Exercícios de Aceleração Centrípeta com resolução comentada

Para compreender a representação vetorial solicitada, é fundamental analisar as características cinemáticas de um movimento circular uniforme (MCU). No caso descrito, o carrinho percorre uma trajetória circular com módulo de velocidade constante, o que define o regime de uniformidade do movimento.

Em qualquer trajetória curva, o vetor velocidade possui sempre uma orientação tangencial à curva no ponto considerado. Isso significa que a direção da velocidade é perpendicular ao raio da circunferência naquele instante específico, acompanhando o sentido do deslocamento do objeto.

No entanto, embora o valor numérico (módulo) da velocidade não mude, sua direção está em constante alteração para que o carrinho consiga realizar a curva. Essa mudança de direção é causada pela presença de uma aceleração específica, denominada aceleração centrípeta. Diferente da aceleração tangencial, que alteraria a rapidez do movimento, a aceleração centrípeta atua exclusivamente na mudança de orientação do vetor velocidade.

A característica essencial da aceleração centrípeta é que ela é sempre direcionada para o centro geométrico da trajetória circular. Portanto, em um sistema de coordenadas local, o vetor velocidade aponta ao longo da tangente à circunferência, enquanto o vetor aceleração aponta radialmente para o interior do círculo.

Ao analisar as opções gráficas fornecidas, busca-se a configuração onde o vetor velocidade seja tangente à trajetória e o vetor aceleração esteja orientado perpendicularmente a ele, apontando para o centro. A Figura (a) é a única que atende rigorosamente a esses critérios físicos de orientação vetorial para um movimento circular uniforme, validando a alternativa A como a correta.

Para compreender o movimento do veículo de Fórmula 1 descrito no problema, é fundamental analisar a natureza da aceleração em trajetórias curvilíneas. Quando um objeto realiza uma curva, sua velocidade pode ser alterada de duas formas: pelo módulo (intensidade) ou pela direção do vetor velocidade. No caso relatado, o enunciado afirma explicitamente que o velocímetro indica uma velocidade constante, o que significa que o módulo da velocidade não sofre variações ao longo do percurso.

A ausência de variação no valor numérico da velocidade implica que a aceleração tangencial é inexistente. A aceleração tangencial é a componente responsável por aumentar ou diminuir a rapidez com que o carro se desloca, atuando na mesma linha da trajetória. Como não há mudança na intensidade do movimento, essa grandeza é nula.

Entretanto, para que ocorra uma mudança de direção e o carro consiga efetivamente realizar a curva no Autódromo de Interlagos, deve existir uma componente de aceleração voltada para o centro da trajetória. Essa grandeza é denominada aceleração centrípeta. A função da aceleração centrípeta é alterar apenas a orientação do vetor velocidade, mantendo seu módulo inalterado.

A aceleração centrípeta possui características geométricas específicas: ela atua sempre de forma perpendicular ao vetor velocidade e está posicionada sobre o raio da curva. Por essa razão, dizemos que sua direção é radial, apontando invariavelmente para o centro do arco percorrido, ou seja, para dentro da curva.

Conclui-se, portanto, que diante de um movimento circular uniforme ou de uma trajetória curvilínea com módulo de velocidade constante, a única aceleração presente é a centrípeta, cuja direção é radial e cujo sentido é voltado para o interior da curvatura executada pelo automóvel, validando a alternativa B.

Enquanto o bloco permanece em repouso relativo ao disco, a força de atrito estático é responsável por fornecer a força resultante horizontal necessária para acompanhar o movimento circular. No instante em que o bloco começa a deslizar, o módulo dessa força atinge seu valor máximo, dado por μN. Como não há aceleração vertical, a força normal é igual ao peso, isto é, N = mg. Portanto:

\[F_{a t} = F_{R}\] \[\mu N = m a\]

A aceleração resultante do bloco possui duas componentes perpendiculares. A componente tangencial é causada pela aceleração angular do disco e altera o módulo da velocidade. Já a componente centrípeta aponta para o centro do disco e altera a direção da velocidade. Como essas componentes são perpendiculares, o módulo da aceleração total é obtido pelo teorema de Pitágoras:

\[a = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{\text{cp}}^{2}} ,\]

A aceleração tangencial é o produto da aceleração angular pela distância ao centro. Assim, como o bloco está a uma distância d do centro:

\[a_{t} = \alpha d\]

O disco parte do repouso e possui aceleração angular constante. Por isso, sua velocidade angular no instante t é proporcional ao tempo. A aceleração centrípeta é dada pelo quadrado da velocidade angular multiplicado pela distância ao centro:

\[a_{c p} = \omega^{2} d = \left(\alpha t\right)^{2} d\]

No limite do deslizamento, a força de atrito disponível é máxima, de modo que \(\mu N\) passa a ser igual à força resultante necessária para produzir simultaneamente as acelerações tangencial e centrípeta. Substituindo \(N = m g\) e as duas componentes da aceleração:

\[\begin{array}{l}μmg = m \sqrt{\left(αd\right)^{2} + \left(\alpha^{2} t^{2} d\right)^{2}} \\ \mu^{2} g^{2} = \alpha^{2} d^{2} + \alpha^{4} t^{4} d^{2}\end{array}\] \[\begin{array}{l}t^{4} = \frac{\mu^{2} g^{2} – \alpha^{2} d^{2}}{\alpha^{4} d^{2}} \\ t^{4} = \frac{\mu^{2} g^{2}}{\alpha^{4} d^{2}} – \frac{1}{\alpha^{2}}\end{array}\] \[t = \left[\left(\frac{μg}{\alpha^{2} d}\right)^{2} – \frac{1}{\alpha^{2}}\right]^{1 / 4}\]

Na passagem para a segunda igualdade, a massa é cancelada dos dois lados. Em seguida, a expressão é elevada ao quadrado para eliminar a raiz e, depois, os termos são reorganizados para isolar t. Por fim, como aparece t elevado à quarta potência, extraímos a raiz quarta, obtendo o tempo até o início do deslizamento.

Logo, a expressão encontrada corresponde à alternativa d). Portanto, a resposta correta é D.

Na queda livre, desprezando a resistência do ar, a pedra está submetida à aceleração gravitacional. Essa aceleração tem módulo constante e é dirigida verticalmente para baixo. Portanto, a aceleração tangencial da pedra \(\left(a_{T}\right)\) tem módulo igual à aceleração da gravidade.

No caso da criança, o carrossel gira com velocidade angular constante. Isso significa que o movimento é circular uniforme: embora o módulo da velocidade permaneça constante, sua direção muda continuamente. Essa mudança de direção caracteriza uma aceleração centrípeta, sempre orientada para o centro da trajetória.

Se o raio da trajetória é \(r\) e a velocidade angular é constante, o módulo da aceleração centrípeta também permanece constante, pois depende apenas de grandezas constantes: o quadrado da velocidade angular e o raio da trajetória.

Assim, os módulos das acelerações envolvidas podem ser representados por

\[\begin{cases} \text{Pedra}:\textrm{ } \left|\left(\overset{\rightarrow}{a}\right)_{T}\right| = g . \\ \text{Crian}\dot{c}\text{a}:\textrm{ } \left|\left(\overset{\rightarrow}{a}\right)_{C}\right| = \omega^{2} r . \end{cases}\]

Na primeira relação, \(g\) representa o módulo da aceleração da gravidade. Na segunda, \(\omega\) é a velocidade angular e \(r\) é o raio da trajetória. Embora a direção da aceleração centrípeta da criança mude durante a rotação, seu módulo permanece constante.

Logo, tanto a pedra quanto a criança sofrem acelerações de módulos constantes. Portanto, a alternativa correta é c).

Em um movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta é a aceleração dirigida para o centro da trajetória. Seu módulo pode ser calculado pela relação entre a velocidade tangencial v e o raio da órbita r:

\[a_{c} = \frac{v^{2}}{r}\]

Nessa expressão, a_c é a aceleração centrípeta, medida em metros por segundo ao quadrado, v é a velocidade orbital da Lua, em metros por segundo, e r é o raio da órbita, que corresponde à distância entre a Terra e a Lua.

Como a Lua completa uma volta em um período T, sua velocidade tangencial é o comprimento da circunferência, 2πr, dividido pelo tempo necessário para percorrê-la, T. Assim, substituindo v por 2πr/T na expressão da aceleração centrípeta, obtemos:

\[a_{c} = \frac{\left(2 πr\right)^{2}}{T^{2} r}\]

O período fornecido está em dias, mas, para que a aceleração seja expressa em m/s², é necessário convertê-lo para segundos. Um dia possui 24 horas, cada hora possui 60 minutos e cada minuto possui 60 segundos. Portanto:

\[T = 27.3 \text{dias} \times 24 \text{horas} \times 60 \text{min} \times 60 \text{s} = 2.36 \cdot 10^{6} \text{s}\]

O raio da órbita é r = 3,8 × 10⁸ m. Adotando π = 3, conforme indicado no desenvolvimento, a substituição do raio e do período na fórmula resulta em:

\[a_{c} = \frac{\left(2 \cdot 3 \cdot 3.8 \cdot 10^{8}\right)^{2}}{\left(2.36 \cdot 10^{6}\right)^{2} \cdot 3.8 \cdot 10^{8}}\]

Nessa substituição, o numerador representa o quadrado da velocidade tangencial multiplicado pela estrutura necessária da expressão, enquanto o denominador contém o quadrado do período e o raio. Após efetuar as operações numéricas, simplificar as potências de 10 e manter as unidades compatíveis, encontra-se:

\[a_{c} = 2.45 \cdot 10^{- 3} \text{m} / s^{2}\]

Logo, a aceleração centrípeta da Lua é 2,45 × 10⁻³ m/s². Esse valor corresponde à alternativa c).

Para compreender a dinâmica do automóvel descrito no problema, é fundamental analisar as características de um movimento realizado em uma trajetória curva, como é o caso de uma pista circular. Em qualquer deslocamento que não seja retilíneo, ocorre uma mudança contínua na direção do vetor velocidade, mesmo que o seu módulo permanecesse constante.

A aceleração de um corpo em movimento pode ser decomposta em duas componentes fundamentais: a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta. A componente tangencial está relacionada à variação do módulo da velocidade ao longo do tempo, enquanto a componente centrípeta é responsável exclusivamente pela mudança na direção do vetor velocidade, apontando sempre para o centro da curvatura percorrida.

No cenário apresentado, o enunciado informa que o veículo percorre uma pista circular e que existem dois instantes distintos com velocidades v₁ e v₂, sendo que o módulo de v₁ é maior que o de v₂. Essa variação nos módulos indica a existência de uma aceleração tangencial, mas o ponto crucial para a resolução reside na natureza da trajetória. Como o automóvel está em um movimento circular, a direção do vetor velocidade muda constantemente para acompanhar a curva.

Essa alteração direcional exige obrigatoriamente a presença de uma aceleração voltada para o centro da trajetória, denominada aceleração centrípeta. Independentemente de o módulo da velocidade aumentar, diminuir ou permanecer constante, enquanto houver curvatura no caminho, o valor dessa componente não será nulo, pois é ela que sustenta a mudança de sentido do movimento.

Portanto, conclui-se que, por se tratar de um deslocamento em trajetória circular, o automóvel possui uma aceleração centrípeta com módulo diferente de zero, validando a afirmação correta da questão.