Exercícios de Lançamento Vertical

Como a altura h vai diminuindo com o tempo ao quadrado, pois trata-se de um movimento de queda livre, a equação representa uma função quadrática com a concavidade para baixo e quando a bolinha bate no solo, sendo a altura final igual à altura inicial, o coeficiente de restituição é igual à um e esse segundo movimento significa um lançamento vertical para cima, ou seja, agora a bola sobe mas com aceleração para baixo, sendo também uma perna de parábola com a concavidade para baixo. Alternativa correta letra [C].

$\mathrm{h}=-\frac{\mathrm{g}}{2}{\mathrm{t}}^2$

Etapa 1: Altura ao final do 1º segundo 

${\mathrm{S}}_1={\mathrm{v}}_0·\mathrm{t}–\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2=30·1–5·1^2–30–5=25 \mathrm{m}$

Etapa 2: Altura ao final do 4º segundo 

${\mathrm{S}}_4=30·4–5·4^2=120–80=40 \mathrm{m}$

Etapa 3: Altura máxima (ponto mais alto da trajetória)

No ponto mais alto , a velocidade é zero. A altura máxima ocorre em :

${\mathrm{t}}_{\mathrm{máx}}=\frac{\mathrm{v}0}{\mathrm{g}}=\frac{30}{10}=3\mathrm{s}$

Etapa 5: Intervalo de tempo

$∆\mathrm{t}=4–1=3\mathrm{s}$

Etapa 6: Velocidade escalar média

${\mathrm{v}}_{\mathrm{média} \mathrm{escalar}}=\frac{\mathrm{distância} \mathrm{total}}{∆\mathrm{t}}=\frac{25}{3}\approx 8,3\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Análise das incorretas:

[B] Incorreta. Este valor seria a velocidade média vetorial (deslocamento/tempo), pois $\frac{40–25}{3}=5$.

[C] Incorreta. Valor desconexo com a média aritmética das velocidades ou distâncias.

[D] Incorreta. Valor superestimado que não considera a inversão do sentido do movimento.

Partindo de uma velocidade inicial positiva, esta diminui linearmente de acordo com a equação ${\mathrm{v}}_{\mathrm{s}}={\mathrm{v}}_0-{\mathrm{g}\mathrm{t}}_{\mathrm{s}}$ até se tornar nula no ponto de altura máxima. Após o início da descida, o módulo da velocidade volta a aumentar até se equiparar ao da velocidade inicial (momento em que retorna ao ponto de lançamento) de acordo com a equação ${\mathrm{v}}_{\mathrm{d}}={\mathrm{g}\mathrm{t}}_{\mathrm{d}}$. Portanto, o gráfico da velocidade este corretamente representado pela alternativa [A].

$$\mathrm{H}={\mathrm{H}}_0+{\mathrm{V}}_0\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{gt}}^2}{2}$$
$$\mathrm{H}=0+15\mathrm{t}-\frac{10{\mathrm{t}}^2}{2}$$
$$\mathrm{H}=15\mathrm{t}-5{\mathrm{t}}^2$$
$$\mathrm{t}=1,5\mathrm{s}$$
$$\mathrm{H}=15\cdot 1,5-5(1,5{)}^2$$
$$\mathrm{H}=22,5-11,25$$
$$\mathrm{H}=11,25\mathrm{m}$$

Observação: o valor de $\mathrm{t}=1,5\mathrm{s}$ veio de uma análise gráfica, mas caso queira uma prova matemática, segue logo abaixo. Lembre-se no ponto mais alto da trajetória a velocidade é zero.

$$\mathrm{V}={\mathrm{V}}_0+\mathrm{at}$$
$$0=15-10\mathrm{t}$$
$$\mathrm{t}=1,5\mathrm{s}$$

$${\mathrm{H}}_0=0 \mathrm{m}$$
$${\mathrm{t}}_1=10 \mathrm{s}$$
$${\mathrm{a}}_1=5 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$
$${\mathrm{a}}_2=\mathrm{g}=-10 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$

1ª etapa: foguete sobe do chão durante $10\mathrm{s}$ com aceleração de $5 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$

$\begin{array}{l}{\mathrm{H}}_1={\mathrm{H}}_0+{\mathrm{V}}_0\mathrm{t}+\frac{1}{2}{\mathrm{a}}_1{\mathrm{t}}_1^2\\ {\mathrm{H}}_1=\frac{5}{2}{10}^2\Rightarrow {\mathrm{H}}_1=250 \mathrm{m}\\ {\mathrm{V}}_1={\mathrm{V}}_0+{\mathrm{a}}_1{\mathrm{t}}_1\\ {\mathrm{V}}_1=50 \mathrm{m}/\mathrm{s} \left(\mathrm{ii}\right)\end{array} \left(\mathrm{i}\right)$

2ª etapa: foguete continua subindo com desaceleração da gravidade até atingir a altura máxima ${\mathrm{H}}_2.$

$${\mathrm{V}}_2^2={\mathrm{V}}_1^2+2{\mathrm{a}}_2({\mathrm{H}}_2-{\mathrm{H}}_1)$$
$$0={50}^2+2\cdot (-10)\cdot ({\mathrm{H}}_2-250)$$
$${\mathrm{H}}_2=375 \mathrm{m} \left(\mathrm{iii}\right)$$
$$$$
$${\mathrm{V}}_2={\mathrm{V}}_1+{\mathrm{a}}_2·({\mathrm{t}}_2–{\mathrm{t}}_1)$$
$$0=50+(–10)·({\mathrm{t}}_2–10)$$
$${\mathrm{t}}_2=5 \mathrm{s} \left(\mathrm{iv}\right)$$

Depois dos $10\mathrm{s}$ subindo, o foguete subiu por mais $5 \mathrm{s},$ até adquirir velocidade zero.

3ª etapa: Foguete desce com aceleração da gravidade.

$${\mathrm{H}}_3={\mathrm{H}}_2+{\mathrm{V}}_2\cdot \mathrm{\Delta t}+\frac{1}{2}\mathrm{a}\cdot {\mathrm{\Delta t}}^2$$
$$0=375+0-5{\mathrm{t}}_3^2$$
$${\mathrm{t}}_3\cong 8,7 \mathrm{s}$$
$$$$
$${\mathrm{t}}_{\mathrm{t}}={\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2+{\mathrm{t}}_3\Rightarrow {\mathrm{t}}_{\mathrm{t}}=10+5+8,7\Rightarrow {\mathrm{t}}_{\mathrm{t}}\cong 23,7\mathrm{s}$$

Portanto, conforme indica a alternativa [A], a altura máxima atingida será de $375\mathrm{m}$ e o tempo total de $23,7 \mathrm{s}.$

Supondo para baixo a orientação da trajetória e sabendo que o movimento é uniforme optamos pela letra [D]. A aceleração é constante e positiva. A velocidade varia linearmente com o tempo a partir de uma velocidade inicial negativa e a posição varia segundo uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima.

Gabarito Oficial: [A]

Gabarito SuperPro®: [D]

Equacionando os dois movimentos, igualando os espaços percorridos (como está no enunciado) e substituindo os respectivos tempos, vem:

$\begin{array}{cl}\mathrm{A}\to {\mathrm{\Delta S}}_{\mathrm{A}}& ={\mathrm{v}}_{0\mathrm{A}}{\mathrm{t}}_{\mathrm{A}}-\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}_{\mathrm{A}}^2\Rightarrow {\mathrm{\Delta S}}_{\mathrm{A}}=20{\mathrm{t}}_{\mathrm{A}}-5{\mathrm{t}}_{\mathrm{A}}^2\Rightarrow {\mathrm{\Delta S}}_{\mathrm{A}}=20\left(3\right)-5(3{)}^2=15\mathrm{m}.\\ \mathrm{B}\to {\mathrm{\Delta S}}_{\mathrm{B}}& ={\mathrm{v}}_{0\mathrm{B}}{\mathrm{t}}_{\mathrm{B}}-\frac{1}{2}{\mathrm{at}}_{\mathrm{B}}^2\Rightarrow {\mathrm{\Delta S}}_{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{a}}{2}{\mathrm{t}}_{\mathrm{B}}^2\Rightarrow 155=\frac{\mathrm{a}}{2}(5{)}^2\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{30}{25}\Rightarrow \\ \mathrm{a}& =1,2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.\end{array}$

Observação: para se chegar à resposta do gabarito oficial, deve-se trocar no enunciado a palavra espaço pela palavra distância, como mostrado a seguir, pois espaço percorrido é diferente de distância percorrida.

Calculando o tempo de subida do móvel A:

$v=v_0-gt\Rightarrow 0=20-10t_{\text{sub}}\Rightarrow t_{\text{sub}}=2\mathrm{s}$

A distância percorrida pelo móvel $\mathrm{A}$ em $3\mathrm{s}$ corresponde à distância percorrida na subida, em $2\mathrm{s},$ somada à distância percorrida na descida, em $1\mathrm{s}$.

Assim:

$${\mathrm{d}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{d}}_{\mathrm{sub}}+{\mathrm{d}}_{\mathrm{desc}}\Rightarrow {\mathrm{d}}_{\mathrm{A}}=20\left(2\right)-5(2{)}^2+5(1{)}^2=25\mathrm{m}.$$
$${\mathrm{d}}_{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{a}}{2}{\mathrm{t}}_{\mathrm{B}}^2\Rightarrow 25=\frac{\mathrm{a}}{2}(5{)}^2\Rightarrow \mathrm{a}=2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$$