Exercícios de Queda Livre com resolução comentada

Como a velocidade inicial da água ao sair do bico do bule é desprezível, podemos considerar v₀ = 0. Durante a queda, a água acelera devido à gravidade. A variação de altura relevante é o desnível entre o ponto de despejo e a superfície da água já acumulada no filtro.

Para relacionar a velocidade do jato com esse desnível, utilizamos a equação de Torricelli:

\[v^{2} = \left(v_{0}\right)^{2} + 2 \cdot g \cdot Δh \overset{v_{0} = 0}{\rightarrow} v^{2} = 2 \cdot g \cdot Δh\] \[Δh = \frac{v^{2}}{2 \cdot g} \overset{Δh = D – H}{\rightarrow}\] \[D – H = \frac{v^{2}}{2 \cdot g}\] \[D = \frac{v^{2}}{2 \cdot g} + H\]

Nessas relações, v é a velocidade do jato ao atingir a água, g é a aceleração da gravidade e Δh é a distância vertical percorrida pelo jato. Como D e H são medidos a partir da mesma referência, a distância entre o ponto de despejo e a superfície da água é D − H.

Para que a velocidade seja de pelo menos 2 m/s, calculamos a altura mínima usando exatamente o valor-limite v = 2 m/s. Se a altura fosse maior, a velocidade seria superior a esse valor. É necessário também converter a altura da lâmina de água para o Sistema Internacional: 8 cm = 0,08 m.

Substituindo-se os valores dados no SI de unidades, tem-se:

\[D = \frac{v^{2}}{2 \cdot g} + H = \frac{\left(2 \text{m} / \text{s}\right)^{2}}{2 \cdot 10 \text{m} / s^{2}} + 0.08 \text{m}\] \[D = 0.28 \text{m} = 28 \text{cm}\]

O desnível necessário entre o ponto de despejo e a superfície da água é de 0,20 m. Como a superfície da água está a 0,08 m da base do filtro, o ponto de despejo deve estar a 0,28 m, ou 28 cm, dessa mesma base.

Portanto, a altura mínima de despejo é 28 cm, correspondente à alternativa e).

Para que a pedra atinja a garrafa, é necessário que ambas estejam na mesma posição horizontal no instante em que a pedra chega ao nível do rio. Como a pedra é solta do repouso e a resistência do ar é desconsiderada, seu movimento vertical é uma queda livre. Primeiro, determina-se o tempo necessário para a pedra percorrer os 20 m até o leito do rio.

Na queda livre a partir do repouso, a distância vertical percorrida é dada por \(h = \frac{g}{2} \cdot t^{2}\)

Nessa relação, h é a altura percorrida pela pedra, g é a aceleração da gravidade e t é o tempo de queda. Isolando o tempo, obtém-se \(t = \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{m}}{10 \text{m} / s^{2}}} = \sqrt{4 s^{2}}\)

Portanto, o tempo de queda da pedra é \(t = 2 \text{s}\)

Durante esses 2 s, a garrafa continua sendo transportada horizontalmente pela correnteza do rio, cuja velocidade constante em relação às margens é de 3,0 m/s. O deslocamento horizontal da garrafa é calculado por \(x = v \cdot t\)

Substituindo a velocidade da correnteza e o tempo de queda encontrado, tem-se \(x = 3 \text{m} / \text{s} \cdot 2 \text{s}\)

Assim, o deslocamento horizontal da garrafa durante a queda da pedra é \(x = 6 \text{m}\)

Logo, no instante em que a pedra for solta, a garrafa deve estar 6,0 m antes da vertical que passa pelo ponto P. Dessa forma, durante os 2 s de queda, ela será deslocada pela correnteza até a posição de encontro com a pedra.

Portanto, a alternativa correta é d) 6,0 m.

A letra da canção estabelece um paralelo com as investigações históricas sobre a dinâmica de queda de corpos. Ao citar elementos como penas e ferro, o texto evoca os estudos conduzidos por Galileu Galilei acerca dos princípios da queda livre. Esses experimentos foram fundamentais para compreender como objetos de massas distintas se comportam sob a influência da gravidade.

A menção específica de que as penas tocam o solo antes que o peso saia do ar remete à observação clássica sobre a influência da resistência atmosférica no movimento descendente. Embora na ausência de ar todos os corpos sofram a mesma aceleração, a descrição musical ilustra o fenômeno cotidiano onde a aerodinâmica altera o tempo de queda, reforçando a conexão com as descobertas galileanas e validando a alternativa C.

Como a pessoa parte do repouso, a velocidade inicial é nula, isto é, v₀ = 0. Além disso, desprezando a resistência do ar, a única aceleração considerada é a da gravidade, com módulo g = 9,8 m/s². Portanto, o movimento é uniformemente variado.

Aplicamos a equação horária do movimento, na qual Y(t) representa a posição no instante t, Y₀ é a posição inicial, v₀ é a velocidade inicial e a é a aceleração. Para a queda, a distância percorrida até o final da queda é de 79 m. Assim:

\[Y \left(t\right) = Y_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2}\]

Substituindo a altura de 79 m, a velocidade inicial igual a zero e a aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s², obtemos:

\[79 = 0 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^{2}\]

Os dois primeiros termos do lado direito são nulos, pois a posição inicial de referência foi tomada como zero e a pessoa parte do repouso. Isolando o tempo ao quadrado, multiplicamos os dois lados por 2 e dividimos por 9,8:

\[t = \sqrt{\frac{79 \cdot 2}{9.8}} = \sqrt{16.12}\]

Como o tempo é uma grandeza positiva, consideramos a raiz quadrada positiva. Portanto:

\[t \simeq 4 \text{s}\]

A massa de 65 kg não interfere no resultado, pois, na ausência de resistência do ar, todos os corpos caem com a mesma aceleração gravitacional. Logo, o tempo de queda livre é aproximadamente 4,0 s, correspondente à alternativa b).

Como o atleta parte do repouso, sua velocidade inicial é nula. Desprezando a resistência do ar, o movimento durante a queda é uniformemente acelerado, com aceleração igual à gravidade, a = 10 m/s². O deslocamento vertical até a água é de 5 m.

Para relacionar a velocidade final à velocidade inicial, à aceleração e ao deslocamento, aplica-se a equação de Torricelli:

\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \Delta s\]

Nessa expressão, v é a velocidade no instante em que o atleta atinge a água, v₀ é a velocidade inicial, a é a aceleração da gravidade e Δs é o deslocamento realizado. Como o salto começa a partir do repouso, v₀ = 0. Substituindo também a = 10 m/s² e Δs = 5 m, resulta:

\[v^{2} = 0 + 2 \cdot 10 \cdot 5\]

O termo correspondente à velocidade inicial desaparece porque a velocidade inicial é zero. Efetuando a multiplicação, obtém-se:

\[v^{2} = 100\]

Para encontrar v, calcula-se a raiz quadrada de 100. Como se trata do módulo da velocidade, considera-se o valor positivo:

\[v = 10 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, o atleta se chocará com a água com velocidade de 10 m/s. Assim, a alternativa correta é a) 10 m/s.

Tomando o chão do elevador como referencial, o parafuso permanece em repouso enquanto ainda está preso ao teto. Portanto, antes do instante \(t_{0}\), sua velocidade relativa ao elevador é nula e, consequentemente, o módulo dessa velocidade também é zero

No instante \(t_{0}\), o parafuso se desprende. A partir daí, ele passa a cair em relação ao elevador sob a ação da gravidade. Como a aceleração da queda é constante, o módulo da velocidade aumenta linearmente com o tempo, começando em zero no instante do desprendimento

Assim, o gráfico correto deve apresentar um trecho horizontal sobre o eixo do tempo até \(t_{0}\) e, depois desse instante, uma reta crescente. Essa representação corresponde à alternativa e

Logo, a resposta final é e.

Para compreender o comportamento das grandezas físicas envolvidas, deve-se analisar o movimento da bola sob a premissa de que a resistência do ar é desprezível. Nesse cenário, o objeto realiza um movimento de queda livre, caracterizado por uma aceleração constante devido à força gravitacional. O gráfico original indica que a posição da bola varia de forma parabólica em relação ao tempo até atingir um ponto onde ocorre uma interrupção brusca no movimento.

A partir dessa análise cinemática, podemos derivar o comportamento da velocidade escalar. Como a aceleração é constante durante a queda, a velocidade não aumenta de maneira desproporcional, mas sim de forma linear, apresentando um crescimento constante ao longo do tempo. No momento em que a bola para abruptamente, conforme observado no gráfico de posição, sua velocidade sofre uma transição imediata para o valor zero, o que caracteriza uma descontinuidade no gráfico de velocidade versus tempo.

Em seguida, deve-se observar a aceleração escalar. Durante todo o período em que a bola está em queda, ela é submetida à aceleração da gravidade, que possui um valor constante e uniforme. Assim, o gráfico da aceleração em função do tempo deve apresentar uma linha horizontal representando esse valor constante. No instante exato em que o movimento de queda cessa e a bola para, a força gravitacional deixa de atuar sobre o objeto em movimento, fazendo com que a aceleração caia instantaneamente para zero.

Portanto, ao correlacionar essas transformações, identificamos que a única opção que descreve corretamente uma velocidade com crescimento linear seguido de um salto para zero, e uma aceleração constante seguida de um salto para zero, é a alternativa A.