Exercícios de Gráficos do MUV

Comentário:

No trecho I temos um movimento uniforme, então a posição (s) é uma relação linear (reta crescente) com o tempo (30 s), e a distância percorrida pelo móvel é:

${\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{I}}={\mathrm{v}}_{\mathrm{I}}\cdot {\mathrm{\Delta t}}_{\mathrm{I}}=\frac{36\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{km}/\mathrm{h}}{3,6\frac{\mathrm{km}/\mathrm{h}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}}\cdot 30\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}\therefore {\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{I}}=300\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$

No trecho II temos um movimento progressivo retardado (móvel avança positivamente no referencial com velocidade inicial de 10 m/s, porém com aceleração negativa) até parar após 20 s (o gráfico da posição versus o tempo é uma perna de parábola com a concavidade para baixo).

A aceleração neste trecho é:

$\mathrm{v}={\mathrm{v}}_0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{\mathrm{v}-{\mathrm{v}}_0}{\mathrm{t}}=\frac{(0-10)\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}}{20\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}}\therefore \mathrm{a}=-0,5\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$

E a distância percorrida no trecho II é:

${\mathrm{v}}^2={{\mathrm{v}}_0}^2+2\cdot \mathrm{a}\cdot \mathrm{\Delta s}\Rightarrow {\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{II}}=\frac{{\mathrm{v}}^2-{{\mathrm{v}}_0}^2}{2\cdot \mathrm{a}}=\frac{0^2-{10}^2}{2\cdot (-0,5)}\therefore {\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{II}}=100\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$

Logo, a posição final do trecho II é: s_II = 300m + 100m = 400m 

No trecho III, o móvel fica parado por 30 s e depois retoma o movimento e mantém uma aceleração constante e positiva a = 0,8 m/s² desde t = 80 s até t = 95 s. A distância percorrida neste trecho é:

${\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{III}}=\frac{\mathrm{a}}{2}\cdot {\mathrm{t}}^2=\frac{0,8}{2}\cdot {15}^2\therefore {\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{III}}=90\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$

Sendo assim, a posição ao final do trecho III é:

${\mathrm{s}}_{\mathrm{III}}=400\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}+90\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}\therefore {\mathrm{s}}_{\mathrm{III}}=490\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$

Neste caso, o gráfico das posições pelo tempo representa uma perna de parábola com a concavidade voltada para cima, indicando um movimento progressivo acelerado.

No trecho IV, o móvel segue com velocidade constante até 120 s.

A velocidade no início deste trecho é:

${\mathrm{v}}_{\mathrm{IV}}={\mathrm{v}}_0+\mathrm{a}\cdot \mathrm{t}\Rightarrow {\mathrm{v}}_{\mathrm{IV}}=0+0,8\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\cdot 15\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}\therefore {\mathrm{v}}_{\mathrm{IV}}=12\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

E a distância percorrida neste trecho é:

${\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{IV}}=\mathrm{v}\cdot \mathrm{t}=12\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 25\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{s}\therefore {\mathrm{\Delta s}}_{\mathrm{IV}}=300\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$

Assim, a posição final do móvel ao final do trecho IV é:

${\mathrm{s}}_{\mathrm{IV}}=490\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}+300\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}\therefore {\mathrm{s}}_{\mathrm{IV}}=790\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$

Com isso, tem-se o gráfico correto das posições em função do tempo de acordo com a figura abaixo:

Da tangente do ângulo  $\mathrm{\beta },$ obtemos:

$$\mathrm{tg\beta }=0,2=\frac{\mathrm{v}‘}{4}$$
$$\mathrm{v}‘=0,8\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A distância percorrida é dada pela área sob o gráfico de  $\mathrm{v}\times \mathrm{t} .$ Logo:

$$\mathrm{d}=\frac{(8+4)\cdot 0,8}{2}$$
$$\mathrm{d}=4,8\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{m}$$

O gráfico da situação proposta assemelha-se a uma reta descendente pois a função horária da velocidade é do 1º grau; logo, o coeficiente angular é negativo e o coeficiente linear é positivo, e tem o valor da velocidade inicial. O esquema e o gráfico ilustram a situação.

A posição é crescente com o tempo, porém não linearmente, pois a taxa de variação está diminuindo. Isso leva à conclusão de que o gráfico não é uma reta, mas sim uma curva crescente de concavidade para baixo.

Aplicando a “fórmula da área”:

$$\mathrm{\Delta S}=\frac{\mathrm{v}+{\mathrm{v}}_0}{2}\mathrm{\Delta t}\Rightarrow 100=\frac{\mathrm{v}+15}{2}\cdot 5\Rightarrow \mathrm{v}+15=\frac{200}{5}\Rightarrow$$
$$\mathrm{v}=40-15\Rightarrow \mathrm{v}=25 \mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Como o movimento é retrógrado e uniformemente acelerado, devemos ter v < 0 e a < 0, com $\left|\mathrm{v}\right|$ aumentando e $\left|\mathrm{a}\right|$ constante. O módulo da taxa de variação de s deve ser crescente, porém, no sentido negativo do eixo vertical. Sendo assim, a alternativa [C] é a única que apresenta corretamente o gráfico de uma das grandezas do movimento descrito.

A resolução da questão é feita apenas pela interpretação dos gráficos apresentados nas alternativas. Abaixo a análise para cada opção de resposta.

[A] Incorreto, pois mostra que os dois móveis tem velocidades constantes em todo o trajeto sendo que o carro 1, que saiu atrás, tem velocidade maior, mas não acelera e desacelera como menciona o texto.

[B] Incorreto, pois o carro 1 faz um movimento uniforme e o carro 2 é ultrapassado porque ele para em alguns instantes.

[C] Correto. O carro 1 sai atrás 20 m do carro 2, acelerando (perna de parábola com a concavidade para cima, indicando aceleração positiva) até a ultrapassagem e depois desacelera (agora o gráfico mostra a perna de parábola com a concavidade para baixo – aceleração negativa) até que sua velocidade fique igual ao carro ultrapassado, observado pela mesma inclinação da reta neste trecho final entre os dois carros.

[D] Incorreto. A posição de saída está invertida entre os carros e o primeiro desacelera enquanto o carro 2 o ultrapassa com velocidade constante e depois o carro 1 acelera para manter a mesma velocidade do carro 2 à frente.

Análise das afirmativas:

[A] Falsa. Neste intervalo, o movimento é retardado.

[B] Falsa. Em todo o gráfico a aceleração é positiva (concavidade da parábola voltada para cima).

[C] Verdadeira. De t = 0 até t = t₁ aceleração e velocidade têm sinais diferentes, portanto, neste intervalo, o movimento da partícula é retardado.

[D] Falsa. Este movimento é retilíneo e uniformemente variado, porém o gráfico é uma parábola porque a posição do móvel tem uma dependência quadrática com relação ao tempo.

[E] Falsa. A aceleração em todo o percurso é positiva e constante, porém no ponto de inflexão da curva, que representa o mínimo da função, a velocidade é zero, representando o ponto onde o móvel muda o sentido da velocidade.

Utilizando a “fórmula da área”

$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{v}+{\mathrm{v}}_0}{2}\mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{d}=\frac{40+10}{2}\cdot 15\Rightarrow \mathrm{d}=375\mathrm{m}$

Como a área sob o gráfico de $\mathrm{v}\times \mathrm{t}$ é numericamente igual ao deslocamento do atleta, o instante T em que ele percorre 100 m é igual a:

$$\frac{4\cdot 18}{2}+(\mathrm{T}-4)\cdot 18=100$$
$$36+18 \mathrm{T}-72=100$$
$$18 \mathrm{T}=136$$
$$\mathrm{T}=7,56 \mathrm{s}$$