Exercícios de Potência Mecânica com resolução comentada

A eficiência do painel é determinada pela razão entre a potência elétrica útil gerada e a potência solar total incidente. Como ambas são potências, essa razão é equivalente à razão entre as energias correspondentes em um mesmo intervalo de tempo, pois o intervalo se cancela.

Primeiro, é necessário calcular a potência solar que chega ao painel. A intensidade da radiação solar é a potência incidente por unidade de área, portanto:

\[P_{\text{solar}} = I_{\text{solar}} \cdot A = 924 \cdot 2.5\] \[P_{\text{solar}} = 2310 \text{W} .\]

Nessa expressão, I_solar representa a intensidade da radiação solar, medida em watts por metro quadrado, e A representa a área do painel, medida em metros quadrados. Ao multiplicar essas grandezas, as unidades de área se cancelam, resultando em watts, unidade de potência. Assim, o painel recebe uma potência solar total de 2310 W.

A potência elétrica efetivamente produzida pelo painel é 462 W. Logo, a eficiência é a razão entre essa potência útil e a potência solar incidente:

\[e = \frac{P}{P_{\text{solar}}} = \frac{462}{2310} = \frac{1}{5} = 0.2\] \[e = 20 \% .\]

O valor decimal 0,2 corresponde a 20%, pois a conversão para porcentagem é feita multiplicando por 100. Portanto, o painel transforma 20% da energia solar incidente em energia elétrica.

Assim, a alternativa correta é b) 20%.

Como a energia total consumida pelo compressor em 30 dias é de 36,3 kWh, primeiro determinamos a energia consumida, em média, em apenas um dia. Para isso, dividimos a energia mensal pelo número de dias do mês:

\[36.3 kWh\] \[30 \text{dias}\] \[E\] \[1 \text{dia}\] \[E = \frac{36.3 kWh \cdot 1 \text{dia}}{30 \text{dias}} E = 1.21 kWh / dia\]

Assim, a energia média utilizada pelo compressor em cada dia é de 1,21 kWh. Para encontrar o tempo médio de funcionamento, usamos a relação entre energia, potência e intervalo de tempo. Essa relação é obtida pela definição de potência: a potência indica a quantidade de energia transferida ou consumida por unidade de tempo.

\[E = P \cdot \Delta t\] \[\Delta t = \frac{E}{P} = \frac{1.21 kWh}{110 \text{W}} = \frac{1210 Wh}{110 \text{W}}\] \[\Delta t = 11 \text{h}\]

Na primeira igualdade, a potência do compressor é representada por P, a energia consumida por E e o tempo de funcionamento por Δt. Isolando o tempo na relação E = P · Δt, dividimos a energia pela potência.

É necessário compatibilizar as unidades antes de efetuar a divisão. Como a potência foi fornecida em watts, a energia de 1,21 kWh é convertida para watt-hora: 1,21 kWh corresponde a 1210 Wh. Dessa forma, a divisão entre energia, em Wh, e potência, em W, produz diretamente um resultado em horas, pois Wh/W = h.

Também é possível obter o resultado diretamente pela análise dimensional, fazendo as conversões necessárias para que as unidades se cancelem:

\[Δt = \frac{36.3 \cancel{kW} h}{\cancel{mês}} \cdot \frac{\cancel{1 mês}}{30 dias} \cdot \frac{1000 \cancel{W}}{1 \cancel{kW}} \cdot \frac{1}{110 \cancel{W}}\] \[Δt = 11 \text{h}\]

Nessa forma, os meses e os watts são cancelados, a conversão de quilowatts para watts é realizada pelo fator 1000 e resta a unidade hora. Portanto, o tempo médio de funcionamento do compressor é de 11 horas por dia.

Logo, a alternativa correta é d) 11 h.

A potência é a razão entre a energia potencial gravitacional e o tempo dado, no caso a cada segundo. Assim, tem-se 5 kW que representa 5000 W de potência. Tomando-se a expressão para a energia potencial gravitacional e dividindo-se pelo tempo, tem-se como determinar a vazão de água por segundo, sabendo-se a massa de água e fazendo-se a transformação para litros, tendo em vista que 1 grama de água equivale a 1 centímetro cúbico ou ainda 1 kg de água é o mesmo que 1 litro, na temperatura e pressão normal.

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1. A.20.000 W.
2. B.40.000 W.
3. C.60.000 W.
4. D.10.000 W.
5. E.6.000 W.

Ver resposta e resolução da questão 4

Resposta: A

Para comparar a potência informada pelo fabricante com a potência desenvolvida durante o teste, é necessário determinar primeiro a velocidade média e a aceleração do carro. Considera-se, conforme o procedimento adotado na resolução, uma variação uniformemente acelerada da velocidade entre 0 e 30 m/s.

Velocidade média do carro:

A velocidade média, em um movimento com aceleração constante, é obtida pela média aritmética entre a velocidade inicial e a velocidade final. Como o carro parte do repouso, a velocidade inicial é 0 m/s, e a velocidade final é 30 m/s.

\[v = \frac{30 + 0}{2}\] \[v = 15 \text{m} / \text{s}\]

Assim, a velocidade média utilizada para calcular a potência durante o teste é 15 m/s.

Aceleração do carro:

A aceleração média mede a variação da velocidade por unidade de tempo. A velocidade variou de 0 m/s para 30 m/s durante um intervalo de 15 s.

\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{30 – 0}{15}\] \[a = 2 \text{m} / s^{2}\]

Portanto, a aceleração média do carro é 2 m/s².

Força desenvolvida pelo carro:

Pela segunda lei de Newton, a força resultante é o produto da massa pela aceleração. A massa do carro é 1200 kg e a aceleração calculada é 2 m/s².

\[F = m a = 1200 \cdot 2\] \[F = 2400 \text{N}\]

Logo, a força resultante associada à aceleração do carro é 2400 N.

Potência desenvolvida no teste:

A potência mecânica é dada pelo produto da força pela velocidade. Utilizando a força calculada e a velocidade média do carro, obtém-se:

\[P_{t} = F v = 2400 \cdot 15\] \[P_{t} = 36000 \text{W}\]

Assim, a potência desenvolvida no teste de aceleração é 36 000 W.

Potência prometida pelo fabricante:

O fabricante informa a potência em CV. Como 1 CV corresponde a 750 W, basta multiplicar a potência nominal, de 75 CV, pelo fator de conversão fornecido no enunciado.

\[P_{f f} = 75 \cdot 750\] \[P = 56250 \text{W}\]

Portanto, a potência prometida pelo fabricante é 56 250 W.

Diferença entre as potências:

O valor absoluto da diferença é obtido subtraindo a menor potência da maior. Como a potência prometida é 56 250 W e a potência determinada no teste é 36 000 W, resulta:

\[\Delta P = 56250 \text{W} – 36000 \text{W} = 20250 \text{W}\] \[\Delta P \cong 20000 \text{W}\]

A diferença exata é 20 250 W, que, entre as alternativas disponíveis, corresponde aproximadamente a 20 000 W. Portanto, a alternativa correta é a) 20.000 W.

Dados do problema:

A potência elétrica produzida é de 1000 kJ/s. Como 1 kJ = 1000 J, essa potência pode ser expressa em watts, lembrando que 1 W = 1 J/s:

\[Dados : P = 1.000 \frac{kJ}{s}\] \[P = 10^{6} \text{W} ; d = 1 \text{g} / cm^{3} = 10^{3} \text{kg} / m^{3} .\]

Assim, a potência é 10⁶ W. A densidade da água é convertida para o Sistema Internacional porque a vazão será determinada em metros cúbicos por segundo. Portanto, 1 g/cm³ corresponde a 10³ kg/m³. Também são dados a altura da queda, h = 20 m, e a aceleração da gravidade, g = 10 m/s².

A vazão volumétrica, indicada por z, representa o volume de água que escoa por unidade de tempo. Por isso, ela é dada pela razão entre a variação de volume e o intervalo de tempo:

A vazão (z) é a razão entre o volume escoado e o tempo:

\[z = \frac{ΔV}{Δt}\]

Para determinar a vazão, relacionamos a potência à energia potencial gravitacional liberada pela água durante a queda. A energia potencial gravitacional de uma massa m situada a uma altura h é dada por mgh. Como a potência é a energia transferida por unidade de tempo, a potência disponível é a energia potencial transformada em energia elétrica dividida pelo tempo.

Considerando, conforme solicitado na resolução, que toda a energia potencial gravitacional da água seja convertida em energia elétrica:

\[\begin{array}{l}P = \frac{ΔE_{\text{pot}}}{Δt} = \frac{Δmgh}{Δt} \\ P = \frac{dΔVgh}{Δt} \\ P = dzgh\end{array}\] \[z = \frac{P}{dgh} = \frac{10^{6}}{10^{3} \cdot 10 \cdot 20} = 10^{6}\] \[z = 5 m^{3} / \text{s}\]

Na expressão, a massa de água foi escrita como o produto entre a densidade e o volume, isto é, m = dΔV. Ao dividir o volume escoado pelo tempo, obtém-se a vazão z. Dessa forma, a potência fica proporcional à densidade da água, à aceleração da gravidade, à altura da queda e à vazão.

Substituindo os valores fornecidos, o denominador é 10³ · 10 · 20 = 2 · 10⁵. Portanto, a vazão necessária é:

\[z = 5 m^{3} / \text{s}\]

Logo, a vazão de água necessária para produzir a potência indicada é de 5 m³/s. Portanto, a alternativa correta é c).

A energia total transformada pelo corpo pode ser obtida a partir da definição de potência. A potência média é a razão entre a energia transformada e o intervalo de tempo correspondente:

\[P = \frac{ΔE}{Δt}\] \[ΔE = P Δt\]

Nessas expressões, \(P\) representa a potência, medida em watts, \(ΔE\) é a energia transformada, medida em joules, e \(Δt\) é o intervalo de tempo, medido em segundos. Assim, a energia correspondente a cada trecho é calculada multiplicando-se a potência pelo tempo de duração desse trecho.

Durante os primeiros 20 s, a pessoa caminhava com velocidade de 1,5 m/s. De acordo com o gráfico, nessa velocidade a potência produzida durante a caminhada é de 480 W. Em seguida, durante 10 s, a pessoa corria com velocidade de 2,5 m/s; para essa velocidade, o gráfico indica potência de 880 W.

Como a situação possui dois trechos distintos, a energia total é a soma das energias transformadas durante a caminhada e durante a corrida:

\[\begin{array}{l}ΔE = ΔE_{\text{and}} + ΔE_{\text{cor}} \\ ΔE = \left(\right. P Δt \left.\right)_{\text{and}} + \left(\right. P Δt \left.\right)_{\text{cor}} = 480 \cdot 20 + 880 \cdot 10\end{array}\] \[ΔE = 9.600 + 8.800\] \[ΔE = 18.400 \text{J}\]

Portanto, a energia transformada durante a caminhada foi de 9.600 J e, durante a corrida, de 8.800 J. Somando essas parcelas, obtém-se uma energia total de 18.400 J. Logo, a alternativa correta é a) 18.400 J.

Como toda a energia fornecida pelo sistema é absorvida pela água, a energia recebida pelo reservatório é integralmente convertida em calor sensível, isto é, no calor responsável por variar a temperatura da água sem alterar seu estado físico.

A potência indica a quantidade de energia transferida por unidade de tempo. Portanto, relacionando a energia E, o intervalo de tempo Δt e a potência P, temos:

\[P = \frac{E}{Δt}\] \[E = P \cdot Δt \left(1\right)\]

Nessa relação, a potência deve ser expressa em calorias por minuto, pois o equipamento fornece 25000 cal/min. Assim, o tempo calculado será obtido diretamente em minutos.

O calor sensível absorvido pela água depende de sua massa, do calor específico e da variação de temperatura. Essa relação é expressa por:

\[Q = m \cdot c \cdot \Delta T \left(2\right)\]

Na equação, Q é o calor absorvido, m é a massa da água, c é o calor específico e ΔT é a variação de temperatura entre o estado final e o estado inicial.

Como a densidade da água é igual a 1 g/cm³, 1 litro de água corresponde a aproximadamente 1 quilograma, ou 1000 gramas. Logo, os 200 litros de água correspondem a 200000 gramas. A variação de temperatura é obtida subtraindo a temperatura inicial da temperatura final, isto é, de 25°C para 75°C.

Como não há perdas de energia, a energia fornecida pelo sistema é igual ao calor absorvido pela água. Assim, igualamos as expressões (1) e (2):

\[\left(1\right) = \left(2\right)\] \[E = Q\] \[P \cdot Δt = m \cdot c \cdot ΔT\] \[Δt = \frac{m \cdot c \cdot ΔT}{P} = \frac{200 \times 10^{3} \text{g} \cdot 1 cal / \text{g} \circ C \cdot \left(\right. 75 – 25 \left.\right) \circ C}{25000 cal / \text{min}}\] \[Δt = 400 \text{min}\]

As unidades são compatíveis: o calor específico está em calorias por grama e grau Celsius, a massa está em gramas, a variação de temperatura em graus Celsius e a potência em calorias por minuto. Por isso, o resultado do tempo aparece em minutos.

Portanto, o tempo necessário para aquecer os 200 litros de água de 25°C até 75°C é de 400 minutos. A resposta correta é a alternativa e) 400 min.

A potência é a taxa de transferência de energia, isto é, a energia fornecida pelo motor por unidade de tempo. Como a potência máxima é de 50 kW, primeiro convertemos essa unidade para watts:

50 kW = 50 000 W = 50 000 J/s

Isso significa que, na condição indicada, o motor libera 50 000 joules a cada segundo. A rotação de 6000 rotações por minuto deve ser convertida para rotações por segundo. Como 1 minuto corresponde a 60 segundos:

6000 rotações por minuto = 100 rotações por segundo

Portanto, em um segundo, o motor realiza 100 voltas. A energia útil liberada em cada volta é obtida dividindo a energia liberada em um segundo pelo número de voltas realizadas nesse mesmo intervalo:

Utilizando análise dimensional para calcular a energia liberada por rotação:

\[E = 50.0 \bcancel{00} \frac{J}{\cancel{s}} \times \frac{6 \cancel{0} \cancel{s}}{6 . \bcancel{00 } \cancel{0} rot}\] \[E = 500 \text{J} / rot\]

Assim, a energia útil liberada pelo motor a cada volta é de 500 J.

O carro se desloca em trecho plano e retilíneo com velocidade constante. Nessas condições, sua aceleração é nula e, pela lei da inércia, a força resultante sobre o carro também é nula. Portanto, a força motriz do motor possui a mesma intensidade que a força total de resistência ao movimento, embora tenha sentido oposto.

A velocidade de 90 km/h deve ser convertida para o Sistema Internacional de Unidades:

90 km/h = 25 m/s

Considerando que o carro esteja desenvolvendo a potência máxima, usamos a relação entre potência, força e velocidade. Nessa expressão, P é a potência em watts, F é a força motriz em newtons e v é a velocidade em metros por segundo:

\[P_{o t} = F v\] \[50.000 = F \cdot 25\] \[F = 2 \times 10^{3} \text{N}\] \[\left( F\right)_{\text{resist}} = F\] \[F_{\text{resist}} = 2 \times 10^{3} \text{N}\]

Logo, a intensidade da força motriz é 2,0 × 10³ N. Como a velocidade é constante, a intensidade total das forças resistivas é igual à intensidade dessa força motriz:

F_resist = 2,0 × 10³ N

Portanto, os valores procurados são 500 J para a energia útil liberada a cada volta e 2,0 × 10³ N para a intensidade das forças resistivas. A alternativa correta é a letra B.

Para determinar o tempo de aquecimento, primeiro calculamos a quantidade de energia necessária para elevar a temperatura da água. A relação entre calor, massa, calor específico e variação de temperatura é dada por:

A massa de água deve ser convertida para gramas, pois o calor específico foi fornecido em calorias por grama e por grau Celsius. Como a massa específica da água é 1 g/cm³, 1 litro, que corresponde a 1000 cm³, possui massa igual a 1000 g, ou 1 kg. A variação de temperatura é a diferença entre a temperatura final e a inicial, isto é, 80 °C − 20 °C = 60 °C

\[E \left(c a l\right) = m \cdot c \cdot \Delta T = 1000 \text{g} \cdot 1 c a l / \text{g} \cdot ^{\circ} \text{C} \cdot \left(80 – 20\right)^{\circ} \text{C} \cdot\]

Nessa expressão, m representa a massa da água, c é o calor específico e ΔT é a variação de temperatura. Substituindo os valores, obtemos a energia em calorias:

\[E \left(c a l\right) = 60000 c a l\]

Como a potência do painel foi fornecida em watts, precisamos converter essa energia para joules. A relação fornecida é 1 cal = 4,2 J. Portanto, multiplicamos a energia em calorias por 4,2 joules por caloria:

\[E \left(J\right) = E \left(c a l\right) \cdot \frac{4.2 \text{J}}{1 c a l} = 60000 c a l \cdot \frac{4.2 \text{J}}{1 c a l}\]

As calorias aparecem tanto no numerador quanto no denominador e, por isso, são canceladas. Resta a unidade joule, que é a unidade de energia compatível com a potência expressa em watts:

\[E \left(J\right) = 252000 \text{J}\]

A potência indica a quantidade de energia transferida por unidade de tempo. Assim, utilizamos a relação entre potência, energia e tempo:

\[P = \frac{E \left(J\right)}{t}\]

Isolando o tempo, multiplicamos os dois lados da igualdade por t e, em seguida, dividimos por P. Como o painel fornece uma potência de 100 W, o tempo necessário é:

\[t = \frac{E \left(J\right)}{P} = \frac{252000 \text{J}}{100 \text{W}}\]

Como 1 W equivale a 1 J/s, a divisão de joules por watts fornece o tempo em segundos. Portanto:

\[t = 2520 \text{s} = 42 \text{min}\]

Desprezando as perdas de energia, o painel aquecerá 1 litro de água de 20 °C até 80 °C em 42 minutos. Portanto, a alternativa correta é d) 42 min.

Resolução

O texto informa que a capacidade instalada de energia eólica no Brasil atingiu 10 GW. Para determinar a energia produzida em um dia, utiliza-se a relação entre energia, potência e tempo: a energia elétrica é obtida multiplicando-se a potência da usina pelo intervalo de funcionamento.

Como o resultado deve ser expresso em kWh, a potência precisa ser convertida de gigawatts para quilowatts. Sabendo que 1 GW corresponde a 10⁹ W e que 1 kW corresponde a 10³ W, conclui-se que 1 GW equivale a 10⁶ kW. Portanto, uma potência de 10 GW corresponde a 10 vezes esse valor em quilowatts. Além disso, um dia possui 24 horas.

A substituição da potência convertida e do tempo de funcionamento na relação entre energia, potência e tempo é apresentada a seguir.

\[E = 10 G W \cdot \frac{10^{6} k W}{1 G W} \cdot 24 \text{h} .\]

Na expressão, o fator fracionário realiza a conversão de GW para kW. Assim, a unidade GW é cancelada, permanecendo a potência em kW. A multiplicação por 24 h incorpora o tempo de funcionamento contínuo durante um dia, fazendo com que a unidade final seja kWh.

Efetuando a multiplicação, obtém-se:

\[E = 2.4 \times 10^{8} k W h\]

Logo, supondo que toda a capacidade eólica instalada funcionasse ininterruptamente durante 24 horas, a energia produzida seria de 2,4 × 10⁸ kWh. Portanto, a alternativa correta é a c).