, pois descrevem uma situação de equilíbrio físico impossível. Por esse motivo, a questão deve ser considerada anulada, apesar de o gabarito oficial indicar a alternativa c) 187,5 N.

Como a bola está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ela é nula. Assim, as forças exercidas pelos fios devem compensar o peso da bola, que tem intensidade 4,0 N.

Da figura abaixo, obtemos:

O fio S é inclinado em relação à barra horizontal. Portanto, sua força de tração pode ser decomposta em duas componentes:

• uma componente vertical, dada por T_S sen θ, que equilibra o peso da bola;
• uma componente horizontal, dada por T_S cos θ, que é equilibrada pela tração exercida pelo fio R.

Na direção vertical, a componente da tração do fio S deve ter a mesma intensidade do peso P. Por isso:

\[T_{S} sen \theta = P\]

Substituindo o valor do seno do ângulo, sen θ = 0,8, e o peso da bola, P = 4,0 N:

\[T_{S} \cdot 0.8 = 4\]

Para determinar a tração no fio S, dividimos os dois lados da igualdade por 0,8:

\[T_{S} = 5 \text{N}\]

Logo, a intensidade da força aplicada pelo fio S é 5,0 N.

Na direção horizontal, a componente horizontal da tração do fio S é equilibrada pela força exercida pelo fio R. Portanto:

\[\left( T\right)_{S} cos \theta = T_{R}\]

Substituindo a tração já calculada, T_S = 5,0 N, e o valor de cos θ = 0,6:

\[5 \cdot 0.6 = T_{R}\]

Efetuando a multiplicação, obtemos:

\[T_{R} = 3 \text{N}\]

Assim, a intensidade da força aplicada pelo fio R é 3,0 N, enquanto a intensidade da força aplicada pelo fio S é 5,0 N.

Portanto, as forças nos fios R e S são, respectivamente, 3,0 N e 5,0 N. A alternativa correta é a letra a.

Como o sistema está em equilíbrio estático, a resultante das forças em cada corpo e no ponto de ligação D deve ser nula. Além disso, como o movimento é iminente, o atrito estático no bloco A atinge seu valor máximo.

Representando as forças atuantes no sistema, obtemos:

Bloco A:

No bloco A, a tensão da corda que o puxa horizontalmente é equilibrada pela força de atrito estático máxima. Essa força máxima é dada pelo produto do coeficiente de atrito estático pela força normal. Como a superfície é horizontal e não há outras forças verticais atuando no bloco A, a força normal tem módulo igual ao peso do bloco, isto é, N = Mg. Portanto:

\[T_{A} = F_{a t} = 0.4 M g\]

Assim, T_A representa a tensão associada ao bloco A, F_at é o atrito estático máximo, M é a massa do bloco A e g é a aceleração da gravidade.

Bloco B:

O bloco B também está em equilíbrio. Sobre ele atuam seu peso, dirigido verticalmente para baixo, e a tensão da corda, dirigida para cima. Como essas forças se equilibram, a tensão T_B tem o mesmo módulo que o peso do bloco B. A massa de B é igual a 0,20 kg, portanto:

\[T_{B} = P_{B} = 0.2 \text{g}\]

Logo, T_B é a tensão exercida pela corda ligada ao bloco B e P_B é o peso desse bloco.

Ponto D:

No ponto D, as duas cordas formam um ângulo de 90°. A tensão T_D, associada à corda que forma o ângulo α com a parede vertical, pode ser decomposta em uma componente horizontal e uma componente vertical.

Como α é medido em relação à direção vertical, a componente horizontal dessa tensão é obtida multiplicando-se T_D pelo seno de α. Essa componente equilibra a tensão horizontal T_A:

Na direção vertical, a componente correspondente é obtida multiplicando-se T_D pelo cosseno de α. Essa componente equilibra a tensão T_B, associada ao bloco B:

\[\begin{cases} T_{D} sen \alpha = T_{A} \left(I\right) \\ T_{D} cos \alpha = T_{B} \left(II\right) \end{cases}\]
\[\left(I\right) \div \left(II\right) :\]
\[tg \alpha = \frac{T_{A}}{T_{B}} = \frac{0.4 Mg}{0.2 \text{g}}\]
\[tg \alpha = 2 M\]

Ao dividir a equação (I) pela equação (II), o fator T_D é cancelado. Pela definição da tangente, a razão entre o seno e o cosseno do mesmo ângulo é igual à tangente desse ângulo. Em seguida, substituem-se T_A = 0,4Mg e T_B = 0,2g. O fator g aparece no numerador e no denominador e, portanto, é cancelado, resultando em:

tg α = 2M

Portanto, a alternativa correta é d) 2,00 M.