Exercícios de Conservação de Energia Mecânica com resolução comentada

O projétil é lançado com velocidade inicial v₀, formando um ângulo de 30° com a horizontal. Essa velocidade pode ser decomposta em duas componentes: uma horizontal, responsável pelo movimento horizontal, e outra vertical, responsável pela subida e descida do projétil.

No ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade torna-se nula, pois o projétil deixa de subir e passa, em seguida, a descer. A componente horizontal, por sua vez, permanece constante, já que não há aceleração horizontal. Assim, no ponto mais alto, a velocidade do projétil é apenas a componente horizontal:

No ponto mais alto de um lançamento oblíquo, a velocidade vertical é nula, restando apenas a componente horizontal constante \(v_{x} = v_{0} \cdot cos \left(30 \circ\right) .\)

Como a energia cinética depende do quadrado da velocidade, devemos utilizar a componente horizontal na expressão da energia cinética no ponto mais alto. Usando cos(30°) = √3/2, seu quadrado vale 3/4. Portanto:

Energia cinética no topo (E_c):

\[E_{c} = \frac{1}{2} \text{m} \cdot \left(v_{0} \cdot cos 30 \circ\right)^{2} = \frac{1}{2} mv_{0}^{2} \cdot \frac{3}{4} .\]

Para determinar a energia potencial gravitacional no ponto mais alto, considere como referência o ponto de lançamento, no solo. Durante a subida, a energia cinética associada à componente vertical da velocidade inicial é convertida em energia potencial gravitacional. No ponto mais alto, essa componente vertical da velocidade foi totalmente reduzida a zero; por isso, o aumento da energia potencial corresponde exatamente à energia cinética vertical inicial.

A componente vertical inicial é v₀ sen(30°). Como sen(30°) = 1/2, o quadrado dessa componente fornece o fator 1/4:

Energia potencial no topo (E_p):

Pela conservação da energia, a energia potencial no topo equivale à energia cinética da componente vertical inicial:

\[E_{p} = \frac{1}{2} \text{m} \cdot \left(v_{0} \cdot sen 30 \circ\right)^{2} = \frac{1}{2} mv_{0}^{2} \cdot \frac{1}{4} .\]

Agora, calculamos a razão entre as duas energias. Os fatores comuns ½, m e v₀² aparecem tanto no numerador quanto no denominador e, portanto, são cancelados. Resta comparar os fatores associados às componentes horizontal e vertical da velocidade:

\[\frac{E_{c}}{E_{p}} = \frac{3 / 4}{1 / 4} = 3\]

Logo, no ponto mais alto da trajetória, a energia cinética é três vezes a energia potencial gravitacional. Portanto, a alternativa correta é a) 3.

A resolução utiliza a conservação da energia mecânica e a condição de perda de contato entre a partícula e o bloco. Enquanto há contato, o bloco acompanha horizontalmente a partícula. Portanto, no instante em que o contato é perdido, as velocidades horizontais dos dois corpos são iguais.

Como o bloco se desloca apenas na horizontal, sua velocidade é horizontal. Já a partícula está presa à extremidade da barra e realiza movimento circular em torno do ponto de articulação. Assim, a velocidade da partícula é tangente à trajetória circular.

No instante em que ocorre a separação, a componente horizontal da velocidade da partícula deve ser igual à velocidade do bloco:

v_p,h = v_b

Para determinar o módulo da velocidade tangencial da partícula, analisamos as forças que atuam na direção radial, isto é, na direção da barra. No instante da perda de contato, a força normal entre a partícula e o bloco é nula. Além disso, a força que a barra exerce sobre a partícula tem direção coincidente com a própria barra.

A componente do peso na direção da barra é responsável pela aceleração centrípeta. Como a barra faz um ângulo θ com a horizontal, a componente do peso paralela à barra é dada por P · sen θ, em que P = mg. Portanto, a condição de equilíbrio das forças na direção radial é:

\[P \cdot sen \theta = F_{\text{cp}}\]

A força centrípeta tem módulo \(\frac{m v^{2}}{L}\). Substituindo P = mg na relação anterior, obtemos:

\[\cancel{m} g \cdot sen \theta = \frac{\cancel{m} v^{2}}{L}\]

A massa aparece nos dois lados da igualdade e, por isso, pode ser simplificada. Em seguida, isolamos a velocidade tangencial v:

\[g \cdot sen \theta = \frac{v^{2}}{L}\]

Multiplicando os dois lados por L, resulta:

\[v^{2} = Lg \cdot sen \theta\]

Como a velocidade é uma grandeza positiva, extraímos a raiz quadrada positiva:

\[v = \sqrt{Lg \cdot sen \theta}\]

Essa é a velocidade tangencial da partícula, e não diretamente a velocidade do bloco. Para obter a velocidade do bloco, devemos considerar a componente horizontal da velocidade da partícula.

A barra faz um ângulo θ com a horizontal. Como a velocidade tangencial é perpendicular à barra, a componente horizontal da velocidade tangencial é:

\[v_{p} = v \cdot sen \theta\]

Na perda de contato, essa componente horizontal coincide com a velocidade do bloco. Portanto:

\[v_{p} = v_{b} = v \cdot sen \theta \overset{v = \sqrt{Lg \cdot sen \theta}}{\rightarrow} v_{p} = v_{b} = \sqrt{Lg \cdot sen \theta} \cdot sen \theta\]

Substituindo a expressão da velocidade tangencial, o fator sen θ que está fora da raiz pode ser incorporado à raiz como \(\sqrt{sen^{2} \theta}\). Assim, ele se combina com o fator sen θ que já estava dentro da raiz, formando sen³ θ:

\[v_{p} = v_{b} = \sqrt{Lg \cdot sen^{3} \theta}\]

Logo, a velocidade do bloco no instante em que o contato é perdido é \(\sqrt{Lg \cdot sen^{3} \theta}\), correspondente à alternativa b).

Vínculo geométrico

Como os blocos se deslocam em direções perpendiculares e permanecem unidos pela barra rígida, a distância entre eles não se altera. Essa distância é sempre igual ao comprimento da barra, L = 1 m. Portanto, as posições dos blocos podem ser representadas pelos catetos de um triângulo retângulo: o bloco da esquerda está associado à coordenada horizontal x, e o bloco da direita, à coordenada vertical y.

Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dessas coordenadas deve ser igual ao quadrado do comprimento da barra:

\[x^{2} + y^{2} = L^{2} \overset{L = 1 \text{m}}{\rightarrow} x^{2} + y^{2} = 1\]

Essa equação é o vínculo geométrico do sistema: embora os blocos possam se mover, suas posições não são independentes, pois devem sempre satisfazer essa relação.

Para relacionar as velocidades dos blocos, diferenciamos o vínculo em relação ao tempo. O lado direito é constante, pois o comprimento da barra não varia:

\[\frac{d}{dt} \left(x^{2} + y^{2}\right) = \frac{d}{dt} \left(1\right)\] \[\frac{d}{dt} \left(x^{2}\right) + \frac{d}{dt} \left(y^{2}\right) = 0\] \[2 x \frac{dx}{dt} + 2 y \frac{dy}{dt} = 0\] \[x v_{x} + y v_{y} = 0\]

Nas etapas acima, foram usadas as relações\(\frac{dx}{dt}\)= v_x e\(\frac{dy}{dt}\)= v_y. A última igualdade mostra que as velocidades estão vinculadas pela geometria: quando uma coordenada aumenta, a outra deve variar de modo a manter constante a distância entre os blocos.

Analogia com o movimento circular uniforme

Para tornar o movimento mais simples, introduzimos o ângulo\(\theta\), formado pela barra com o eixo horizontal. Como a barra tem comprimento unitário, suas projeções horizontal e vertical são, respectivamente, o cosseno e o seno desse ângulo:

\[x = cos \theta ; y = sen \theta\]

Derivando essas expressões em relação ao tempo, obtemos as velocidades dos blocos. A taxa de variação do ângulo é a velocidade angular, representada por\(\overset{\cdot}{\theta}\):

\[v_{x} = – \overset{\cdot}{\theta} sen \theta ; v_{y} = \overset{\cdot}{\theta} cos \theta\]

O sinal negativo em v_x indica que, conforme o bloco da direita se desloca no sentido positivo de y, a coordenada x diminui. Isso é compatível com o movimento descrito no enunciado.

Conservação da energia mecânica

Os blocos têm a mesma massa m e se movem sem atrito. Assim, não há perda de energia mecânica por forças dissipativas. Além disso, como o movimento ocorre no plano horizontal, a energia potencial gravitacional permanece constante. A energia cinética total é a soma das energias cinéticas dos dois blocos:

\[K = \frac{1}{2} \text{m} \left(v_{x}\right)^{2} + \frac{1}{2} \text{m} \left(v_{y}\right)^{2} = \frac{1}{2} \text{m} \left(\overset{\cdot}{\theta}\right)^{2} \left(sen^{2} \theta + cos^{2} \theta\right) = \frac{1}{2} \text{m} \left(\overset{\cdot}{\theta}\right)^{2}\]

Na simplificação, foi utilizada a identidade trigonométrica sen²θ + cos²θ = 1. Como a energia cinética se conserva, o valor de\(\overset{\cdot}{\theta}\), isto é, da velocidade angular, permanece constante. Portanto, o movimento pode ser tratado como um movimento circular uniforme em termos do ângulo da barra.

Usando\(\omega = \overset{\cdot}{\theta}\), a expressão da energia também pode ser escrita como:

\[K = \frac{1}{2} \text{m} \left(v_{x}\right)^{2} + \frac{1}{2} \text{m} \left(v_{y}\right)^{2} = \frac{1}{2} \text{m} \omega^{2}\] \[K = \left(v_{x}\right)^{2} + \left(v_{y}\right)^{2} = \omega^{2}\]

Cálculo da velocidade angular inicial

No instante inicial, o bloco da direita recebe velocidade na direção y de 2 m/s. Como a configuração inicial corresponde a\(\theta = 0 \circ\), temos cos(0°) = 1. Aplicando essa condição à expressão da velocidade vertical:

\[v_{y} = \omega \cdot cos 0 o\] \[v_{y} = \omega = 2 \text{rad} / \text{s}\]

Logo, a velocidade angular constante é\(\omega = 2 \text{rad} / \text{s}\). A unidade rad/s é adequada porque a velocidade angular mede a variação do ângulo, em radianos, por unidade de tempo.

Determinação do tempo

O bloco da esquerda chega à extremidade direita quando sua coordenada horizontal passa a ser x = 0. Pela relação x = cos θ, isso ocorre quando a barra fica vertical, isto é, quando o ângulo atinge\(\theta = \frac{\pi}{2} \text{rad}\).

Como o movimento começa em\(\theta = 0\), a variação angular necessária é:

\[Δθ = \frac{\pi}{2} \text{rad} .\]

No movimento circular uniforme, o tempo é obtido dividindo o deslocamento angular pela velocidade angular:

\[t = \frac{Δθ}{\omega} = \frac{\frac{\pi}{2} \text{rad}}{2 \text{rad} / \text{s}} = \frac{\pi}{4} \text{s} \approx 0.79 \text{s}\]

Assim, o tempo necessário para que o bloco da esquerda chegue à extremidade direita é aproximadamente 0,79 s. Portanto, a alternativa correta é a) 0,79 s.

Como o sistema se move livre de forças dissipativas, como atrito e resistência do ar, aplica-se o Princípio da Conservação da Energia Mecânica. Assim, a energia mecânica total do sistema permanece constante durante o movimento.

O fio é ideal e permanece esticado, portanto os blocos percorrem deslocamentos de mesmo módulo e possuem velocidades de mesmo módulo. Enquanto o bloco A desce, o bloco B sobe.

Inicialmente, o bloco A está a 3,2 m do solo, enquanto o bloco B está a 0 m. Seja d a distância percorrida por cada bloco até o instante em que suas bases ficam na mesma altura. Nesse momento, a altura do bloco A é sua altura inicial menos o deslocamento, e a altura do bloco B é sua altura inicial mais o deslocamento:

Altura do bloco A: h_A = 3,2 − d.

Altura do bloco B: h_B = 0 + d.

Como, no instante considerado, as duas bases estão na mesma altura, temos h_A = h_B. Portanto:

\[3.2 – d = d\] \[2 d = 3.2\] \(d = 1.6 \text{m}\) 

Logo, cada bloco se desloca 1,6 m. A altura comum é obtida, por exemplo, somando o deslocamento do bloco B à sua altura inicial:

h = 0 + 1,6 = 1,6 m.

Agora, calculamos a energia mecânica inicial. Como os blocos estavam em repouso, a energia cinética inicial era nula. Além disso, tomando o solo como nível de referência, o bloco B tinha energia potencial gravitacional nula, pois estava no solo. Assim, a energia mecânica inicial corresponde apenas à energia potencial gravitacional do bloco A:

\[E_{\text{inicial}} = m_{A} \cdot g \cdot h_{A} = 6 \cdot 10 \cdot 3.2\] \[E_{\text{inicial}} = 192 \text{J}\]

O valor de 192 J é obtido multiplicando a massa do bloco A, 6 kg, pela aceleração da gravidade, 10 m/s², e pela altura inicial, 3,2 m. A unidade resultante é o joule, unidade de energia.

No instante final, os dois blocos estão à mesma altura h e têm velocidades de mesmo módulo v. Portanto, a energia potencial gravitacional total é calculada usando a soma das massas, e a energia cinética total também é a soma das energias cinéticas dos dois blocos:

\[E_{\text{final}} = \left(m_{A} + m_{B}\right) \cdot g \cdot h + \left(m_{A} + m_{B}\right) \cdot \frac{v^{2}}{2} = \left(6 + 2\right) \cdot 10 \cdot 1.6 + \left(6 + 2\right) \cdot \frac{v^{2}}{2}\] \[E_{\text{final}} = 128 + 4 v^{2} \text{J}\]

Na expressão da energia final, o termo 128 J representa a energia potencial gravitacional dos dois blocos na altura comum de 1,6 m. Já o termo 4v² representa a energia cinética total, pois a massa total é 8 kg e ambos os blocos têm velocidade de módulo v.

Como a energia mecânica se conserva, a energia inicial deve ser igual à energia final:

\[E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}}\] \[192 = 128 + 4 v^{2}\] \[4 v^{2} = 64\] \[v^{2} = 16 v = 4 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, no instante em que as bases dos blocos estão na mesma altura, a velocidade dos dois blocos tem módulo 4 m/s.

Resposta: alternativa c) 4 m/s.

I. Falsa. A energia potencial gravitacional do sistema Terra-caloura depende da massa da caloura, da aceleração da gravidade e da altura em relação ao referencial adotado, e não do caminho percorrido. Como o deslocamento termina no mesmo terceiro andar, tanto pela escada quanto pelo elevador, a variação da altura é a mesma nos dois casos. Portanto, a variação da energia potencial gravitacional é igual nos dois trajetos, não sendo maior no percurso realizado pela escada.

II. Falsa. A potência média corresponde à razão entre o trabalho realizado e o intervalo de tempo gasto para realizá-lo. Essa relação é expressa por

\[P = \frac{\tau}{\Delta t} .\]

Para o mesmo deslocamento vertical, o trabalho associado à subida permanece determinado pela variação da energia potencial gravitacional. Assim, se o intervalo de tempo \(\Delta t\) aumenta, o denominador da expressão aumenta enquanto o trabalho permanece o mesmo. Consequentemente, a potência média diminui, e não aumenta. A potência só aumentaria se o mesmo trabalho fosse realizado em um intervalo de tempo menor.

III. Falsa. Considerando a queda livre e desprezando a resistência do ar, a energia potencial gravitacional perdida durante a queda transforma-se em energia cinética. Para uma queda a partir de uma altura \(h\), a igualdade entre essas energias é

\[\cancel{m} gh = \frac{\cancel{m} v^{2}}{2}\]

A massa aparece nos dois lados da igualdade e pode ser cancelada. Isolando a velocidade, obtém-se

\[v = \sqrt{2 gh}\]

Logo, após cair um andar, cuja altura é representada por \(h\), o módulo da velocidade é proporcional à raiz quadrada da altura caída. Quando o molho de chaves cai dois andares, a altura total da queda é \(2 \text{h}\). Portanto, sua velocidade ao atingir o solo é

\[v^{′} = \sqrt{2 \text{g} \cdot 2 \text{h}} = 2 \sqrt{g h}\]

Comparando os dois resultados, a velocidade após a queda de dois andares é \(\sqrt{2}\) vezes a velocidade após a queda de um andar, e não duas vezes maior. Assim, a velocidade após um andar não corresponde à metade da velocidade observada após dois andares. Portanto, a afirmativa é falsa.

IV. Verdadeira. No sistema conservativo, considerando o deslocamento vertical de altura \(h\), o trabalho associado é

\[\tau_{c} = mgh\]

Em um sistema não conservativo com rendimento de \(0.4\), apenas 40% do trabalho fornecido é aproveitado. Por isso, para produzir o mesmo efeito associado ao trabalho conservativo \(\tau_{c}\), o trabalho necessário no sistema não conservativo deve ser dividido pelo rendimento. Assim,

\[\tau_{\text{nc}} = \frac{mgh}{0.4} = 2.5 \tau_{c}\]

Portanto, o trabalho correspondente no sistema não conservativo equivale a 2,5 vezes o trabalho do sistema conservativo. Como esse trabalho é proporcional à altura alcançada, ele seria suficiente para realizar um deslocamento vertical 2,5 vezes maior no sistema conservativo. A afirmativa IV é, portanto, verdadeira.

Assim, as afirmativas I, II e III são falsas, enquanto a afirmativa IV é verdadeira. Logo, está correta a alternativa a) apenas IV.

Como não há atrito nem qualquer outra forma de dissipação de energia, a energia mecânica do carrinho permanece constante durante todo o movimento. Essa energia é a soma da energia cinética, associada ao movimento, com a energia potencial gravitacional, associada à altura do carrinho.

A conservação da energia mecânica pode ser expressa por

\[E_{c i n} + E_{p o t} = E_{m e c}\]

Nessa relação, E_cin representa a energia cinética, E_pot representa a energia potencial gravitacional e E_mec representa a energia mecânica total. Como essa energia total não varia, quando a energia potencial diminui, a energia cinética aumenta na mesma proporção.

Reorganizando a igualdade para destacar a energia cinética, obtém-se

\[E_{c i n} = E_{m e c} – E_{p o t}\]

Assim, a energia cinética será máxima no ponto em que a energia potencial gravitacional for mínima. Como a energia potencial gravitacional depende da altura, isso ocorre no ponto de menor altura da rampa.

Portanto, no ponto de velocidade máxima, temos

\[E_{c i n}^{m a ́ x}\]

e, simultaneamente,

\[E_{p o t}^{m i ́ n}\]

Na figura, o ponto de menor altura é o ponto 3. Logo, é nesse ponto que o carrinho apresenta sua maior energia cinética e, consequentemente, sua maior velocidade.

Resposta: alternativa b) 3.

Ao considerar que as forças de resistência do ar e de atrito não exercem influência sobre o movimento, estabelece-se um cenário de sistema conservativo. Nesse contexto, a energia mecânica total permanece inalterada ao longo de todo o percurso da queda.

Além disso, sob essas condições ideais, o objeto está sujeito exclusivamente à força gravitacional, o que implica que sua aceleração será constante durante todo o trajeto, sendo equivalente ao valor da aceleração da gravidade local.

Para compreender o comportamento da massa pendular após a intercepção do fio, é necessário analisar as forças que atuam sobre o corpo durante o seu movimento. No cenário descrito, o sistema é influenciado apenas pela força peso, que atua verticalmente para baixo, e pela força de tração exercida pelo fio inextensível. Como o enunciado solicita que as forças dissipativas sejam desprezadas, não há resistência do ar ou outros fatores que retirem energia do sistema.

Um ponto fundamental na análise dinâmica é a natureza do trabalho realizado por essas forças. A força de tração no fio atua sempre de forma perpendicular à direção do deslocamento instantâneo da massa ao longo de sua trajetória circular. Por definição, quando uma força é ortogonal ao movimento, o trabalho realizado por ela é nulo. Consequentemente, apenas a força peso é capaz de realizar trabalho sobre o objeto, alterando sua energia potencial gravitacional conforme sua altura varia.

Devido à ausência de forças dissipativas e ao fato de que a tração não consome energia do sistema, podemos aplicar o Princípio da Conservação da Energia Mecânica. Este princípio estabelece que, em um sistema conservativo, a soma da energia cinética e da energia potencial permanece constante em todos os pontos da trajetória. Assim, quando a massa parte do ponto A, ela possui uma determinada energia mecânica total definida por sua altura em relação a um nível de referência.

Ao ser interrompida no ponto C pelo toque no fio, a massa não perde sua energia cinética acumulada até aquele instante; o que ocorre é apenas uma alteração na geometria da trajetória devido à mudança na direção do movimento imposta pela intercepção. No entanto, a conservação da energia garante que a massa continuará subindo até que toda a sua energia cinética seja convertida novamente em energia potencial gravitacional.

Considerando que o ponto A está situado no nível III, a massa possui uma energia potencial associada a essa altura específica. Pela lei de conservação, ela buscará atingir novamente um ponto onde sua energia potencial seja igual à energia total inicial. Isso significa que o limite máximo de sua ascensão será determinado pela mesma altura do ponto de partida original. Portanto, independentemente da nova trajetória traçada após o contato no ponto C, a massa subirá até retornar ao nível horizontal III.

Em conclusão, ao analisar o movimento sob a ótica da conservação de energia, percebe-se que a intercepção do fio altera apenas o caminho percorrido (a trajetória), mas não altera o nível de altura máxima alcançável. Assim, o último nível horizontal atingido pela massa antes de iniciar sua descida será o nível III, correspondente à alternativa C.

Para uma força conservativa, o trabalho realizado entre dois pontos depende apenas das posições inicial e final da partícula, e não do caminho percorrido entre esses pontos. Esse trabalho pode ser determinado pela variação da energia potencial, conforme o teorema da energia potencial:

\[W_{\text{Fconsv}}^{\text{XY}} = E_{\text{potX}} – E_{potY }\]

Nessa expressão, W_Fconsv^XY representa o trabalho da força conservativa no deslocamento entre X e Y, enquanto E_potX e E_potY são as energias potenciais da partícula nas posições X e Y, respectivamente. Portanto, o trabalho é determinado somente pelos estados inicial e final.

I. É nulo se a partícula sai de X em direção a Y e retorna para X.

Afirmação correta. Nesse caso, a posição final coincide com a posição inicial. Consequentemente, a energia potencial no início e no fim é a mesma. Como o trabalho da força conservativa depende da diferença entre essas energias, o trabalho total realizado no percurso de ida e volta é nulo.

II. Depende da trajetória que liga X a Y.

Afirmação incorreta. Uma característica fundamental das forças conservativas é que o trabalho entre dois pontos não depende da trajetória seguida. Assim, seja qual for o caminho utilizado para ir de X até Y, o trabalho será o mesmo, desde que as posições inicial e final sejam mantidas.

III. É não nulo se a partícula sai de X em direção a Y e retorna para X.

Afirmação incorreta. Em um percurso fechado, no qual a partícula retorna ao ponto de partida, a variação total da energia potencial é nula. Logo, o trabalho total da força conservativa também é nulo, e não não nulo.

IV. Independe da trajetória que liga X a Y.

Afirmação correta. O trabalho de uma força conservativa entre X e Y depende exclusivamente das energias potenciais nesses pontos. Portanto, trajetórias diferentes entre X e Y produzem o mesmo trabalho.

As afirmações corretas são I e IV. Logo, a alternativa correta é d) I e IV.

Para determinar a altura mínima, é necessário analisar a condição limite para que o carrinho permaneça em contato com a pista durante todo o looping. Essa condição é mais crítica no ponto mais alto da trajetória circular, pois, nesse ponto, a força peso aponta para o centro da curva e a força normal pode atingir seu menor valor.

No caso limite, considera-se que o carrinho está prestes a perder o contato com a pista no ponto mais alto. Portanto, a força normal é nula, e a única força que fornece a força centrípeta é o peso. Além disso, como o diâmetro da volta é D, seu raio é metade desse valor, isto é, R = D/2. Assim:

Assume-se que o movimento circular no looping é uniforme e considera-se que em seu ponto mais alto na trajetória circular, o contato do carro com a pista é o mínimo possível, então despreza-se a força normal, assim, a força centrípeta é:

\(F_{c} = \frac{mv^{2}}{R} \overset{R = \frac{D}{2}}{\rightarrow} F_{c} = \frac{2 mv^{2}}{D}\)

Nessa expressão, F_c é a força centrípeta, m é a massa do carrinho, v é sua velocidade no ponto mais alto e R é o raio do looping. Como a força normal é desprezada na situação limite, a força centrípeta é igual ao peso mg:

Mas a força centrípeta é igual ao peso.

\(F_{c} = mg\)\[\frac{2 \cancel{m} v^{2}}{D} = \cancel{m} g\] \(v_{\text{m}\acute{i}\text{n}} = \sqrt{\frac{gD}{2}}\)

Ao igualar a força centrípeta ao peso, a massa aparece nos dois lados da igualdade e pode ser cancelada. Obtém-se, então, a velocidade mínima no ponto mais alto do looping. Essa velocidade não pode ser menor que o valor encontrado, pois, caso contrário, o peso não seria suficiente para fornecer a aceleração centrípeta necessária e o carrinho perderia o contato com a pista.

Agora, aplica-se o princípio da conservação da energia mecânica. Como as forças dissipativas são desconsideradas, a energia mecânica inicial, no ponto de altura h_mín e com velocidade inicial nula, é igual à energia mecânica no ponto mais alto da volta. A altura desse ponto em relação ao nível de referência é o diâmetro D, e o carrinho possui, nesse ponto, a velocidade mínima calculada anteriormente.

Usando o Princípio da conservação de Energia Mecânica, obtém-se a altura mínima de lançamento para que o carrinho complete a volta no looping.

\[\begin{array}{l}\cancel{m} gh_{\text{m}\acute{i}\text{n}} = \cancel{m} gD + \frac{\cancel{m} \left(v_{\text{m}\acute{i}\text{n}}\right)^{2}}{2} \\ gh_{\text{m}\acute{i}\text{n}} = gD + \frac{\left(\sqrt{\frac{gD}{2}}\right)^{2}}{2}\end{array}\] \[\cancel{g} h_{\text{m}\acute{i}\text{n}} = \cancel{g} D + \frac{\cancel{g} D}{4}\] \[h_{\text{m}\acute{i}\text{n}} = D + \frac{D}{4} h_{\text{m}\acute{i}\text{n}} = \frac{5 D}{4}\]

Na conservação da energia, o termo mgh_mín representa a energia potencial gravitacional inicial. No ponto mais alto, mgD é a energia potencial gravitacional e o termo associado à velocidade mínima é a energia cinética. A massa e a aceleração da gravidade são canceladas, resultando em uma altura que depende apenas do diâmetro da volta.

Portanto, a altura mínima de lançamento é 5D/4. Logo, a alternativa correta é b) 5D / 4.