Exercícios de Lançamento Vertical com resolução comentada

A altura da bolinha deve ser analisada em função do tempo em cada etapa do movimento. Enquanto ela cai, parte do repouso e sofre a aceleração da gravidade, dirigida para baixo. Por isso, sua altura diminui cada vez mais rapidamente, e a relação entre altura e tempo é representada por um trecho de parábola com concavidade voltada para baixo.

Desprezando a resistência do ar e considerando a queda livre, a variação da altura pode ser representada por:

\[h = – \frac{g}{2} t^{2}\]

Nessa expressão, h representa a altura da bolinha, g é o módulo da aceleração da gravidade e t é o tempo decorrido. O sinal negativo indica que a altura diminui à medida que o tempo aumenta. O termo t² mostra que se trata de uma relação quadrática, portanto o gráfico não é uma reta.

Ao atingir o chão, a bolinha muda o sentido de seu movimento e passa a subir. Como o enunciado informa que ela retorna praticamente à altura de origem, considera-se que a colisão conserva praticamente a mesma altura máxima, correspondendo a um coeficiente de restituição aproximadamente igual a 1. Depois do quique, a bolinha realiza um lançamento vertical para cima: sua velocidade é inicialmente dirigida para cima, mas a aceleração da gravidade continua dirigida para baixo. Assim, a altura volta a aumentar, diminui sua taxa de crescimento até atingir a altura máxima e, em seguida, começa novamente a diminuir.

Consequentemente, o gráfico deve apresentar trechos parabólicos com concavidade para baixo, unidos nos instantes em que a bolinha toca o chão, e com a altura máxima após o quique praticamente igual à altura inicial. O gráfico que representa esse comportamento é o da alternativa C.

Etapa 1: posição ao final do 1º segundo

Adota-se o sentido para cima como positivo. Como o lançamento ocorre a partir do solo, a posição em um instante qualquer é determinada pela função horária da posição no movimento vertical uniformemente variado: a posição inicial é zero, a velocidade inicial é de 30 m/s e a aceleração da gravidade é considerada igual a 10 m/s², dirigida para baixo.

Para o instante correspondente ao final do primeiro segundo, utiliza-se:

\[S_{1} = v_{0} \cdot t – \frac{1}{2} gt^{2} = 30 \cdot 1 – 5 \cdot 1^{2} – 30 – 5 = 25 \text{m}\]

Assim, ao final do primeiro segundo, a esfera está a 25 m do ponto de lançamento. Essa posição será o ponto inicial do intervalo de tempo analisado.

Etapa 2: posição ao final do 4º segundo

Agora, substitui-se o instante de 4 s na mesma relação horária. O termo correspondente ao movimento inicial é obtido multiplicando a velocidade inicial pelo tempo, enquanto o termo subtraído representa o efeito da aceleração da gravidade durante esse intervalo:

\[S_{4} = 30 \cdot 4 – 5 \cdot 4^{2} = 120 – 80 = 40 \text{m}\]

Logo, ao final do quarto segundo, a esfera está a 40 m de altura em relação ao solo.

Etapa 3: determinação do ponto mais alto

Durante a subida, a velocidade da esfera diminui por causa da aceleração da gravidade. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade instantânea torna-se nula. O instante em que isso ocorre é calculado dividindo a velocidade inicial pelo módulo da aceleração da gravidade:

\[t_{\text{m}\acute{a}\text{x}} = \frac{v 0}{g} = \frac{30}{10} = 3 \text{s}\]

Portanto, a esfera atinge a altura máxima no final do terceiro segundo. Isso é importante porque o intervalo entre o primeiro e o quarto segundo inclui uma mudança de sentido: a esfera ainda sobe entre 1 s e 3 s e desce entre 3 s e 4 s.

Etapa 4: distância percorrida entre o 1º e o 4º segundo

No instante de 1 s, a esfera está a 25 m de altura. No instante de 3 s, ela atinge a altura máxima. Como a esfera foi lançada com velocidade inicial de 30 m/s e a gravidade vale 10 m/s², a altura máxima é 45 m. Assim, durante a subida entre 1 s e 3 s, ela percorre 20 m.

Entre 3 s e 4 s, a esfera já está descendo. Nesse intervalo, sua altura passa de 45 m para 40 m, de modo que ela percorre mais 5 m. A distância total não é obtida apenas pela diferença entre as posições inicial e final, pois houve uma inversão do sentido do movimento.

Somando os trechos percorridos, a distância total no intervalo considerado é de 25 m.

Etapa 5: intervalo de tempo

O intervalo começa no final do primeiro segundo e termina no final do quarto segundo. Portanto, sua duração é:

\[\Delta t = 4 – 1 = 3 \text{s}\]

Isso significa que a distância percorrida deve ser dividida por 3 s, e não pelo instante final isoladamente.

Etapa 6: velocidade escalar média

A velocidade escalar média é definida pela razão entre a distância total percorrida e o intervalo de tempo correspondente. Como a distância total foi de 25 m e o intervalo durou 3 s, obtém-se:

\[v_{média escalar} = \frac{distância total}{\Delta t} = \frac{25}{3} \approx 8.3 \text{m} / \text{s}\]

O resultado é aproximadamente 8,3 m/s.

Análise das alternativas incorretas:

[B] Incorreta. O valor de 5,0 m/s é obtido ao considerar apenas a variação líquida da posição entre os instantes inicial e final do intervalo, dividida pelo tempo:

\[\frac{40 – 25}{3} = 5\]

Esse procedimento utiliza o deslocamento, que é uma grandeza vetorial, e não a distância total percorrida. Como a esfera muda de sentido no ponto mais alto, o deslocamento não representa todo o caminho realizado. Por isso, esse valor corresponde à velocidade média vetorial em módulo, e não à velocidade escalar média solicitada.

[C] Incorreta. O valor de 3,2 m/s não resulta da razão correta entre a distância total percorrida, que é 25 m, e o intervalo de tempo, que é 3 s. Portanto, não representa a velocidade escalar média desse movimento.

[D] Incorreta. O valor de 12,0 m/s é maior que o resultado correto porque não considera adequadamente a inversão do sentido do movimento e a distância efetivamente percorrida entre os instantes de 1 s e 4 s.

Assim, a velocidade escalar média da esfera entre o final do primeiro segundo e o final do quarto segundo é aproximadamente 8,3 m/s. Portanto, a alternativa correta é a) 8,3 m/s.

Adotando o sentido vertical para cima como positivo, a bola parte com velocidade inicial positiva. Como a resistência do ar é desprezada, a única aceleração atuante é a da gravidade, dirigida para baixo e constante. Por isso, a velocidade varia uniformemente com o tempo, conforme a relação

\[v_{s} = v_{0} – \left(g t\right)_{s}\]

Nessa expressão, v_s representa a velocidade durante a subida, v₀ é a velocidade inicial, g é o módulo da aceleração da gravidade e t_s é o tempo decorrido desde o lançamento. O sinal negativo indica que a gravidade reduz continuamente a velocidade orientada para cima.

Durante a subida, a velocidade diminui linearmente: começa com valor positivo e se aproxima de zero. No instante em que a bola atinge a altura máxima, ela muda de sentido. Nesse ponto, sua velocidade é momentaneamente nula, embora a aceleração da gravidade continue atuando.

Após esse instante, inicia-se a descida. Considerando novamente o sentido para cima como positivo, a velocidade passa a ser negativa, pois a bola se move para baixo. Ao mesmo tempo, o módulo da velocidade aumenta progressivamente até alcançar o mesmo valor do módulo da velocidade inicial quando a bola retorna ao ponto de lançamento. A variação durante a descida também é uniforme, podendo ser representada, em termos de módulo, por

\[v_{d} = \left(g t\right)_{d}\]

Assim, o gráfico da velocidade em função do tempo deve ser uma reta decrescente: inicia acima de zero, cruza o eixo do tempo no instante de altura máxima e continua abaixo de zero durante a descida. Portanto, o gráfico é corretamente representado pela alternativa A.

Como o movimento é vertical e a resistência do ar é desprezada, a altura da partícula pode ser descrita pela função horária do movimento uniformemente variado. Considerando como origem o ponto de lançamento, temos

\[H = H_{0} + V_{0} t – \frac{gt^{2}}{2}\]

Nessa expressão, H representa a altura no instante t, H₀ é a altura inicial, V₀ é a velocidade inicial e g é o módulo da aceleração da gravidade. Como o ponto de lançamento é tomado como referência, H₀ é igual a zero. Além disso, a gravidade atua no sentido oposto ao movimento inicial, razão pela qual o termo correspondente à aceleração aparece com sinal negativo. Substituindo os valores fornecidos, obtemos

\[H = 0 + 15 t – \frac{10 t^{2}}{2}\]

O primeiro termo é nulo porque a altura inicial foi escolhida como zero. Além disso, a divisão de 10 por 2 resulta em 5. Assim, a função da altura em relação ao tempo fica

\[H = 15 t – 5 t^{2}\]

Pelo gráfico, a altura máxima ocorre no instante de 1,5 s. Esse é o instante em que a partícula atinge o ponto mais alto antes de iniciar a descida. Substituindo esse instante na função da altura, temos

\[t = 1.5 \text{s}\] \[H = 15 \cdot 1.5 – 5 \left(1.5\right)^{2}\]

Calculando os dois termos, o primeiro representa a contribuição da velocidade inicial para a altura, enquanto o segundo corresponde à redução causada pela gravidade durante o intervalo de tempo considerado

\[H = 22.5 – 11.25\]

Portanto, a altura máxima medida em relação ao ponto de lançamento é

\[H = 11.25 \text{m}\]

Observação: o valor de \(t = 1.5 \text{s}\) veio de uma análise gráfica. Também é possível justificá-lo matematicamente, pois, no ponto mais alto da trajetória, a velocidade instantânea da partícula é igual a zero. Usando a equação da velocidade no movimento uniformemente variado, temos

\[V = V_{0} + at\]

Como a aceleração da gravidade é dirigida para baixo, ela tem sinal negativo quando se adota para cima como sentido positivo. No ponto mais alto, V é zero, portanto

\[0 = 15 – 10 t\]

Isolando o tempo, encontramos

\[t = 1.5 \text{s}\]

Assim, a altura máxima atingida foi de 11,25 m em relação ao ponto de lançamento. Portanto, a alternativa correta é b)

Adota-se o sentido vertical para cima como positivo e considera-se

\[H_{0} = 0 \text{m}\] \[t_{1} = 10 \text{s}\] \[a_{1} = 5 \text{m} / s^{2}\] \[a_{2} = g = – 10 \text{m} / s^{2}\]

O movimento pode ser dividido em três etapas: a subida durante a propulsão, a subida após o motor deixar de acelerar o foguete e a descida sob ação da gravidade. A aceleração gravitacional é negativa porque aponta para baixo, enquanto o sentido positivo escolhido é para cima.

1ª etapa: subida com aceleração constante do motor. Durante os primeiros \(10 \text{s}\), o foguete parte do repouso, portanto sua velocidade inicial é nula. A altura ao final dessa etapa é obtida pela função horária da posição para um movimento uniformemente variado:

\[\begin{matrix}H_{1} = H_{0} + V_{0} t + \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} \\ H_{1} = \frac{5}{2} 10^{2} \Rightarrow H_{1} = 250 \text{m} \\ V_{1} = V_{0} + a_{1} t_{1} \\ V_{1} = 50 \text{m} / \text{s} \left(ii\right)\end{matrix} \left(i\right)\]

Como o foguete parte do repouso, \(V_{0} = 0\). Assim, o termo associado à velocidade inicial desaparece. A altura alcançada nessa fase é \(H_{1} = 250 \text{m}\), e a velocidade ao final dos dez segundos é \(V_{1} = 50 \text{m} / \text{s}\).

2ª etapa: subida sob ação da gravidade. Depois dos primeiros dez segundos, o foguete ainda possui velocidade para cima, mas deixa de contar com a aceleração do motor. A partir desse instante, sua aceleração é a gravitacional, igual a \(- 10 \text{m} / s^{2}\). Ele continua subindo, porém sua velocidade diminui até se tornar zero no ponto mais alto.

Para determinar a altura máxima, usa-se a equação de Torricelli, que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento sem exigir o conhecimento do intervalo de tempo:

\[V_{2}^{2} = V_{1}^{2} + 2 a_{2} \left(H_{2} – H_{1}\right)\] \[0 = 50^{2} + 2 \cdot \left(- 10\right) \cdot \left(H_{2} – 250\right)\] \[H_{2} = 375 \text{m} \left(iii\right)\] \[V_{2} = V_{1} + a_{2} \cdot \left(t_{2} – t_{1}\right)\] \[0 = 50 + \left(- 10\right) \cdot \left(t_{2} – 10\right)\] \[t_{2} = 5 \text{s} \left(iv\right)\]

No ponto de altura máxima, a velocidade é zero. Portanto, o foguete demora mais \(5 \text{s}\) para subir depois do término da propulsão. Sua altura máxima é, consequentemente, \(H_{2} = 375 \text{m}\).

3ª etapa: descida até o chão. A partir do ponto mais alto, o foguete inicia a descida com velocidade inicial nula e aceleração igual à da gravidade. O tempo dessa descida é obtido pela equação horária da posição, tomando o chão como posição final igual a zero:

\[H_{3} = H_{2} + V_{2} \cdot Δt + \frac{1}{2} a \cdot Δt^{2}\] \[0 = 375 + 0 – 5 t_{3}^{2}\] \[t_{3} \cong 8.7 \text{s}\] \[t_{t} = t_{1} + t_{2} + t_{3}\] \[t_{t} = 10 + 5 + 8.7\] \[t_{t} \cong 23.7 \text{s}\]

O tempo total de permanência no ar é a soma dos tempos das três etapas: os \(10 \text{s}\) de aceleração, os \(5 \text{s}\) de subida sob ação da gravidade e aproximadamente \(8.7 \text{s}\) de descida. Logo, a altura máxima é \(375 \text{m}\) e o tempo total é aproximadamente \(23.7 \text{s}\).

Portanto, a resposta correta é a alternativa a), que indica 375 m e 23,7 s.

Para solucionar este problema, devemos analisar as características cinemáticas de um lançamento vertical sob a influência exclusiva da gravidade, desprezando a resistência do ar. Ao adotar um referencial onde o sentido para baixo é positivo, observamos que o movimento é classificado como um movimento uniformemente variado (MUV), uma vez que a aceleração gravitacional atua de forma constante sobre o objeto.

Nesse sistema de coordenadas, a aceleração mantém um valor fixo e positivo ao longo de toda a trajetória. Como consequência direta dessa aceleração constante, a velocidade do corpo não permanece estática; ela sofre uma variação linear em função do tempo. Partindo de um lançamento para cima, o valor inicial da velocidade será negativo no nosso referencial adotado, diminuindo gradualmente até atingir o ponto de altura máxima e, posteriormente, aumentando em módulo conforme o objeto retorna.

Quanto à posição do objeto, a relação entre o deslocamento e o tempo é regida por uma função polinomial do segundo grau. Matematicamente, isso significa que o gráfico da posição em função do tempo assume o formato de uma parábola. Devido ao sinal positivo da aceleração escolhido para este referencial, a concavidade dessa parábola será voltada para cima.

Ao confrontar essas propriedades físicas com as opções apresentadas, verifica-se que apenas o conjunto de gráficos descrito na alternativa D respeita simultaneamente a constância da aceleração, a variação linear da velocidade e o comportamento parabólico da posição.

Gabarito oficial: [A]

Gabarito SuperPro®: [D]

O enunciado afirma que os espaços percorridos pelos móveis A e B são iguais. Portanto, a resolução deve ser construída igualando as expressões correspondentes aos deslocamentos dos dois movimentos e utilizando os tempos indicados: 3 s para o móvel lançado verticalmente e 5 s para o outro móvel.

Aplicando a equação do movimento uniformemente variado, na forma apresentada no gabarito original, obtém-se:

\[\begin{array}{l}A \rightarrow ΔS_{A} = v_{0 \text{A}} t_{A} – \frac{1}{2} gt_{A}^{2} \\ ΔS_{A} = 20 t_{A} – 5 t_{A}^{2} \\ ΔS_{A} = 20 \left(3\right) – 5 \left(3\right)^{2} = 15 \text{m} . \\ B \rightarrow ΔS_{B} = v_{0 B} t_{B} – \frac{1}{2} at_{B}^{2} \\ ΔS_{B} = \frac{a}{2} t_{B}^{2} \\ 155 = \frac{a}{2} \left(5\right)^{2} \\ a = \frac{30}{25} \\ a = 1.2 \text{m} / s^{2} .\end{array}\]

Nessa sequência, \(ΔS_{A}\) e \(ΔS_{B}\) representam os espaços ou deslocamentos associados aos móveis A e B. A velocidade inicial é indicada por \(v_{0}\), o tempo por \(t\) e a aceleração por \(a\). Como o valor de \(g\) é \(10 \text{m} / s^{2}\), o fator \(\frac{1}{2} \text{g}\) corresponde a \(5\). Substituindo os tempos e isolando a aceleração desconhecida, o resultado obtido é \(1.2 \text{m} / s^{2}\).

Observação: para se chegar à resposta do gabarito oficial, deve-se trocar no enunciado a palavra espaço pela palavra distância. Isso ocorre porque espaço percorrido e distância percorrida não representam necessariamente a mesma grandeza quando o móvel muda o sentido do movimento.

Para o móvel lançado verticalmente para cima, a velocidade diminui durante a subida devido à aceleração da gravidade, que tem sentido contrário ao movimento. O instante em que ele atinge a altura máxima é determinado fazendo a velocidade final da subida igual a zero:

\[v = v_{0} – g t\] \[0 = 20 – 10 t_{\text{sub}}\] \[t_{\text{sub}} = 2 \text{s}\]

Assim, o tempo de subida é de \(2 \text{s}\). Como o intervalo considerado para o móvel A é de \(3 \text{s}\), resta \(1 \text{s}\) de descida. Portanto, a distância total percorrida nesse intervalo é a soma da distância percorrida na subida com a distância percorrida na descida.

Calculando essa distância:

\[d_{A} = d_{\text{sub}} + d_{\text{desc}}\] \[d_{A} = 20 \left(2\right) – 5 \left(2\right)^{2} + 5 \left(1\right)^{2} = 25 \text{m} .\] \[d_{B} = \frac{a}{2} t_{B2}\] \[25 = \frac{a}{2} \left(5\right)^{2}\] \[a = 2 \text{m} / s^{2} .\]

Logo, considerando distância percorrida, o valor encontrado é \(2 \text{m} / s^{2}\), que corresponde à alternativa a) e ao gabarito oficial.

Entretanto, mantendo literalmente no enunciado a expressão “espaço percorrido”, o gabarito indicado para a questão é o SuperPro® [D], associado a \(1.2 \text{m} / s^{2}\). Portanto, de acordo com o gabarito objetivo solicitado, a resposta final é a alternativa d).