Exercícios de Lentes esféricas

Comentário:

Para que uma lente delgada produza uma imagem direita e maior que o objeto (i > o), a lente deve operar como uma lupa ou microscópio simples.

Tipo de Lente

Imagem Direita e Maior: Somente lentes convergentes (ou convexas) são capazes de formar uma imagem virtual, direita e ampliada (maior que o objeto).

Lentes divergentes (ou côncavas) sempre formam imagens virtuais, direitas e menores que o objeto.

Portanto, a lente é convergente.

Posição do Objeto

Formação da Imagem Virtual, Direita e Ampliada: Para que uma lente convergente forme uma imagem com essas características, o objeto deve ser colocado entre o foco principal objeto (F) e o centro óptico (O) da lente.

Isso significa que a distância entre o objeto e a lente (p) deve ser menor que a distância focal (f): p < f

Conclusão

O único caso em que uma lente delgada produz uma imagem direita (i e o têm o mesmo sinal) e maior $\left(\right|\mathrm{i}|>|\mathrm{o}\left|\right)$ é quando se trata de uma lente convergente e o objeto está colocado a uma distância menor que a distância focal. Alternativa correta: [A].

A natureza óptica de uma lente, ou seja, sua capacidade de convergir ou divergir os raios luminosos, não depende exclusivamente de sua geometria, mas sim da interação entre o índice de refração do material que a compõe e o índice de refração do meio circundante. De acordo com os princípios da óptica geométrica, quando o índice de refração da lente é superior ao do meio em que ela se encontra, suas propriedades ópticas seguem sua forma física convencional: lentes convexas agem como convergentes e lentes côncavas como divergentes. Contudo, caso o índice de refração do meio seja maior que o da própria lente, ocorre uma inversão desse comportamento.

Ao examinar a lente L1, observa-se que ela possui um formato biconvexo, o qual normalmente resultaria em convergência. Entretanto, o problema estabelece que o índice de refração do meio n1 é maior que o índice da lente n. Essa condição provoca a inversão das propriedades ópticas, fazendo com que uma lente biconvexa passe a atuar como um elemento divergente.

No caso da lente L2, sua geometria é bicôncava, característica de lentes que naturalmente divergem a luz. Como o índice de refração do meio n2 é menor que o índice da lente n, a relação de refringência permanece na ordem padrão, onde a lente é mais densa opticamente que o ambiente. Dessa forma, L2 preserva sua função original e mantém o comportamento divergente.

Portanto, conclui-se que ambas as lentes apresentam propriedades divergentes sob as condições descritas, validando a alternativa C.

Como a imagem é invertida e possui as mesmas dimensões do objeto, o aumento linear transversal da lente é igual a −1. O sinal negativo indica que a imagem é invertida, enquanto o módulo igual a 1 indica que ela tem o mesmo tamanho do objeto.

Para uma lente convergente, quando o objeto produz uma imagem real, invertida e de mesmo tamanho, a imagem se forma à mesma distância da lente que o objeto. Assim, como o objeto está a 20 cm da lente, a distância da imagem também é 20 cm.

Aplicamos agora a equação de Gauss para lentes delgadas, em que f é a distância focal, p é a distância do objeto e p’ é a distância da imagem:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}$

Substituindo p = 20 cm e p’ = 20 cm:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{20}+\frac{1}{20}$

Somando as frações, obtemos:

$\frac{1}{f}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$

Portanto, a distância focal da lente é:

$f=10\text{cm}$

A primeira e a segunda afirmações são verdadeiras, pois o conjunto formado pelo vidro da taça e pela água possui um índice de refração superior ao do ar, o que faz com que a estrutura cilíndrica atue como uma lente convergente, podendo ser classificada tanto como côncavo-convexa quanto como plano-convexa.

A terceira proposição também está correta, visto que a imagem gerada da palavra ACADEMIA apresenta uma inversão lateral em relação ao objeto original, caracterizando uma imagem enantiomorfa, ou seja, uma imagem que não pode ser sobreposta à sua forma original por simples translação.

Por outro lado, a quarta afirmação é incorreta porque os caracteres C, D e E sofrem alteração de orientação quando espelhados, o que os define como enantiomorfos. Da mesma maneira, a quinta afirmação é falsa, pois as letras A, M e I possuem simetria vertical e permanecem visualmente idênticas após a inversão, sendo classificadas como não enantiomorfas.

A equação de Gauss para lentes e espelhos esféricos nos fornece a relação entre a distância focal f, a distância do objeto p e a distância da imagem p’ com a seguinte equação:

$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{1}{\mathrm{p}}+\frac{1}{\mathrm{p}‘}$

Substituindo-se os valores informados para o foco e a distância do objeto, tem-se:

$$\frac{1}{3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}}=\frac{1}{4\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}}+\frac{1}{\mathrm{p}‘}\Rightarrow$$
$$\frac{1}{3\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}}-\frac{1}{4\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}}=\frac{1}{\mathrm{p}‘}\Rightarrow$$
$$\frac{4-3}{12}=\frac{1}{\mathrm{p}‘}\Rightarrow$$
$$\frac{1}{12\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}}=\frac{1}{\mathrm{p}‘}\mathrm{p}‘=12\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}$$

As lentes corretivas para a hipermetropia são convergentes. Para determinar-se a distância focal utilização a equação de Gauss.

$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{1}{{\mathrm{d}}_{\mathrm{N}}}-\frac{1}{{\mathrm{d}}_{\mathrm{H} }},$ onde:

f = distância focal;

d_N = distância mínima de visão distinta do olho normal;

d_H = distância mínima de visão distinta do olho hipermetrope.

$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{1}{{\mathrm{d}}_{\mathrm{N}}}-\frac{1}{{\mathrm{d}}_{\mathrm{H}}}$
$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{1}{25\mathrm{cm}}-\frac{1}{75\mathrm{cm}}$
$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{2}{75\mathrm{cm}}$
$\mathrm{f}=37,50\mathrm{cm}$

Da equação dos fabricantes de lentes, considerando a proporcionalidade dada, temos:

$\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\alpha (n-1)$
$f=\frac{1}{\alpha (n-1) }$

Distância focal após uma variação ínfima:

$f^{\prime }=\frac{1}{\alpha (n+\mathrm{\Delta }n-1)}=\frac{f(n-1)}{n+\mathrm{\Delta }n-1}$

A variação na posição final da imagem do objeto pode ser obtida por:

$$\mathrm{\Delta }=f^{\prime }-f=\frac{f(n-1)}{n+\mathrm{\Delta }n-1}-f=-\frac{f\mathrm{\Delta }n}{n+\mathrm{\Delta }n-1}$$
$$\mathrm{\Delta }\cong -\frac{f\mathrm{\Delta }n}{n-1}$$

Distâncias focais das lentes:

$${\mathrm{V}}_1=5=\frac{1}{{\mathrm{f}}_1}$$
$${\mathrm{f}}_1=0,2\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}=20\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}$$
$${\mathrm{V}}_2=2,5=\frac{1}{{\mathrm{f}}_2}$$
$${\mathrm{f}}_2=0,4\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}=40\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}$$

Posição da imagem formada pela lente L₁:

$$\frac{1}{{\mathrm{f}}_1}=\frac{1}{{\mathrm{p}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{p}}_1‘}$$
$$\frac{1}{20}=\frac{1}{2\cdot 20}+\frac{1}{{\mathrm{p}}_1‘}$$
$${\mathrm{p}}_1‘=40\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}$$

Posição da imagem formada pela lente L₂:

$$\frac{1}{{\mathrm{f}}_2}=\frac{1}{{\mathrm{p}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{p}}_2‘}$$
$$\frac{1}{40}=\frac{1}{60-40}+\frac{1}{{\mathrm{p}}_2‘}$$
$${\mathrm{p}}_2‘=-40\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{cm}$$

Portanto, a distância da imagem conjugada por L₂ ao centro óptico de L₁ é de:

d = 60 cm – 40 cm = 20 cm

Com a relação de aumento linear A e a Equação de Gauss, determina-se a distância da imagem p’ e o foco f.

$\mathrm{A}=\frac{-{\mathrm{p}}^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{p}}\stackrel{\mathrm{A}=6; \mathrm{p}=3 \mathrm{cm}}{\to }6=-\frac{{\mathrm{p}}^{\mathrm{\prime }}}{3 \mathrm{cm}}$
${\mathrm{p}}^{\mathrm{\prime }}=-18 \mathrm{cm}$

$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{1}{\mathrm{p}}+\frac{1}{{\mathrm{p}}^{\mathrm{\prime }}}$
$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{1}{3 \mathrm{cm}}+\frac{1}{-18 \mathrm{cm}}=\frac{6-1}{18 \mathrm{cm}}$
$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{5}{18 \mathrm{cm}}$
$\mathrm{f}=\frac{18 \mathrm{cm}}{5}=3,6 \mathrm{cm}$

A situação está exposta na figura:

Como o objeto produz uma imagem real e do mesmo tamanho que o objeto, significa que ele está sobre o ponto antiprincipal objeto (A) e como a imagem da lente funciona como objeto para o espelho côncavo, produzindo uma imagem de mesmo tamanho e invertida, o ponto antiprincipal imagem (A’) coincide com o centro de curvatura do espelho (C), assim, a distância entre a lente e o espelho (x) é igual ao dobro da soma dos focos.

$\mathrm{x}=2\mathrm{F}+2\mathrm{f}$
$\mathrm{x}=2(\mathrm{F}+\mathrm{f})$