Exercícios de Gráficos do MUV com resolução comentada

Para identificar o gráfico de s(t), é necessário analisar separadamente os quatro trechos do movimento. Em um gráfico de posição em função do tempo, a inclinação da curva representa a velocidade: uma reta crescente indica velocidade constante e positiva; uma curva com concavidade para baixo indica velocidade positiva diminuindo; uma reta horizontal indica repouso; uma curva com concavidade para cima indica velocidade positiva aumentando.

Trecho I — de t = 0 a t = 30 s

Nesse intervalo, o motociclista realiza movimento uniforme, pois sua velocidade permanece constante. Portanto, a posição aumenta linearmente com o tempo, sendo representada por uma reta crescente.

Antes de calcular a distância, é necessário converter a velocidade de quilômetros por hora para metros por segundo, pois o intervalo de tempo está expresso em segundos. A conversão é feita dividindo o valor em km/h por 3,6:

\[Δs_{I} = v_{I} \cdot Δt_{I} = \frac{36 \text{km} / \text{h}}{3.6 \frac{km / \text{h}}{m / \text{s}}} \cdot 30 \text{s}\]

Assim, a distância percorrida no primeiro trecho é:

\[Δs_{I} = 300 \text{m}\]

Logo, ao final do trecho I, a posição do motociclista aumentou 300 m em relação à posição inicial.

Trecho II — de t = 30 s a t = 50 s

Ao iniciar esse trecho, a velocidade é de 36 km/h, isto é, 10 m/s. O motociclista continua avançando, mas passa a apresentar aceleração negativa até parar completamente após 20 s. Trata-se, portanto, de um movimento progressivo retardado: a velocidade é positiva, porém diminui com o tempo.

No gráfico da posição em função do tempo, a posição continua aumentando, mas sua inclinação diminui gradualmente até se tornar nula no instante em que o motociclista para. Por isso, esse trecho é representado por uma curva com concavidade para baixo.

A aceleração constante pode ser obtida pela relação entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo:

\[v = v_{0} + a \cdot t\]

Isolando a aceleração e usando velocidade final igual a zero, velocidade inicial igual a 10 m/s e tempo igual a 20 s, obtém-se:

\[a = \frac{v – v_{0}}{t} = \frac{\left(0 – 10\right) m / \text{s}}{20 \text{s}}\]

Portanto:

\[a = – 0.5 \text{m} / s^{2}\]

A distância percorrida durante a desaceleração pode ser calculada pela equação de Torricelli, que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento sem exigir o uso explícito do tempo:

\[v^{2} = \left(v_{0}\right)^{2} + 2 \cdot a \cdot Δs\]

Isolando o deslocamento:

\[Δs_{\text{II}} = \frac{v^{2} – \left(v_{0}\right)^{2}}{2 \cdot a} = \frac{0^{2} – 10^{2}}{2 \cdot \left(- 0.5\right)}\]

Assim:

\[Δs_{\text{II}} = 100 \text{m}\]

Como a posição ao final do trecho I era 300 m, a posição ao final do trecho II é:

\[s_{\text{II}} = 300 \text{m} + 100 \text{m}\]

Logo, o motociclista para na posição de 400 m.

Trecho III — de t = 50 s a t = 95 s

Entre t = 50 s e t = 80 s, o motociclista permanece parado durante 30 s. Nesse intervalo, sua posição não varia; portanto, o gráfico apresenta uma reta horizontal na posição de 400 m.

A partir de t = 80 s, ele retoma o movimento a partir do repouso com aceleração constante e positiva de 0,8 m/s², durante 15 s. Como a velocidade começa em zero e aumenta continuamente, a posição cresce cada vez mais rapidamente. Consequentemente, o gráfico da posição apresenta uma curva com concavidade voltada para cima.

Como o movimento começa a partir do repouso, a distância percorrida nesse intervalo é determinada por:

\[Δs_{\text{III}} = \frac{a}{2} \cdot t^{2} = \frac{0.8}{2} \cdot 15^{2}\]

Portanto:

\[Δs_{\text{III}} = 90 \text{m}\]

Somando esse deslocamento à posição de 400 m em que o motociclista estava parado:

\[s_{\text{III}} = 400 \text{m} + 90 \text{m}\] \[s_{\text{III}} = 490 \text{m}\]

Assim, ao final do trecho III, a posição é 490 m, e a curva deve apresentar concavidade para cima.

Trecho IV — de t = 95 s a t = 120 s

Após o trecho acelerado, o motociclista passa a se mover com velocidade constante. A velocidade no início desse trecho é a velocidade adquirida durante os 15 s de aceleração:

\[v_{\text{IV}} = v_{0} + a \cdot t\]

Substituindo a velocidade inicial nula, a aceleração de 0,8 m/s² e o intervalo de 15 s:

\[v_{\text{IV}} = 0 + 0.8 \text{m} / s^{2} \cdot 15 \text{s}\] \[v_{\text{IV}} = 12 \text{m} / \text{s}\]

O trecho IV dura 25 s, de 95 s até 120 s. Como a velocidade é constante, o deslocamento é dado pelo produto entre velocidade e tempo:

\[Δs_{\text{IV}} = v \cdot t = 12 \text{m} / \text{s} \cdot 25 \text{s}\]

Logo:

\[Δs_{\text{IV}} = 300 \text{m}\]

Somando esse deslocamento à posição de 490 m atingida ao final do trecho III:

\[s_{\text{IV}} = 490 \text{m} + 300 \text{m}\] \[s_{\text{IV}} = 790 \text{m}\]

Portanto, o gráfico correto deve apresentar, em sequência: uma reta crescente no trecho I; uma curva crescente com concavidade para baixo no trecho II; uma parte horizontal durante o repouso; uma curva crescente com concavidade para cima no trecho acelerado do trecho III; e, por fim, uma reta crescente no trecho IV.

Esse comportamento corresponde à alternativa a).

Como o gráfico representa a velocidade em função do tempo, a distância percorrida corresponde à área sob o gráfico no intervalo de 0 a 8 segundos. Antes de determinar essa área, é necessário encontrar o valor da velocidade constante v’.

A tangente do ângulo β é dada pela razão entre a variação vertical do gráfico, que corresponde à velocidade v’, e a variação horizontal, correspondente aos 4 segundos necessários para atingir essa velocidade. Assim:

Da tangente do ângulo  \(\beta ,\)  obtemos:

\[tgβ = 0.2 = \frac{v^{'}}{4}\] \[v^{'} = 0.8 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, a velocidade aumenta de 0 até 0,8 m/s nos primeiros 4 segundos e permanece constante em 0,8 m/s até o instante de 8 segundos.

A distância percorrida é dada pela área sob o gráfico de  \(v \times t .\)  Nesse caso, a região sob o gráfico pode ser interpretada como um trapézio, cuja altura é a velocidade de 0,8 m/s e cujas bases correspondem aos intervalos de tempo de 8 s e 4 s. Assim:

\[d = \frac{\left(8 + 4\right) \cdot 0.8}{2}\] \[d = 4.8 \text{m}\]

Logo, a distância percorrida pelo ponto material durante os 8 segundos é 4,8 m. Portanto, a alternativa correta é a a).

Para compreender a representação gráfica solicitada, é necessário analisar o comportamento cinemático do veículo durante o processo de frenagem. O enunciado estabelece que o automóvel possui uma desaceleração constante, o que caracteriza um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV). No contexto da função horária da velocidade, essa condição implica que a relação entre a velocidade e o tempo é descrita por uma equação do primeiro grau, cuja forma geral é expressa pela estrutura matemática de uma reta.

Ao analisar os componentes dessa função linear, observamos que o coeficiente angular representa a aceleração do sistema. Como o veículo está freando, sua velocidade diminui progressivamente ao longo do tempo, o que significa que a aceleração possui um valor negativo. Consequentemente, no plano cartesiano, o gráfico resultante será uma reta descendente, apresentando uma inclinação voltada para baixo.

Quanto ao coeficiente linear, ele corresponde ao ponto onde a reta intercepta o eixo vertical (eixo da velocidade), representando o valor da velocidade no instante inicial do processo de frenagem. Como o carro já estava em movimento antes de iniciar a desaceleração, esse valor é positivo e diferente de zero, indicando que o gráfico não parte da origem.

Portanto, ao correlacionar essas propriedades físicas com as opções apresentadas, conclui-se que o comportamento descrito corresponde a uma reta descendente, com inclinação negativa (coeficiente angular negativo) e um intercepto no eixo das ordenadas distinto de zero (coeficiente linear positivo).

Para determinar qual gráfico representa corretamente o movimento do veículo, é necessário analisar a distribuição espacial dos pingos de óleo em relação ao tempo. O enunciado estabelece que o intervalo de tempo entre cada marcação no asfalto é constante, o que nos permite interpretar a distância entre os pontos como uma representação direta da velocidade instantânea do carro em cada momento.

Ao observar a Figura I, nota-se que a distância percorrida pelo automóvel entre um pingo e outro diminui progressivamente à medida que o tempo passa. Em termos físicos, se o deslocamento em intervalos de tempo iguais está reduzindo, isso significa que a velocidade do objeto está decrescendo. Portanto, o carro está realizando um movimento retardado.

No contexto da cinemática, a relação entre posição e tempo é descrita pela função horária do movimento. Quando a velocidade não é constante, o gráfico da posição em função do tempo deixa de ser uma linha reta (característica do Movimento Retilíneo Uniforme) e passa a ser uma curva. Como a velocidade diminui, a inclinação da reta tangente ao gráfico da posição deve se tornar cada vez menos íngreme conforme avançamos no eixo temporal.

Matematicamente, a taxa de variação da posição em relação ao tempo é a velocidade. Se essa taxa está diminuindo, o primeiro derivado da função posição é positivo (pois o carro ainda avança para a direita), mas o segundo derivativo (a aceleração) deve ser negativo. Esse comportamento resulta em uma curva que cresce, porém com uma concavidade voltada para baixo.

Analisando as opções de gráficos fornecidas na Figura II, identificamos que apenas a curva A apresenta esse comportamento específico: ela é crescente, indicando que a posição aumenta, mas sua inclinação diminui gradualmente, o que reflete perfeitamente a redução da velocidade observada nos pingos de óleo.

Como o movimento é uniformemente acelerado, a velocidade varia de forma linear ao longo do tempo. Por isso, no gráfico da velocidade em função do tempo, o deslocamento corresponde à área sob a curva. Essa área pode ser calculada usando a velocidade média, que é a média aritmética entre a velocidade inicial e a velocidade final.

Aplicando a “fórmula da área”:

Aqui, \[\begin{array}{l}ΔS = \frac{v + v_{0}}{2} Δt \\ 100 = \frac{v + 15}{2} \cdot 5 \\ v + 15 = \frac{200}{5}\end{array}\] o deslocamento é \[ΔS\], igual a 100 m, enquanto a velocidade inicial é \[v_{0}\] igual a 15 m/s e o intervalo de tempo é \[Δt\] igual a 5 s. A velocidade final é representada por

\[v\].

Substituindo os valores, a velocidade média durante os 5 s é \[\frac{v + 15}{2}\]. Multiplicando essa velocidade média pelo tempo de 5 s, obtém-se o deslocamento de 100 m. Isolando a velocidade final, resulta em

\[v = 40 – 15\]

O valor 40 m/s surge da divisão de 200 m/s pelo fator numérico correspondente após a reorganização da igualdade. Em seguida, subtrai-se a velocidade inicial, 15 m/s, dos dois lados da equação para deixar a velocidade final isolada.

Assim, a velocidade adquirida pelo carro ao final dos 5 s é

\[v = 25 \text{m} / \text{s}\]

Logo, a alternativa correta é a) 25 m/s.

Como o movimento é retrógrado, a posição do veículo diminui ao longo do tempo. Isso significa que a velocidade possui sinal negativo, isto é, v < 0. O veículo se desloca no sentido oposto ao sentido positivo previamente escolhido para a trajetória.

Além disso, o movimento é uniformemente acelerado. Nesse contexto, a aceleração mantém valor constante e atua no mesmo sentido da velocidade. Portanto, a aceleração também é negativa, a < 0. Como velocidade e aceleração têm o mesmo sinal, o módulo da velocidade aumenta com o tempo: o veículo continua se deslocando no sentido negativo, mas cada vez mais rapidamente.

Assim, devemos ter \(\left|v\right|\) crescente. O módulo da velocidade aumenta porque a aceleração, embora constante, atua no mesmo sentido do movimento. Já o módulo da aceleração permanece constante, pois se trata de um movimento uniformemente acelerado: \(\left|a\right|\) não varia.

Consequentemente, a posição S deve diminuir cada vez mais rapidamente. Em um gráfico de posição em função do tempo, isso corresponde a uma curva decrescente, com inclinação negativa e módulo da inclinação crescente, pois a inclinação representa a velocidade. Portanto, a taxa de variação de S é crescente em módulo, mas ocorre no sentido negativo do eixo vertical.

Entre os diagramas apresentados, a alternativa [C] é a única que representa corretamente essas características: velocidade negativa, aceleração negativa e aumento do módulo da velocidade, com a posição variando no sentido negativo de forma cada vez mais rápida.

Resposta final: alternativa C.

Para identificar o gráfico correto, é necessário analisar o comportamento cinemático de cada veículo conforme descrito no enunciado. O carro 2 percorre a estrada com velocidade constante, o que se traduz graficamente por uma função horária de posição do primeiro grau, resultando em uma reta com inclinação constante ao longo de todo o tempo.

O carro 1 apresenta um comportamento mais complexo dividido em três etapas distintas. Inicialmente, ele parte de uma posição 20 metros atrás do carro 2 e inicia um movimento uniformemente variado com aceleração positiva para realizar a ultrapassagem. No gráfico de posição versus tempo, esse aumento de velocidade caracteriza uma curva parabólica com concavidade voltada para cima. Após superar o segundo veículo, o motorista reduz sua velocidade de forma constante até igualá-la à do carro 2, o que gera um trecho de parábola com concavidade voltada para baixo.

Ao comparar essas características com as opções, observa-se que a alternativa C é a única que atende plenamente aos critérios. Nela, o ponto inicial do carro 1 está abaixo do carro 2 por uma distância de 20 unidades, e a trajetória do primeiro veículo apresenta a curvatura ascendente durante a aceleração e a curvatura descendente durante a desaceleração. O ponto final da curva do carro 1 deve apresentar a mesma inclinação da reta do carro 2, indicando que ambos atingiram o mesmo estado de velocidade.

As demais opções são descartadas por inconsistências físicas: a alternativa A falha ao representar movimentos apenas lineares, ignorando as acelerações mencionadas; a alternativa B sugere um movimento uniforme para o carro 1 e uma interrupção de movimento para o carro 2, o que contradiz o enunciado; e a alternativa D inverte as posições iniciais dos veículos e descreve uma dinâmica de aceleração e desaceleração oposta à solicitada.

A análise da trajetória descrita pelo gráfico revela que o movimento ocorre de forma retilínea e uniformemente variado, uma vez que a relação entre a posição e o tempo é definida por uma função quadrática, o que resulta em uma curva parabólica com concavidade voltada para cima. Essa característica indica que a aceleração do sistema permanece positiva e constante durante todo o percurso observado.

Ao observar o intervalo compreendido entre o instante inicial e o ponto t₁, nota-se que a velocidade e a aceleração possuem sinais opostos. Quando os vetores de velocidade e aceleração atuam em sentidos contrários, ocorre uma redução na magnitude da velocidade, caracterizando um movimento retardado. Esse fenômeno é visível pela inclinação descendente da curva no gráfico até atingir o ponto de mínimo.

No ponto de inflexão da parábola, que representa o valor mínimo da função posição, a velocidade instantânea do móvel é nula. Este momento marca a transição exata em que a partícula deixa de se deslocar em um sentido para passar a se mover no sentido oposto, alterando sua direção de movimento enquanto mantém a mesma aceleração positiva constante.

Como o trem desacelera uniformemente entre o ponto 1 e o ponto 2, sua velocidade varia de forma constante. Nesse tipo de movimento, a velocidade média é igual à média aritmética entre a velocidade inicial e a velocidade final:

A distância percorrida é obtida multiplicando essa velocidade média pelo intervalo de tempo entre a passagem pelos dois pontos:

Utilizando a relação entre distância, velocidade média e tempo:

\[d = \frac{v + v_{0}}{2} t\]

Nessa expressão, d representa a distância entre os pontos 1 e 2, v é a velocidade final do trem, v₀ é a velocidade inicial e t é o tempo gasto no percurso. Para evitar o acionamento do freio de emergência, o intervalo de tempo não pode ser menor que 15 s. Assim, no limite da situação apresentada, usamos t = 15 s, a velocidade inicial de 40 m/s e a velocidade final máxima de 10 m/s:

\[d = \frac{40 + 10}{2} \cdot 15\]

Primeiro, calcula-se a velocidade média: a soma das velocidades é 50 m/s e, ao dividi-la por 2, obtém-se 25 m/s. Em seguida, essa velocidade média é multiplicada pelo tempo de 15 s:

\[d = 375 \text{m}\]

Portanto, o ponto 2 deve ser colocado a 375 m do ponto 1 para que o trem percorra esse trecho em 15 s, desacelerando uniformemente de 40 m/s para 10 m/s. Logo, a alternativa correta é c) 375 m.

A área sob o gráfico de \(v \times t\) representa numericamente o deslocamento do atleta, pois velocidade é a razão entre deslocamento e tempo. Assim, para determinar o instante T em que o atleta completa os 100 m, calcula-se a área total sob o gráfico até esse instante.

Durante os primeiros 4 s, o atleta parte do repouso e aumenta sua velocidade uniformemente até atingir 18 m/s. Nesse intervalo, a região sob o gráfico é um triângulo, cuja área é dada pela metade do produto da base pela altura. Depois dos 4 s, a velocidade permanece constante e igual a 18 m/s até o instante T. Essa segunda região é um retângulo, com base igual a T − 4 e altura igual a 18 m/s.

Como a área total deve ser igual ao deslocamento de 100 m, escreve-se:

\[\frac{4 \cdot 18}{2} + \left(T – 4\right) \cdot 18 = 100\]

O primeiro termo corresponde à distância percorrida durante a aceleração, representada pela área triangular. O segundo termo corresponde à distância percorrida com velocidade constante, representada pela área retangular. Efetuando a multiplicação no primeiro termo e distribuindo o fator 18 no segundo, obtém-se:

\[36 + 18 \text{T} – 72 = 100\]

Reunindo os termos que contêm T e os termos numéricos, resulta:

\[18 \text{T} = 136\]

Por fim, dividindo ambos os membros por 18, determina-se o tempo total da prova:

\[T = 7.56 \text{s}\]

Portanto, o atleta percorreria os 100 m em aproximadamente 7,56 s, o que corresponde à alternativa d).