Exercícios de Análise Dimensional com resolução comentada

Essa questão é resolvida por meio da análise dimensional. Para determinar como a unidade de trabalho se modifica, primeiro é necessário identificar sua dependência em relação às unidades fundamentais de comprimento, massa e tempo.

O trabalho é definido como o produto da força pelo deslocamento \(\left(W = F \cdot d\right) .\) A força, por sua vez, é o produto da massa pela aceleração \(\left(F = m \cdot a\right) ,\) portanto o trabalho pode ser escrito dimensionalmente como \(\left(W = m \cdot a \cdot d\right) :\)

A massa é uma grandeza fundamental, logo sua dimensão é:

Dimensão da massa: [m] = M

A aceleração é a variação da velocidade ao longo do tempo. Como a velocidade relaciona comprimento e tempo, sua dimensão é comprimento dividido pelo tempo; ao dividir novamente pelo tempo para obter a aceleração, resulta:

Dimensão da aceleração: \(\left[a\right] = L \cdot T^{- 2}\)

O deslocamento é uma grandeza de comprimento, portanto:

Dimensão da distância: [d] = L

Substituindo as dimensões da massa, da aceleração e do deslocamento na expressão do trabalho, obtém-se:

\[\left[W\right] = M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2}\]

Isso significa que a unidade de trabalho contém uma unidade de massa, duas unidades de comprimento e o inverso do quadrado da unidade de tempo. O expoente negativo do tempo indica que essa grandeza aparece no denominador.

No novo sistema, as unidades fundamentais são modificadas segundo as relações:

Nova massa: 3M

Novo comprimento: 2L

Novo tempo: 2T

Aplicando essas novas unidades à dimensão do trabalho, a massa aparece com expoente 1, o comprimento com expoente 2 e o tempo com expoente −2. Assim:

\[\left[W^{'}\right] = \left(3 M\right) \cdot \left(2 L\right)^{2} \cdot \left(2 \text{T}\right)^{- 2}\]

O fator associado à massa é 3. Para o comprimento, o fator 2 deve ser elevado ao quadrado, pois o comprimento aparece como L². Para o tempo, o fator 2 é elevado a −2, pois o tempo aparece como T⁻². Esses dois fatores relacionados ao comprimento e ao tempo se cancelam:

\[\left[W^{'}\right] = 3 \cdot \cancel{2^{2}} \cdot \cancel{2^{- 2}} \cdot M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2}\] \(\left[W^{'}\right] = 3 \cdot M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2}\) 

A expressão restante é igual à unidade de trabalho do sistema original multiplicada por 3. Portanto, ao formar a razão entre a nova unidade e a unidade original, os fatores dimensionais comuns se cancelam:

Logo, fazendo a razão \(\frac{W^{'}}{W}\) temos:

\[\frac{W^{'}}{W} = \frac{3 \cdot M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2}}{M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2}}\] \[\frac{W^{'}}{W} = 3\]

Assim, a razão entre a nova unidade de trabalho e a unidade de trabalho original é 3. Portanto, a alternativa correta é a) 3.

Por análise dimensional, escrevemos cada constante em função das dimensões fundamentais: massa M, comprimento L e tempo T. A velocidade da luz no vácuo, c, tem dimensão de comprimento dividido por tempo; a constante gravitacional, G, tem dimensão M⁻¹L³T⁻²; e a constante de Planck, h, por possuir dimensão de energia multiplicada por tempo, tem dimensão ML²T⁻¹.

\[\left[c\right] = \left[L \cdot T^{- 1}\right]\] \[\left[G\right] = \left[M^{- 1} \cdot \left( L\right)^{2} \cdot \left( T\right)^{- 1}\right]\] \[\left[h\right] = \left[M \cdot L^{2} \cdot \left( T\right)^{- 1}\right]\]

Para determinar como a massa ao quadrado pode ser expressa no sistema baseado em c, G e h, procuramos uma combinação dessas constantes. Introduzimos expoentes desconhecidos x, y e z, associados, respectivamente, a c, G e h. A dimensão dessa combinação deve ser igual à dimensão de m², isto é, M².

\[m^{2} = c^{x} \cdot G^{y} \cdot h^{z }\]

Substituindo as dimensões de cada constante na relação acima, obtemos:

\[\left[M\right]^{2} = \left[L \cdot T^{- 1}\right]^{X} \cdot \left[M^{- 1} \cdot L^{3} \cdot T^{- 2}\right]^{y} \cdot \left[M \cdot L^{2} \cdot T^{- 1}\right]^{Z }\]

Agora, igualamos separadamente os expoentes de M, L e T. Para a massa, o lado esquerdo possui expoente 2. No lado direito, a contribuição de G é −y, enquanto a contribuição de h é z. Portanto, resulta:

\[\left[M\right]^{2} = \left[M^{- 1}\right]^{y} \cdot \left[M\right]^{z}\] \[\left[M\right]^{2} = \left[M\right]^{- y + z}\] \[z = y + 2 \left(1\right)\]

Para o comprimento, a massa ao quadrado não apresenta fator de comprimento, portanto o expoente de L deve ser zero. A soma das contribuições é x + 3y + 2z:

\[\left[L\right]^{0} = \left[L\right]^{x} \cdot \left[L^{3}\right]^{y} \cdot \left[L^{2}\right]^{z}\] \[L^{0} = L^{x + 3 y + 2 z}\] \[x + 3 y + 2 z = 0 \left(2\right)\]

Para o tempo, também não há dimensão temporal no lado esquerdo. Assim, o expoente total de T deve ser zero:

\[\left[T\right]^{0} = \left[T^{- 1}\right]^{x} \cdot \left[T^{- 2}\right]^{y} \cdot \left[T^{- 1}\right]^{z}\] \[T^{0} = T^{- x – 2 y – z}\] \[x + 2 y + z = 0 \left(3\right)\]

Usando a equação (1), z = y + 2, nas equações (2) e (3), o sistema é resolvido e fornece:

\[x = 1\] \[y = – 1\] \[z = 1\]

Logo, o expoente de c é 1, o de G é −1 e o de h é 1. Substituindo esses valores na combinação dimensional proposta:

\[m^{2} = c^{1} \cdot G^{- 1} \cdot \left( h\right)^{1}\] \[\left( m\right)^{2} = \frac{hc}{G}\]

Portanto, a dimensão da massa ao quadrado no sistema formado pelas constantes fundamentais c, G e h é hc/G. Assim, a alternativa correta é b).

O índice de massa corporal é definido pela razão entre a massa corporal e o quadrado da altura. Representando a massa por m e a altura por h, tem-se:

O IMC é dado por \(IMC = \frac{m}{h^{2}} ,\) em que a massa é medida em quilogramas (kg) e a altura em metros (m).

Para determinar a unidade do IMC, substituem-se as unidades das grandezas na expressão. Como a altura aparece elevada ao quadrado, sua unidade também deve ser elevada ao quadrado, resultando em m². Portanto, a unidade é quilograma dividido por metro quadrado:

\[\left[IMC\right] = \frac{kg}{m^{2}} = kg \cdot m^{- 2}\]

A escrita kg·m⁻² é equivalente a kg/m², pois um expoente negativo indica que a grandeza está no denominador. Logo, a unidade do IMC é kg·m⁻², correspondente à alternativa a).

Para determinar a unidade de medida adequada para o fluxo da água através da membrana, é fundamental analisar como as grandezas físicas se relacionam conforme descrito no problema.

O enunciado estabelece que o fluxo apresenta uma dependência direta com a vazão do líquido e uma dependência inversa com a área da superfície filtrante. Em termos dimensionais, isso significa que devemos dividir a grandeza associada à vazão pela grandeza correspondente à extensão superficial, mantendo as unidades originais intactas durante o processo de combinação algébrica.

Considerando as grandezas fornecidas, a vazão é expressa em mililitros por segundo, enquanto a área da membrana utiliza centímetros quadrados como referência métrica. Ao aplicar a relação de proporcionalidade direta e inversa mencionada, obtemos uma expressão dimensional que reflete exatamente essa operação matemática entre as unidades envolvidas. A estrutura resultante pode ser representada da seguinte forma:

\[\left[\Phi\right] = \frac{mL / \text{s}}{cm^{2}} = \frac{mL}{cm^{2} \cdot s}\]

O arranjo matemático apresentado demonstra claramente que a divisão da unidade de volume por tempo pela unidade de área resulta na multiplicação do denominador original. Dessa maneira, o mililitro permanece no numerador, enquanto o segundo e o centímetro quadrado passam a compor o denominador juntos. Essa reorganização algébrica é padrão quando se trabalha com frações compostas em análises dimensionais, garantindo que a expressão final esteja na forma mais simplificada e convencional para comparação com as alternativas propostas.

Ao confrontar essa configuração dimensional com as opções disponíveis, nota-se que apenas uma delas reproduz exatamente a disposição de mililitros no topo da fração e a combinação de centímetros quadrados multiplicados por segundos na base. Essa correspondência direta confirma que a alternativa indicada corresponde à unidade correta para quantificar o fluxo através do filtro. Portanto, a análise dimensional conduzida comprova que a grandeza física em questão deve ser expressa utilizando mililitros sobre o produto entre centímetros quadrados e segundos, validando a escolha final dentro do contexto da tubulação e da membrana descrita.

Como o período de pulsação T depende da pressão estática P, da densidade da água D e da energia liberada E, supõe-se uma relação na forma de um produto de potências. Os expoentes x, y e z serão determinados pela homogeneidade dimensional, isto é, pela exigência de que os dois lados da relação tenham as mesmas dimensões físicas.

\[T = P^{x} D^{y} E^{z}\] \[\left[T\right] = \left[P\right]^{x} \left[D\right]^{y} \left[E\right]^{z}\] \[\left[T\right] = \left[\frac{ma}{A}\right]^{x} \left[\frac{m}{V}\right]^{y} \left[mad\right]^{z}\] \[T = \left(\frac{M \cdot LT^{ – 2}}{L^{2}}\right)^{x} \left( \left(\frac{M}{L^{3}}\right)\right)^{y} \left(M \cdot LT^{ – 2} \cdot L\right)^{z}\] \[T = M^{x} L^{- x} T^{- 2 x} \cdot M^{y} L^{- 3 y} \cdot M^{z} L^{2 z} T^{- 2 z}\] \[T = M^{x + y + z} L^{- x – 3 y + 2 z} T^{- 2 x – 2 z}\] \[\begin{array}{l}\left\{\right. \begin{matrix}x + y + z = 0 \\ – x – 3 y + 2 z = 0 \\ – 2 x – 2 z = 1\end{matrix} \\ \left\{\right. \begin{matrix}x + y + z = 0 \\ – 2 y + 3 z = 0 \\ 2 y = 1\end{matrix} \\ \left(x , y , z\right) = \left(- \frac{5}{6} , \frac{1}{2} , \frac{1}{3}\right)\end{array}\] \[x \cdot y \cdot z = – \frac{5}{36}\]

A primeira igualdade representa o modelo proposto para o período. Em seguida, cada grandeza é substituída por suas dimensões fundamentais: M representa massa, L representa comprimento e T representa tempo. A pressão possui dimensão de massa dividida por comprimento e tempo ao quadrado; a densidade possui dimensão de massa dividida por comprimento ao cubo; e a energia possui dimensão de massa vezes comprimento ao quadrado dividido por tempo ao quadrado.

Ao aplicar os expoentes x, y e z a essas dimensões e reunir as potências de cada grandeza fundamental, obtém-se uma expressão cuja dimensão deve ser igual à dimensão de um período, isto é, uma potência de tempo igual a 1, sem massa nem comprimento. Por isso, igualam-se os expoentes de M, L e T aos expoentes correspondentes do lado esquerdo.

Essa comparação gera o sistema de três equações indicado. A redução do sistema fornece y = 1/2. Substituindo esse valor nas demais equações, obtêm-se z = 1/3 e x = -5/6, conforme o conjunto de soluções apresentado.

Como a questão solicita o produto dos três expoentes, basta multiplicar os valores determinados:

O produto é negativo porque apenas x é negativo. Multiplicando os numeradores e denominadores, resulta:

Portanto, o produto XYZ é −5/36. A resposta correta é a alternativa c) – 5/36.

Para determinar a dimensão de Gh/c³, é necessário escrever cada grandeza em função das unidades fundamentais do Sistema Internacional: massa (kg), comprimento (m) e tempo (s). Como a expressão envolve a constante gravitacional G, a constante de Planck h e a velocidade da luz c, primeiro devemos explicitar as dimensões de força, energia e velocidade.

As unidades fundamentais de força e energia são:

\[\left[N\right] = \left[k g \cdot m \cdot s^{- 2}\right]\] \[\left[J\right] = \left[N \cdot m\right] = \left[k g \cdot m \cdot s^{- 2} \cdot m\right] = \left[k g \cdot m^{2} \cdot s^{- 2}\right]\]

A unidade de força é o newton, definido pela segunda lei de Newton, enquanto o joule é a unidade de energia e corresponde ao produto de uma força por um comprimento. Assim, N possui dimensão de kg⋅m⋅s⁻², e J possui dimensão de kg⋅m²⋅s⁻².

Agora, substituímos as dimensões de G, h e c na expressão. A constante gravitacional tem unidade N⋅m²⋅kg⁻², a constante de Planck tem unidade J⋅s e a velocidade da luz tem unidade m⋅s⁻¹. Como a velocidade aparece elevada ao cubo, todas as potências de suas unidades também devem ser elevadas ao cubo:

\[\frac{Gh}{c^{3}} = \frac{\left[N \cdot m^{2} \cdot kg^{- 2}\right] \times \left[J \cdot s\right]}{\left[m \cdot s^{- 1}\right]^{3}} = \frac{\left[kg \cdot m \cdot s^{- 2} \cdot m^{2} \cdot kg^{- 2}\right] \times \left[kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 2} \cdot s\right]}{\left[m^{3} \cdot s^{- 3}\right]} =\] \[\frac{\left[\cancel{kg^{2}} \cdot \cancel{ kg^{- 2}} \cdot m^{5} \cdot \cancel{s^{- 3}}\right]}{\left[m^{3} \cdot \cancel{ s^{- 3}}\right]} = \frac{\left[m^{5}\right]}{\left[m^{3}\right]}\] \[\frac{Gh}{c^{3}} = \left[m^{2}\right] \rightarrow Área\]

Na simplificação, os fatores de massa kg² do numerador e kg⁻² associados à constante gravitacional se cancelam. O mesmo ocorre com os fatores de tempo s⁻³ do numerador e do denominador. Restam, portanto, cinco potências de metro no numerador e três no denominador; ao dividir potências de mesma base, subtraímos os expoentes, obtendo m⁵⁻³ = m².

Logo, a combinação Gh/c³ possui dimensão de comprimento ao quadrado, isto é, de área. Portanto, a alternativa correta é b) área.

A pressão é definida como a razão entre a força aplicada e a área sobre a qual essa força atua. Assim, a relação apresentada no enunciado é:

\[P = \frac{F}{A}\]

Nessa expressão, P representa a pressão, F representa a força e A representa a área. Isolando a força, basta multiplicar os dois lados da igualdade pela área A. Desse modo, a força é proporcional à pressão e à área:

\[F = K P A\]

O fator K é o coeficiente aerodinâmico e, por ser adimensional, não altera as unidades da expressão. Portanto, a força exercida pelo vento aumenta quando aumentam a pressão ou a área exposta, sendo determinada pelo produto do coeficiente aerodinâmico, da pressão e da área.

Logo, a alternativa correta é d) F = KPA.

O fluxo de oxigênio, representado por φ, é definido como o volume de ar transferido por unidade de tempo. A equação fornecida relaciona esse fluxo à pressão P, à velocidade do ar v e à constante de proporcionalidade k:

\[\varphi = kPv\]

Para determinar a dimensão de k, é necessário escrever as dimensões de todas as grandezas no Sistema Internacional de Unidades e, em seguida, isolar dimensionalmente a constante na expressão.

O fluxo corresponde à razão entre volume e tempo. Como o volume é medido em metros cúbicos e o tempo em segundos, sua dimensão é:

\[\begin{cases} \left[\varphi\right] = \left[\frac{volume}{tempo}\right] \Rightarrow \left[\varphi\right] = \left[\frac{m^{3}}{\text{s}}\right] \Rightarrow \left[\varphi\right] = \left[m^{3} \cdot s^{- 1}\right] \\ \left[P\right] = \left[\frac{força}{área}\right] = \left[\frac{massa \times aceleraçāo}{área}\right] \Rightarrow \left[P\right] = \left[\frac{kg \cdot m \cdot s^{- 2}}{m^{2}}\right] \Rightarrow \left[P\right] = \left[kg \cdot m^{- 1} \cdot s^{- 2}\right] \\ \left[v\right] = \left[\frac{espaço}{tempo}\right] \Rightarrow \left[v\right] = \left[\frac{m}{s}\right] \Rightarrow \left[v\right] = \left[m \cdot s^{- 1}\right] \end{cases}\]

A pressão é definida como força dividida pela área. Pela segunda lei de Newton, a força possui dimensão de massa vezes aceleração. Como a massa é medida em quilogramas, a aceleração em metros por segundo ao quadrado e a área em metros quadrados, obtém-se a dimensão de pressão indicada na expressão acima. A velocidade, por sua vez, é a razão entre espaço e tempo, resultando em metros por segundo.

Agora, partimos da relação física fornecida no enunciado e isolamos k dividindo os dois lados por Pv. Em termos dimensionais, isso significa dividir a dimensão do fluxo pelo produto das dimensões da pressão e da velocidade:

\[\begin{array}{l}\varphi = kPv \\ k = \frac{\varphi}{Pv} \\ \left[k\right] = \left[\frac{\left[m^{3} \cdot s^{- 1}\right]}{\left[kg \cdot m^{- 1} \cdot s^{- 2}\right] \times \left[m \cdot s^{- 1}\right]}\right] \\ \boxed{\left[k\right] = \left[\frac{m^{3} \cdot s^{2}}{kg}\right]}\end{array}\]

Na simplificação, no denominador, os fatores de comprimento provenientes da pressão e da velocidade se cancelam parcialmente com os fatores do numerador. Para o tempo, dividir por s−3 equivale a multiplicar por s3; combinando esse resultado com o fator s−1 do fluxo, resta s2. Assim, a dimensão final da constante é metros cúbicos vezes segundos ao quadrado por quilograma.

Portanto, a alternativa correta é a) m³ s² / kg.

Para determinar o valor numérico da velocidade da luz no sistema de unidades atômicas de Hartree, escrevemos c como uma combinação das grandezas fundamentais fornecidas: a carga elementar e, a massa do elétron m₀, a constante eletrostática do vácuo K₀ e a constante de Planck reduzida ℏ. Assim, introduzem-se expoentes desconhecidos que serão determinados pela comparação das dimensões físicas.

\[\left[c\right] = \left[e\right]^{x} \left[m_{0}\right]^{y} \left[K_{0}\right]^{z} \left[\hbar\right]^{w}\] \[LT^{- 1} = \left(IT\right)^{x} \left(M\right)^{y} \left(M^{3} \Gamma^{- 2} T^{- 4}\right)^{z} \left(ML^{2} T^{- 1}\right)^{w}\] \[M^{0} L^{1} T^{- 1} D^{0} = M^{y + z + w_{L}} L^{3 z + 2 w_{1}} T^{x – 4 z – w_{P} x – 2 z}\] \[\begin{array}{l}\left\{\right. \begin{matrix}y + z + w = 0 \\ 3 z + 2 w = 1 \\ x – 4 z – w = – 1 \\ x – 2 z = 0\end{matrix} \\ \left(x , y , z , w\right) = \left(2.0 , 1 , – 1\right)\end{array}\]

Os expoentes obtidos são x = 2, y = 0, z = 1 e w = −1. Portanto, a combinação dimensional correspondente à velocidade pode ser escrita como

\[c = k \frac{e^{2} K_{0}}{\hbar}\] \[3 \cdot 10^{8} = k \frac{\left(1.6 \cdot 10^{- 19}\right)^{2} \cdot 9 \cdot 10^{9}}{1.05 \cdot 10^{- 34}}\]

Nessa comparação, utiliza-se o valor conhecido da velocidade da luz no Sistema Internacional, aproximadamente 3 ⋅ 10⁸ m/s, além dos valores numéricos de e, K₀ e ℏ. Isolando a constante de proporcionalidade k, obtém-se

\[k \cong 1.37 \cdot 10^{2}\] \[c = 1.37 \cdot 10^{2} \frac{e^{2} K_{0}}{\hbar}\]

No sistema de unidades atômicas de Hartree, por definição, as grandezas e, K₀ e ℏ possuem valor numérico igual a 1. Assim, a fração que aparece na expressão da velocidade também vale numericamente 1.

Fazendo \(e = K_{0} = \hbar = 1 :\)

\[c = 1.37 \cdot 10^{2}\]

Logo, o valor numérico da velocidade da luz nesse sistema de unidades é da ordem de 10². Portanto, a alternativa correta é b) 10².

A relação de proporcionalidade direta entre a velocidade do som e a concentração de poluentes é representada por:

\[v_{\text{som}} = k c\]

Nessa expressão, v_som representa a velocidade do som, c representa a concentração dos poluentes e k é a constante de proporcionalidade. Isolando dimensionalmente a constante, conclui-se que sua unidade deve ser obtida dividindo-se a unidade da velocidade pela unidade da concentração.

Como a concentração é informada em microgramas por metro cúbico, podemos escrevê-la como:

\[c = xμg / m^{3} ,\]

em que x é uma quantidade positiva qualquer. Para expressar essa concentração no Sistema Internacional de Unidades, é necessário converter microgramas para quilogramas. O prefixo μ (micro) corresponde a \(10^{- 6}\) da unidade, e, como 1 g corresponde a \(10^{- 3}\) kg, resulta que 1 μg corresponde a \(10^{- 9}\) kg. Assim, a concentração pode ser escrita como:

\[c = x \mu g / m^{3} = c = x \cdot 10^{- 9} k g / m^{3}\]

O fator numérico x e o fator \(10^{- 9}\) não alteram a unidade dimensional. Portanto, a dimensão da concentração no SI é:

\[\left[c\right] = k g / m^{3}\]

A velocidade do som é uma velocidade, portanto sua unidade no SI é metro por segundo. Aplicando a análise dimensional à relação inicial, a unidade da constante de proporcionalidade é:

\[\left[k\right] = \frac{\left[v_{\text{som}}\right]}{\left[c\right]} = \frac{m / \text{s}}{kg / m^{3}} = m^{4} / \left(kg \cdot s\right)\]

Na última transformação, dividir por kg/m³ equivale a multiplicar por m³/kg. Por isso, os metros se combinam como m · m³ = m⁴, mantendo o segundo no denominador. Logo, a unidade da constante é m⁴/(kg⋅s), correspondente à alternativa c.