Exercícios de Acústica com resolução comentada

Em um tubo sonoro aberto nas duas extremidades, as ondas estacionárias podem apresentar um número inteiro de meios comprimentos de onda dentro do tubo. Assim, para o harmônico de ordem n, a relação entre o comprimento do tubo L e o comprimento de onda λ é dada por n meios comprimentos de onda. Por isso, cada harmônico possui uma frequência e um comprimento de onda específicos, mas o mesmo tubo mantém o mesmo comprimento L.

No primeiro harmônico, há meio comprimento de onda no interior do tubo.

Para o primeiro harmônico: \(L = \frac{1 \lambda}{2}\)

No segundo harmônico, há dois meios comprimentos de onda, equivalentes a um comprimento de onda completo.

Para o segundo harmônico: \(L = \frac{2 \lambda}{2}\)

No terceiro harmônico, que é o caso fornecido no enunciado, há três meios comprimentos de onda no interior do tubo.

Para o terceiro harmônico: \(L = \frac{3 \lambda}{2}\)

Para calcular o comprimento do tubo, é conveniente isolar o comprimento de onda λ nessa última relação. Multiplicando os dois lados por 2 e dividindo por 3, obtemos:

\[\lambda = \frac{2 L}{3}\]

A relação fundamental das ondas é v = λ · f, em que v representa a velocidade de propagação da onda, λ é o comprimento de onda e f é a frequência. Como o enunciado fornece a velocidade do som e a frequência do terceiro harmônico, substituímos nessa relação o valor de λ obtido para o terceiro harmônico:

 \(v = \lambda \cdot f \overset{\lambda = \frac{2 L}{3}}{\rightarrow} v = \frac{2 L}{3} \cdot f\)

Nessa expressão, isolamos L. Para isso, multiplicamos os dois lados por 3 e dividimos por 2f:

\[v = \frac{2 L}{3} \cdot f\] \[L = \frac{3 v}{2 f}\]

Agora, usamos a velocidade do som v = 340 m/s e a frequência do terceiro harmônico f = 5,1 kHz. Como 1 kHz = 10³ Hz, a frequência deve ser escrita como 5,1 · 10³ Hz. Essa conversão é necessária para manter as unidades compatíveis com a unidade de velocidade metros por segundo:

\[L = \frac{3 v}{2 f} = \frac{3 \cdot 340 \text{m} / \text{s}}{2 \cdot 5.1 \cdot 10^{3} \text{Hz}} = \frac{1020 \text{m} / \text{s}}{10.2 \cdot 10^{3} \text{Hz}}\] \[L = 0.1 \text{m} = 10 \text{cm}\]

A tensão da corda é causada pelo corpo suspenso. Como o sistema está em equilíbrio e a massa da parte vertical da corda é desprezível, a força de tração na parte horizontal tem o mesmo valor do peso do corpo. Portanto:

\[T = m g = 0,5 \times 10 = 5 \text{N}\]

Assim, a tensão da corda é 5 N. A unidade newton é adequada porque tensão e peso são forças.

A densidade linear da corda, indicada por μ, corresponde à massa por unidade de comprimento. O valor fornecido é 2 g/m, mas é necessário convertê-lo para o Sistema Internacional. Como 1 g = 0,001 kg, temos:

\[\mu = 2 \text{g} / \text{m} = 0,002 \text{kg} / \text{m}\]

Em uma corda tensionada, a velocidade de propagação de uma onda transversal depende de dois fatores: aumenta com a tensão T e diminui quando a densidade linear μ aumenta. Essa relação é expressa por:

\[v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

Substituindo a tensão de 5 N e a densidade linear de 0,002 kg/m, obtemos a velocidade de propagação da onda na corda:

\[v = \sqrt{\frac{5}{0,002}} = \sqrt{2500} = 50 \text{m} / \text{s}\]

Logo, a onda se propaga pela corda com velocidade de 50 m/s.

Como os pontos A e B são nós, nesses pontos a amplitude de oscilação da corda é nula. A distância entre dois nós consecutivos corresponde a meio comprimento de onda. Portanto, o comprimento horizontal da corda deve conter um número inteiro n de meios comprimentos de onda:

\[L = n \frac{\lambda}{2}\]

Para o oitavo harmônico, usamos n = 8. Isolando o comprimento de onda λ, multiplicamos os dois lados da relação por 2 e dividimos por n:

\[\lambda = \frac{2 L}{n} = \frac{2 \times 2,0}{8} = 0,5 \text{m}\]

Assim, no oitavo harmônico, o comprimento de onda é 0,5 m.

A velocidade de propagação, a frequência f e o comprimento de onda λ estão relacionados por:

\[v = f \lambda\]

Para encontrar a frequência, isolamos f, dividindo os dois lados da relação por λ:

\[f = \frac{v}{\lambda} = \frac{50}{0,5} = 100 \text{Hz}\]

Portanto, o oscilador deve ser ajustado para produzir uma frequência de 100 Hz. Isso corresponde à alternativa c).

Em um tubo aberto nas duas extremidades, o modo fundamental apresenta ventres de deslocamento nas aberturas e um nó no ponto central. Por isso, o comprimento do tubo corresponde à metade do comprimento de onda:

\(L = \frac{\lambda}{2}\)

A medida indicada é 68,0 cm. Convertendo para metros, obtém-se L = 0,680 m. Isolando o comprimento de onda na relação anterior:

\(\lambda = 2 L = 2 \cdot 0,680 = 1,36 \text{m}\)

A frequência de uma onda é dada pela razão entre sua velocidade e seu comprimento de onda. Usando a velocidade do som, 340 m/s, e λ = 1,36 m:

\(f = \frac{v}{\lambda} = \frac{340}{1,36} = 250 \text{Hz}\)

A velocidade de propagação do som no ar não depende das características da corda que o produziu. Como as duas cordas vibram no mesmo ambiente, as ondas sonoras se propagam pelo ar com a mesma velocidade. A diferença entre as cordas altera a vibração da fonte sonora, mas não a velocidade do som no meio externo. Assim, a afirmação I é incorreta.

As cordas têm o mesmo comprimento, estão submetidas à mesma tensão e são feitas do mesmo material. A corda B, por ser mais grossa, possui maior massa por unidade de comprimento. Para uma corda tensionada, a frequência fundamental diminui quando a densidade linear aumenta. Portanto, a corda A, que é mais fina, produz uma frequência maior que a corda B. A afirmação II é correta.

A amplitude máxima da vibração está relacionada à maneira como cada corda é excitada, isto é, à intensidade e às condições do toque. Ela não é determinada apenas pela razão entre as frequências das cordas. Por isso, a afirmação III também é incorreta.

A razão solicitada é \(\frac{I_{8000}}{I_{500}}\) entre as intensidades das ondas sonoras emitidas pelo audiômetro em 8000 Hz e 500 Hz. Para determinar essa razão, é necessário relacionar os níveis de intensidade sonora lidos no gráfico com as respectivas intensidades.

A relação fornecida no enunciado é:

\[\alpha \left(f\right) = 10 \cdot log_{10} \left(\frac{I \left(f\right)}{I_{0}}\right)\]

Nessa expressão, α(f) é o nível de intensidade sonora, em decibéis, I(f) é a intensidade da onda sonora na frequência considerada e I₀ é a intensidade correspondente ao limiar da audição. Como o eixo vertical do gráfico aumenta de cima para baixo, os valores indicados devem ser lidos diretamente para cada frequência.

No gráfico, os níveis registrados são:

\[I_{8000} = 50 \text{dB} ;\] \[I_{500} = 20 \text{dB}\]

Para 8000 Hz, substituímos o nível correspondente na relação entre nível e intensidade:

\[\alpha_{8000} = 10 \cdot log_{10} \left(\frac{8000}{I_{0}}\right)\] \[50 = 10 \cdot log_{10} \left(\frac{8000}{I_{0}}\right)\] \[5 = log_{10} \left(\frac{8000}{I_{0}}\right) \overset{log_{a} b = x \Leftrightarrow b = a^{x}}{\rightarrow}\] \[\frac{8000}{I_{0}} = 10^{5} \left(1\right)\]

A última igualdade resulta da definição de logaritmo: se o logaritmo na base 10 de uma grandeza é 5, então essa grandeza é igual a 10 elevado a 5. Assim, a intensidade em 8000 Hz fica expressa em termos da intensidade de referência I₀.

Para 500 Hz, o procedimento é análogo. O nível correspondente é substituído na mesma relação:

\[\alpha_{500} = 10 \cdot log_{10} \left(\frac{500}{I_{0}}\right)\] \[20 = 10 \cdot log_{10} \left(\frac{500}{I_{0}}\right)\] \[2 = log_{10} \left(\frac{500}{I_{0}}\right) \overset{log_{a} b = x \Leftrightarrow b = a^{x}}{\rightarrow}\] \[\frac{500}{I_{0}} = 10^{2} \left(2\right)\]

Fazendo a razão solicitada, temos:

Agora, dividimos a expressão obtida para 8000 Hz pela expressão obtida para 500 Hz. Como ambas estão escritas em função da mesma intensidade de referência I₀, essa referência é incorporada à relação e utilizamos diretamente os resultados das equações (1) e (2):

\[\frac{I_{8000}}{I_{500}} = \frac{\left(1\right)}{\left(2\right)} = \frac{10^{5}}{10^{2}}\] \[\frac{I_{8000}}{I_{500}} = 10^{3}\]

Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base 10 e subtraímos os expoentes, obtendo 5 − 2 = 3. Portanto, a intensidade da onda sonora emitida em 8000 Hz é 10³ vezes a intensidade emitida em 500 Hz.

Logo, a alternativa correta é a letra B.

As figuras representam padrões de ondas estacionárias formados na mesma corda. Como a corda é a mesma e suas condições físicas — especialmente a tensão e a densidade linear — permanecem constantes, a velocidade de propagação da onda é igual nos dois padrões.

Para ondas que se propagam em uma corda, a velocidade relaciona-se com a frequência e o comprimento de onda por:

\[v = f \lambda\]

Nessa relação, v representa a velocidade de propagação da onda, medida em metros por segundo; f é a frequência, medida em hertz; e λ é o comprimento de onda, medido em metros. Como a velocidade é a mesma nos dois casos, frequência e comprimento de onda são grandezas inversamente proporcionais: quando o comprimento de onda aumenta, a frequência diminui.

Em uma onda estacionária, os pontos que permanecem em repouso são chamados de nós. A distância entre dois nós consecutivos corresponde a meio comprimento de onda, isto é, a

\[\frac{\lambda}{2}\]

Ao comparar os padrões da figura, observa-se que, no mesmo comprimento de corda, o padrão A contém quatro trechos entre nós consecutivos, enquanto o padrão B contém três desses trechos. Portanto, se L é o comprimento da região considerada, no padrão A temos:

\[L = 4 \cdot \frac{\lambda_{A}}{2}\]

O fator 4 indica a quantidade de meios comprimentos de onda presentes no padrão A, e λ_A é o comprimento de onda associado a esse padrão.

Para o padrão B, como há três trechos entre nós consecutivos, a mesma região da corda é descrita por:

\[L = 3 \cdot \frac{\lambda_{B}}{2}\]

O comprimento L é igual nos dois padrões, pois se trata da mesma região da mesma corda. Assim, podemos igualar as duas expressões. Ao multiplicar ambos os lados por 2, obtemos:

\[4 \lambda_{A} = 3 \lambda_{B}\]

Isolando a razão entre os comprimentos de onda, concluímos que o comprimento de onda do padrão B é maior que o do padrão A na razão indicada por:

\[\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}} = \frac{4}{3}\]

Como a velocidade de propagação é a mesma nos dois padrões e vale a relação

\[v = f \lambda\]

as frequências são inversamente proporcionais aos comprimentos de onda. Portanto, a razão entre a frequência do padrão B e a frequência do padrão A é o inverso da razão entre os comprimentos de onda:

\[\frac{f_{B}}{f_{A}} = \frac{\lambda_{A}}{\lambda_{B}} = \frac{3}{4}\]

Como a frequência do padrão A é f_A = 500 Hz, a frequência do padrão B será três quartos desse valor:

\[f_{B} = \frac{3}{4} \cdot 500 = 375 \text{ Hz}\]

Logo, a frequência emitida ao vibrar de acordo com o padrão B é 375 Hz, correspondente à alternativa c.