Exercícios de Equilíbro de ponto material

Para resolver essa questão, devemos analisar o equilíbrio de forças no sistema de roldanas.

O sistema possui duas roldanas fixas e uma roldana móvel. As roldanas fixas apenas alteram a direção da força aplicada, não reduzindo a intensidade do esforço necessário. Já a roldana móvel divide o peso da carga entre os dois ramos de corda que a sustentam.

Na roldana móvel, o peso P é sustentado por dois fios paralelos. Portanto, a tração em cada fio é $\frac{\mathrm{P}}{2}.$ Como o cabo que a pessoa segura é uma extensão de um desses fios (passando pelas fixas), a força F exercida será igual a essa tração.

Portanto, $\text{F=}\frac{\mathrm{P}}{2}.$ A alternativa [A] é a correta.

Estão incorretas:

[B] Incorreta. Exigiria duas roldanas móveis em cascata para dividir o peso por 4 (2²).

[C] Incorreta. Não existe configuração simples de roldanas que resulte em divisão por 6 sem um cadernal específico.

[D] Incorreta. Divisões ímpares não são comuns em sistemas de roldanas móveis simples (potenciais).

[E] Incorreta. Exigiria três roldanas móveis (2³).

Para o equilíbrio vertical do ponto O, temos:

$$2 \mathrm{Tsen\theta }=100$$
$$\mathrm{Tsen\theta }=50 \left(\mathrm{I}\right)$$

Para o equilíbrio horizontal do ponto B, temos:

$\mathrm{T} \cos \mathrm{\theta }=50 \left(\mathrm{II}\right)$

Logo, E a tração na corda vale:

$$\mathrm{T}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=50$$
$$\mathrm{T}=\frac{100}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
$$\mathrm{T}=50\sqrt{2}\mathrm{N}$$

E a distância do barco à estaca é de:

$$\mathrm{d}=2\cdot \frac{5\mathrm{m}}{2}\cdot \cos {45}^{\circ }$$
$$\mathrm{d}=5\mathrm{m}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\mathrm{d}=2,5\sqrt{2}\mathrm{m}$$

Para o equilíbrio do Sistema, devemos ter:

$$\{\begin{array}{c}\mathrm{kx}=\mathrm{Tcos\alpha }\\ \mathrm{P}=\mathrm{Tsen\alpha }\end{array}÷$$
$$\frac{\mathrm{kx}}{\mathrm{P}}=\frac{\cancel{\mathrm{T}}\mathrm{cos\alpha }}{\cancel{\mathrm{T}}\mathrm{sen\alpha }}$$
$$\frac{\mathrm{kx}}{\mathrm{P}}=\mathrm{cotg\alpha }$$
$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{k}}\mathrm{cotg\alpha }$$

Para que o barco siga em uma direção paralela às margens, a força F₃ deve anular a resultante na direção perpendicular às margens. Ou seja:

$${\mathrm{F}}_3=|{\mathrm{F}}_2\mathrm{sen} {30}^{\circ }-{\mathrm{F}}_1\mathrm{sen} {60}^{\circ }|$$
$${\mathrm{F}}_3=\left|320\cdot \frac{1}{2}-400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right|$$
$${\mathrm{F}}_3=\left|160-200\sqrt{3}\right|$$
$${\mathrm{F}}_3=10(20\sqrt{3}-16) \mathrm{N}$$

A figura 1 mostra as forças atuantes na esfera. A figura 2 mostra essas forças somadas pela regra da poligonal, sendo nula a resultante, pois a esfera está em equilíbrio. Aplicando Pitágoras:

${\mathrm{T}}^2={\mathrm{P}}^2+{\mathrm{F}}^2\Rightarrow \mathrm{T}=\sqrt{1^2+2^2}\Rightarrow \mathrm{T}=\sqrt{5}\mathrm{N}$

O diagrama de forças é indicado na figura abaixo:

Para que se tenha o equilíbrio estático no eixo vertical, tem-se:

$\left|{\mathrm{T}}_{\mathrm{y}}\right|=\left|{\mathrm{T}}_1\right|=\left|\mathrm{P}\right|=400\mathrm{N}$

Porém a componente vertical da tração $\left(T_y\right)$ é relacionada à tração na corda B $\left(\mathrm{T}\right)$ pela trigonometria e tem-se o valor em módulo da tração solicitada.

$\left|{\overrightarrow{\mathrm{T}}}_{\mathrm{y}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{T}}\right|\cdot \mathrm{sen} 30°\Rightarrow \left|\overrightarrow{\mathrm{T}}\right|=\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{T}}\mathrm{y}\right|}{\mathrm{sen} 30°}=\frac{400\mathrm{N}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}} \therefore \left|\overrightarrow{\mathrm{T}}\right|=800\mathrm{N}$

Nos dois casos, a velocidade é constante, sendo nula a resultante em cada uma das cargas.

Então:

$\frac{1}{2}=\frac{{\mathrm{M}}_1}{{\mathrm{M}}_2}$
$\frac{{\mathrm{M}}_2}{{\mathrm{M}}_1}=2$

ANULADA

Gabarito Oficial: [C]

Gabarito SuperPro®: Anulada

Observação: no caso de equilíbrio de um corpo extenso, há que se impor a condição de equilíbrio de translação e rotação.

No equilíbrio de translação, a força resultante tem que ser nula, ou seja, tem que haver equilíbrio de forças nas três direções: x, y e z. Nessa questão, impondo-se a condição de equilíbrio no eixo x, não ocorre equilíbrio no eixo y com as forças nos sentidos mostrados.

No equilíbrio de rotação, o momento resultante tem que ser nulo. Impondo-se essa condição, conclui-se novamente que não há equilíbrio de forças no eixo y.

1ª Resolução:

A figura abaixo mostra o esquema das forças e seus componentes.

Equilíbrio de Translação:

Na horizontal:

Fmx=Fcx⇒Fmcosα=Fccosθ⇒0,6Fm=0,8Fc⇒Fm=43Fc” class=”Wirisformula” role=”math” height=”41″ width=”416″ alt=”straight F subscript mx equals straight F subscript cx rightwards double arrow straight F subscript straight m cos straight alpha equals straight F subscript straight c cos straight theta rightwards double arrow 0 comma 6 straight F subscript straight m equals 0 comma 8 straight F subscript straight c rightwards double arrow straight F subscript straight m equals 4 over 3 straight F subscript straight c” style=”vertical-align: -15px;”>

Na vertical:

Fcy=Fmy+P⇒Fcsen⁡θ=Fmsen⁡α+P⇒(0,6Fc−0,8Fm=50)[×5]⇒3Fc−4Fm=250⇒3Fc−443Fc=250⇒9Fc−16Fc=750⇒Fc=−7507⇒Fc=−107N ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”127″ width=”541″ alt=”table row cell straight F subscript cy equals straight F subscript my plus straight P rightwards double arrow straight F subscript straight c sen invisible function application straight theta equals straight F subscript straight m sen invisible function application straight alpha plus straight P rightwards double arrow left parenthesis 0 comma 6 straight F subscript straight c minus 0 comma 8 straight F subscript straight m equals 50 right parenthesis left square bracket cross times 5 right square bracket rightwards double arrow end cell row cell 3 straight F subscript straight c minus 4 straight F subscript straight m equals 250 rightwards double arrow 3 straight F subscript straight c minus 4 open parentheses 4 over 3 straight F subscript straight c close parentheses equals 250 rightwards double arrow 9 straight F subscript straight c minus 16 straight F subscript straight c equals 750 rightwards double arrow straight F subscript straight c equals fraction numerator negative 750 over denominator 7 end fraction rightwards double arrow end cell row cell straight F subscript straight c equals negative 107 straight N end cell row blank end table” style=”vertical-align: -58px;”>

Esse resultado contradiz o enunciado, mostrando que para haver equilíbrio de translação, a força F c ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”24″ width=”17″ alt=”Error converting from MathML to accessible text.” style=”vertical-align: -9px;”> deveria ter intensidade 107 N em sentido oposto ao indicado na figura.

2ª Resolução:

Equilíbrio de Translação:

Na horizontal:

Fmx=Fcx⇒Fmcosα=Fccosθ⇒0,6Fm=0,8Fc⇒Fm=43Fc” class=”Wirisformula” role=”math” height=”41″ width=”416″ alt=”straight F subscript mx equals straight F subscript cx rightwards double arrow straight F subscript straight m cos straight alpha equals straight F subscript straight c cos straight theta rightwards double arrow 0 comma 6 straight F subscript straight m equals 0 comma 8 straight F subscript straight c rightwards double arrow straight F subscript straight m equals 4 over 3 straight F subscript straight c” style=”vertical-align: -15px;”>

Em relação ao ponto S , o somatório dos momentos escalares deve ser nulo.

Fmy(2)=P8⇒Fmsen⁡α=50(4)⇒0,8Fm=200⇒Fm=2000,8⇒Fm=250N” class=”Wirisformula” role=”math” height=”42″ width=”518″ alt=”straight F subscript my left parenthesis up diagonal strike 2 right parenthesis equals straight P open parentheses up diagonal strike 8 close parentheses rightwards double arrow straight F subscript straight m sen invisible function application alpha equals 50 left parenthesis 4 right parenthesis rightwards double arrow 0 comma 8 straight F subscript straight m equals 200 rightwards double arrow straight F subscript straight m equals fraction numerator 200 over denominator 0 comma 8 end fraction rightwards double arrow straight F subscript straight m equals 250 straight N” style=”vertical-align: -16px;”>

Combinando os resultados:

Fc=34Fm⇒Fc=34250=7504⇒Fc=187,5 N” class=”Wirisformula” role=”math” height=”41″ width=”330″ alt=”straight F subscript straight c equals 3 over 4 straight F subscript straight m rightwards double arrow straight F subscript straight c equals 3 over 4 250 equals 750 over 4 rightwards double arrow straight F subscript straight c equals 187 comma 5 space straight N” style=”vertical-align: -15px;”>

Esse resultado bate com o gabarito da banca examinadora. Não bate, porém, com o equilíbrio de translação na vertical.

De fato, para haver equilíbrio:

F c y = F m y + P ⇒ F c sen ⁡ θ = F m sen ⁡ α + P ⇒ 187 , 5 ( 0 , 6 ) = 250 ( 0 , 8 ) + 50 ⇒ 112 , 5 = 200 + 50 ⇒ 112 , 5 = 250 (Absurdo)!!! ” class=”Wirisformula” role=”math” height=”54″ width=”505″ alt=”table row cell F subscript c y end subscript equals F subscript m y end subscript plus P not stretchy rightwards double arrow F subscript c end subscript sen invisible function application blank straight theta blank equals F subscript m end subscript sen invisible function application blank straight alpha blank plus P not stretchy rightwards double arrow 187 comma 5 not stretchy left parenthesis 0 comma 6 not stretchy right parenthesis equals 250 not stretchy left parenthesis 0 comma 8 not stretchy right parenthesis plus 50 not stretchy rightwards double arrow end cell row cell 112 comma 5 equals 200 plus 50 not stretchy rightwards double arrow 112 comma 5 equals 250 text (Absurdo)!!! end text end cell end table” style=”vertical-align: -22px;”>

Conclusão: os dados estão inconsistentes, propondo uma situação física de equilíbrio impossível.

Da figura abaixo, obtemos:

$${\mathrm{T}}_{\mathrm{S}}\mathrm{sen}\theta =\mathrm{P}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{S}}\cdot 0,8=4$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{S}}=5\mathrm{N}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{S}}\cos \theta ={\mathrm{T}}_{\mathrm{R}}$$
$$5\cdot 0,6={\mathrm{T}}_{\mathrm{R}}$$
$${\mathrm{T}}_{\mathrm{R}}=3\mathrm{N}$$

Representando as forças atuantes no sistema, obtemos:

Bloco A:

${\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{a}\mathrm{t}}=0,4\mathrm{M}\mathrm{g}$

Bloco B:

${\mathrm{T}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}=0,2\mathrm{g}$

Ponto D:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{T}}_{\mathrm{D}}\mathrm{sen} \mathrm{\alpha }={\mathrm{T}}_{\mathrm{A}} \left(\mathrm{I}\right)\\ {\mathrm{T}}_{\mathrm{D}}\cos \mathrm{\alpha }={\mathrm{T}}_{\mathrm{B}} \left(\mathrm{II}\right)\end{array}\right. \\ \left(\mathrm{I}\right)÷\left(\mathrm{II}\right): \\ \mathrm{tg} \mathrm{\alpha }=\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{A}}}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{B}}}=\frac{0,4 \mathrm{Mg}}{0,2 \mathrm{g}} \\ \therefore \mathrm{tg} \mathrm{\alpha }=2 \mathrm{M} \end{gathered}$$