Exercícios de Dilatação Volumétrica com resolução comentada

Dados e definição das grandezas

O volume inicial de água é de 2 L. Como o cálculo será realizado com a variação de volume expressa em mililitros, é necessário converter esse volume para a mesma unidade:

2 L = 2000 mL.

A variação de volume observada é de 0,4 mL. Embora a temperatura tenha diminuído, o volume aumentou; portanto, a variação de volume é positiva.

A variação de temperatura é calculada pela diferença entre a temperatura final e a temperatura inicial:

Variação de temperatura \(\left(ΔT\right) :\)

\[T_{\text{final}} – T_{\text{inicial}} = 0 \circ C – 4 \circ C = – 4 \circ C\]

O sinal negativo indica que ocorreu um resfriamento, isto é, a temperatura final é menor que a temperatura inicial.

Aplicação da dilatação volumétrica

Para uma substância cujo coeficiente de dilatação volumétrica é constante, a variação de volume é dada por:

\[ΔV = V_{0} \cdot \gamma \cdot ΔT\]

Nessa relação, \(ΔV\) representa a variação de volume, \(V_{0}\) é o volume inicial, \(\gamma\) é o coeficiente de dilatação volumétrica e \(ΔT\) é a variação de temperatura. O coeficiente \(\gamma\) mede a variação relativa do volume por unidade de variação de temperatura e, por isso, sua unidade é °C⁻¹.

Substituindo os valores fornecidos, usando mililitros para o volume e para a variação de volume:

\[0.4 = 2000 \cdot \gamma \cdot \left(- 4\right)\]

Multiplicando o volume inicial pela variação de temperatura, obtemos:

\[0.4 = – 8000 \cdot \gamma\]

Agora, isolando \(\gamma\), divide-se ambos os lados da igualdade por −8000:

\[\gamma = \frac{0.4}{- 8000} = – 0.00005 \circ C^{- 1}\]

Escrevendo esse resultado em notação científica:

\[\gamma = – 5 \times 10^{- 5} \circ C^{- 1}\]

O sinal negativo é coerente com o fenômeno descrito: como a temperatura diminui, \(ΔT\) é negativo, enquanto o volume aumenta, de modo que \(ΔV\) é positivo. Portanto, o coeficiente deve ser negativo.

Análise das alternativas

[E] Correta. O coeficiente calculado é \(- 5 \times 10^{- 5} \circ C^{- 1}\). O valor negativo expressa a dilatação anômala da água nesse intervalo: o volume aumenta quando a temperatura diminui.

[A], [B] e [D] Incorretas. Esses valores não correspondem ao resultado obtido, pois apresentam erro no cálculo numérico ou na potência de dez.

[C] Incorreta. Apesar de apresentar o sinal negativo, o valor numérico correto é 5, e não 2.

Logo, a alternativa correta é e) −5×10⁻⁵°C⁻¹.

Inicialmente, o cubo está em equilíbrio e flutua parcialmente. Isso significa que seu peso é igual à força de empuxo exercida pelo líquido. O peso do cubo é determinado pela densidade do material, pelo volume total do cubo e pela aceleração da gravidade. Já o empuxo corresponde ao peso do líquido deslocado, cujo volume é igual ao volume da parte submersa do cubo.

Como o cubo tem lado L, seu volume total é L³. Se h representa a altura submersa, o volume deslocado é a área da base, L², multiplicada por essa altura. Portanto:

Na situação inicial, a altura submersa do cubo era de:

\[P = E\] \[dL^{\cancel{3}} \cancel{g} = \cancel{DL^{2}} h \cancel{g}\] \[h = \frac{dL}{D }\]

Nessa relação, dL³ representa a massa do cubo, enquanto DL²h representa a massa do líquido deslocado. A aceleração da gravidade aparece nos dois lados e, por isso, é cancelada. Assim, a altura inicialmente submersa é proporcional à razão entre a densidade do cubo e a densidade do líquido.

Durante o aquecimento, o lado do cubo aumenta devido à dilatação linear. Como o cubo mantém sua forma, suas três dimensões lineares sofrem o mesmo fator de dilatação. Consequentemente, seu volume aumenta aproximadamente três vezes o aumento linear relativo, pois os termos de ordem superior são desprezíveis em razão de XT ser muito menor que 1.

Densidade do cubo após o aquecimento:

\[V^{′} = V \left(1 + 3 X T\right)\] \[\frac{V^{′}}{\text{m}} = \frac{V}{m} \left(1 + 3 X T\right)\] \[\frac{1}{d^{′}} = \frac{1}{d} \left(1 + 3 X T\right)\] \[d^{′} = \frac{d}{1 + 3 X T}\]

A massa do cubo permanece constante durante o aquecimento, pois não há perda nem ganho de matéria. Como a densidade é a razão entre massa e volume, o aumento do volume faz a densidade diminuir. Por isso, a nova densidade do cubo é d dividida pelo fator de dilatação volumétrica aproximado.

Analogamente, a densidade do líquido será de:

\[D^{′} = \frac{D}{1 + Y T}\]

Para o líquido, o fator de aumento de volume é 1 + YT, pois Y já é o coeficiente de dilatação volumétrica. Assim, a densidade do líquido aquecido é obtida dividindo a densidade inicial D por esse fator.

A condição do problema é que a cota submersa permaneça inalterada. Portanto, a altura h continua sendo a mesma depois do aquecimento. O equilíbrio final ainda exige que o peso do cubo seja igual ao empuxo, agora usando as dimensões e as densidades após a variação de temperatura.

Para o equilíbrio na situação final, devemos ter:

\[P = E^{'}\] \[d^{'} L '^{\cancel{3}} \cancel{g} = D^{'} \cancel{L '^{2}} h \cancel{g}\] \[\frac{\cancel{d}}{1 + 3 XT} \cdot \cancel{L} \left(1 + XT\right) = \frac{\cancel{D}}{1 + YT} \cdot \frac{\cancel{d} \cancel{L}}{\cancel{D}}\] \[\frac{1 + XT}{1 + 3 XT} = \frac{1}{1 + YT}\] \[\cancel{1} + YT + XT + \underset{\approx 0}{\underbrace{XYT^{2}}} = \cancel{1} + 3 XT\] \[2 X \cancel{T} = Y \cancel{T}\] \[X = \frac{Y}{2}\]

Na passagem para a forma simplificada, foram cancelados os fatores comuns associados a d, D, L e à aceleração da gravidade. Em seguida, os denominadores foram eliminados por multiplicação cruzada. O termo que contém XYT² é desprezado porque é de segunda ordem em relação aos pequenos produtos de dilatação, enquanto XT e YT são termos de primeira ordem.

Como a variação de temperatura não é nula, pode-se cancelar T na igualdade final. Obtém-se, assim, a relação necessária entre os coeficientes de dilatação linear do cubo e de dilatação volumétrica do líquido:

Resposta: alternativa a) X = Y/2.

O aquecimento provoca a dilatação do vidro da proveta. Como a proveta foi calibrada a 20 °C e a leitura de 500 mL é feita a 25 °C, é necessário determinar quanto o volume da proveta se altera nesse intervalo de temperatura.

Para uma dilatação pequena e aproximadamente uniforme, a variação volumétrica é dada por:

\[\Delta V = V_{0} \gamma \Delta \theta\]

Nessa expressão, \(\Delta V\) é a variação do volume da proveta, \(V_{0}\) é o volume inicial, \(\gamma\) é o coeficiente de dilatação volumétrica do vidro e \(\Delta \theta\) é a variação de temperatura.

O coeficiente de dilatação volumétrica é três vezes o coeficiente de dilatação linear. Além disso, a temperatura varia de 20 °C para 25 °C, portanto:

\[\Delta V = 500 \cdot 3 \cdot 3.3 \cdot 10^{- 6} \cdot \left(25 – 20\right)\]

O fator \(\left(25 – 20\right)\) corresponde à variação de temperatura, igual a 5 °C. Substituindo esse valor e efetuando a multiplicação, obtém-se:

\[\Delta V \cong 2.5 \cdot 10^{- 2} mL\]

Assim, a dilatação do vidro corresponde a aproximadamente 0,025 mL. Portanto, a diferença entre o volume indicado pela proveta e o volume real do líquido é aproximadamente 0,025 mL, correspondendo à alternativa e).

As arestas do paralelepípedo a 40 °C são 20,0 cm, 10,0 cm e 6,0 cm. Portanto, seu volume inicial é obtido pelo produto das três dimensões:

Volume a 40°C:

\[V_{1} = 20 \times 10 \times 6\] \[V_{1} = 1.200 cm^{3 } .\]

Assim, o volume inicial é 1.200 cm³. Como a temperatura diminui de 40 °C para 0 °C, o alumínio sofre contração térmica, isto é, seu volume diminui.

Para determinar a variação volumétrica, utiliza-se o coeficiente de dilatação volumétrica. Para um sólido isotrópico, esse coeficiente é aproximadamente três vezes o coeficiente de dilatação linear, pois o volume depende de três dimensões que se contraem proporcionalmente. Logo, o coeficiente volumétrico é \(3 \alpha\). A variação de temperatura é a temperatura final menos a inicial, portanto, \(0 – 40\), que é negativa e confirma a contração.

Contração:

\[ΔV = V_{1} \left(3 \alpha\right) \left(0 – 40\right)\]

Substituindo \(V_{1}\) por 1.200 cm³ e \(\alpha\) por \(24 \times 10^{- 5}\) °C⁻¹, obtém-se:

\[ΔV = 1200 \left(72 \times 10^{- 5}\right) \left(- 40\right)\]

O valor \(72 \times 10^{- 5}\) corresponde a \(3 \alpha\), e o fator \(- 40\) representa a variação negativa de temperatura. O resultado da variação volumétrica é:

\[ΔV = – 34.56 cm^{3 } .\]

O sinal negativo indica que o volume diminuiu 34,56 cm³. Para encontrar o volume final, soma-se a variação ao volume inicial. Como a variação é negativa, essa soma equivale a uma subtração:

Volume final:

\[V = V_{1} + ΔV\] \[V = 1.200 – 34.56\] \[V = 1.165 , 44 cm^{3 } .\]

Portanto, o volume a 0,0 °C é aproximadamente 1.165,6 cm³, considerando o arredondamento adotado nas alternativas. A resposta correta é a alternativa a) 1165,6.

Para determinar o deslocamento do ponto B, analisam-se separadamente as componentes horizontal e vertical da dilatação do poste. Como o ponto A permanece fixo, o ponto B se desloca devido às variações das dimensões do poste nas direções x e y.

O coeficiente fornecido é o coeficiente de dilatação volumétrica γ. Para um material isotrópico, o coeficiente de dilatação linear é dado por α = γ/3. Além disso, a variação de temperatura é representada por T.

Dilatação linear na direção x:

Nessa direção, o comprimento inicial indicado na figura é L/4. Aplicando a relação da dilatação linear, a variação de comprimento é proporcional ao coeficiente de dilatação linear, ao comprimento inicial e à variação de temperatura:

\[\begin{matrix}Δx & = αL_{x 0} Δθ \\ Δx & = \frac{\gamma}{3} \cdot \frac{L}{4} \cdot T \\ Δx & = \frac{γLT}{12 }\end{matrix}\]

Assim, substituindo α por γ/3, o comprimento inicial por L/4 e a variação de temperatura por T, obtém-se Δx = γLT/12.

Dilatação linear na direção y:

Na direção vertical, o comprimento inicial considerado é L. Portanto, utiliza-se novamente a expressão da dilatação linear, agora com esse comprimento:

\[Δy = αL_{y 0} Δθ\] \[Δy = \frac{\gamma}{3} \cdot L \cdot T\] \[Δy = \frac{yLT}{3 }\]

Logo, a componente vertical do deslocamento é obtida multiplicando o coeficiente linear γ/3 pelo comprimento inicial L e pela variação de temperatura T.

Deslocamento resultante do ponto B:

As componentes Δx e Δy são perpendiculares entre si. Portanto, o módulo do deslocamento resultante Δr é calculado pelo teorema de Pitágoras:

\[Δr = \sqrt{Δx^{2} + Δy^{2}}\] \[Δr = \sqrt{\left(\frac{γLT}{12}\right)^{2} + \left(\frac{γLT}{3}\right)^{2}}\] \[Δr = \frac{\sqrt{17} γLT}{12 }\]

Ao substituir as duas componentes na expressão do teorema de Pitágoras e simplificar, chega-se ao módulo do deslocamento do ponto B. Portanto, o deslocamento indicado é o da alternativa D.

Como os braços da balança têm o mesmo comprimento, o equilíbrio ocorre quando os torques produzidos pelos dois pratos são iguais. Como os recipientes têm massas iguais e contêm volumes iguais do mesmo líquido, a diferença inicial entre os pesos só pode estar relacionada às massas dos líquidos.

Foi necessário colocar um contrapeso no prato da esquerda para restabelecer o equilíbrio. Isso significa que, antes da colocação do contrapeso, o prato da esquerda estava mais leve que o da direita; portanto, a massa do líquido no recipiente da esquerda era menor.

Para uma mesma substância ocupando o mesmo volume, uma menor massa corresponde a uma menor densidade, pois a densidade é dada pela razão entre massa e volume. Nesse caso, a redução da densidade ocorre porque o líquido da esquerda sofreu maior dilatação térmica.

Assim, o líquido do recipiente da esquerda está a uma temperatura maior que o líquido do recipiente da direita. Logo:

\[\theta_{1} > \theta_{2}\]

Essa relação corresponde à alternativa A.

Ao analisar os coeficientes de expansão térmica fornecidos, observa-se que o petróleo apresenta um coeficiente de dilação volumétrica significativamente superior ao coeficiente de dilatação linear do recipiente de vidro. Como o petróleo é um fluido e seu coeficiente é dado em termos volumétricos, enquanto o vidro é um sólido com expansão linear, a variação de volume da substância líquida será muito mais intensa do que a variação de volume do frasco contêiner quando submetidos ao mesmo aumento de temperatura.

Devido a essa disparidade nas taxas de expansão, o volume ocupado pelo petróleo crescerá além da capacidade de armazenamento do recipiente, resultando no transbordamento do líquido. Esse excedente que sai do frasco é tecnicamente classificado como dilatação aparente. A dilatação real do petróleo corresponde ao somatório da variação volumétrica sofrida pelo vidro com o volume que efetivamente transbordou.

Ao aquecer o conjunto de 20°C para 140°C, tanto o mercúrio quanto o recipiente de vidro sofrem dilatação. Como o recipiente estava completamente cheio inicialmente, o volume que extravasa corresponde à diferença entre o aumento de volume do mercúrio e o aumento da capacidade interna do recipiente:

\[ΔV_{\text{ext}} = ΔV_{m} – ΔV_{r}\]

Nessa expressão, ΔV_ext é o volume extravasado, ΔV_m é a variação de volume do mercúrio e ΔV_r é a variação do volume interno do recipiente. A variação de volume de um material é calculada por ΔV = VγΔθ, em que γ é o coeficiente de dilatação volumétrica e Δθ é a variação de temperatura.

Como os dados fornecem coeficientes de dilatação linear, utiliza-se a relação aproximada γ ≅ 3α para sólidos e líquidos quando o coeficiente informado é tratado dessa forma no problema. Assim, para o mercúrio e para o vidro:

\[ΔV_{\text{ext}} = V_{\gamma_{m}} Δθ – V_{\gamma_{r}} Δθ\]

O volume inicial do mercúrio e o volume interno inicial do recipiente são ambos iguais a V. Além disso, a variação de temperatura é:

\[ΔV_{\text{ext}} = V \cdot \left(3 \cdot 61 \cdot 10^{- 6} – 3 \cdot 9 \cdot 10^{- 6}\right) \cdot 120^{\circ}\]

Na substituição, o termo 3 · 61 · 10⁻⁶ representa o coeficiente de dilatação volumétrica aproximado do mercúrio, enquanto 3 · 9 · 10⁻⁶ representa o do vidro. A diferença entre esses termos indica que o mercúrio aumenta de volume mais do que a capacidade do recipiente. Como a temperatura aumenta 120°C, essa diferença é multiplicada por 120:

\[ΔV_{\text{ext}} = 18.72 \cdot 10^{- 3} \text{V}\]

Portanto, o volume extravasado corresponde a 18,72 · 10⁻³V. Para expressar esse volume como percentual do volume inicial, multiplica-se a razão por 100%:

\[\% \left( V\right)_{e x t} = 18.72 \cdot 10^{- 3} \text{V} \cdot 100 \% \cong 2 \% V\]

Assim, aproximadamente 2% do volume inicial de mercúrio extravasa. Portanto, a alternativa correta é b) 2%V.

Para compreender a dinâmica da dilatação térmica de substâncias líquidas, é fundamental analisar o comportamento conjunto do fluido e do seu invólucro. Quando um recipiente totalmente preenchido sofre um aumento de temperatura, tanto o líquido quanto o material que o contém tendem a expandir seus volumes.

A variação volumétrica efetiva observada, conhecida como dilatação aparente, corresponde ao montante de líquido que transborda durante esse processo térmico. Esse fenômeno ocorre porque a expansão do fluido é, em regra, superior à expansão do recipiente. Portanto, o volume que extravasa representa a diferença entre o quanto o líquido expandiu de fato e o quanto o recipiente se dilatou para acomodar essa nova dimensão.

Matematicamente, essa relação estabelece que a dilatação real do líquido é composta pela soma da sua dilatação aparente com a dilatação ocorrida no recipiente. Assim, a dilatação aparente é obtida subtraindo-se o aumento de volume do recipiente da expansão total do líquido.