Exercícios de Centro de Massa com resolução comentada

O movimento do centro de massa é determinado pela velocidade de cada partícula e por suas respectivas massas. Para um sistema formado pelas partículas A e B, a velocidade do centro de massa é a média ponderada das velocidades das partículas:

\[v_{\text{CM}} = \frac{m_{A} v_{A} + m_{B} v_{B}}{m_{A} + m_{B}} = \frac{m_{B}}{m_{A} + m_{B}} \text{V}\]

Nessa expressão, \(m_{A}\) e \(m_{B}\) são as massas das partículas A e B, respectivamente, enquanto \(v_{A}\) e \(v_{B}\) são suas velocidades. Como a partícula A está inicialmente em repouso, sua velocidade é nula. A partícula B, por sua vez, move-se para a direita com velocidade de módulo \(V\). Por isso, o termo associado à partícula A desaparece, e resta apenas a contribuição da velocidade de B, ponderada pela razão entre sua massa e a massa total do sistema.

Como \(\frac{m_{B}}{m_{A} + m_{B}} <</mo>1,\) a velocidade do centro de massa tem módulo menor que \(V\). Além disso, o fator multiplicativo é constante, pois as massas não mudam; portanto, a velocidade do centro de massa também é constante. Como esse fator é positivo e a única velocidade não nula é a de B, o centro de massa se desloca no mesmo sentido do movimento de B, isto é, para a direita.

Assim, a alternativa correta é c) O centro de massa move-se com velocidade de módulo constante inferior a V, no mesmo sentido de movimento de B.

A resolução deste problema fundamenta-se no princípio da conservação do centro de massa para sistemas isolados. Uma vez que a resistência da água é ignorada, não existem forças externas horizontais atuando sobre o conjunto, o que obriga a posição do centro de massa (CM) do sistema composto pelo pescador e pela canoa a permanecer inalterada em relação ao referencial.

No estado inicial, com o pescador posicionado na borda esquerda e o CM da embarcação centralizado, o ponto de equilíbrio do conjunto total situa-se no meio do caminho entre o homem e o centro da canoa, dado que ambos possuem massas idênticas. Durante o deslocamento do indivíduo para a direita, ocorre uma interação de forças internas onde a canoa é empurrada para a esquerda enquanto o pescador avança para a direita. Esse movimento recíproco garante que o CM não sofra translação.

Ao atingir a extremidade oposta, o equilíbrio do sistema exige que o deslocamento da canoa para trás compense exatamente o avanço do pescador. Como as massas são equivalentes, a configuração final deve manter o centro de massa na mesma coordenada horizontal original, resultando em uma embarcação deslocada para a esquerda e um homem posicionado na sua extremidade direita.

As opções A, C e E estão incorretas por não respeitarem a proporção de massa ou por indicarem um sentido de movimento da canoa incompatível com as leis físicas. Já a opção B falha ao sugerir que a embarcação ficaria estática, o que desconsideraria a conservação do momento linear e a ação das forças de reação durante a caminhada.

Para determinar o novo centro de massa, considera-se cada placa como uma massa concentrada em seu respectivo centro de massa. Como as placas são homogêneas, o centro de massa de cada uma coincide com seu centro geométrico.

As duas primeiras placas já fornecem as parcelas utilizadas no cálculo original: a placa quadrada tem massa 2 kg e centro de massa nas coordenadas (2, 3), enquanto a placa retangular tem massa 3 kg e centro de massa nas coordenadas (10, 5). A nova placa circular tem massa 3 kg e centro de massa em (2, 1).

O centro de massa de um sistema de partículas ou placas é obtido calculando-se a média ponderada das coordenadas, em que cada coordenada é multiplicada pela massa correspondente e, depois, divide-se pela massa total do sistema. A massa total das três placas é a soma de suas massas, isto é, 2 kg + 3 kg + 3 kg.

Para a coordenada horizontal, somam-se os produtos de cada massa pela respectiva coordenada x. Assim, entram os termos correspondentes às coordenadas horizontais 2, 10 e 2:

\[x_{c} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 10 + 3 \cdot 2}{2 + 3 + 3} = 5\]

O numerador reúne os momentos das três massas em relação ao eixo vertical. A divisão pela massa total fornece a coordenada horizontal do centro de massa, resultando em x_c = 5.

De modo análogo, para a coordenada vertical, utilizam-se as coordenadas y dos centros de massa, que são 3, 5 e 1, respectivamente. Cada uma é multiplicada pela massa da placa correspondente:

\[y_{c} = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 1}{2 + 3 + 3} = 3\]

O resultado da média ponderada das coordenadas verticais é y_c = 3. Portanto, o centro de massa do conjunto das três placas localiza-se no ponto:

\[c_{M} = \left(5.3\right)\]

Logo, as coordenadas do novo centro de massa são (5; 3), o que corresponde à alternativa d).

I. Falsa. Para um ponto situado a uma distância d do centro da Terra, a força gravitacional exercida pela Terra é dada pela lei da gravitação universal. Igualando essa força ao produto da massa do objeto pela aceleração da gravidade, obtém-se:

\[P = F_{\text{grav}}\] \[\cancel{m} g = \frac{GM \cancel{m}}{d^{2}}\] \[g = \frac{GM}{d^{2}}\]

Nessas expressões, G é a constante da gravitação universal, M é a massa da Terra, m é a massa do objeto e d é a distância entre o centro da Terra e o ponto considerado. A massa do objeto aparece nos dois lados da igualdade e é cancelada, mostrando que a aceleração da gravidade não depende da massa do objeto.

A relação mostra que o módulo da aceleração da gravidade g é inversamente proporcional ao quadrado da distância d. Isso significa que, quando a distância ao centro da Terra aumenta, o valor de g diminui segundo essa relação. Entretanto, a afirmação trata da variação da aceleração, e não diretamente da aceleração em cada ponto. Portanto, a relação inversamente proporcional ao quadrado da distância aplica-se à aceleração da gravidade, não à sua variação. Por isso, a afirmativa I é falsa.

II. Verdadeira. Uma haste cilíndrica homogênea possui distribuição uniforme de massa ao longo de seu volume. Em um corpo homogêneo e com formato cilíndrico, essa distribuição uniforme faz com que o centro de massa coincida com o centro geométrico do cilindro.

Assim, independentemente de a haste se estender da superfície da Terra até a altitude indicada, seu centro de massa está localizado no ponto central de sua geometria, isto é, no centro geométrico. Logo, a afirmativa II é verdadeira.

III. Falsa. Um movimento uniformemente variado é aquele em que a aceleração permanece constante ao longo do tempo. No caso descrito, o objeto é abandonado de uma altitude de 12.940 km e se aproxima da Terra durante a queda.

Como a distância entre o objeto e o centro da Terra diminui, o módulo da aceleração da gravidade aumenta de acordo com a relação inversa ao quadrado da distância. Portanto, mesmo desprezando a resistência do ar, a aceleração não permanece constante. O movimento é variado, mas não uniformemente variado. Logo, a afirmativa III é falsa.

Somente a afirmativa II está correta. Portanto, a alternativa correta é d) somente II está correta.

Como a placa possui distribuição de massa uniforme, seu centro de massa O deve estar localizado sobre o eixo de simetria do triângulo isósceles. Esse eixo passa pelo vértice B e pelo ponto médio da base AC. Portanto, o segmento BO divide o ângulo formado pelos lados BA e BC em duas partes iguais.

O ângulo indicado no enunciado é reto:

\[\hat{ABC} = 90^{\circ}\]

Como BO é o eixo de simetria, ele bisseta esse ângulo de 90°. Assim, cada uma das duas partes mede metade de 90°:

\[\hat{ABO} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}\]

Logo, o ângulo \(\hat{ABO}\) mede 45°, portanto a alternativa correta é c) 45.

Como o cilindro rola sem deslizar, a distância percorrida pelo seu centro de massa corresponde ao comprimento da superfície horizontal sobre o qual o cilindro avançou. Em uma volta completa, o cilindro avança uma distância igual ao comprimento de sua circunferência.

O comprimento de uma circunferência de raio R é dado por \(2 πR .\) Portanto, após uma volta completa, o centro de massa percorre essa mesma distância.

O ponto A, situado na superfície do cilindro, também acompanha o movimento de rolamento. Considerando o percurso correspondente a uma volta completa, sua distância percorrida é igualmente associada ao comprimento da circunferência da base do cilindro, isto é, \(2 πR .\)

Assim, os percursos percorridos pelo centro de massa e pelo ponto A são, respectivamente, 2πR e 2πR. Portanto, a alternativa correta é d).

Considere o movimento do aro ao longo do plano inclinado. Como o plano é liso e o aro rola sem deslizar, a força de atrito é estática: ela não dissipa energia, mas é necessária para produzir o torque que faz o aro girar. Seja d o comprimento do plano inclinado, θ seu ângulo de inclinação, a a aceleração do centro de massa e F_a o módulo da força de atrito.

Na direção paralela ao plano, a componente do peso que acelera o aro é

\[mg sen \theta – F_{a} = ma\]

A relação entre a altura h, o comprimento d e o ângulo do plano é

\[mg \cdot \frac{h}{d} – F_{a} = ma\]

Isso ocorre porque \[\frac{h}{d}\] representa \[sen \theta\]. Isolando a força de atrito nessa equação, obtemos

\[F_{a} = m \left(\frac{gh}{d} – a\right)\]

Para que o aro role sem deslizar, a força de atrito deve produzir um torque em relação ao centro de massa. O torque é igual ao produto da força pelo raio, enquanto a dinâmica de rotação é dada pelo momento de inércia multiplicado pela aceleração angular. Assim, usando a relação entre a aceleração angular e a aceleração linear, temos

\[F_{a} R = lα\]

Como o momento de inércia do aro é \[mR^{2}\] e, no rolamento sem deslizamento, a aceleração angular é relacionada à aceleração do centro de massa por \[\frac{a}{R}\], a equação do torque fica

\[F_{a} R = mR^{2} \cdot \frac{a}{R}\]

Substituindo a expressão da força de atrito na equação de rotação, o raio é cancelado e resulta

\[m \left(\frac{gh}{d} – a\right) = ma\]

Dividindo os dois lados por m e reorganizando os termos, encontramos a aceleração do centro de massa:

\[a = \frac{gh}{2 d}\]

O aro parte do repouso, portanto sua velocidade inicial é nula. Como a aceleração é constante ao longo do plano, usamos a equação de Torricelli:

\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2 ad\]

Como \[v_{0}^{2}\] é zero e \[a = \frac{gh}{2 d}\], substituímos esses valores na equação:

\[v^{2} = 2 \cdot \frac{gh}{2 d} \cdot d\]

O fator d é cancelado, restando

\[v = \sqrt{gh}\]

Portanto, a velocidade do centro de massa do aro ao passar pela base do plano inclinado é √(gh). A alternativa correta é d).

A análise da dinâmica desse sistema deve partir do princípio de que a ausência de forças de atrito entre os componentes e o ambiente torna o conjunto formado pela pessoa, pelo bloco e pela placa um sistema mecanicamente isolado. Nesse cenário, as interações que ocorrem quando a pessoa empurra o objeto são classificadas como forças internas ao sistema, uma vez que não há nenhuma força externa resultante atuando sobre o conjunto para alterar seu estado de movimento global.

De acordo com as leis da física, especificamente no que diz respeito à conservação do centro de massa, forças internas podem provocar deslocamentos relativos entre os corpos (fazendo com que a pessoa e o bloco se movam em direções opostas), mas são incapazes de modificar a posição do centro de massa do sistema como um todo. Como não há uma força externa horizontal para impulsionar o conjunto sobre a água, o centro de massa permanece estático. Consequentemente, enquanto houver movimento entre os corpos internos, a placa de gelo permanecerá em sua posição original, mantendo o equilíbrio em relação ao lago.

O centro de massa de um sistema de partículas é obtido por uma média ponderada das coordenadas de cada partícula. Isso significa que partículas de maior massa contribuem mais para a posição do centro de massa. Para cada coordenada, multiplica-se a massa da partícula pela sua coordenada correspondente e, em seguida, divide-se a soma desses produtos pela massa total do sistema.

Assim, para as partículas A, B e C, a massa total é a soma das massas individuais: 1 kg + 2 kg + 2 kg. Aplicando a definição do centro de massa separadamente às coordenadas horizontais e verticais, temos:

\[\begin{array}{l}\begin{cases} x_{\text{CM}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{m_{i} x_{i}}{m_{i}} = \frac{m_{A} x_{A} + m_{B_{x_{B}}} + m_{C} x_{C}}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} = \frac{1 \left(4\right) + 2 \left(2\right) + 2 \left(6\right)}{1 + 2 + 2} = \frac{20}{5} \Rightarrow \underline{x_{\text{CM}} = 4 \text{m}\right|} \\ y_{\text{CM}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{m_{i} y_{i}}{m_{i}} = \frac{m_{A} y_{A} + m_{B} y_{B} + m_{C} y_{C}}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} = \frac{1 \left(2\right) + 2 \left(1\right) + 2 \left(3\right)}{1 + 2 + 2} = \frac{10}{5} \\ \underline{y_{\text{CM}} = 2 \text{m}\right|} \end{cases}\end{array}\]

Na coordenada x, os produtos massa vezes posição são 1(4), 2(2) e 2(6). A soma desses produtos é 20, e a massa total é 5 kg; por isso, a coordenada horizontal do centro de massa é 4 m. Analogamente, na coordenada y, a soma dos produtos é 10, que, dividida pela massa total de 5 kg, resulta em 2 m.

Portanto, as coordenadas do centro de massa do sistema serão:

\[\left(x_{C M} , y_{C M}\right) = \left(4.2\right)\]

Logo, a alternativa correta é c) (4, 2).

Para determinar a posição do centro de massa, adotamos a posição da massa m₁ como origem do eixo. Assim, sua coordenada é x₁ = 0 cm. De acordo com as distâncias indicadas na figura, as coordenadas das outras partículas são x₂ = 6 cm e x₃ = 10 cm.

O centro de massa de um sistema de partículas é obtido pela média ponderada das posições, em que cada posição é multiplicada pela respectiva massa. Portanto, utiliza-se a expressão

\[x_{C M} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3}}{\left( m\right)_{1} + m_{2} + m_{3}}\]

No numerador, calculamos a contribuição de cada partícula para a posição do centro de massa. A massa m₁ não contribui para o momento porque está na origem, isto é, sua posição é zero. As massas m₂ e m₃ contribuem, respectivamente, com os produtos 3 · 6 e 5 · 10. No denominador, somamos as três massas:

\[x_{C M} = \frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 6 + 5 \cdot 10}{2 + 3 + 5}\]

O numerador representa a soma dos momentos das massas em relação à origem, enquanto o denominador corresponde à massa total do sistema. Efetuando as operações, obtemos:

\[x_{C M} = 6.8 c m\]

Logo, o centro de massa está a 6,8 cm da massa m₁. Portanto, a alternativa correta é b) 6,8.