Exercícios de Cinemática Vetorial - Física com o BFFísica com o BF

Tente resolver cada exercício antes de abrir a resposta. As resoluções ficam disponíveis logo abaixo de cada questão.

Questões desta lista

Questão 1

Enem 2025

Segundo o princípio da independência dos movimentos, de Galileu, sempre que a velocidade resultante de um corpo puder ser decomposta em duas ou mais componentes perpendiculares entre si, cada um desses movimentos poderá ser analisado separadamente como se os outros não existissem. Esse princípio é muito útil para a simplificação de alguns problemas reais, em três dimensões.

Considere um avião que, ao decolar, é instruído pela torre a atingir, em 6 minutos, uma posição de 20 km a Leste, 20 km a Norte e 1 km de altitude em relação ao ponto de decolagem, conforme a figura (fora de escala). No entanto, no instante da decolagem, começa a soprar um vento cujo vetor velocidade tem componentes 30 km/h para Leste, 20 km/h para Sul e 1 km/h de cima para baixo.

Imagem da questão 1 sobre teoria

Durante a ação do vento, a velocidade que o piloto deve estabelecer em relação ao ar para que o avião chegue à posição esperada no tempo indicado tem as componentes

A.230 km/h para Leste, 180 km/h para Sul e 9 km/h para baixo.
B.230 km/h para Leste, 180 km/h para Norte e 9 km/h para cima.
C.200 km/h para Oeste, 200 km/h para Norte e 10 km/h para cima.
D.170 km/h para Leste, 220 km/h para Norte e 11 km/h para cima.
E.170 km/h para Leste, 180 km/h para Norte e 11 km/h para cima.

Ver resposta e resolução da questão 1

Resposta: D

Considerando a atividade do vento, as velocidades que o piloto deve desenvolver são:

$\{\begin{cases} v_{Leste}^{avião} + v_{Leste}^{vento} = \frac{{Δs}_{Leste}}{Δt} \\ v_{Norte}^{avião} - v_{Sul}^{vento} = \frac{{Δs}_{Norte}}{Δt} \\ v_{cima}^{avião} - v_{baixo}^{vento} = \frac{{Δs}_{cima}}{Δt} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} v_{Leste}^{avião} + 30 = \frac{20}{\frac{6}{60}} \\ v_{Norte}^{avião} - 20 = \frac{20}{\frac{6}{60}} \\ v_{cima}^{avião} - 1 = \frac{1}{\frac{6}{60}} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} v_{Leste}^{avião} = 170 km / h \\ v_{Norte}^{avião} = 220 km / h \\ v_{cima}^{avião} = 11 km / h \end{cases}$

Questão 2

Uece 2024

Dois móveis A e B partem juntos da origem, em t = 0s, em trajetórias retilíneas seguindo direções que formam ângulo de 60°. Suas funções horárias são S_A (t) = 40t e S_B (t) = 30t + 5t² em unidades do (SI). A distância, em metros, entre os móveis A e B dois segundos após o início do movimento é

A.
B.80.
C.0.
D.

Ver resposta e resolução da questão 2

Resposta: B

Distância percorrida pelos móveis A e B:

Como ambos saíram da origem das posições, as posições ocupadas no tempo de dois segundos será a distância percorrida neste tempo em linha reta.

$S_{A} (t = 2 s) = 40 \cdot 2 ∴ S_{A} (t = 2 s) = 80 m$

$S_{B} (t = 2 s) = 30 \cdot 2 + 5 \cdot 2^{2} ∴ S_{B} (t = 2 s) = 80 m$

Como a distância percorrida é a mesma pelos dois móveis e o ângulo entre as trajetórias é de 60°, a distância entre os dois móveis em dois segundos deve ser a mesma, ou seja, 80 m com este trecho configurando a formação de um triângulo equilátero.

Imagem da resolução da questão 2 sobre teoria

Aplicando-se a lei dos cossenos, comprova-se a distância x:

$x^{2} = 80^{2} + 80^{2} - 2 \cdot 80^{2} \cdot \cos 60^{\circ} \overset{\cos 60 ° = 05,}{\to}$
$x^{2} = 80^{2} + 80^{2} - 2 \cdot 80^{2} \cdot 0, 5 \Rightarrow$
$x^{2} = 80^{2} + 80^{2} - 80^{2} \Rightarrow$
$x^{2} = 80^{2} x = 80 m$

Questão 3

Ime 2024

Imagem da questão 3 sobre teoria

Na figura, uma partícula S e os pontos extremos A e B de um espelho plano movem-se no plano xy de acordo com as seguintes equações paramétricas para as coordenadas (em metros) em função do instante t > 0 (em segundos):

${\begin{cases} x_{A} (t) = 5 + t \\ y_{A} (t) = - 5 - 2 t \end{cases} {\begin{matrix} x_{B} (t) = 10 + t \\ y_{B} (t) = - 5 - 2 t \end{matrix} {\begin{cases} x_{S} (t) = sen (t) \\ y_{S} (t) = \cos (t) \end{cases}$

Observação:

– o plano do espelho é ortogonal ao plano xy.

A maior velocidade escalar atingida pela imagem da partícula no espelho, em m/s, é:

Ver resposta e resolução da questão 3

Resposta: D

De acordo com as equações dadas, o espelho permanece na direção horizontal e a sua velocidade vertical é de –2 m/s. A partícula descreve uma circunferência, e a sua velocidade vale:

$x_{S} (t)^{2} + y_{S} (t)^{2} = 1$
${\begin{matrix} v_{x} (t) = \frac{{dx}_{S}}{dt} = \cos (t) \\ v_{y} (t) = \frac{{dy}_{S}}{dt} = - sen (t) \end{matrix} \Rightarrow v (t) = \sqrt{\cos^{2} (t) + [- {sen}^{2} (t)]} = 1 m / s$

A velocidade da imagem é dada por:

$v_{img} = 2 v_{esp}^{y} - v_{S}^{y}$

E o seu valor máximo vale:

$v_{i m g}^{m a ́ x} = 2 \cdot 2 - (- 1)$
$v_{i m g}^{m a ́ x} = 5 m / s$

Questão 4

Esc. Naval 2024

Considere uma partícula se movimentando em um plano xy. Sabendo que as coordenadas cartesianas da partícula são x = t² e y = (t – 1)², com x e y medidos em metros e t em segundos, em que instante, em segundos, a velocidade da partícula é mínima?

Ver resposta e resolução da questão 4

Resposta: B

A velocidade da partícula é dada por:

$\{\begin{cases} v_{x} = \frac{{dt}^{2}}{dt} = 2 t \\ v_{y} = \frac{d (t - 1)^{2}}{dt} = 2 (t - 1) \end{cases} \Rightarrow v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{4 t^{2} + 4 (t^{2} - 2 t + 1)} = 2 \sqrt{2 t^{2} - 2 t + 1}$

Para que ela seja mínima, devemos ter $\frac{dv}{dt} = 0 .$ Logo:

$\frac{d (2 \sqrt{2 t^{2} - 2 t + 1})}{dt} = 0 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2 t^{2} - 2 t + 1}} \cdot (4 t - 2) = 0 \Rightarrow 4 t - 2 = 0$
$t = 0, 5 s$

Questão 5

Enem 2024

Para os circuitos de maratonas aquáticas realizadas em mares calmos e próximos à praia, é montado um sistema de boias que determinam o trajeto a ser seguido pelos nadadores. Uma das dificuldades desse tipo de circuito é compensar os efeitos da corrente marinha. O diagrama contém o circuito em que deve ser realizada uma volta no sentido anti-horário. As quatro boias estão numeradas de 1 a 4. Existe uma corrente marinha de velocidade ${\vec{ν}}_{c},$ cujo módulo é 30 metros por minuto, paralela à praia em toda a área do circuito. Nas arestas mais longas, o nadador precisará nadar na direção apontada pelos vetores ${\vec{ν}}_{n}$ dos pontos 1 até 2 e de 3 até 4. Considere que a velocidade do nadador é de 50 metros por minuto, em relação à água, durante todo o circuito.

Imagem da questão 5 sobre teoria

Nessa situação, em quantos minutos o nadador completará a prova?

Ver resposta e resolução da questão 5

Resposta: B

A figura ilustra as orientações da velocidade da correnteza $({\vec{v}}_{c}),$ do nadador $({\vec{v}}_{n}),$ bem como a velocidade resultante dessas duas velocidades, em cada trecho.

Imagem da resolução da questão 5 sobre teoria

Calculando o módulo da velocidade resultante em cada trecho:

$v_{12}^{2} + v_{c}^{2} = v_{n}^{2} \Rightarrow v_{12}^{2} + 30^{2} = 50^{2} \Rightarrow v_{12}^{2} = 1600 \Rightarrow v_{12} = 40 m / \min .$
$v_{23} = v_{n} - v_{c} = 50 - 30 \Rightarrow v_{23} = 20 m / \min .$
$v_{34}^{2} + v_{c}^{2} = v_{n}^{2} \Rightarrow v_{34}^{2} + 30^{2} = 50^{2} \Rightarrow v_{34}^{2} = 1600 \Rightarrow v_{34} = 40 m / \min .$
$v_{42} = v_{n} + v_{c} = 50 + 30 \Rightarrow v_{41} = 80 m / \min .$

Somando os tempos:

$Δt = {Δt}_{12} + {Δt}_{23} + {Δt}_{34} + {Δt}_{41} \Rightarrow Δt = \frac{800}{40} + \frac{400}{20} + \frac{800}{40} + \frac{400}{80} \Rightarrow$
$Δt = 20 + 20 + 20 + 5 Δt = 65 \min .$

Questão 6

Efomm 2024

Uma roda circular de trator rola em linha reta sobre o chão horizontal sem escorregar. Uma partícula A da extremidade da roda descreve uma curva (chamada cicloide) cuja equação cartesiana é x = arcos(1−y)−√(2y−y²) com x e y medidos em metros em um sistema de coordenadas cuja origem está sobre o solo, com eixo x paralelo ao solo. Enquanto a partícula se desloca desde o contato com o solo até o ponto mais alto da roda, sua coordenada y varia desde o mínimo até o máximo valor para os quais a expressão para x é real. A razão entre o módulo da velocidade de A (em relação ao solo) e sua componente horizontal no instante em que A possui coordenada y = 1,62 vale

Ver resposta e resolução da questão 6

Resposta: E

Derivando a equação dada, obtemos:

$\frac{dx}{dt} = - \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - y)^{2}}} \cdot (- 1) \cdot \frac{dy}{dt} - \frac{1}{2 \sqrt{2 y - y^{2}}} \cdot (2 - 2 y) \cdot \frac{dy}{dt}$
$v_{x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - y)^{2}}} \cdot v_{y} + \frac{y - 1}{\sqrt{1 - (1 - y)^{2}}} \cdot v_{y}$
$v_{x} = \frac{y}{\sqrt{1 - (1 - y)^{2}}} \cdot v_{y}$
$\frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{\sqrt{1 - (1 - y)^{2}}}{y}$

Logo:

$v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$
${(\frac{v}{v_{x}})}^{2} = 1 + {(\frac{v_{y}}{v_{x}})}^{2}$
${(\frac{v}{v_{x}})}^{2} = 1 + {(\frac{\sqrt{1 - (1 - y)^{2}}}{y})}^{2}$
${(\frac{v}{v_{x}})}^{2} = 1 + \frac{1 - (1 - y)^{2}}{y^{2}}$
${(\frac{v}{v_{x}})}^{2} = \frac{2}{y}$

Para y = 1,62:

${(\frac{v}{v_{x}})}^{2} = \frac{2}{1, 62} = \frac{200}{162} = \frac{100}{81}$
$\frac{v}{v_{x}} = \frac{10}{9}$

Questão 7

Fmj 2023

Uma pessoa saiu da Faculdade de Medicina, caminhou 200 m pela rua Francisco Teles, entrou à esquerda na rua Regente Feijó, onde caminhou por 250 m, entrou à direita na rua Frei Caneca, caminhou 200 m por ela e, finalmente, entrou à esquerda na rua Tibiriçá, por onde caminhou mais 50 m até o seu destino.

Imagem da questão 7 sobre teoria

Considerando que essas ruas são perpendiculares entre si, o vetor que representa o deslocamento dessa pessoa entre a Faculdade de Medicina e o seu destino tem módulo igual a

Ver resposta e resolução da questão 7

Resposta: A

O módulo do vetor deslocamento da pessoa vale:

Imagem da resolução da questão 7 sobre teoria

$d^{2} = 400^{2} + 300^{2}$
$d = \sqrt{25 \cdot 100^{2}}$
$d = 500 m$

Questão 8

Unichristus – Medicina 2022

A figura a seguir apresenta o percurso realizado por um pedestre tendo como ponto de partida e de chegada a mesma localização física, como mostrado na imagem. O espaço percorrido no trajeto do pedestre foi de aproximadamente 3.400 m. O tempo que o pedestre levou para percorrer esse trajeto foi de 680 segundos.

Imagem da questão 8 sobre teoria

Sobre a velocidade vetorial do pedestre no percurso indicado na figura, dentro do intervalo de posição indicado, constata-se que o(a)

A.módulo da velocidade média vetorial nos primeiros 380 s foi de 2,5 m/s.
B.velocidade vetorial é constante, uma vez que o pedestre não parou em local nenhum.
C.módulo da velocidade vetorial média é nulo.
D.velocidade vetorial tem módulo constante em todo o percurso.
E.módulo da velocidade média vetorial no percurso completo foi de 5 m/s.

Ver resposta e resolução da questão 8

Resposta: C

Como o deslocamento vetorial foi nulo, podemos afirmar que o módulo da velocidade vetorial média também é nulo.

Questão 9

Unicentro 2022

A localização de qualquer endereço, em um mapa, requer duas informações em relação a dois eixos de referência. Se, conforme ilustrado no mapa a seguir, adotarmos os eixos $\hat{i}$ e $\hat{j},$ a posição do Campus Santa Cruz é escrita como $P_{5 c} = 10 \hat{i} + 1 \hat{j}$ e a posição do Campus Cedeteg é escrita como $P_{c} = 2 \hat{i} + 11 \hat{j} .$

Imagem da questão 9 sobre teoria

Considerando o vetor deslocamento entre o Campus Cedeteg e o Campus Santa Cruz e a escala do mapa em que cada unidade seja igual a 250 m, assinale a alternativa que apresenta, correta e respectivamente, a velocidade vetorial média (vm) e seu módulo (|Vm|) em km/h, quando o percurso entre os dois campi é realizado em um intervalo de tempo igual a 1 hora.

A. $Vm = (2, 5 \hat{i} - 2, 0 \hat{j}) e |Vm| = 6, 4$
B. $Vm = (2, 0 \hat{i} + 2, 5 \hat{j}) e |Vm| = 3, 2$
C. $Vm = (2, 5 \hat{i} - 2, 0 \hat{j}) e |Vm| = 3, 2$
D. $Vm = (2, 0 \hat{i} - 2, 5 \hat{j}) e |Vm| = 6, 4$
E. $Vm = (2, 5 \hat{i} - 2, 0 \hat{j}) e |Vm| = 6, 4$

Ver resposta e resolução da questão 9

Resposta: A

A velocidade vetorial média e o seu módulo são dados por:

$\vec{V m} = \frac{P S C - P C}{Δ t} = \frac{[10 \hat{i} + 1 \hat{j} - (2 \hat{i} + 1 \hat{j})] \cdot 0, 25}{1}$

$V m = (2, 0 \hat{i} - 2, 5 \hat{j}) k m / h$
$| \vec{V m} | = \sqrt{2^{2} + (- 2, 5)^{2}} = \sqrt{10, 25}$
$| V m | = 3, 2 k m / h$

Questão 10

Uerj 2022

Ao mergulhar no mar, um banhista sente-se mal e necessita ser socorrido. Observe na imagem quatro trajetórias possíveis − I, II, III e IV − que o salva-vidas, localizado no ponto A, pode fazer para alcançar o banhista, no ponto B.

Imagem da questão 10 sobre teoria

Desprezando a força da correnteza, a fim de que o socorro seja feito o mais rapidamente possível, o salva-vidas deve optar pela seguinte trajetória:

A.I
B.II
C.III
D.IV

Ver resposta e resolução da questão 10

Resposta: C

Todos os 4 pares de conjuntos de vetores possuem o mesmo vetor resultante quando somados, porém, como a velocidade na terra é maior do que na água, o caminho a ser escolhido deve buscar minimizar ambas as componentes, mas principalmente a componente sobre a água. Sendo assim, o salva-vidas deve optar pelo caminho III.