Exercícios de Energia Cinética e Potencial com resolução comentada

Primeiro, determina-se a distância total percorrida pelo veículo. Como a velocidade escalar média é de 50 km/h e a viagem dura 2 h, aplica-se a relação entre distância, velocidade média e intervalo de tempo:

\[Δs = v_{m} \cdot Δt = 50 \text{km} / \text{h} \cdot 2 \text{h}\] \(Δs = 100 \text{km}\)

A unidade hora é cancelada nessa multiplicação, restando a unidade de distância, quilômetro. Portanto, o veículo percorre 100 km durante a viagem.

O veículo percorre, em média, 10 km com 1 litro de gasolina. Assim, o volume de combustível consumido é obtido dividindo-se a distância total pelo consumo por litro:

\[V = \frac{distância}{consumo} = \frac{100 \text{km}}{10 \text{km} / L}\] \(V = 10 L\)

Logo, são consumidos 10 L de gasolina. Para determinar a energia liberada pela combustão, é necessário converter esse volume em massa, utilizando a densidade da gasolina, que é 0,7 kg/L.

A energia de combustão da gasolina é 4 × 10⁷ J/kg, isto é, cada quilograma de gasolina libera essa quantidade de energia quando sofre combustão completa. Como apenas 1% dessa energia é utilizada para mover o motorista, multiplica-se a energia total pelo fator 1/100:

\[E = E_{c} \cdot \mu_{\text{gas}} \cdot V_{\text{gas}} \cdot \eta = 4 \times 10^{7} \frac{J}{kg} \cdot 0.7 \frac{kg}{L} \cdot 10 L \cdot \frac{1}{100}\] \[E = 28 \times 10^{5} \text{J}\]

Na expressão, a unidade litro se cancela entre a densidade, em kg/L, e o volume, em L. Em seguida, o quilograma também se cancela com a unidade kg da energia de combustão, restando joule, que é a unidade de energia. Assim, a energia efetivamente utilizada para mover o motorista é 28 × 10⁵ J.

Se toda essa energia fosse integralmente convertida em energia potencial gravitacional, pode-se igualar a energia disponível à energia potencial gravitacional do motorista. A energia potencial gravitacional de uma massa m, situada a uma altura h em relação ao solo, é dada por:

\(\text{E}_{\text{pg}} = m \cdot g \cdot h\)

Nessa relação, m é a massa do motorista, g é a aceleração da gravidade e h é a altura atingida. Como a energia utilizada é integralmente transformada em energia potencial gravitacional, tem-se E_pg = 28 × 10⁵ J. Isolando h, divide-se a energia pelo produto da massa pela aceleração da gravidade:

\[h = \frac{E_{\text{pg}}}{m \cdot g} = \frac{28 \times 10^{5} \text{J}}{70 \text{kg} \cdot 10 \text{m} / s^{2}}\] \[h = 4000 \text{m}\]

Para determinar a função que modela a altura da maré, identificamos inicialmente os valores máximo e mínimo registrados no quadro: 2,22 m e 0,38 m, respectivamente. Como a função é do tipo cosseno, o parâmetro A representa a amplitude, B determina a periodicidade, C indica o deslocamento horizontal associado ao horário da maré mais alta e D representa a altura média.

Obtendo os parâmetros, temos:

\[A = \frac{h_{\text{m}\acute{a}\text{x}} – h_{\text{m}\acute{i}\text{n}}}{2} = \frac{2.22 – 0.38}{2} = 0.92\] \[B = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6}\] \[cos \left[B \left(t – C\right)\right] = 1\] \[t – C = 0\] \[C = t = 4 \text{h} 47 \text{min} \cong 4.78\] \[D = \frac{h_{\text{m}\acute{a}\text{x}} + h_{\text{m}\acute{i}\text{n}}}{2} = \frac{2.22 + 0.38}{2} = 1.30\]

A amplitude é obtida pela metade da diferença entre as alturas máxima e mínima. Portanto, A = 0,92. O período informado é de 12 horas; assim, pela relação B = 2π/T, obtemos B = π/6.

Para que a função cosseno atinja seu valor máximo, é necessário que o argumento do cosseno seja zero, pois cos(0) = 1. A maré mais alta ocorre às 4 h 47 min, que corresponde aproximadamente a 4,78 h. Por isso, C = 4,78. Finalmente, a altura média entre os valores máximo e mínimo é D = 1,30.

Portanto, a função h é dada por:

\[h \left(t\right) = 0.92 \cdot cos \left(\frac{\pi}{6} \left(t – 4.78\right)\right) + 1.30\]

Nessa expressão, o termo 0,92 é a amplitude, π/6 está relacionado ao período de 12 horas, 4,78 desloca a função para que o máximo ocorra no horário observado e 1,30 é a altura média da maré.

No horário da maré mais alta, a altura do zooplâncton é a altura máxima registrada, isto é, h_máx = 2,22 m. A energia potencial gravitacional é calculada pela relação E_p = mgh, em que m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h é a altura em relação ao nível de referência. Usando os valores fornecidos, temos:

\[E_{p} = mgh_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = 0.001 \cdot 10 \cdot 2.22\] \[E_{p} = 2.22 \cdot 10^{- 2} \text{J}\]

Logo, a energia potencial gravitacional do zooplâncton no horário da maré mais alta é 2,22 × 10⁻² J. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Análise das afirmativas

[I] Verdadeira. No lançamento vertical para cima, desprezando a resistência do ar, a velocidade diminui uniformemente devido à aceleração da gravidade. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade instantânea do objeto é zero. Portanto, o tempo necessário para atingir a altura máxima é obtido pela relação entre a velocidade inicial e a aceleração da gravidade:

\[t = \frac{v}{g}\]

Nessa expressão, v é o módulo da velocidade inicial e g é o módulo da aceleração da gravidade do local. Como a gravidade lunar é menor, o objeto demora mais tempo para ter sua velocidade reduzida a zero. Para a Lua e a Terra, respectivamente:

\[t_{L} = \frac{v}{g_{L}} – \underset{―}{g_{L}} = – g_{T} / 6 \overset{\rightarrow}{} t_{L} = 6 \frac{v}{g_{T}}\] \[t_{T} = \frac{v}{g_{T}}\]

Assim, o tempo de subida na Lua é seis vezes maior que o tempo de subida na Terra. A altura atingida pode ser calculada pela função horária da posição, considerando que o objeto parte da superfície, isto é, com altura inicial igual a zero:

\[h = h_{0} + v \cdot t – \frac{g}{2} t^{2} \overset{h_{0}}{} = 0 \text{h} = v \cdot t – \frac{g}{2} t^{2} \overset{t = – \frac{v}{\rightarrow}}{\rightarrow} h = \frac{v^{2}}{2 \text{g} }\]

Substituindo a aceleração da gravidade de cada astro nessa expressão, obtêm-se as alturas máximas:

\[h_{T} = \frac{v^{2}}{2 g_{T}} g_{L}\] \[h_{L} = \frac{v^{2}}{2 g_{L}} \overset{gL = gt / 6}{\rightarrow} h_{L} = 6 \frac{v^{2}}{2 g_{T}} = 6 h_{T }\]

Como a velocidade inicial tem o mesmo módulo nas duas experiências e a gravidade lunar é seis vezes menor, a altura máxima na Lua é seis vezes maior. Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

[II] Falsa. A variação da energia potencial gravitacional durante a subida é determinada pelo produto entre a massa do objeto, a aceleração da gravidade e a variação de altura:

\[ΔE_{\text{pg}} = mgh ,\]

Na Lua, a aceleração da gravidade vale um sexto da aceleração terrestre, mas a altura alcançada é seis vezes maior. Portanto, esses dois fatores se compensam: a redução da gravidade é compensada pelo aumento da altura. Como a massa do objeto é a mesma nas duas experiências, a variação da energia potencial gravitacional é igual na Terra e na Lua, e não maior na Lua.

Logo, a afirmativa II é falsa.

[III] Verdadeira. A energia mecânica corresponde à soma das energias cinética e potencial gravitacional. Como não há atrito ou qualquer outra força dissipativa, a energia mecânica se conserva durante cada lançamento. Além disso, nas duas experiências o objeto é lançado com a mesma velocidade inicial e possui a mesma massa; portanto, a energia cinética inicial é igual nos dois casos. No ponto de altura máxima, a velocidade é nula, de modo que a energia cinética final também é igual nos dois lançamentos.

Como visto na afirmativa II, a variação da energia potencial gravitacional também é a mesma nas duas situações. Consequentemente, a variação da energia mecânica é igual na Lua e na Terra. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.

As afirmativas corretas são I e III. Portanto, a resposta é c) Apenas I e III.

Para compreender a evolução temporal das energias no sistema descrito, é necessário analisar o comportamento de cada componente energético individualmente ao longo dos três instantes fundamentais: t = 0, t_a e t_f.

No instante inicial t = 0, o elástico encontra-se em sua máxima extensão para impulsionar a pedra, o que significa que a energia potencial elástica atinge seu valor máximo nesse momento. À medida que o tempo avança e o elástico retorna à sua posição de equilíbrio, essa energia diminui progressivamente até chegar a zero no instante t_a, quando a pedra finalmente se desprende do dispositivo e não há mais deformação elástica atuando.

No momento t = 0, a pedra ainda está sendo acelerada pelo estilingue, mas sua velocidade é nula ou muito baixa. Quando o elástico termina de empurrá-la no instante t_a, a pedra atinge sua velocidade máxima, resultando no pico da energia cinética. Após esse ponto, durante a subida vertical, a força da gravidade atua de forma contrária ao movimento, reduzindo a velocidade da pedra gradualmente até que ela se torne nula no ponto mais alto da trajetória, ou seja, no instante t_f.

No início do processo (t = 0), a pedra está em sua posição mais baixa, apresentando o valor mínimo de energia potencial gravitacional. Conforme ela é lançada e sobe verticalmente, sua altitude aumenta continuamente até atingir o ápice do lançamento no instante t_f. Portanto, a energia potencial gravitacional cresce de forma constante durante todo o percurso de subida.

O gráfico correto deve mostrar uma curva descendente para a energia elástica (partindo do máximo e indo a zero em t_a), uma curva que atinge o ápice em t_a e decai até t_f para a energia cinética, e uma curva ascendente que culmina em t_f para a energia potencial gravitacional. Esse comportamento conjunto é representado fielmente pelas curvas apresentadas na alternativa C.

Inicialmente, determinamos a velocidade escalar média do feixe de elétrons no referencial do laboratório. O enunciado informa que o trajeto corresponde a uma circunferência de aproximadamente 520 metros e que o intervalo temporal necessário para completar essa volta é de 1,7 microssegundos. Aplicando a definição fundamental da cinemática, dividimos o comprimento percorrido pelo tempo gasto.

\[v_{f} = \frac{520 m}{1.7 \cdot 10^{- 6} s} \cong 3 \cdot 10^{8} m / \text{s}\]

Com a velocidade do feixe estabelecida, passamos à análise do veículo terrestre. A questão impõe que ele possua exatamente a mesma energia cinética do sistema relativístico. Para operar com as unidades do Sistema Internacional, convertemos o valor energético de gigaelétron-volts para joules, multiplicando-o pelo fator de equivalência fornecido. A relação entre energia cinética, massa e velocidade segue a expressão clássica da mecânica.

\[E_{c} = \frac{\left(mv_{c}\right)^{2}}{2}\]

Substituímos agora os valores numéricos conhecidos na equação energética. O produto da energia em elétron-volts pelo fator de conversão deve ser igual ao termo que envolve a massa do automóvel e o quadrado de sua velocidade, tudo dividido por dois.

\[3 \cdot 10^{9} \cdot 1.6 \cdot 10^{- 19} = \frac{960 \left(v_{c}\right)^{2}}{2}\]

Isolando a incógnita desejada, realizamos as manipulações algébricas necessárias. A extração da raiz quadrada da expressão simplificada revela que a velocidade do carro é extremamente baixa na escala física comparativa.

\[v_{c} = \sqrt{1 \cdot 10^{- 12}}\] \[v_{c} = 1 \cdot 10^{- 6} m / \text{s}\]

Por fim, calculamos o quociente entre a magnitude da velocidade do feixe e a do carro. A divisão direta dos dois valores obtidos anteriormente nos conduz ao resultado final.

\[\frac{v_{f}}{v_{c}} = \frac{3 \cdot 10^{8}}{1 \cdot 10^{- 6}} = 3 \cdot 10^{14}\]

A energia cinética é a energia associada ao movimento de um corpo. Para calculá-la, utiliza-se a massa do automóvel e sua velocidade, desde que essas grandezas estejam expressas no Sistema Internacional de Unidades: massa em quilogramas e velocidade em metros por segundo.

A velocidade fornecida é 90 km/h. Para convertê-la para metros por segundo, divide-se o valor por 3,6, pois 1 m/s = 3,6 km/h:

\[v = \frac{90}{3.6} = 25 \text{m} / \text{s}\]

Assim, a velocidade do carro é igual a 25 m/s. A expressão da energia cinética é E_c = mv²/2, em que m representa a massa do corpo, em quilogramas, e v representa sua velocidade, em metros por segundo. O fator 1/2 indica que o produto da massa pelo quadrado da velocidade deve ser dividido por dois.

Substituindo a massa do automóvel, de 900 kg, e a velocidade convertida, de 25 m/s, na expressão da energia cinética, obtém-se:

\[E_{c} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{900 \cdot 25^{2}}{2}\]

Primeiro, calcula-se o quadrado da velocidade: 25² = 625. Em seguida, multiplica-se esse resultado pela massa, 900, e divide-se o produto por 2. O resultado é expresso em joules, unidade do Sistema Internacional para energia:

\[E_{c} = 281250 \text{J}\]

Portanto, a energia cinética do automóvel é 281250 J. Logo, a alternativa correta é a c).

A energia potencial gravitacional de um objeto próximo à superfície de um planeta é expressa por:

\[E_{p} = m g h\]

Nessa relação, E_p representa a energia potencial gravitacional, m é a massa do objeto, g é a aceleração gravitacional do planeta e h é a altura em relação ao nível de referência.

O objeto é o mesmo em todos os casos, portanto sua massa permanece constante. Além disso, o enunciado informa que ele está à mesma altura h em cada planeta. Assim, os fatores m e h são iguais para todas as situações. Consequentemente, a energia potencial gravitacional varia diretamente com a aceleração gravitacional g: quanto maior a energia potencial indicada no gráfico para uma mesma altura, maior é a aceleração gravitacional correspondente.

Para a altura considerada, o planeta W é aquele associado ao maior valor de energia potencial gravitacional. Portanto, é nele que o objeto está submetido à aceleração gravitacional mais intensa.

Resposta: alternativa A — planeta W.

O funcionamento de uma usina hidrelétrica baseia-se na conversão de diferentes formas de energia para a geração de eletricidade. No cenário descrito pelo enunciado, o foco está no estado da água enquanto ela permanece armazenada na represa, antes de iniciar seu deslocamento em direção às turbinas.

Quando um corpo possui uma determinada massa e está posicionado a uma altura específica em relação a um referencial, ele armazena uma capacidade de realizar trabalho devido à influência do campo gravitacional da Terra. Essa propriedade física é denominada energia potencial gravitacional. No caso das hidrelétricas, o represamento da água cria um desnível vertical significativo entre o nível do reservatório e as turbinas localizadas na base da estrutura.

Portanto, a grandeza que caracteriza a energia disponível no volume de água estagnada na parte superior da represa é justamente a energia potencial gravitacional. Essa energia será posteriormente convertida em energia cinética durante a queda d’água e, em seguida, transformada em energia mecânica para movimentar os geradores.

Como não há atrito entre a criança e o escorregador, nenhuma parte da energia mecânica é dissipada. Portanto, a energia mecânica permanece constante durante a descida.

No topo do escorregador, ponto A, a criança parte do repouso. Assim, sua velocidade inicial é nula e sua energia cinética nesse ponto é zero. A energia mecânica inicial é, portanto, apenas a energia potencial gravitacional. Ao chegar à base, ponto B, tomando o chão como nível de referência, a energia potencial gravitacional é zero, e a energia mecânica corresponde à energia cinética.

Aplicando a conservação da energia mecânica entre os pontos A e B:

\[E_{M \left(A\right)} = E_{M \left(B\right)}\]

Como a energia cinética é nula no topo e a energia potencial gravitacional é nula no chão, a igualdade anterior se reduz à transformação integral da energia potencial gravitacional em energia cinética:

\[E_{pg \left(A\right)} = E_{c \left(B\right)}\] \[\cancel{m} gh = \frac{\cancel{m} v^{2}}{2}\]

Nessa expressão, m representa a massa da criança, g é a aceleração da gravidade, h é a altura do topo em relação ao chão e v é a velocidade de chegada. A massa aparece nos dois membros e pode ser cancelada, pois é diferente de zero. Isso mostra que, nesse caso ideal sem atrito, a velocidade final não depende da massa da criança.

Depois do cancelamento da massa, isolamos a velocidade. Para isso, multiplicamos os dois lados por 2 e extraímos a raiz quadrada positiva, pois se procura a velocidade escalar:

\[v = \sqrt{2 gh}\]

Substituindo a aceleração da gravidade, g = 10 m/s², e a altura, h = 2,45 m:

\[v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{m} / s^{2} \cdot 2.45 \text{m}}\]

O produto dentro da raiz resulta em 49 m²/s². A raiz quadrada dessa unidade é m/s, que corresponde à unidade de velocidade, e o valor numérico da raiz é 7:

\[v = 7 \text{m} / \text{s}\]

Logo, a velocidade escalar de chegada da criança ao chão é 7 m/s. Portanto, a alternativa correta é d).

A velocidade máxima ocorre no ponto mais baixo da bacia, quando toda a energia potencial gravitacional associada à altura inicial foi convertida em energia cinética. Para obter essa velocidade máxima, considera-se que não há perdas de energia por forças dissipativas, como o atrito entre o skate e a pista e a resistência do ar.

1ª Resolução:

Desprezando as forças dissipativas, o sistema pode ser considerado conservativo. Isso significa que a energia mecânica total permanece constante durante a descida:

A energia mecânica é a soma da energia cinética, associada ao movimento, com a energia potencial gravitacional, associada à altura. No ponto mais alto, identificado por A, o skatista parte do repouso; portanto, sua velocidade inicial é nula e sua energia cinética nesse ponto é igual a zero. Adotando o ponto mais baixo, identificado por B, como nível de referência, a energia potencial gravitacional em B também é igual a zero.

Assim, a conservação da energia mecânica é representada por:

\[\begin{array}{l}E_{\text{mec}}^{A} = E_{\text{mec}}^{B} \\ \overline{\left.\right)E_{\text{cin}}^{A}} + E_{\text{pot}}^{A} = = E_{\text{cin}}^{B} + = \overline{\left.\right)E_{\text{pot}}^{B}} \\ \bcancel{m} gh_{A} = \frac{\bcancel{m} v_{B}^{2}}{2}\end{array}\] \[\begin{array}{l}v_{B} = \sqrt{2 gh_{A}} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2.45} = \sqrt{49} \\ v_{B} = 7 \text{m} / \text{s}\end{array}\]

Nessa expressão, m representa a massa do skatista e do skate, g é a aceleração da gravidade, h_A é a altura do ponto de partida em relação ao ponto mais baixo e v_B é a velocidade no ponto mais baixo. A massa aparece nos dois lados da igualdade e, por isso, é cancelada. Substituindo g = 10 m/s² e h_A = 2,45 m, obtém-se a velocidade de 7 m/s.

2ª Resolução:

Também é possível resolver o problema pelo teorema da energia cinética. Durante a descida, considerando atrito e resistência do ar nulos, atuam sobre o sistema a força peso e a força normal exercida pela pista.

A força normal é perpendicular ao deslocamento instantâneo do skatista e, portanto, não realiza trabalho nesse trajeto. A força peso, por outro lado, possui componente na direção do movimento e realiza trabalho positivo durante a descida, aumentando a energia cinética do skatista.

Aplicando o teorema da energia cinética, segundo o qual o trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética:

\[\begin{array}{l}W_{\overset{\rightarrow}{R}} = ΔE_{\text{cin}} \\ W_{\overset{\rightarrow}{P}} + \overline{\left.\right)W_{\overset{\rightarrow}{N}}} = E_{\text{cin}}^{B} – \overline{\left.\right)E_{\text{cin}}^{A}} \\ Ph_{\text{AB}}^{+} = \frac{mv_{B}^{2}}{2}\end{array}\] \[\cancel{m} gh_{\text{AB}} = \frac{\cancel{m} v_{B}^{2}}{2}\] \[v_{B} = \sqrt{2 gh_{\text{AB}}} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2.45} = \sqrt{49}\] \[v_{B} = 7 \text{m} / \text{s}\]

Nessa segunda abordagem, h_AB é a diferença de altura entre os pontos A e B. Como essa diferença é 2,45 m, o trabalho realizado pela força peso transforma a energia potencial gravitacional perdida em energia cinética adquirida. O resultado coincide com o obtido pela conservação da energia mecânica.

Portanto, a máxima velocidade que o skatista poderia alcançar no ponto mais baixo da bacia é 7 m/s. Logo, a alternativa correta é c).