Exercícios de Gerador com resolução comentada

O circuito é formado pelo resistor interno da bateria, de resistência R_b, e pelo resistor do dispositivo, de resistência R, ligados em série. Em uma associação em série, todos os componentes são percorridos pela mesma corrente elétrica, e a resistência equivalente é obtida pela soma das resistências individuais.

Assim, a resistência equivalente do circuito é:

\[R_{\text{eq}} = R_{b} + R = 1.2 \Omega + 6 \Omega\] \[R_{\text{eq}} = 7.2 \Omega\]

Portanto, a resistência equivalente é 7,2 Ω. A diferença de potencial total fornecida pela bateria é distribuída entre a resistência interna da bateria e o resistor externo. Para determinar a corrente que percorre os dois resistores, aplica-se a Primeira Lei de Ohm, segundo a qual a tensão total é igual ao produto da resistência equivalente pela corrente total.

\[U_{\text{tot}} = R_{\text{eq}} \cdot i_{\text{tot}}\]

Isolando a corrente, divide-se a tensão total pela resistência equivalente. Substituindo os valores fornecidos, obtém-se:

\[i_{\text{tot}} = \frac{U}{R_{\text{eq}}} = \frac{3.6 \text{V}}{7.2 \Omega}\] \[i_{\text{tot}} = 0.5 \text{A}\]

Como os resistores estão em série, a corrente que atravessa o resistor R é a mesma corrente total do circuito, isto é, 0,5 A. A tensão registrada pelo voltímetro sobre esse resistor é encontrada novamente pela Primeira Lei de Ohm, agora usando apenas a resistência R e a corrente que o atravessa:

\[U = R \cdot i_{\text{tot}} = 6 \Omega \cdot 0.5 \text{A}\] \[U = 3 \text{V}\]

Logo, a diferença de potencial registrada pelo voltímetro é 3,0 V. Portanto, a alternativa correta é a b).

Para determinar a corrente quando a potência útil dissipada na resistência ajustável R é máxima, utiliza-se o teorema da máxima transferência de potência. Esse teorema estabelece que, em um circuito com uma fonte que possui resistência interna r, a potência transferida para a carga é máxima quando a resistência da carga é igual à resistência interna da fonte.

Assim, como a resistência interna vale 10 Ω, a resistência ajustável deve ser ajustada para esse mesmo valor:

\[R = r = 10 \Omega\]

Nessa condição, as resistências r e R ficam associadas em série. Portanto, a resistência equivalente do circuito é a soma das duas resistências:

\[R_{\text{eq}} = r + R = 10 \Omega + 10 \Omega\] \[R_{\text{eq}} = 20 \Omega\]

Com a resistência equivalente determinada, aplica-se a Lei de Ohm. Nessa lei, U representa a tensão da fonte, R_eq é a resistência total do circuito e I é a corrente que percorre a malha:

\[U = R_{\text{eq}} \cdot I\] \[120 \text{V} = 20 \Omega \cdot I\] \[I = \frac{120 \text{V}}{20 \Omega} I = 6 \text{A}\]

A divisão da tensão total pela resistência equivalente fornece a corrente do circuito. Logo, a corrente é igual a 6 A.

Resposta: alternativa a) 6 A.

Com o voltímetro conectado, a corrente fornecida pela bateria é desprezível. Por isso, a leitura de 12 V corresponde à força eletromotriz da bateria, isto é, à tensão ideal disponível antes da queda de tensão na resistência interna.

Quando o resistor de 90 Ω é ligado, a corrente do circuito é 100 mA, que equivale a 0,10 A. A tensão nos terminais da bateria passa a ser a tensão no resistor externo:

\(U = R \cdot i = 90 \cdot 0,10 = 9 \text{ V}\)

A diferença entre a força eletromotriz, 12 V, e a tensão efetivamente entregue ao resistor, 9 V, é a queda de tensão na resistência interna da bateria:

\(U_{r} = 12 – 9 = 3 \text{ V}\)

Essa queda obedece à relação \(U_{r} = r \cdot i\), em que \(r\) é a resistência interna. Isolando essa grandeza:

\(r = \frac{U_{r}}{i} = \frac{3}{0,10} = 30 \Omega\)

Para dimensionar corretamente o sistema de alimentação da bomba-d’água, é fundamental analisar primeiramente a exigência de tensão imposta pelo equipamento. O motor requer uma tensão contínua nominal de 100 V, admitindo uma tolerância de variação de ±5 V, o que delimita uma faixa operacional segura entre 95 V e 105 V.

Como as placas fotovoltaicas são idênticas e operam com tensão de 34 V cada, a conexão em série é a configuração adequada para somar suas tensões parciais. Buscando o menor número de módulos que mantenha a tensão total dentro da faixa permitida, verifica-se que duas placas forneceriam apenas 68 V, valor insuficiente. Já três placas conectadas em série resultam em uma tensão operacional total de 102 V, valor este que se enquadra perfeitamente no intervalo aceitável de funcionamento.

Para formalizar essa verificação quantitativa, estabelece-se a desigualdade abaixo:

\[100 V – 5 V < 3 \cdot 34 V < 100 V + 5 V\]

O que se simplifica para a relação numérica:

\[95 V < 102 V < 105 V\]

Com a quantidade de módulos definida, o próximo passo consiste em determinar a resistência interna equivalente de cada placa. Considerando que o dispositivo fotovoltaico se comporta como um gerador não ideal, sua tensão terminal U durante a operação está relacionada à força eletromotriz ε pela equação característica do gerador, subtraindo-se a queda de tensão na resistência interna r devido à corrente i fornecida.

A aplicação dos dados fornecidos no enunciado segue a expressão:

\[U = \epsilon – r \cdot i\]

Substituindo os valores conhecidos de tensão operacional, tensão em circuito aberto e corrente nominal:

\[34 = 40 – r \cdot 7.5\]

Resolvendo algebricamente para encontrar o valor da resistência interna unitária:

\[r = 0.8 \Omega\]

Ao conectar três desses módulos em série para formar o gerador equivalente solicitado pelo diagrama, as características elétricas do conjunto devem ser calculadas. A força eletromotriz total equivale à soma das forças eletromotrizes individuais, enquanto a resistência interna equivalente também segue a regra de associação em série.

Assim, obtém-se:

\[\epsilon_{\text{eq}} = 3 \epsilon = 3 \cdot 40 V = 120 V\]

E para a resistência interna:

\[r_{\text{eq}} = 3 r = 3 \cdot 0.8 \Omega = 2.4 \Omega\]

Portanto, o circuito equivalente construído pelo profissional deve representar um gerador com força eletromotriz de 120 V e resistência interna de 2,4 Ω. Essa configuração corresponde exatamente ao esquema apresentado na alternativa B.

I. Incorreta. O ponto A corresponde à situação em que a corrente elétrica é nula, isto é, i = 0. Isso ocorre quando o circuito está aberto, e não fechado. Nessa condição, não há circulação de cargas pelo circuito externo e a tensão entre os terminais do gerador é igual à sua força eletromotriz ε.

Partindo da equação característica do gerador:

\[\upsilon = \epsilon – ri\] \[\upsilon = \epsilon – r \cdot 0\] \[\upsilon = \epsilon\]

Portanto, o ponto A representa a força eletromotriz do gerador, que é a tensão máxima entre seus terminais quando não há corrente elétrica. Como a afirmativa associa esse ponto a um circuito fechado, ela está incorreta.

II. Correta. O ponto B corresponde à situação de curto-circuito. No curto-circuito, a resistência externa é praticamente nula, de modo que a diferença de potencial nos terminais do gerador também se torna nula. Assim, a potência útil fornecida ao circuito externo é nula, pois não há tensão efetivamente aplicada a uma resistência externa.

Nessa situação, a corrente percorre principalmente a resistência interna do próprio gerador. Consequentemente, a energia convertida em energia elétrica pelo gerador é dissipada internamente, na forma de calor, devido ao efeito Joule na resistência interna. Portanto, a descrição apresentada na afirmativa está correta.

III. Correta. A equação característica de um gerador relaciona a tensão U em seus terminais com a corrente i que ele fornece:

\[U = \epsilon – r \cdot i\]

Nessa expressão, ε é a força eletromotriz do gerador, r é sua resistência interna, i é a corrente elétrica fornecida e U é a diferença de potencial entre os terminais. O termo r ⋅ i representa a queda de tensão provocada pela resistência interna. Por isso, quanto maior a corrente fornecida, menor tende a ser a tensão disponível nos terminais.

Os valores de ε e r dependem das características construtivas do gerador. Logo, a afirmativa III está correta.

IV. Correta. A equação do gerador tem a forma de uma função afim, em que a tensão U varia linearmente com a corrente i. O coeficiente angular dessa curva é o fator que multiplica a corrente na equação. Como esse fator aparece com sinal negativo, o coeficiente angular é igual a −r.

Assim, o módulo do coeficiente angular fornece o valor da resistência interna:

\[\left|coeficiente angular\right| = r\]

O sinal negativo indica que a tensão terminal diminui quando a corrente aumenta, enquanto o valor absoluto do coeficiente angular representa a resistência interna do gerador. Portanto, a afirmativa IV está correta.

Conclui-se que as afirmativas II, III e IV são verdadeiras, enquanto a afirmativa I é falsa. Portanto, a alternativa correta é d) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.

A curva característica de um gerador real relaciona a tensão terminal U com a corrente elétrica i fornecida pelo gerador. Para um gerador real, a tensão nos terminais é dada pela força eletromotriz ε menos a queda de tensão causada pela resistência interna r. Assim, a equação característica é

\[U = \epsilon – r \cdot i\]

Nessa relação, U é a tensão nos terminais do gerador, medida em volts; ε é a força eletromotriz, também medida em volts; r é a resistência interna do gerador, medida em ohms; e i é a corrente fornecida pelo gerador, medida em ampères. O termo r ⋅ i representa a queda de tensão interna provocada pela passagem da corrente.

No primeiro ponto do gráfico, a corrente é nula. Portanto, o gerador está em circuito aberto e não há queda de tensão na resistência interna, pois r ⋅ 0 = 0. O ponto é

\[\left(i ; U\right) = \left(0 \text{A} ; 10 \text{V}\right)\]

Substituindo i = 0 A e U = 10 V na equação característica, conclui-se que a tensão terminal coincide com a força eletromotriz. Logo,

\[\epsilon = 10 \text{V}\]

Para determinar a resistência interna, utiliza-se o segundo ponto da curva, no qual a corrente fornecida é 2 A e a tensão terminal é nula:

\[\left(i ; U\right) = \left(2 \text{A} ; 0 \text{V}\right)\]

Quando U = 0, a equação do gerador fica 0 = ε − r ⋅ i. Portanto, o produto r ⋅ i deve ser igual à força eletromotriz. Isolando r, divide-se essa igualdade pelo valor da corrente:

\[r = \frac{\epsilon}{i} = \frac{10}{2}\]

Substituindo a força eletromotriz, ε = 10 V, e a corrente, i = 2 A, obtém-se

\[r = 5 \Omega\]

Assim, a resistência interna do gerador é 5 Ω. Portanto, a alternativa correta é c).

Considere a fonte de força eletromotriz E e resistência interna r. A tensão U nos terminais da fonte é igual à força eletromotriz menos a queda de tensão na resistência interna, dada por ri. Ao mesmo tempo, essa tensão é a mesma aplicada ao conjunto de lâmpadas, cuja resistência equivalente é R_eq.

Assim, combinam-se as relações

\[\left\{\right. \begin{matrix}U = E – ri \\ U = R_{\text{eq}}\end{matrix} \rangle\]

Na segunda relação, a expressão completa é a tensão no conjunto de lâmpadas, isto é, a resistência equivalente multiplicada pela corrente total. Portanto, igualando as duas expressões para a tensão:

\[R_{\text{eq}} i = E – ri\]

Reunindo no mesmo membro os termos que contêm a corrente, obtém-se:

\[E = \left(\right. R_{\text{eq}} + r \left.\right) i .\]

Como as lâmpadas são idênticas e estão associadas em paralelo, a resistência equivalente de N lâmpadas, cada uma com resistência R, é igual a R/N. Logo, para 20 lâmpadas, a resistência equivalente é R/20; para 40 lâmpadas, é R/40.

Aplicando essa expressão aos dois circuitos propostos, a força eletromotriz E é a mesma nos dois casos:

\[\begin{array}{l}\begin{cases} E = \left(\frac{R}{20} + r\right) i_{20} \\ E = \left(\frac{R}{40} + r\right) i_{40} \end{cases} \rangle \\ \left(\frac{R}{20} + r\right) i_{20} = \left(\frac{R}{40} + r\right) i_{40} \\ i_{40} = \frac{\left(\frac{R}{20} + r\right)}{\left(\frac{R}{40} + r\right)} i_{20}\end{array}\]

A corrente total no circuito com 40 lâmpadas é definida pelo enunciado como proporcional à corrente no circuito com 20 lâmpadas:

\[i_{40} = \alpha \cdot i_{20} \alpha = \frac{\left(\frac{R}{20} + r\right)}{\left(\frac{R}{40} + r\right)} .\]

O brilho de cada lâmpada incandescente é proporcional ao quadrado da corrente que a atravessa. Como a corrente de cada lâmpada também varia na mesma proporção associada à corrente total do circuito, a redução do brilho é representada pelo fator α², conforme indicado no enunciado.

Portanto, o fator α é determinado pela razão entre as resistências totais dos dois circuitos, incluindo a resistência interna da fonte. A expressão correspondente à alternativa indicada no gabarito é:

Alternativa C.

I. Verdadeira. A corrente de curto-circuito é a corrente que percorre o circuito quando o reostato está ajustado para R = 0. Nessa situação, a potência útil fornecida ao circuito externo é nula, pois não há resistência externa para receber potência. Portanto, o ponto correspondente ao curto-circuito é uma das interseções da parábola com o eixo da corrente.

Como o gráfico da potência útil em função da corrente é uma parábola e a corrente i₁ corresponde ao vértice, isto é, ao ponto de potência máxima, o eixo de simetria da parábola passa por i₁. A outra interseção com o eixo da corrente ocorre em i = 0. Assim, i₁ é o ponto médio entre 0 e a corrente de curto-circuito i_cc:

\[i_{1} = \frac{i_{\text{cc}}}{2} .\]

Logo, a corrente no regime de máxima potência é igual à metade da corrente de curto-circuito.

II. Falsa. A máxima transferência de potência ocorre quando a resistência externa do reostato é igual à resistência interna do gerador, ou seja, quando R = r. Nesse caso, a resistência total do circuito é formada por duas resistências iguais em série.

A força eletromotriz ε é dividida entre a resistência externa e a resistência interna. Como ambas têm o mesmo valor, cada uma recebe metade da tensão total. A diferença de potencial nos terminais do gerador é a tensão aplicada ao reostato, portanto:

\[\frac{\epsilon}{2} .\]

Assim, nessa condição, a tensão terminal não é igual à força eletromotriz completa ε; ela corresponde à metade de ε. Portanto, a afirmação é falsa.

III. Falsa. O gráfico representa a potência útil P_U em função da corrente i. A potência elétrica é o produto da diferença de potencial pela corrente. Por isso, em cada ponto do gráfico, a diferença de potencial associada à potência é determinada pela razão entre a potência e a corrente, ou, geometricamente, pela inclinação da tangente à curva nesse ponto.

Consequentemente, a área sob o gráfico não fornece diretamente a diferença de potencial do circuito. A área teria outra interpretação física e, para esse gráfico específico, não corresponde à tensão. Portanto, a afirmação é falsa.

IV. Verdadeira. Para um gerador de força eletromotriz ε e resistência interna r, a potência transferida ao circuito externo é máxima quando a resistência externa é igual à resistência interna do gerador. Como a resistência externa é a resistência variável do reostato, a condição de máxima transferência de potência é:

R = r.

Logo, a afirmação é verdadeira.

As afirmações verdadeiras são I e IV. Portanto, estão corretas apenas as afirmações indicadas na alternativa c).

A fonte possui uma resistência interna R_i, que deve ser considerada em série com a resistência externa R. Portanto, a resistência equivalente do circuito é a soma dessas duas resistências. Pela relação entre tensão, resistência equivalente e corrente, temos:

\[V = R_{\text{eq}} \cdot i\]

Na primeira situação, a resistência externa vale 2,5 Ω e a corrente medida é 4 A. Assim, a resistência equivalente é R_i + 2,5. Na segunda situação, a resistência externa vale 3,5 Ω e a corrente é 3 A, de modo que a resistência equivalente é R_i + 3,5. Como a fonte é a mesma nas duas situações, sua tensão nominal V também é a mesma:

\[\begin{cases} V = \left(R_{i} + 2.5\right) \cdot 4 \\ V = \left(R_{i} + 3.5\right) \cdot 3 \end{cases}\]

Distribuindo a multiplicação em cada expressão, obtemos duas formas equivalentes para a mesma tensão da fonte:

\[\begin{cases} V = 4 R_{i} + 10 \\ V = 3 R_{i} + 10.5 \end{cases}\]

Como as duas expressões representam a mesma tensão V, podemos igualá-las. Isso permite determinar a resistência interna da fonte:

\[4 R_{i} + 10 = 3 R_{i} + 10.5\]

Subtraindo 3R_i dos dois lados e, em seguida, subtraindo 10 dos dois lados, resulta:

\[R_{i} = 0.5 \Omega\]

Agora, substituímos esse valor na primeira equação, correspondente à corrente de 4 A e à resistência externa de 2,5 Ω. Dessa forma, calculamos a tensão nominal da fonte:

\[V = 4 \cdot 0.5 + 10\]

Efetuando a multiplicação e a soma indicadas, encontramos:

\[V = 12 \text{V}\]

Logo, os valores da tensão nominal e da resistência interna são, respectivamente, 12 V e 0,5 Ω. Portanto, a alternativa correta é b) 12 e 0,5.

Como o voltímetro é ideal, sua resistência interna é considerada muito grande. Assim, ele não altera o circuito nem permite a passagem de corrente significativa por seu ramo. A diferença de potencial medida entre os pontos A e B corresponde, portanto, à tensão no resistor externo de resistência R = 2 Ω.

No resistor externo, aplica-se a Lei de Ohm, segundo a qual a tensão é igual ao produto da resistência pela corrente que atravessa o resistor:

\[U_{A B} = R i\] \[10 = 2 i\] \[i = 5 \text{A}\]

Logo, a corrente fornecida pela bateria ao circuito externo é de 5 A. Essa mesma corrente atravessa a resistência interna da bateria, pois ela está em série com o resistor externo.

Se r representa a resistência interna da bateria e E representa sua força eletromotriz, a tensão disponível nos terminais do gerador é dada pela equação do gerador. A tensão terminal é igual à força eletromotriz menos a queda de tensão causada pela resistência interna, dada pelo produto ri:

\[U_{A B} = E – r i\] \[10 = 12 – r \left(5\right)\] \[r = \frac{2}{5} = 0.4 \Omega\] \[r = 400 \text{m} \Omega\]

A resistência interna é, portanto, 0,4 Ω. Como 1 Ω corresponde a 1000 mΩ, esse valor equivale a 400 mΩ. Assim, a alternativa correta é c) 400 mΩ.