Exercícios de Gerador

Comentário: O circuito possui duas resistências em série, assim, a resistência equivalente do circuito é a soma das resistências.

${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}={\mathrm{R}}_{\mathrm{b}}+\mathrm{R}=1,2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\Omega }+6\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\Omega }$
${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}=7,2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\Omega }$

Lançando-se mão da Primeira Lei de Ohm, que relaciona a tensão, a corrente e a resistência de resistores ôhmicos, obtém-se a corrente elétrica do circuito:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{tot}}={\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}\cdot {\mathrm{i}}_{\mathrm{tot}}$
${\mathrm{i}}_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm{U}}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}}=\frac{3,6\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{V}}{7,2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\Omega }}$
${\mathrm{i}}_{\mathrm{tot}}=0,5\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{A}$

Finalmente, utilizando-se a mesma lei, obtém-se a tensão elétrica em volts sobre o resistor R.

$\mathrm{U}=\mathrm{R}\cdot {\mathrm{i}}_{\mathrm{tot}}=6\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{\Omega }\cdot 0,5\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{A}$
$\mathrm{U}=3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{V}$

Para que a potência dissipada na carga R (potência útil) seja máxima em um circuito com uma resistência interna r, deve ser aplicada a Teoria da Máxima Transferência de Potência. 

De acordo com esse teorema, a transferência máxima de potência ocorre quando a resistência da carga é igual à resistência interna da fonte:

$\mathrm{R}=\mathrm{r}=10\mathrm{\Omega }$

Nessa condição, o circuito torna-se uma malha simples com duas resistências de $10\mathrm{\Omega }$ em série. A resistência total (R_eq) será:

${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}=\mathrm{r}+\mathrm{R}=10\mathrm{\Omega }+10\mathrm{\Omega }$
${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}=20\mathrm{\Omega }$

Agora, aplicamos a Lei de Ohm para encontrar a corrente:

$$\mathrm{U}={\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}\cdot \mathrm{I}$$
$$120\mathrm{V}=20\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{I}$$
$$\mathrm{I}=\frac{120\mathrm{V}}{20\mathrm{\Omega }}\mathrm{I}=6\mathrm{A}$$

Com o voltímetro conectado, a corrente fornecida pela bateria é desprezível. Por isso, a leitura de 12 V corresponde à força eletromotriz da bateria, isto é, à tensão ideal disponível antes da queda de tensão na resistência interna.

Quando o resistor de 90 Ω é ligado, a corrente do circuito é 100 mA, que equivale a 0,10 A. A tensão nos terminais da bateria passa a ser a tensão no resistor externo:

$U=R·i=90·\mathrm{0,10}=9\text{V}$

A diferença entre a força eletromotriz, 12 V, e a tensão efetivamente entregue ao resistor, 9 V, é a queda de tensão na resistência interna da bateria:

$U_r=12-9=3\text{V}$

Essa queda obedece à relação $U_r=r·i$, em que $r$ é a resistência interna. Isolando essa grandeza:

$r=\frac{U_r}{i}=\frac{3}{\mathrm{0,10}}=30\Omega$

Para dimensionar corretamente o sistema de alimentação da bomba-d’água, é fundamental analisar primeiramente a exigência de tensão imposta pelo equipamento. O motor requer uma tensão contínua nominal de 100 V, admitindo uma tolerância de variação de ±5 V, o que delimita uma faixa operacional segura entre 95 V e 105 V.

Como as placas fotovoltaicas são idênticas e operam com tensão de 34 V cada, a conexão em série é a configuração adequada para somar suas tensões parciais. Buscando o menor número de módulos que mantenha a tensão total dentro da faixa permitida, verifica-se que duas placas forneceriam apenas 68 V, valor insuficiente. Já três placas conectadas em série resultam em uma tensão operacional total de 102 V, valor este que se enquadra perfeitamente no intervalo aceitável de funcionamento.

Para formalizar essa verificação quantitativa, estabelece-se a desigualdade abaixo:

$$100\mathrm{}\mathrm{V}-5\mathrm{}\mathrm{V}<3\cdot 34\mathrm{}\mathrm{V}<100\mathrm{}\mathrm{V}+5\mathrm{}\mathrm{V}$$

O que se simplifica para a relação numérica:

$$95\mathrm{}\mathrm{V}<102\mathrm{}\mathrm{V}<105\mathrm{}\mathrm{V}$$

Com a quantidade de módulos definida, o próximo passo consiste em determinar a resistência interna equivalente de cada placa. Considerando que o dispositivo fotovoltaico se comporta como um gerador não ideal, sua tensão terminal U durante a operação está relacionada à força eletromotriz ε pela equação característica do gerador, subtraindo-se a queda de tensão na resistência interna r devido à corrente i fornecida.

A aplicação dos dados fornecidos no enunciado segue a expressão:

$$\mathrm{U}=\mathrm{\epsilon }-\mathrm{r}\cdot \mathrm{i}$$

Substituindo os valores conhecidos de tensão operacional, tensão em circuito aberto e corrente nominal:

$$34=40-\mathrm{r}\cdot 7,5$$

Resolvendo algebricamente para encontrar o valor da resistência interna unitária:

$$\mathrm{r}=0,8\mathrm{}\mathrm{\Omega }$$

Ao conectar três desses módulos em série para formar o gerador equivalente solicitado pelo diagrama, as características elétricas do conjunto devem ser calculadas. A força eletromotriz total equivale à soma das forças eletromotrizes individuais, enquanto a resistência interna equivalente também segue a regra de associação em série.

Assim, obtém-se:

$${\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{eq}}=3\mathrm{\epsilon }=3\cdot 40\mathrm{}\mathrm{V}=120\mathrm{}\mathrm{V}$$

E para a resistência interna:

$${\mathrm{r}}_{\mathrm{eq}}=3\mathrm{r}=3\cdot 0,8\mathrm{}\mathrm{\Omega }=2,4\mathrm{}\mathrm{\Omega }$$

Portanto, o circuito equivalente construído pelo profissional deve representar um gerador com força eletromotriz de 120 V e resistência interna de 2,4 Ω. Essa configuração corresponde exatamente ao esquema apresentado na alternativa B.

[I] Incorreta. O ponto A do gráfico representa a força eletromotriz do gerador. É possível observar este fato fazendo i = 0 na equação do gerador:

$\mathrm{\upsilon }=\mathrm{\epsilon }–\mathrm{ri}$
$\mathrm{\upsilon }=\mathrm{\epsilon }–\mathrm{r}·0$
$\therefore \mathrm{\upsilon }=\mathrm{\epsilon }$

Com os dados da curva característica, obtém-se a equação característica do gerador que tem a seguinte forma:

$\mathrm{U}=\mathrm{\epsilon }-\mathrm{r}\cdot \mathrm{i}$

Para o primeiro ponto do gráfico: $(\mathrm{i}; \mathrm{U})=(0\mathrm{A}; 10 \mathrm{V})$
$\mathrm{\epsilon }=10 \mathrm{V}$

Para o segundo ponto: $(\mathrm{i}; \mathrm{U})=(2 \mathrm{A}; 0 \mathrm{V})$
$\mathrm{r}=\frac{\mathrm{\epsilon }}{\mathrm{i}}=\frac{10}{2}$
$\mathrm{r}=5 \mathrm{\Omega }$

Considere a fonte de força eletromotriz E e resistência interna r. A tensão U nos terminais da fonte é igual à força eletromotriz menos a queda de tensão na resistência interna, dada por ri. Ao mesmo tempo, essa tensão é a mesma aplicada ao conjunto de lâmpadas, cuja resistência equivalente é R_eq.

Assim, combinam-se as relações

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{U}=\mathrm{E}-\mathrm{ri}\\ \mathrm{U}={\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}\end{array}⟩\right.$

Na segunda relação, a expressão completa é a tensão no conjunto de lâmpadas, isto é, a resistência equivalente multiplicada pela corrente total. Portanto, igualando as duas expressões para a tensão:

${\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}$

Reunindo no mesmo membro os termos que contêm a corrente, obtém-se:

$\mathrm{E}=({\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}+\mathrm{r})\mathrm{i}.$

Como as lâmpadas são idênticas e estão associadas em paralelo, a resistência equivalente de N lâmpadas, cada uma com resistência R, é igual a R/N. Logo, para 20 lâmpadas, a resistência equivalente é R/20; para 40 lâmpadas, é R/40.

Aplicando essa expressão aos dois circuitos propostos, a força eletromotriz E é a mesma nos dois casos:

$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{E}=\left(\frac{\mathrm{R}}{20}+\mathrm{r}\right){\mathrm{i}}_{20}\\ \mathrm{E}=\left(\frac{\mathrm{R}}{40}+\mathrm{r}\right){\mathrm{i}}_{40}\end{array}\right.⟩\Rightarrow \left(\frac{\mathrm{R}}{20}+\mathrm{r}\right){\mathrm{i}}_{20}=\left(\frac{\mathrm{R}}{40}+\mathrm{r}\right){\mathrm{i}}_{40}\Rightarrow {\mathrm{i}}_{40}=\frac{\left(\frac{\mathrm{R}}{20}+\mathrm{r}\right)}{\left(\frac{\mathrm{R}}{40}+\mathrm{r}\right)}{\mathrm{i}}_{20}\Rightarrow$$

A corrente total no circuito com 40 lâmpadas é definida pelo enunciado como proporcional à corrente no circuito com 20 lâmpadas:

$${\mathrm{i}}_{40}=\mathrm{\alpha }\cdot {\mathrm{i}}_{20}\mathrm{\alpha }=\frac{\left(\frac{\mathrm{R}}{20}+\mathrm{r}\right)}{\left(\frac{\mathrm{R}}{40}+\mathrm{r}\right)}.$$

O brilho de cada lâmpada incandescente é proporcional ao quadrado da corrente que a atravessa. Como a corrente de cada lâmpada também varia na mesma proporção associada à corrente total do circuito, a redução do brilho é representada pelo fator α², conforme indicado no enunciado.

Portanto, o fator α é determinado pela razão entre as resistências totais dos dois circuitos, incluindo a resistência interna da fonte. A expressão correspondente à alternativa indicada no gabarito é:

Alternativa C.

[I] Verdadeira. Como a corrente de curto-circuito é dada para R = 0 (P_U = 0), pela simetria da parábola, temos que ${\mathrm{i}}_1=\frac{{\mathrm{i}}_{\mathrm{cc}}}{2}.$

[II] Falsa. No regime de máxima transferência de potência (R = r), a d.d.p é dividida igualmente para os resistores, o que faz com que a diferença de potencial nos terminais do gerador seja igual a $\frac{\mathrm{\epsilon }}{2}.$

[III] Falsa. A diferença de potencial do circuito é dada pela tangente ao gráfico de $\mathrm{P}\times \mathrm{i}$, não pela área desse gráfico.

[IV] Verdadeira. A condição de máxima transferência de potência ao circuito ocorre para R = r.

Temos que:

$$\mathrm{V}={\mathrm{R}}_{\mathrm{eq}}\cdot \mathrm{i}$$
$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{V}=({\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}+2,5)\cdot 4\\ \mathrm{V}=({\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}+3,5)\cdot 3\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{V}=4{\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}+10\\ \mathrm{V}=3{\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}+10,5\end{array}\right.$$
$$4{\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}+10=3{\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}+10,5$$
$${\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}=0,5 \mathrm{\Omega }$$
$$\mathrm{V}=4\cdot 0,5+10$$
$$\mathrm{V}=12 \mathrm{V}$$

Logo, os valores de V e R_i são, respectivamente, iguais a 12 V e $0,5\mathrm{\Omega }$

No resistor externo:

$U_{AB}=Ri$
$10=2i$
$i=5A$

Sendo r a resistência interna da bateria, pela equação do gerador, tem-se:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\mathrm{E}-\mathrm{r}\mathrm{i}$
$10=12-\mathrm{r}\left(5\right)$
$\mathrm{r}=\frac{2}{5}=0,4\mathrm{\Omega }$
$\mathrm{r}=400\mathrm{m}\mathrm{\Omega }$