Exercícios de Acústica

Para tubos harmônicos abertos, o comprimento do tubo L é proporcional à metade do comprimento de onda para cada harmônico.

Sendo assim, tem-se:

Para o primeiro harmônico: $\mathrm{L}=\frac{1\mathrm{\lambda }}{2}$

Para o segundo harmônico: $\mathrm{L}=\frac{2\mathrm{\lambda }}{2}$

Para o terceiro harmônico: $\mathrm{L}=\frac{3\mathrm{\lambda }}{2}$

Aplicando-se a relação para o terceiro harmônico e isolando-se o comprimento de onda em função de L, tem-se

$\mathrm{\lambda }=\frac{2\mathrm{L}}{3}$

Substituindo-se na Equação Fundamental das ondas, tem-se uma função que relaciona a velocidade do som com a frequência e o comprimento do tubo no lugar do comprimento de onda.

 $\mathrm{v}=\mathrm{\lambda }\cdot \mathrm{f}\stackrel{\mathrm{\lambda }=\frac{2\mathrm{L}}{3}}{\to }\mathrm{v}=\frac{2\mathrm{L}}{3}\cdot \mathrm{f}$

E, finalmente, isolando-se L, chega-se a expressão que nos permite calcular o tamanho do tubo sonoro.

$\mathrm{v}=\frac{2\mathrm{L}}{3}\cdot \mathrm{f}$
$\mathrm{L}=\frac{3\mathrm{v}}{2\mathrm{f}}$

Substituindo os valores, tem-se L.

$\mathrm{L}=\frac{3\mathrm{v}}{2\mathrm{f}}=\frac{3\cdot 340\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\cdot 5,1\cdot {10}^3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{Hz}}=\frac{1020\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10,2\cdot {10}^3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{Hz}}$
$\mathrm{L}=0,1\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}=10\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}$

A tensão da corda é produzida pelo corpo suspenso. Desprezando a massa da parte vertical da corda e considerando o sistema em equilíbrio, a tensão é igual ao peso do corpo:

$T=mg=\mathrm{0,5}\times 10=5N$

A densidade linear da corda é 2 g/m. Convertendo para unidades do Sistema Internacional, obtemos:

$\mu =2g/m=\mathrm{0,002}\mathrm{kg}/m$

A velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda tensionada depende da tensão T e da densidade linear μ, sendo determinada por:

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

Substituindo a tensão de 5 N e a densidade linear de 0,002 kg/m:

$v=\sqrt{\frac{5}{\mathrm{0,002}}}=\sqrt{2500}=50m/s$

Como os pontos A e B são considerados nós, a parte horizontal da corda, de comprimento L = 2,0 m, deve conter um número inteiro de meios comprimentos de onda. Para o oitavo harmônico, a relação entre o comprimento da corda e o comprimento de onda é:

$L=n\frac{\lambda }{2}$

Isolando o comprimento de onda λ e utilizando n = 8:

$\lambda =\frac{2L}{n}=\frac{2\times \mathrm{2,0}}{8}=\mathrm{0,5}m$

A frequência da onda está relacionada à velocidade de propagação e ao comprimento de onda por:

$v=f\lambda$

Assim, a frequência necessária para produzir o oitavo harmônico é:

$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{50}{\mathrm{0,5}}=100\mathrm{Hz}$

Em um tubo aberto nas duas extremidades, o modo fundamental apresenta ventres de deslocamento nas aberturas e um nó no ponto central. Por isso, o comprimento do tubo corresponde à metade do comprimento de onda:

$L=\frac{\lambda }{2}$

A medida indicada é 68,0 cm. Convertendo para metros, obtém-se L = 0,680 m. Isolando o comprimento de onda na relação anterior:

$\lambda =2L=2·\mathrm{0,680}=\mathrm{1,36}m$

A frequência de uma onda é dada pela razão entre sua velocidade e seu comprimento de onda. Usando a velocidade do som, 340 m/s, e λ = 1,36 m:

$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{340}{\mathrm{1,36}}=250\mathrm{Hz}$

A velocidade de propagação do som no ar não depende das características da corda que o produziu. Como as duas cordas vibram no mesmo ambiente, as ondas sonoras se propagam pelo ar com a mesma velocidade. A diferença entre as cordas altera a vibração da fonte sonora, mas não a velocidade do som no meio externo. Assim, a afirmação I é incorreta.

As cordas têm o mesmo comprimento, estão submetidas à mesma tensão e são feitas do mesmo material. A corda B, por ser mais grossa, possui maior massa por unidade de comprimento. Para uma corda tensionada, a frequência fundamental diminui quando a densidade linear aumenta. Portanto, a corda A, que é mais fina, produz uma frequência maior que a corda B. A afirmação II é correta.

A amplitude máxima da vibração está relacionada à maneira como cada corda é excitada, isto é, à intensidade e às condições do toque. Ela não é determinada apenas pela razão entre as frequências das cordas. Por isso, a afirmação III também é incorreta.

A razão $\frac{{\mathrm{I}}_{8000}}{{\mathrm{I}}_{500}}$entre as intensidades das ondas sonoras emitidas pelo audiômetro nessas duas frequências é determinada pela expressão para cada intensidade:

$\mathrm{\alpha }\left(\mathrm{f}\right)=10\cdot {\log }_{10}\left(\frac{\mathrm{I}\left(\mathrm{f}\right)}{{\mathrm{I}}_0}\right)$

No gráfico, obtemos a intensidade sonora para cada frequência:

$${\mathrm{I}}_{8000}=50\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dB};$$
$${\mathrm{I}}_{500}=20\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{dB}$$

Para 8000 Hz, temos:

$${\mathrm{\alpha }}_{8000}=10\cdot {\log }_{10}\left(\frac{8000}{{\mathrm{I}}_0}\right)$$
$$50=10\cdot {\log }_{10}\left(\frac{8000}{{\mathrm{I}}_0}\right)$$
$$5={\log }_{10}\left(\frac{8000}{{\mathrm{I}}_0}\right)\stackrel{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}=\mathrm{x}\iff \mathrm{b}={\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}}{\to }$$
$$\frac{8000}{{\mathrm{I}}_0}={10}^5\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(1\right)$$

Para 500 Hz, temos:

$${\mathrm{\alpha }}_{500}=10\cdot {\log }_{10}\left(\frac{500}{{\mathrm{I}}_0}\right)$$
$$20=10\cdot {\log }_{10}\left(\frac{500}{{\mathrm{I}}_0}\right)$$
$$2={\log }_{10}\left(\frac{500}{{\mathrm{I}}_0}\right)\stackrel{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}=\mathrm{x}\iff \mathrm{b}={\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}}{\to }$$
$$\frac{500}{{\mathrm{I}}_0}={10}^2\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(2\right)$$
Fazendo a razão solicitada, temos:

$\frac{{\mathrm{I}}_{8000}}{{\mathrm{I}}_{500}}=\frac{\left(1\right)}{\left(2\right)}=\frac{{10}^5}{{10}^2}$
$\frac{{\mathrm{I}}_{8000}}{{\mathrm{I}}_{500}}={10}^3$

As figuras representam padrões de ondas estacionárias formados na mesma corda. Como a corda é a mesma e suas condições físicas de tensão e densidade linear são mantidas, a velocidade de propagação das ondas é a mesma nos dois casos.

Para uma onda em uma corda, vale a relação:

$v=f\lambda$

em que v é a velocidade de propagação, f é a frequência e λ é o comprimento de onda. Como v é constante, quanto menor o comprimento de onda, maior será a frequência.

Em uma onda estacionária, cada trecho compreendido entre dois nós consecutivos corresponde a meio comprimento de onda, isto é, a$\frac{\lambda }{2}$. Observando os padrões mostrados, o padrão A apresenta quatro desses trechos no mesmo comprimento de corda em que o padrão B apresenta três.

Se L é o comprimento da região considerada, então, para o padrão A:

$L=4·\frac{{\lambda }_A}{2}$

e, para o padrão B:

$L=3·\frac{{\lambda }_B}{2}$

Como o comprimento L é o mesmo nos dois casos, podemos igualar as expressões:

$4{\lambda }_A=3{\lambda }_B$

Portanto:

$\frac{{\lambda }_B}{{\lambda }_A}=\frac{4}{3}$

Como a velocidade de propagação é a mesma e$v=f\lambda$, as frequências são inversamente proporcionais aos respectivos comprimentos de onda. Assim:

$\frac{f_B}{f_A}=\frac{{\lambda }_A}{{\lambda }_B}=\frac{3}{4}$

Sabendo que a frequência do padrão A é 500 Hz:

$f_B=\frac{3}{4}·500=375\text{Hz}$

Em uma corda com as extremidades fixas, o harmônico principal corresponde ao modo fundamental. Nesse modo, o comprimento da corda contém exatamente meia onda, portanto o comprimento da corda L e o comprimento de onda λ estão relacionados por

$L=\frac{\lambda }{2}$

O comprimento informado está em centímetros. Como a pergunta solicita a resposta em metros, é necessário converter 55 cm:

$55\text{cm}=\mathrm{0,55}\text{m}$

Substituindo L = 0,55 m na relação do modo fundamental e isolando λ, obtém-se

$\lambda =2L=2·\mathrm{0,55}\text{m}=\mathrm{1,1}\text{m}$

Tanto na garganta como na boca, a frequência do 2º harmônico (f₂) é o dobro da frequência do fundamental (f₁).

A frequência de batimento é igual a diferença entre as frequências.

Para solucionar este problema, é necessário realizar uma leitura técnica e direta das informações fornecidas pelo gráfico de curvas de igual audibilidade. O enunciado solicita que identifiquemos o nível mínimo de intensidade sonora, expresso em decibels (dB), para que um som com frequência específica seja percebido pelo ouvido humano.

O processo de resolução consiste em localizar a frequência mencionada no eixo horizontal do gráfico e, em seguida, determinar o valor correspondente no eixo vertical, que representa o nível de audibilidade. De acordo com os dados fornecidos, devemos focar na frequência de 90 Hz.

Ao observar a escala logarítmica apresentada na imagem, localizamos o ponto correspondente a 90 Hz no eixo das frequências. Seguindo a projeção vertical desse ponto até encontrar a curva que delimita o limiar de audibilidade, percebemos que o valor indicado no eixo da intensidade sonora é de 40 dB

Portanto, ao interpretar as curvas de sensibilidade auditiva para essa frequência específica, conclui-se que o menor nível de intensidade necessário para a percepção sonora é de aproximadamente 40 dB, o que valida a alternativa D como a correta.

Para garantir que a comunicação oral seja efetiva em um ambiente fechado, o nível sonoro da voz do docente deve ultrapassar o ruído ambiental existente na sala de aula. O enunciado informa que, para assegurar a inteligibilidade da fala, essa diferença mínima deve ser de cinco decibéis. Considerando que o valor máximo do ruído de fundo foi estabelecido em quarenta e cinco decibéis, basta somar esse patamar ao limiar de compreensão necessário para determinar o nível sonoro mínimo aceitável na posição do estudante.

Com o valor alvo de cinquenta decibéis definido, a análise gráfica torna-se a ferramenta principal para encontrar a distância correspondente. O infográfico apresentado no material didático ilustra a atenuação do nível sonoro em função da distância percorrida a partir da fonte emissora. Observando o eixo vertical que representa os decibéis, localizamos a marca de cinquenta unidades e traçamos uma linha horizontal até interceptar a curva de propagação sonora. A partir desse ponto de interseção, projetamos verticalmente sobre o eixo horizontal das distâncias para identificar o valor exato em metros.

A leitura direta do gráfico indica que, quando o nível sonoro cai para cinquenta decibéis, a distância em relação ao professor corresponde exatamente a três metros. Isso significa que qualquer estudante posicionado além desse limite receberá um sinal acústico insuficiente para superar o ruído de fundo e distinguir claramente as palavras articuladas pelo docente. Portanto, a maior distância viável para manter uma boa compreensão da aula é de três metros, o que confirma a alternativa correta.