Exercícios de Colisões com resolução comentada

Adota-se como sentido positivo o sentido inicial do movimento do objeto A. Assim, o objeto A possui velocidade inicial positiva, enquanto o objeto B está inicialmente em repouso. Depois da colisão, o objeto A recua; por isso, sua velocidade final deve ser representada por um valor negativo.

Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento total do sistema permanece constante durante a colisão. Portanto, a quantidade de movimento inicial Q_i é igual à quantidade de movimento final Q_f. A quantidade de movimento de um corpo é dada pelo produto de sua massa por sua velocidade.

\[Q_{i} = Q_{f} \overset{Q = m \cdot v}{\rightarrow}\]

Representando o objeto de 5,0 kg por A e o objeto de 10,0 kg por B, a conservação da quantidade de movimento pode ser escrita considerando as velocidades iniciais e finais de cada objeto. Como B estava parado antes da colisão, sua velocidade inicial é nula.

\[m_{A} \cdot v_{\text{Ai}} + m_{B} \cdot v_{\text{Bi}} = m_{A} \cdot v_{\text{Af}} + m_{B} \cdot v_{\text{Bf}} \overset{v_{\text{Bi}} = 0}{\rightarrow}\]

Substituindo as massas e as velocidades fornecidas, usa-se −2,0 m/s para a velocidade final de A, pois esse objeto recua após a colisão. A velocidade final de B será indicada por v_Bf.

\[5 \text{kg} \cdot 8 \text{m} / \text{s} + 10 \text{kg} \cdot 0 = 5 \text{kg} \cdot \left(- 2 \text{m} / \text{s}\right) + 10 \text{kg} \cdot v_{\text{Bf}}\]

O primeiro membro representa a quantidade de movimento inicial do sistema. No segundo membro, o primeiro termo é a quantidade de movimento final de A e o segundo termo é a quantidade de movimento final de B. Isolando a velocidade final de B, obtém-se:

\[v_{\text{Bf}} = \frac{\left(40 + 10\right) kg \cdot m / \text{s}}{10 \text{kg}} v_{\text{Bf}} = 5 \text{m} / \text{s}\]

Logo, o módulo da velocidade do segundo objeto após o choque é 5,0 m/s.

Para classificar a colisão, pode-se comparar as energias cinéticas antes e depois do choque ou calcular o coeficiente de restituição. Em uma colisão elástica, a energia cinética total se conserva e o coeficiente de restituição é igual a 1. Quando esse coeficiente está entre 0 e 1, a colisão é parcialmente inelástica, pois há conservação da quantidade de movimento, mas não da energia cinética. No caso totalmente inelástico, o coeficiente é igual a zero e os corpos permanecem unidos após a colisão.

Calculando a energia cinética final dos dois objetos, soma-se a energia cinética de A à energia cinética de B:

\[E_{c f} = \frac{m_{A} \left(v_{A f}\right)^{2}}{2} + \frac{m_{B} \left(v_{\text{Bf}}\right)^{2}}{2} = \frac{5 \text{kg} \cdot \left(2 \text{m} / \text{s}\right)^{2}}{2} + \frac{10 \text{kg} \cdot \left(5 \text{m} / \text{s}\right)^{2}}{2}\]

O primeiro termo corresponde a 10 J, a energia cinética final de A, e o segundo corresponde a 125 J, a energia cinética final de B. Assim, a energia cinética final total é:

\[E_{\text{cf}} = \left(10 + 125\right) J \cdot E_{\text{cf}} = 135 \text{J}\]

A energia cinética inicial é determinada apenas pelo movimento do objeto A, porque o objeto B estava em repouso e, portanto, tinha energia cinética inicial nula.

\[E_{\text{ci}} = \frac{m_{A} \left(v_{\text{Ai}}\right)^{2}}{2} = \frac{5 \text{kg} \cdot \left(8 \text{m} / \text{s}\right)^{2}}{2} = 160 \text{J}\]

Como a energia cinética final é menor que a energia cinética inicial, a energia cinética não se conserva. Portanto, a colisão não é elástica.

Também é possível confirmar essa classificação pelo coeficiente de restituição, definido como a razão entre o módulo da velocidade relativa de afastamento, depois do choque, e o módulo da velocidade relativa de aproximação, antes do choque.

\[e = \frac{\left|v_{\text{raf}}\right|}{\left|v_{\text{rap}}\right|} = \frac{\left(2 + 5\right) m / \text{s}}{8 \text{m} / \text{s}}\] \[e = \frac{7}{8}\]

Como o coeficiente de restituição é maior que zero e menor que um, a colisão é parcialmente inelástica. Portanto, as lacunas devem ser preenchidas por 5,0 m/s e inelástica.

Resposta: alternativa d.

Para determinar a velocidade do carrinho após a colisão, é necessário analisar o movimento em três etapas: o trecho de A até B, o movimento circular de B até C e o movimento retilíneo uniforme de C até D. Em seguida, aplica-se a conservação da quantidade de movimento na colisão.

Velocidade no ponto B

O carrinho parte do repouso no ponto A, portanto v_A = 0. No trecho entre A e B, a aceleração é constante e igual a a₀, enquanto o deslocamento realizado é ℓ. Assim, utiliza-se a equação de Torricelli, que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento sem a necessidade de conhecer o tempo:

\[\left(v_{B}\right)^{2} = \left(v_{A}\right)^{2} + 2 aΔs\] \[\left(v_{B}\right)^{2} = 0 + 2 a_{0} ℓ\] \[v_{B} = \sqrt{2 a_{0} ℓ}\]

Na segunda linha, foram substituídos v_A por zero, pois o carrinho parte do repouso, a por a₀ e Δs por ℓ. Portanto, a velocidade no ponto B é \(v_{B} = \sqrt{2 a_{0} ℓ}\)

Velocidade no ponto C

Entre B e C, o carrinho percorre a trajetória circular sob a ação da gravidade. Como não há atrito, a energia mecânica se conserva. De acordo com a figura, o ponto B está 2R acima do ponto C; portanto, ao passar de B para C, o carrinho perde energia potencial gravitacional e ganha energia cinética.

\[E_{B} = E_{C}\] \[\cancel{m} g \cdot 2 R + \frac{\cancel{m} \left(v_{B}\right)^{2}}{2} = \frac{\cancel{m} \left(v_{C}\right)^{2}}{2}\] \[2 gR + a_{0} ℓ = \frac{\left(v_{C}\right)^{2}}{2}\] \[v_{C} = \sqrt{2 a_{0} ℓ + 4 gR}\]

Na expressão da energia, o termo mg · 2R representa a energia potencial gravitacional associada à diferença de altura entre B e C. Os termos com mv²/2 representam as energias cinéticas nos pontos B e C. A massa aparece em todos os termos e pode ser cancelada. Em seguida, substitui-se v_B² por 2a₀ℓ, obtendo-se a velocidade em C.

De C até D, o movimento é retilíneo uniforme. Isso significa que a velocidade permanece constante nesse trecho, pois a aceleração é nula. Assim, a velocidade imediatamente antes da colisão é igual à velocidade em C:

Como v_D = v_C, podemos agora obter a velocidade do carrinho após o choque:

A colisão é perfeitamente inelástica, portanto os dois carrinhos permanecem unidos depois do choque. Nesse tipo de colisão, a energia mecânica não é conservada, mas a quantidade de movimento do sistema é conservada. Como os carrinhos têm a mesma massa e o segundo estava inicialmente em repouso, a massa total após a colisão é 2m.

\[Q_{\text{antes}} = Q_{\text{depois}}\] \[\cancel{m} v_{D} = 2 \cancel{m} v_{f}\] \[\sqrt{2 a_{0} ℓ + 4 gR} = 2 v_{f}\] \[v_{f} = \frac{1}{2} \sqrt{2 a_{0} ℓ + 4 gR}\]

A massa do carrinho que chega ao ponto D é m, enquanto a massa do conjunto formado após a colisão é 2m. Por isso, após cancelar a massa comum nos dois lados, a velocidade final é metade da velocidade imediatamente anterior ao choque.

Logo, o módulo da velocidade do conjunto após a colisão é

Alternativa A: \(\frac{1}{2} \sqrt{2 a_{0} ℓ + 4 gR}\)

Como o bloco de tijolo está sobre uma superfície sem atrito e a colisão ocorre na direção horizontal, a quantidade de movimento linear do sistema argila-tijolo se conserva. Isso significa que a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total imediatamente depois dela.

Antes da colisão, apenas o corpo de argila possui velocidade horizontal. O tijolo está em repouso e, portanto, sua quantidade de movimento inicial é nula. Como o corpo de argila adere ao tijolo, os dois passam a se mover juntos após a colisão, formando um único conjunto de massa m_A + m_T, com velocidade comum v.

Aplicando a conservação da quantidade de movimento:

\[m_{A} v_{A} = \left(m_{A} + m_{T}\right) v\] \[60 \left(5\right) = \left(60 + 240\right) v\] \[300 = 300 v\] \[v = 1 \text{m} / \text{s} .\]

Na substituição, foram usados 60 g para a massa da argila, 240 g para a massa do tijolo e 5,0 m/s para a velocidade inicial da argila. É possível manter as massas em gramas porque elas aparecem na mesma equação e, portanto, a unidade de massa se cancela ao isolar a velocidade.

Assim, imediatamente após a colisão, o conjunto argila-tijolo move-se horizontalmente com velocidade de 1 m/s, no mesmo sentido do movimento inicial da argila. Portanto, a alternativa correta é d) 1 m/s.

Como os dois carros permanecem unidos após a colisão, trata-se de uma colisão perfeitamente inelástica. Nesse tipo de choque, a quantidade de movimento linear do sistema se conserva, embora parte da energia cinética possa ser transformada em outras formas de energia.

Considerando o sentido do movimento do carro que provocou o acidente como positivo, temos:

• massa do primeiro carro: 2.000 kg;
• velocidade inicial do primeiro carro: v₁, que é a grandeza procurada;
• massa do segundo carro: 1.500 kg;
• velocidade inicial do segundo carro: 0 km/h, pois ele estava parado;
• velocidade final dos dois carros unidos: 20 km/h.

Por conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois dela:

\[Q_{\text{antes}} = Q_{\text{depois}}\] \[m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = \left(m_{1} + m_{2}\right) v_{f}\] \[2000 v_{1} + 1500 \cdot 0 = \left(2000 + 1500\right) \cdot 20\] \[2000 v_{1} = 70000\] \[v_{1} = 35 k m / \text{h}\]

Na substituição, o termo 1.500 · 0 é nulo porque o segundo carro estava inicialmente em repouso. Depois, as massas são somadas porque, após o choque, os dois veículos passam a se mover juntos. Assim, a quantidade de movimento final é calculada usando a massa total de 3.500 kg e a velocidade comum de 20 km/h.

Da igualdade 2.000 v₁ = 70.000, divide-se ambos os lados por 2.000 para isolar a velocidade inicial do primeiro carro. O resultado é v₁ = 35 km/h.

Portanto, a velocidade mais próxima da velocidade do carro que provocou o acidente no momento da colisão é 35 km/h, correspondente à alternativa a).

Como a superfície é sem atrito, não há força externa resultante na direção do movimento. Portanto, a quantidade de movimento linear do sistema formado pelos blocos A e B se conserva durante a colisão.

Inicialmente, apenas o bloco A possui movimento. Depois da colisão, o bloco B passa a ter velocidade de 2,0 m/s, enquanto o bloco A adquire uma velocidade final, indicada por v_A′. Como os blocos têm a mesma massa, podemos cancelar essa massa na equação da conservação da quantidade de movimento:

\[Q_{\text{antes}} = Q_{\text{depois}}\]

Substituindo as velocidades inicial e final na relação anterior, temos a quantidade de movimento inicial do bloco A igual à soma das quantidades de movimento finais dos blocos A e B. Como as massas são idênticas, elas se cancelam:

\[\cancel{m } v_{A} = \cancel{m} v_{B} + \left(v_{A}\right)^{'}\]

Usando v_A = 3,0 m/s e v_B = 2,0 m/s, obtemos:

\[3 = 2 + \left(v_{A}\right)^{'}\]

Isolando a velocidade final do bloco A, subtraímos 2 de ambos os lados da igualdade:

\[v = 1 \text{m} / \text{s}\]

Assim, a velocidade final do bloco A tem módulo de 1,0 m/s. Para determinar a razão entre sua energia cinética final e sua energia cinética inicial, usamos a expressão da energia cinética:

A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é dada por \(\frac{m v^{2}}{2}\). Como a massa do bloco A e o fator 2 aparecem tanto na energia final quanto na inicial, eles se cancelam na razão. Dessa forma, resta a razão entre os quadrados das velocidades:

\[\frac{\left(E_{A}\right)^{'}}{E_{A}} = \frac{\frac{\cancel{m} v_{A} '^{2}}{\cancel{2}}}{\frac{\cancel{m} v_{A} '^{2}}{\cancel{2}}} = \left(\frac{\left(v_{A}\right)^{'}}{v_{A}}\right)^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\]

Logo, a energia cinética final do bloco A corresponde a 1/9 de sua energia cinética inicial. Portanto, a alternativa correta é b) 1/9.

Para determinar o instante do choque, é necessário que as partículas ocupem a mesma posição. Como cada posição é dada por duas coordenadas, isso exige que as coordenadas \(x\) sejam iguais entre si e que as coordenadas \(y\) também sejam iguais. Em termos das posições vetoriais, impõe-se S_A = S_B:

\[\begin{cases} x_{A} = x_{B} \\ y_{A} = y_{B} \end{cases}\] \[\begin{array}{l}\begin{cases} t^{2} – 9 t + 13 = – 2 t + 3 \\ t – 2 = t^{2} – 7 t + 13 \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2} – 7 t + 10 = 0 \\ t^{2} – 8 t + 15 = 0 \end{cases}\end{array}\]

A primeira equação resulta da igualdade das coordenadas horizontais, enquanto a segunda resulta da igualdade das coordenadas verticais. É necessário que o mesmo valor de t satisfaça simultaneamente às duas equações. No intervalo considerado, o único instante que atende às duas condições é t = 5 s, que corresponde ao instante do choque.

As velocidades são obtidas derivando cada coordenada da posição em relação ao tempo. Assim, a derivada da coordenada x fornece a componente da velocidade na direção î, e a derivada da coordenada y fornece a componente na direção ĵ:

\[\begin{cases} v_{A} = \frac{dS_{A}}{dt} = \left(2 t – 9\right) \hat{i} + \hat{j} \\ v_{B} = \frac{dS_{B}}{dt} = – 2 \hat{i} + \left(2 t – 7\right) \hat{j} \end{cases}\]

Substituindo o instante do choque, t = 5 s, nas expressões das velocidades, obtêm-se as componentes instantâneas:

\[\begin{cases} v_{A} = \left(\hat{i} + \hat{j}\right) m / \text{s} \\ v_{B} = \left(- 2 \hat{i} + 3 \hat{j}\right) m / \text{s} \end{cases}\]

Em uma colisão elástica, a quantidade de movimento total é conservada. Como as massas das partículas são iguais, a quantidade de movimento total é proporcional à soma dos vetores velocidade. Portanto, a soma das velocidades imediatamente após o choque possui o mesmo módulo que a soma imediatamente antes do choque. Dessa forma, basta calcular essa soma com as velocidades determinadas no instante do encontro:

\[\left|\overset{\rightarrow}{v_{A}} + \overset{\rightarrow}{v_{B}}\right| = \sqrt{\left(\hat{i} + \hat{j}\right) + \left(- 2 \hat{i} + 3 \hat{j}\right)}\]

Somam-se separadamente as componentes nas direções î e ĵ. A componente na direção î é 1 − 2 = −1, e a componente na direção ĵ é 1 + 3 = 4. Logo:

\[\left|\overset{\rightarrow}{v_{A}} + \overset{\rightarrow}{v_{B}}\right| = \sqrt{- \hat{i} + 4 \hat{j}} = \sqrt{\left(- 1\right)^{2} + 4^{2}}\]

O módulo de um vetor no plano é calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes. Assim, o valor encontrado é:

\[\left|\overset{\rightarrow}{v_{A}} + \overset{\rightarrow}{v_{B}}\right| = \sqrt{17} m / \text{s}\]

Portanto, o módulo da soma dos vetores velocidade imediatamente após o choque é √17 m/s. A alternativa correta é a d).

Na colisão apresentada, o choque é classificado como parcialmente inelástico. Isso significa que a energia cinética total do sistema não se conserva integralmente: parte dela é transformada em outras formas de energia, como energia térmica, sonora ou energia associada a deformações. Entretanto, durante a colisão, o momento linear do sistema pode ser conservado quando o impulso resultante das forças externas é desprezível.

O critério que caracteriza o tipo de colisão é o coeficiente de restituição, representado por e. Ele é definido pela razão entre o módulo da velocidade relativa de afastamento após a colisão e o módulo da velocidade relativa de aproximação antes da colisão:

\[e = \left|\frac{v_{\text{final}}^{\text{rel}}}{v_{\text{inicial}}^{\text{rel}}}\right| \overset{0 <</mo>e<</mo>1}{\rightarrow} \left|v_{\text{final}}^{\text{rel}}\right| <</mo>|vinicialrel|\]

Nessa expressão, v_{rel inicial} é a velocidade relativa de aproximação dos corpos antes da colisão, enquanto v_{rel final} é a velocidade relativa de afastamento depois da colisão. Para uma colisão parcialmente inelástica, o coeficiente de restituição está entre zero e um. Portanto, a velocidade relativa final tem módulo menor que o módulo da velocidade relativa inicial.

Assim, a alternativa c) está correta: a velocidade relativa final entre os corpos é menor que a inicial.

As demais alternativas estão incorretas porque, em uma colisão parcialmente inelástica, a energia cinética do sistema não se conserva e a energia cinética final não é maior que a inicial. Além disso, a gravidade, ou melhor, a aceleração da gravidade, não determina se a colisão é elástica ou inelástica; essa classificação depende da conservação da energia cinética e do valor do coeficiente de restituição.

Como a colisão é perfeitamente inelástica, a energia mecânica associada ao movimento da bola não é recuperada após o impacto. Assim, toda a energia mecânica inicial da bola é dissipada na colisão, na forma de deformações, aquecimento, som e outros efeitos internos.

A energia mecânica inicial é a soma da energia cinética adquirida no arremesso com a energia potencial gravitacional da bola. O trabalho adicional realizado pela pessoa corresponde à energia cinética da bola e vale 10 cal. A energia potencial gravitacional depende da massa da bola, da aceleração da gravidade e da altura total em relação ao solo.

A altura total da bola é a altura da pessoa somada à elevação adicional acima da cabeça:

A altura da pessoa é 1,70 m e a bola é elevada mais 0,40 m. Portanto, a altura considerada é 2,10 m. Como a energia potencial gravitacional será calculada inicialmente em joules, o trabalho de 10 cal também deve ser convertido para joules usando 1 cal = 4,2 J. Entretanto, na expressão original, o termo correspondente ao trabalho de arremesso é mantido em calorias, enquanto a energia potencial é dividida por 4,2 para também ser expressa em calorias.

Assim, a energia dissipada pode ser escrita como a soma da energia cinética inicial e da energia potencial gravitacional:

\[E_{\text{dis}} = E_{\text{cin}} + E_{\text{pot}} = E_{\text{cin}} + mgH\] \[E_{\text{dis}} = 10 + \frac{6 \cdot 10 \cdot \left(1.7 + 0.4\right)}{4.2} = 10 + 30\] \[\boxed{ E_{\text{dis}} = 40 cal}\]

Na substituição, foram usados m = 6 kg, g = 10 m/s² e H = 1,70 m + 0,40 m. O termo gravitacional resulta em 30 cal, que, somado às 10 cal de energia fornecida no arremesso, produz 40 cal.

Portanto, a energia total dissipada na colisão é de 40 cal, correspondente à alternativa d).

Como as duas esferas têm massas iguais, seja m a massa de cada uma. Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica da esfera 1 conserva-se durante sua descida até o instante imediatamente anterior à colisão. Nesse ponto, a energia potencial gravitacional associada à altura h foi convertida em energia cinética.

A conservação da energia mecânica é expressa por:

\[E_{\text{mec}}^{i} = E_{\text{mec}}^{f}\] \[\cancel{m} gh = \frac{\cancel{m} v^{2}}{2}\] \[= v = \sqrt{2 gh}\]

Na primeira igualdade, a energia potencial gravitacional é mgh, em que g é a aceleração da gravidade e h é a altura inicial. A energia cinética imediatamente antes da colisão é mv²/2. A massa aparece nos dois lados e pode ser cancelada, resultando em v igual à raiz quadrada de 2gh.

Durante a colisão, as esferas permanecem unidas. Embora a colisão não seja perfeitamente elástica e, portanto, a energia mecânica não se conserve nesse intervalo, a quantidade de movimento do sistema conserva-se, pois as forças externas resultantes na direção do movimento podem ser desprezadas. Antes da colisão, apenas a esfera 1 possui velocidade, enquanto a esfera 2 está em repouso. Depois da colisão, as duas esferas, juntas, movem-se com a mesma velocidade v’.

Aplicando a conservação da quantidade de movimento:

\[\text{Q}_{\text{sist}}^{\text{antes}} = Q_{\text{sist}}^{\text{depois}}\] \[\cancel{m} v = 2 \cancel{m} v^{'}\] \[v^{'} = \frac{v}{2}\] \[v^{'} = \frac{\sqrt{2 gh}}{2}\]

O lado esquerdo representa a quantidade de movimento antes da colisão: a esfera 1 tem massa m e velocidade v, enquanto a esfera 2, em repouso, tem quantidade de movimento nula. No lado direito, a massa total do conjunto é 2m, pois as duas esferas ficam unidas, e ambas possuem a velocidade comum v’. Cancelando a massa m, obtém-se v’ = v/2. Substituindo o valor de v encontrado anteriormente, resulta na última expressão.

Após a colisão, as duas esferas unidas sobem juntas. A partir desse instante, desprezando novamente a resistência do ar, a energia mecânica do conjunto conserva-se. A energia cinética inicial do conjunto transforma-se em energia potencial gravitacional quando ele atinge a altura máxima h’, momento em que sua velocidade é zero.

Usando a velocidade imediatamente após a colisão:

\[\begin{array}{l}\text{E}_{\text{mec}}^{i} = E_{\text{mec}}^{f} \\ \cancel{2 \text{m}} v^{2} = \frac{\cancel{2 \text{m}} v^{2}}{2} \\ h^{′} = \frac{v^{2}}{2 \text{g}} \\ h^{′} = \frac{\left(\frac{\sqrt{2 gh}}{2}\right)^{2}}{2 \text{g}}\end{array}\] \[h^{'} = \frac{\cancel{2 \text{g}} h/4}{\cancel{2 \text{g}}}\] \[h^{'} = \frac{h}{4}\]

Na primeira expressão, a massa total do sistema é 2m, e sua energia cinética é calculada com a velocidade comum após a colisão. Ao atingir a altura máxima, essa energia transforma-se em energia potencial gravitacional. Substituindo v’ = v/2 e, depois, v = √(2gh), os fatores de massa e de gravidade se cancelam, restando h’ = h/4.

Portanto, a altura máxima atingida pelas duas esferas unidas é h/4. A alternativa correta é b).

No que diz respeito à energia mecânica, o enunciado estabelece que as forças dissipativas devem ser desprezadas. Em um cenário físico onde não há resistência do ar ou atrito significativo para converter parte da energia em calor, a energia mecânica total do sistema se mantém inalterada ao longo de todo o processo de movimento e colisão.

Quanto à quantidade de movimento, a condição de que os choques entre as esferas sejam perfeitamente elásticos assegura a conservação dessa grandeza física. Como não há perda de energia cinética durante os impactos e o sistema opera sob essas premissas ideais, o momento linear total do conjunto permanece constante durante as interações.