Exercícios de Efeito Doppler com resolução comentada

Para que os estudantes percebam os batimentos, é necessário que a diferença entre as frequências recebidas dos dois autofalantes não ultrapasse 15 Hz. Como o carrinho se move entre os autofalantes, ele se aproxima de um deles e se afasta do outro. Por isso, as frequências percebidas são diferentes: uma aumenta e a outra diminui em relação à frequência emitida, que é de 510 Hz.

Aplicamos a equação do efeito Doppler. Nessa expressão, f_ap é a frequência percebida pelo observador, f₀ é a frequência emitida pela fonte, v_som é a velocidade do som no ar, v_obs é a velocidade do observador e v_fonte é a velocidade da fonte. Como os autofalantes estão parados, v_fonte é igual a zero. Assim, considerando a velocidade do carrinho como v_c, temos:

\[f_{\text{ap}} = f_{0} \left(\frac{v_{\text{som}} \pm v_{\text{obs}}}{v_{\text{som}} \pm v_{\text{fonte}}}\right)\] \[\begin{cases} f_{1} = 510 \left(\frac{340 + v_{c}}{340 + 0}\right) \\ f_{2} = 510 \left(\frac{340 – v_{c}}{340 + 0}\right) \end{cases}\]

A frequência f₁ corresponde ao autofalante em cuja direção o carrinho se desloca. Nesse caso, o observador se aproxima da fonte, portanto o numerador contém 340 + v_c. Já f₂ corresponde ao autofalante do qual o carrinho se afasta; por isso, aparece 340 − v_c. Em ambos os casos, a velocidade da fonte é zero, de modo que o denominador permanece igual a 340 m/s.

A frequência dos batimentos é o módulo da diferença entre as duas frequências percebidas:

\[f_{\text{bat}} = \left|f_{1} – f_{2}\right| = 510 \left(\frac{340 + v_{c}}{340}\right) – 510 \left(\frac{340 – v_{c}}{340}\right) = 15\]

Para determinar a velocidade limite, consideramos o maior valor de frequência de batimentos que ainda pode ser percebido, isto é, 15 Hz. Como as duas frações possuem o mesmo denominador, subtraímos os numeradores. Os termos 340 se cancelam, enquanto as duas parcelas que contêm v_c se somam:

\[\frac{340 + v_{c} – 340 + v_{c}}{340} = \frac{15}{510}\]

Multiplicando os dois lados pelos denominadores e simplificando a relação obtida, resulta:

\[2 v_{c} = 10\]

Dividindo ambos os lados por 2, encontramos a velocidade limite do carrinho:

\[v_{c} = 5 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, a velocidade máxima para que a frequência dos batimentos permaneça perceptível é de 5,0 m/s. Logo, a alternativa correta é d) 5,0 m/s.

Como a ambulância está parada em relação ao ar, a fonte sonora permanece em repouso. Assim, a variação da frequência percebida ocorre apenas porque os ciclistas estão em movimento em relação às ondas sonoras: o ciclista A se aproxima da fonte, enquanto o ciclista B se afasta dela.

Para o ciclista A, que se aproxima da ambulância, a frequência percebida é maior que a frequência emitida. Por isso, utiliza-se o sinal positivo no numerador da expressão do efeito Doppler. Nessa relação, f_A é a frequência percebida por A, f₀ é a frequência emitida pela sirene, v_som é a velocidade do som no ar e v_A é a velocidade do ciclista A.

Aplicando a equação do efeito Doppler ao ciclista A:

\[f_{A} = f_{0} \left(\frac{v_{\text{som}} + v_{A}}{v_{\text{som}}}\right)\] \[1750 = 1700 \left(\frac{340 + v_{A}}{340}\right)\] \[v_{A} = 10 \text{m} / \text{s}\]

Substituem-se, nessa ordem, a frequência percebida pelo ciclista A, a frequência da sirene e a velocidade do som. Ao isolar v_A, obtém-se que o módulo da velocidade do ciclista A é igual a 10 m/s.

Para o ciclista B, que se afasta da ambulância, a frequência percebida é menor que a frequência emitida. Nesse caso, utiliza-se o sinal negativo no numerador. A grandeza v_B representa o módulo da velocidade do ciclista B.

Aplicando a mesma relação ao ciclista B:

\[f_{B} = f_{0} \left(\frac{v_{\text{som}} – v_{B}}{v_{\text{som}}}\right)\] \[1650 = 1700 \left(\frac{340 – v_{B}}{340}\right)\] \[v_{B} = 10 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, os dois ciclistas apresentam velocidades de mesmo módulo, 10 m/s. A diferença entre as frequências percebidas ocorre porque A se aproxima da fonte, elevando a frequência observada, enquanto B se afasta, reduzindo-a. Dessa forma, a alternativa correta é a alternativa a).

A velocidade da fonte é determinada pelo movimento circular uniforme. Em uma volta completa, o carrinho percorre o comprimento da circunferência, dado por 2πR, no intervalo de tempo correspondente ao período de 1 s. Portanto:

\[v_{\text{fonte}} = 2 \pi R f = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1\] \[v_{\text{fonte}} = 30 \text{m} / \text{s}\]

Nessa expressão, R é o raio da trajetória, igual a 5 m, e f é a frequência de revolução do carrinho, igual a 1 Hz, pois ele completa uma volta por segundo. Assim, a fonte possui velocidade escalar de 30 m/s.

O efeito Doppler corresponde à alteração da frequência percebida quando há movimento relativo entre a fonte sonora e o observador. Como a fonte se aproxima ou se afasta do observador, devem ser consideradas as duas situações extremas: a aproximação, que produz a maior frequência percebida F, e o afastamento, que produz a menor frequência percebida f.

Para a maior frequência, utiliza-se o sinal de aproximação no numerador e no denominador. Para a menor frequência, utilizam-se os sinais correspondentes ao afastamento. De acordo com a configuração considerada no enunciado, a velocidade do observador é tomada como zero, enquanto a velocidade da fonte é 30 m/s:

\[\begin{cases} F = f_{\text{fonte}} \left(\frac{v_{\text{som}} + v_{\text{observador}}}{v_{\text{som}} – v_{\text{fonte}}}\right) \\ f = f_{\text{fonte}} \left(\frac{v_{\text{som}} – v_{\text{observador}}}{v_{\text{som}} + v_{\text{fonte}}}\right) \end{cases}\] \[\begin{cases} F = 600 \left(\frac{330 + 0}{330 – 30}\right) \\ f = 600 \left(\frac{330 – 0}{330 + 30}\right) \end{cases}\] \[\begin{cases} F = 660 \text{Hz} \\ f = 550 \text{Hz} \end{cases}\]

Substituindo os valores, a frequência emitida pela fonte é 600 Hz, a velocidade do som é 330 m/s, a velocidade do observador é 0 m/s e a velocidade da fonte é 30 m/s. Dessa forma, a maior frequência percebida é 660 Hz, enquanto a menor é 550 Hz.

Portanto, a diferença entre as frequências extrema é:

\[F – f = 110 \text{H} z\]

Logo, a diferença pedida é de 110 Hz, correspondente à alternativa b.

Como a fonte sonora se aproxima de um observador em repouso, ocorre o efeito Doppler: as frentes de onda chegam ao observador com maior frequência do que seriam emitidas pela sirene. Portanto, a frequência aparente deve ser maior que a frequência original de 1.200 Hz.

Para uma fonte em movimento e um observador parado, utiliza-se a expressão:

\[f_{a p} = \frac{v + v_{O}}{v – v_{F}} f\]

Nessa expressão, f_ap é a frequência aparente percebida pelo observador, v é a velocidade do som no ar, v_O é a velocidade do observador, v_F é a velocidade da fonte sonora e f é a frequência emitida pela sirene.

O observador está em repouso, portanto sua velocidade é igual a zero. A velocidade do som é 340 m/s, a viatura desloca-se a 40 m/s e a sirene emite uma frequência de 1.200 Hz. Substituindo esses valores na expressão:

\[f_{a p} = \frac{340 + 0}{340 – 40} \times 1.200\]

O sinal de menos no denominador é utilizado porque a fonte se aproxima do observador. Assim, a velocidade da fonte reduz o comprimento de onda das ondas sonoras que chegam ao observador. Efetuando as operações no numerador e no denominador da fração:

\[f_{a p} = \frac{340}{300} \times 1.200\]

A fração \(\frac{340}{300}\) é maior que 1, confirmando que a frequência percebida será maior que a frequência emitida. Prosseguindo com a multiplicação:

\[f_{a p} = 1.360 \text{H} z\]

Logo, a frequência aparente detectada pelo observador é de 1.360 Hz. Portanto, a alternativa correta é b) 1.360 Hz.

Como o ouvinte se desloca entre as duas fontes e se aproxima da fonte de menor frequência, a frequência aparente emitida por essa fonte aumenta, enquanto a frequência aparente da outra fonte diminui. Para determinar a velocidade do ouvinte, aplicamos a equação do efeito Doppler considerando que as fontes estão imóveis e que apenas o observador possui velocidade.

Na expressão geral, f_ap representa a frequência aparente percebida pelo ouvinte, f_fonte é a frequência emitida pela fonte, v_som é a velocidade de propagação do som e v_ob é a velocidade do ouvinte. Como as fontes estão paradas, a velocidade da fonte é nula:

\[f_{\text{ap}} = f_{\text{fonte}} \left(\frac{v_{\text{som}} \pm v_{\text{ob}}}{v_{\text{som}} \pm v_{\text{fonte}}}\right)\]

Para a fonte de menor frequência, identificada como fonte 1, o ouvinte se aproxima dela. Por isso, sua frequência aparente é multiplicada pelo fator \(\frac{v_{\text{som}} – v_{\text{ob}}}{v_{\text{som}}}\). Em relação à fonte 2, o ouvinte se afasta, de modo que a frequência aparente é multiplicada pelo fator \(\frac{v_{\text{som}} + v_{\text{ob}}}{v_{\text{som}}}\). Assim, as duas frequências percebidas são:

\[\begin{matrix}\left(\right. f_{\text{ap}}^{1} = f_{\text{fonte}}^{1} \left(\frac{v_{\text{som}} – v_{\text{ob}}}{v_{\text{som}}}\right) \\ \left(\right. f_{\text{ap}}^{1} = f_{\text{fonte}}^{2} \left(\frac{v_{\text{som}} + v_{\text{ob}}}{v_{\text{som}}}\right)\end{matrix}\]

O problema informa que as frequências aparentes percebidas pelo ouvinte devem ser iguais. Portanto, igualamos as duas expressões. Como a velocidade do som aparece no denominador dos dois lados, ela pode ser cancelada. Além disso, a razão entre as frequências das fontes é igual a 0,8, isto é, a frequência da fonte 1 corresponde a 0,8 vezes a frequência da fonte 2:

\[f_{\text{fonte}}^{1} \left(\frac{v_{\text{som}} – v_{\text{ob}}}{\cancel{v_{\text{som}}}}\right) = f_{\text{fonte}}^{2} \left(\frac{v_{\text{som}} + v_{\text{ob}}}{\cancel{v_{\text{som}}}}\right)\]

Substituindo a razão das frequências e o valor da velocidade do som, \(v_{\text{som}} = 333 \text{m} / \text{s}\), obtemos:

\[\begin{array}{l}\cancel{f_{\text{forte}}^{1}} \left(v_{\text{som}} – v_{\text{ob}}\right) = 0.8 f \cancel{_{\text{fonte}}^{1}} \left(v_{\text{som}} + v_{\text{ob}}\right) \\ 333 – v_{\text{ob}} = 0.8 \left(333 + v_{\text{ob}}\right)\end{array}\]

Agora, distribuímos o fator 0,8 nos termos do segundo parêntese. O produto \(0.8 \times 333\) resulta em 266,4. Em seguida, reunimos os termos que contêm a velocidade do ouvinte em um dos lados da igualdade:

\[\begin{array}{l}333 – v_{\text{ob}} = 266.4 + 0.8 v_{\text{ob}} \\ 1.8 v_{\text{ob}} = 66.6\end{array}\]

Por fim, dividimos ambos os lados da igualdade por 1,8 para isolar a velocidade do ouvinte:

\[v_{\text{ob}} = 37 \text{m} / \text{s}\]

Logo, a velocidade de deslocamento do ouvinte deve ser de 37,0 m/s. Portanto, a alternativa correta é a b).

Os dois veículos se deslocam com a mesma velocidade, isto é, 108 km/h, e no mesmo sentido. Primeiro, é conveniente converter essa velocidade para o Sistema Internacional:

Como 1 km/h = 1/3,6 m/s, temos que 108 km/h corresponde a 30 m/s. Assim, tanto a fonte sonora — a sirene da viatura policial — quanto o observador — o motorista do carro em fuga — possuem velocidade de 30 m/s em relação ao solo.

O efeito Doppler ocorre quando há movimento relativo entre a fonte e o observador, alterando a frequência percebida. Neste caso, como os dois carros mantêm a mesma velocidade e se deslocam no mesmo sentido, a distância entre eles permanece constante. Portanto, não existe movimento relativo entre a fonte e o observador, e a frequência não sofre alteração.

A mesma conclusão pode ser verificada pela equação do efeito Doppler, em que f_percebida é a frequência ouvida pelo observador, f_emitida é a frequência da sirene, v_som é a velocidade do som, v_observador é a velocidade do observador e v_fonte é a velocidade da fonte:

\[f_{\text{percebida}} = f_{\text{emitida}} \left(\frac{v_{\text{som}} – v_{\text{observador}}}{v_{\text{som}} – v_{\text{fonte}}}\right)\]

Substituindo a frequência emitida pela sirene, igual a 800 Hz, a velocidade do som, igual a 340 m/s, e as velocidades da fonte e do observador, ambas iguais a 30 m/s, obtemos:

\[f_{\text{percebida}} = 800 \left(\frac{\cancel{340} – \cancel{30}}{\cancel{340} – \cancel{30}}\right)\]

O numerador e o denominador são iguais porque a velocidade do observador e a velocidade da fonte também são iguais. Por isso, a fração vale 1, e a frequência percebida permanece igual à frequência emitida:

\[f_{\text{percebida}} = 800 \text{Hz}\]

Logo, o motorista do segundo carro percebe o som com frequência de 800 Hz. Portanto, a alternativa correta é a a).

As posições da fonte sonora A e do observador B são representadas por vetores no plano XY. O primeiro componente de cada vetor corresponde à coordenada X, e o segundo componente corresponde à coordenada Y:

Para a fonte A:

\[R_{A} = \left(cos \left(t\right) + log \left(1 + t\right) , 2 t + 3\right)\]

Para o observador B:

\[R_{B} = \left(log \left(1 + t\right) – sen \left(t\right) , 2 t – 1\right)\]

A posição relativa da fonte em relação ao observador é obtida subtraindo-se o vetor posição de B do vetor posição de A. Nessa subtração, os termos logarítmicos se cancelam na coordenada X, enquanto os termos lineares em t se cancelam na coordenada Y:

\[r = R_{A} – R_{B} = \left(cos \left(t\right) + sen \left(t\right) , 4\right)\]

Assim, o vetor r indica a direção instantânea que liga o observador à fonte. Para determinar se há efeito Doppler, interessa analisar a componente da velocidade relativa nessa direção. Se a velocidade relativa for perpendicular à linha que une a fonte ao observador, não haverá aproximação nem afastamento instantâneo ao longo dessa linha e, portanto, a frequência percebida não sofrerá alteração por efeito Doppler.

A velocidade relativa é obtida derivando o vetor posição relativa em relação ao tempo. A derivada de cos(t) é −sen(t), a derivada de sen(t) é cos(t) e a coordenada Y é constante, igual a 4, cuja derivada é zero:

\[r = R A – R B = \left(cos \left(t\right) + sen \left(t\right) , 4\right)\] \[\overset{\rightarrow}{v} = \frac{d r}{d t} = \left(- sen \left(t\right) + cos \left(t\right) , 0\right)\]

Há duas situações que podem resultar em ausência de alteração da frequência percebida. A primeira é a velocidade relativa ser nula. Nesse caso, não existe movimento relativo entre a fonte e o observador:

\[- sen \left(t\right) + cos \left(t\right) = 0\]

Reorganizando essa igualdade, obtém-se:

\[tg \left(t\right) = 1\]

As soluções dessa equação são os ângulos cuja tangente é igual a 1:

\[t = \frac{\pi}{4} + kπ , \left(k \in \mathbb{Z}\right)\]

A segunda possibilidade é a velocidade relativa ser perpendicular ao vetor posição relativa. Essa condição é expressa pelo produto escalar nulo:

\[r \cdot v = 0\]

Substituindo os vetores encontrados, o produto escalar fica:

\[\left(cos \left(t\right) + sen \left(t\right) , 4\right) \cdot \left(- sen \left(t\right) + cos \left(t\right) , 0\right) = 0\]

Como a segunda coordenada do vetor velocidade é zero, o segundo termo do produto escalar também é zero. Na primeira coordenada, aplica-se a identidade trigonométrica correspondente à diferença entre os quadrados do cosseno e do seno:

\[cos^{2} \left(t\right) – sen^{2} \left(t\right) = 0\]

Usando a relação fundamental entre seno e cosseno, essa condição também pode ser escrita como:

\[1 – 2 sen^{2} \left(t\right) = 0\]

Logo, o seno de t deve assumir um dos valores que tornam seu quadrado igual a 1/2:

\[sen \left(t\right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]

As soluções correspondentes podem ser agrupadas na forma:

\[t = \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} , \left(k \in \mathbb{Z}\right)\]

Entre as alternativas fornecidas, tomando k igual a 1, resulta:

\[t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{4}\]

Portanto, nesse instante a velocidade relativa é perpendicular à direção que une a fonte ao observador. Não há componente de aproximação ou afastamento ao longo dessa direção e, consequentemente, não ocorre alteração da frequência percebida pelo efeito Doppler.

Resposta: alternativa d) 3π / 4.

A frequência percebida pelo observador é diferente da frequência emitida pela fonte porque há movimento relativo entre a fonte, o observador e o meio de propagação do som. Esse fenômeno é chamado de Efeito Doppler. Para uma fonte e um observador em movimento, utiliza-se:

\[f^{'} = f_{F} \cdot \left(\frac{v_{s} \pm v_{0}}{v_{\text{s}} \pm v_{F}}\right) ,\]

em que \(f^{′} =\) é a frequência aparente percebida pelo observador

\(f_{F} =\) é a frequência emitida pela fonte

\(v_{S} =\) é a velocidade do som no meio

\(v_{O} =\) é a velocidade do observador. O sinal positivo é usado quando o observador se move no sentido de aproximação da fonte, aumentando a frequência percebida, enquanto o sinal negativo corresponde ao afastamento

\(v_{F} =\) é a velocidade da fonte. No denominador, usa-se o sinal negativo durante a aproximação, pois a fonte reduz a distância entre suas frentes de onda, e o sinal positivo durante o afastamento

Na situação de aproximação, são utilizados \(v_{O}\) = 20 m/s e \(v_{F}\) = 40 m/s. Assim, o numerador recebe o sinal positivo para o movimento do observador, e o denominador recebe o sinal negativo para o movimento da fonte:

\[f_{1}^{′} = f_{F} \cdot \left(\frac{v_{S} + v_{O 1}}{v_{S} – v_{F 1}}\right) = 1000 \text{Hz} \cdot \left(\frac{340 \text{m} / \text{s} + 20 \text{m} / \text{s}}{340 \text{m} / \text{s} – 40 \text{m} / \text{s}}\right)\]

O numerador é \(340 + 20 = 360\) m/s, enquanto o denominador é \(340 – 40 = 300\) m/s. Portanto:

\[f_{1}^{′} = 1200 \text{Hz}\]

Depois do cruzamento, fonte e observador passam a se afastar. Nessa nova situação, são utilizados \(v_{O}\) = 40 m/s e \(v_{F}\) = 60 m/s. Assim, o observador se afasta da fonte, o que produz o sinal negativo no numerador, e a fonte também se afasta, o que produz o sinal positivo no denominador:

\[f_{2}^{'} = f_{F} \cdot \left(\frac{v_{S} + v_{O 2}}{v_{S} – v_{F 2}}\right) = 1000 \text{Hz} \cdot \left(\frac{340 \text{m} / \text{s} – 40 \text{m} / \text{s}}{340 \text{m} / \text{s} + 60 \text{m} / \text{s}}\right)\]

Nessa expressão, o numerador é \(340 – 40 = 300\) m/s e o denominador é \(340 + 60 = 400\) m/s. Logo:

\[f_{2}^{'} = 750 \text{Hz}\]

A variação pedida é o módulo da diferença entre a frequência aparente durante a aproximação e a frequência aparente durante o afastamento. O módulo garante que o resultado seja uma quantidade positiva:

\[\Delta f^{′} = f_{1} ^{′} – f_{2} ^{′} = 1200 \text{H} z – 750 \text{H} z\] \[\Delta f^{′} = 450 \text{H} z\]

Portanto, a variação de frequência é 450 Hz, correspondente à alternativa c).

Primeiro, é necessário converter a velocidade da viatura para metros por segundo, pois a velocidade do som foi fornecida nessa unidade. Para isso, divide-se a velocidade em quilômetros por hora por \(m / \text{s} :\)

A conversão é feita usando a relação 1 km/h = 1/3,6 m/s. Assim:

\[144 k m / \text{h} \div 3.6 = 40 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, a velocidade da viatura é de 40 m/s. Como a viatura se aproxima inicialmente do ciclista e, depois de ultrapassá-lo, passa a se afastar, devem ser analisadas separadamente essas duas situações do efeito Doppler.

Pela equação do efeito Doppler, a frequência percebida pelo observador depende do movimento relativo entre a fonte sonora e o observador. Nessa expressão, f_fonte é a frequência emitida pela sirene, v_som é a velocidade do som, v_obs é a velocidade do observador e v_fonte é a velocidade da fonte. Os sinais devem ser escolhidos de acordo com o fato de a fonte e o observador estarem se aproximando ou se afastando.

Situação inicial: aproximação

Antes da ultrapassagem, a viatura aproxima-se do ciclista. Como ambos se deslocam no mesmo sentido, o ciclista está à frente e a viatura, que é mais veloz, aproxima-se por trás. Nessa situação, o ciclista move-se no mesmo sentido das ondas sonoras que chegam até ele, enquanto a fonte se desloca em direção ao observador. Por isso, a frequência inicialmente percebida é:

\[f_{\text{ap}} = f_{\text{fonte}} \left(\frac{v_{\text{som}} \pm v_{\text{obs}}}{v_{\text{som}} \pm v_{\text{fonte}}}\right)\] \[f_{1} = f_{\text{fonte}} \left(\frac{340 – v_{\text{ciclista}}}{340 – 40}\right)\]

Nessa substituição, 340 m/s é a velocidade do som, v_ciclista é a velocidade desconhecida do atleta e 40 m/s é a velocidade da viatura. O denominador torna-se 300 m/s porque a fonte se aproxima do ciclista, aumentando a frequência percebida.

Situação final: afastamento

Depois de ultrapassar o ciclista, a viatura passa a afastar-se dele. Agora, a fonte sonora se afasta do observador, e o ciclista também se desloca no sentido de propagação das ondas que recebe. A frequência percebida após a ultrapassagem é, portanto:

\[f_{2} = f_{\text{fonte}} \left(\frac{340 + v_{\text{ciclista}}}{340 + 40}\right)\]

O denominador é 380 m/s porque, nessa configuração, a fonte se afasta do ciclista, reduzindo a frequência observada. O enunciado informa que a frequência final corresponde a \(\frac{5}{6}\) da frequência inicial. Logo:

\[\frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{5}{6}\] \[\frac{\frac{340 + v_{\text{ciclista}}}{380}}{\frac{340 – v_{\text{ciclista}}}{300}} = \frac{5}{6}\] \[\frac{340 + v_{\text{ciclista}}}{340 – v_{\text{ciclista}}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{380}{300} = \frac{19}{18}\] \[6460 – 19 v_{\text{ciclista}} = 6120 + 18 v_{\text{ciclista}}\] \[37 v_{\text{ciclista}} = 340\] \[v_{\text{ciclista}} \simeq 9.2 \text{m} / \text{s}\]

A velocidade do ciclista é aproximadamente 9,2 m/s. Portanto, a alternativa correta é d) 9,2 m/s.

Para que o condutor não ouça a sirene durante a aproximação, a frequência aparente deve ultrapassar o limite superior da audição humana, que é de 20 kHz. Como a sirene emite uma frequência de 15 kHz, o movimento de aproximação faz com que o condutor perceba uma frequência maior que a emitida, devido ao Efeito Doppler.

A expressão geral do Efeito Doppler é:

\[f_{\text{ap}} = f \left(\frac{v \pm v_{o}}{v \pm v_{f}}\right)\]

Nessa expressão:

\(f_{a p} =\) é a frequência aparente percebida pelo observador.

\(f =\) é a frequência emitida pela fonte sonora.

\(v =\) é a velocidade de propagação do som.

\(v_{o} =\) é a velocidade do observador, isto é, do veículo.

\(v_{f} =\) é a velocidade da fonte sonora.

Como a sirene está fixada na placa e, portanto, permanece parada em relação à pista, sua velocidade é nula. Na aproximação, o observador desloca-se em direção à fonte, de modo que a frequência percebida aumenta. Usando a convenção de sinais indicada na expressão, a velocidade do observador é considerada positiva e a velocidade da fonte é igual a zero.

Para encontrar a velocidade-limite, considera-se inicialmente que a frequência aparente é exatamente igual ao limite superior audível, 20 kHz. A velocidade mínima para deixar de ouvir a sirene deverá ser ligeiramente maior que essa velocidade-limite. Isolando-se a velocidade do observador, obtém-se:

\[v_{0} = \frac{f_{\text{ap}}}{f} \left(v + v_{f}\right) – v\]

Substituem-se, então, a frequência-limite de 20 kHz, a frequência da sirene de 15 kHz, a velocidade do som de 330 m/s e a velocidade nula da fonte:

\[v_{0} = \frac{20 k H z}{15 k H z} \left(330 \text{m} / \text{s} + 0\right) – 330 \text{m} / \text{s}\]

As unidades de frequência, kHz, cancelam-se na razão entre as frequências. Assim, calcula-se a razão entre 20 e 15 e aplica-se o resultado à velocidade do som:

\[v_{0} = 110 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, 110 m/s é a velocidade-limite para que a frequência aparente atinja exatamente 20 kHz. Para convertê-la em km/h, utiliza-se a relação de conversão entre essas unidades:

\[v_{0} = 110 \text{m} / \text{s} \cdot \frac{3.6 \text{km} / \text{h}}{1 \text{m} / \text{s}}\]

A multiplicação por 3,6 transforma a velocidade expressa em metros por segundo para quilômetros por hora:

\[v_{0} = 396 \text{km} / \text{h}\]

Esse valor produz uma frequência aparente exatamente igual a 20 kHz. Como o enunciado pede que a pessoa não ouça a sirene, a frequência deve ser maior que 20 kHz; consequentemente, a velocidade deve ser um pouco maior que 396 km/h.

Entre as alternativas, o menor valor que satisfaz essa condição é 397 km/h. Portanto, a resposta correta é a alternativa d) 397 km/h.