Exercícios de Lentes esféricas com resolução comentada

A informação essencial é que a imagem formada é direita e maior que o objeto. Essas características permitem identificar tanto o tipo de lente quanto a posição do objeto em relação à lente.

Tipo de lente

Uma lente divergente, também chamada de côncava, forma, para um objeto real, uma imagem virtual, direita e reduzida. Portanto, ela não pode produzir uma imagem direita com altura maior que a altura do objeto.

Uma lente convergente, também chamada de convexa, pode formar uma imagem virtual, direita e ampliada quando o objeto é colocado em uma posição adequada. Esse é o princípio de funcionamento de uma lupa e também está relacionado à ampliação produzida por instrumentos ópticos, como o microscópio.

Assim, como a imagem é direita e ampliada, a lente deve ser convergente.

Posição do objeto

Para uma lente convergente formar uma imagem virtual, direita e maior que o objeto, este deve ser colocado entre o foco principal objeto, indicado por F, e o centro óptico da lente, indicado por O.

Nessa situação, a distância p entre o objeto e a lente é menor que a distância focal f, isto é, a distância entre o foco e o centro óptico da lente. Essa condição pode ser representada por

\[p < f\]

Isso significa que o objeto está situado antes do foco, considerando a distância medida a partir do centro óptico da lente. Quando o objeto está nessa região, os raios emergem da lente como se viessem de uma imagem virtual localizada no mesmo lado do objeto. A imagem permanece direita e apresenta aumento de tamanho.

Uma lente divergente não poderia ser utilizada, pois sempre produziria uma imagem direita, porém menor. Já a lente convergente forma uma imagem direita e ampliada quando o objeto está a uma distância menor que a distância focal. O único caso compatível com as características fornecidas é, portanto, uma lente convergente com o objeto colocado entre o foco e o centro óptico.

Logo, a alternativa correta é A: a lente é convergente e a distância entre o objeto e a lente é menor que a distância focal.

A natureza óptica de uma lente, ou seja, sua capacidade de convergir ou divergir os raios luminosos, não depende exclusivamente de sua geometria, mas sim da interação entre o índice de refração do material que a compõe e o índice de refração do meio circundante. De acordo com os princípios da óptica geométrica, quando o índice de refração da lente é superior ao do meio em que ela se encontra, suas propriedades ópticas seguem sua forma física convencional: lentes convexas agem como convergentes e lentes côncavas como divergentes. Contudo, caso o índice de refração do meio seja maior que o da própria lente, ocorre uma inversão desse comportamento.

Ao examinar a lente L1, observa-se que ela possui um formato biconvexo, o qual normalmente resultaria em convergência. Entretanto, o problema estabelece que o índice de refração do meio n1 é maior que o índice da lente n. Essa condição provoca a inversão das propriedades ópticas, fazendo com que uma lente biconvexa passe a atuar como um elemento divergente.

No caso da lente L2, sua geometria é bicôncava, característica de lentes que naturalmente divergem a luz. Como o índice de refração do meio n2 é menor que o índice da lente n, a relação de refringência permanece na ordem padrão, onde a lente é mais densa opticamente que o ambiente. Dessa forma, L2 preserva sua função original e mantém o comportamento divergente.

Como a imagem é invertida e tem as mesmas dimensões do objeto, o aumento linear transversal da lente é igual a −1. O sinal negativo indica a inversão da imagem, enquanto o módulo igual a 1 indica que a altura da imagem é igual à altura do objeto.

Em uma lente convergente, uma imagem real, invertida e com o mesmo tamanho do objeto é formada quando o objeto está situado no ponto correspondente a duas vezes a distância focal da lente. Nessa situação, a imagem também se forma a duas vezes a distância focal, no lado oposto da lente. Portanto, objeto e imagem ficam à mesma distância da lente.

Como o objeto está a 20 cm da lente, a imagem também se forma a 20 cm da lente. Assim, usamos a equação de Gauss para lentes delgadas, em que f representa a distância focal, p representa a distância do objeto à lente e p’ representa a distância da imagem à lente:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{'}}\]

Substituindo as distâncias do objeto e da imagem, ambas iguais a 20 cm, temos:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20}\]

As duas frações possuem o mesmo denominador. Portanto, somamos seus numeradores:

\[\frac{1}{f} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}\]

Como os inversos da distância focal e de 10 cm são iguais, concluímos que a distância focal é:

\[f = 10 \text{ cm}\]

Logo, a alternativa correta é c) 10 cm.

A primeira e a segunda afirmações são verdadeiras, pois o conjunto formado pelo vidro da taça e pela água possui um índice de refração superior ao do ar, o que faz com que a estrutura cilíndrica atue como uma lente convergente, podendo ser classificada tanto como côncavo-convexa quanto como plano-convexa.

A terceira proposição também está correta, visto que a imagem gerada da palavra ACADEMIA apresenta uma inversão lateral em relação ao objeto original, caracterizando uma imagem enantiomorfa, ou seja, uma imagem que não pode ser sobreposta à sua forma original por simples translação.

Por outro lado, a quarta afirmação é incorreta porque os caracteres C, D e E sofrem alteração de orientação quando espelhados, o que os define como enantiomorfos. Da mesma maneira, a quinta afirmação é falsa, pois as letras A, M e I possuem simetria vertical e permanecem visualmente idênticas após a inversão, sendo classificadas como não enantiomorfas.

A relação entre a distância focal de uma lente delgada, a distância do objeto e a distância da imagem é dada pela equação de Gauss. Nessa relação, f representa a distância focal, p é a distância do objeto ao centro óptico da lente e p’ é a distância da imagem ao centro óptico.

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{'}}\]

Como a lente é convergente, sua distância focal é positiva. O objeto também está a uma distância positiva da lente. Substituindo f = 3,0 cm e p = 4,0 cm na equação, obtém-se:

\[\frac{1}{3 \text{cm}} = \frac{1}{4 \text{cm}} + \frac{1}{p^{'}}\] \[\frac{1}{3 \text{cm}} – \frac{1}{4 \text{cm}} = \frac{1}{p^{'}}\] \[\frac{4 – 3}{12} = \frac{1}{p^{'}}\] \[\frac{1}{12 \text{cm}} = \frac{1}{p^{'}} p^{'} = 12 \text{cm}\]

Na última etapa, como os inversos das duas grandezas são iguais, conclui-se que a distância da imagem é p’ = 12,0 cm. O sinal positivo indica que a imagem é formada no lado oposto ao objeto, como ocorre para uma imagem real produzida por uma lente convergente quando o objeto está além do foco.

Portanto, a alternativa correta é e) p’ = +12,0 cm.

As lentes corretivas para a hipermetropia são convergentes, pois precisam aumentar a convergência dos raios luminosos antes que eles cheguem aos olhos. Dessa forma, a lente forma uma imagem virtual do objeto em uma posição mais distante, permitindo que o olho hipermetrope consiga focalizá-la sobre a retina.

Para determinar a distância focal da lente, utiliza-se a equação de Gauss, escrita, neste caso, como:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{N}} – \frac{1}{d_{H }} ,\]

em que f é a distância focal da lente, d_N é a distância mínima de visão distinta de um olho normal e d_H é a distância mínima de visão distinta do olho hipermetrope, associada à posição da imagem virtual formada pela lente.

O objeto está situado a 25 cm dos olhos, que corresponde à distância mínima de visão distinta considerada para o olho normal. A lente deve formar uma imagem virtual a 75 cm dos olhos, distância que corresponde à distância mínima de visão distinta do olho hipermetrope. Portanto, substituem-se esses valores na relação:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{\left( d\right)_{N}} – \frac{1}{\left( d\right)_{H}}\]

Assim, considerando as distâncias em centímetros:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{25 \text{cm}} – \frac{1}{75 \text{cm}}\]

Para efetuar a subtração, escrevem-se as frações com o mesmo denominador. Como 75 é três vezes 25, temos:

\[\frac{1}{f} = \frac{2}{75 \text{cm}}\]

Invertendo os dois membros da igualdade, obtém-se a distância focal da lente:

\[f = 37.50 \text{cm}\]

Como a distância focal é positiva, a lente é convergente, confirmando o tipo de lente necessário para corrigir a hipermetropia. Portanto, a resposta correta é a alternativa b) convergentes, com distância focal igual a 37,50 cm.

Como o objeto está muito distante da lente, os raios que chegam à lente são, aproximadamente, paralelos ao eixo principal. Portanto, a imagem se forma no foco da lente, de modo que a variação da posição da imagem coincide com a variação da distância focal.

Para uma lente de geometria fixa, os raios de curvatura R₁ e R₂ são constantes. Assim, a equação dos fabricantes de lentes pode ser escrita introduzindo uma constante geométrica α:

\[\frac{1}{f} = \left(n – 1\right) \left(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}\right) = \alpha \left(n – 1\right)\] \[f = \frac{1}{\alpha \left(n – 1\right)}\]

A primeira igualdade mostra que o inverso da distância focal é proporcional a n − 1. Ao isolar f, fica evidente que a distância focal é inversamente proporcional a essa quantidade. A constante α depende apenas da geometria da lente e permanece inalterada, pois a constituição do material é a única grandeza que sofreu variação.

Após a pequena alteração do índice de refração, o novo índice passa a ser n + Δn. Mantendo a mesma geometria, a nova distância focal f′ é:

\[f^{′} = \frac{1}{\alpha \left(n + \Delta n – 1\right)} = \frac{f \left(n – 1\right)}{n + \Delta n – 1}\]

Na segunda forma, foi utilizada a expressão original de f, isto é, \(f = \frac{1}{\alpha \left(n – 1\right)}\) Assim, o fator α é eliminado e a nova distância focal fica expressa diretamente em função da distância focal inicial, de n e de Δn.

Como a imagem do objeto distante se forma no foco, a variação de sua posição é a diferença entre a nova e a antiga distância focal:

\[\Delta = f^{′} – f = \frac{f \left(n – 1\right)}{n + \Delta n – 1} – f = – \frac{f \Delta n}{n + \Delta n – 1}\] \[\Delta \cong – \frac{f \Delta n}{n – 1}\]

Na última aproximação, Δn é considerado muito pequeno em comparação com n − 1. Por isso, no denominador, o termo n + Δn − 1 pode ser aproximado por n − 1. O sinal negativo indica que, para Δn positivo, a distância focal diminui: aumentar o índice de refração torna menor a posição do foco.

Como a variação da posição da imagem é a mesma variação da distância focal, tem-se:

Alternativa correta: c) −fΔn / (n−1).

Distâncias focais das lentes

A vergência V de uma lente, medida em dioptrias (di), relaciona-se com sua distância focal f, expressa em metros, por V = 1/f. Como as duas vergências são positivas, ambas as lentes são convergentes.

Para a lente L₁, a distância focal é obtida a partir de sua vergência:

\[V_{1} = 5 = \frac{1}{f_{1}}\]

Assim, f₁ = 1/5 m. Convertendo metros para centímetros, lembrando que 1 m = 100 cm, resulta:

\[f_{1} = 0.2 \text{m} = 20 \text{cm}\]

Para a lente L₂, aplica-se a mesma relação entre vergência e distância focal:

\[V_{2} = 2.5 = \frac{1}{f_{2}}\]

Logo, a distância focal de L₂ é 1/2,5 m, ou seja:

\[f_{2} = 0.4 \text{m} = 40 \text{cm}\]

Imagem formada pela lente L₁

O objeto é colocado no ponto antiprincipal objeto de L₁. Para uma lente convergente, o ponto antiprincipal está a uma distância igual a duas distâncias focais da lente. Portanto, a distância do objeto até L₁ é p₁ = 2f₁ = 2 · 20 cm. A equação de Gauss para lentes delgadas é:

\[\frac{1}{f_{1}} = \frac{1}{p_{1}} + \frac{1}{\left(p_{1}\right)^{'}}\]

Nessa expressão, p₁ é a distância do objeto a L₁ e p₁‘ é a distância da imagem formada por L₁. Substituindo f₁ = 20 cm e p₁ = 2 · 20 cm:

\[\frac{1}{20} = \frac{1}{2 \cdot 20} + \frac{1}{\left(p_{1}\right)^{'}}\]

Como o objeto está no ponto antiprincipal, a imagem também se forma no ponto antiprincipal imagem, isto é, a duas distâncias focais da lente, no lado oposto. A resolução da equação confirma esse resultado:

\[\left(p_{1}\right)^{'} = 40 \text{cm}\]

Assim, a imagem intermediária está a 40 cm do centro óptico de L₁, entre as duas lentes. Como a separação entre L₁ e L₂ é de 60 cm, essa imagem fica a 60 − 40 = 20 cm da lente L₂. Para L₂, essa imagem intermediária funciona como objeto.

Imagem final formada pela lente L₂

Aplicando novamente a equação de Gauss, agora para L₂, tem-se:

\[\frac{1}{f_{2}} = \frac{1}{p_{2}} + \frac{1}{\left(p_{2}\right)^{'}}\]

Para essa lente, f₂ = 40 cm. A imagem intermediária está a 20 cm de L₂, portanto p₂ = 60 − 40 cm. Substituindo esses valores:

\[\frac{1}{40} = \frac{1}{60 – 40} + \frac{1}{\left(p_{2}\right)^{'}}\]

Como 60 − 40 = 20 cm, a imagem intermediária está a uma distância menor que a distância focal de L₂. Por isso, L₂ forma uma imagem virtual, indicada pelo sinal negativo de p₂‘. A resolução fornece:

\[\left(p_{2}\right)^{'} = – 40 \text{cm}\]

O módulo dessa distância é 40 cm, medidos a partir de L₂, no lado esquerdo dessa lente. Como L₂ está a 60 cm do centro óptico de L₁, a posição da imagem final, medida em relação a L₁, é:

d = 60 cm – 40 cm = 20 cm

Portanto, a imagem final conjugada por L₂ encontra-se a 20 cm do centro óptico de L₁. Logo, a alternativa correta é a b) 20.

O aumento linear transversal é dado pela relação entre a posição da imagem e a posição do objeto:

\[A = \frac{- p^{′}}{p} \overset{A = 6 ; p = 3 \text{cm}}{\rightarrow} 6 = – \frac{p^{′}}{3 \text{cm}}\] \[p^{′} = – 18 \text{cm}\]

Como o aumento é positivo, a imagem é direita em relação ao objeto. O sinal negativo de p′ indica que ela é virtual e está localizada no mesmo lado da lente que o objeto. Portanto, a posição da imagem relativamente à lupa é p′ = −18 cm.

Para determinar a distância focal, aplica-se a equação de Gauss para lentes delgadas. Nessa relação, f é a distância focal, p é a distância do objeto à lente e p′ é a posição da imagem, com os sinais definidos pela convenção adotada:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{′}}\] \[\frac{1}{f} = \frac{1}{3 \text{cm}} + \frac{1}{- 18 \text{cm}} = \frac{6 – 1}{18 \text{cm}}\] \[\frac{1}{f} = \frac{5}{18 \text{cm}}\] \[f = \frac{18 \text{cm}}{5} = 3.6 \text{cm}\]

A distância focal é positiva, como esperado para uma lente convergente, e vale f = 3,6 cm. Logo, os resultados são p′ = −18 cm e f = 3,6 cm, correspondendo à alternativa c.

A situação está representada na figura:

Para a lente convergente, quando o objeto produz uma imagem real e do mesmo tamanho, o objeto está localizado no ponto antiprincipal da lente, a uma distância igual a 2F do seu centro óptico. Consequentemente, a imagem formada pela lente também se encontra no ponto antiprincipal imagem, situado a uma distância 2F à direita da lente.

Essa imagem da lente passa a funcionar como objeto para o espelho côncavo. Como o espelho produz uma imagem de mesmo tamanho que esse objeto e invertida em relação a ele, o objeto deve estar localizado no centro de curvatura do espelho côncavo. O centro de curvatura está a uma distância igual a 2f do vértice do espelho, pois o raio de curvatura é o dobro da distância focal.

Assim, a distância total entre a lente e o espelho é formada por duas partes: a distância de 2F entre a lente e a imagem que ela produz, somada à distância de 2f entre essa imagem e o espelho.

Portanto,

\[x = 2 \text{F} + 2 f\]

Colocando o fator comum 2 em evidência, obtém-se:

\[x = 2 \left(F + f\right)\]

Logo, a alternativa correta é b) 2(F + f).