Exercícios de MUV com resolução comentada

Velocidade após 10 s

Como o móvel parte do repouso, sua velocidade inicial é zero. Em um movimento retilíneo uniformemente acelerado, a velocidade é determinada pela equação horária da velocidade, em que v é a velocidade final, v₀ é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o intervalo de tempo:

\[v = \overline{\left.\right)v_{0}} + at\]

O termo correspondente à velocidade inicial pode ser eliminado porque v₀ = 0. Substituindo a aceleração a = 3,5 m/s² e o tempo t = 10 s, obtém-se:

\[v = 3.5 \left(10\right)\]

Efetuando a multiplicação, a velocidade do móvel depois de 10 s é:

\[v = 35 \text{m} / \text{s}\]

Distância percorrida após 10 s

Para determinar a distância percorrida em um movimento com aceleração constante, utiliza-se a equação horária da posição. Como o móvel parte do repouso e a distância inicial pode ser tomada como referência, o termo correspondente à velocidade inicial também é nulo:

\[D = \overline{\left.\right)v_{0} t} + \frac{a}{2} t^{2}\]

Substituindo a = 3,5 m/s² e t = 10 s, a expressão fica:

\[D = \frac{3.5}{2} \left(10\right)^{2} = 50 \left(3.5\right)\]

Como 10² = 100 e 100 dividido por 2 é igual a 50, a distância percorrida é:

\[D = 175 \text{m} .\]

Portanto, após 10 s, o móvel apresenta velocidade de 35 m/s e percorre 175 m. Assim, a alternativa correta é a b) 35 m/s e 175 m.

Como o movimento é retilíneo uniformemente variado, a posição da cápsula pode ser determinada pela função horária do espaço. Considerando a posição inicial como referência, temos S₀ = 0. Além disso, a velocidade inicial é v₀ = 7000 m/s, o tempo é t = 200 s e a aceleração é a = −5,0 m/s².

O sinal negativo da aceleração indica que ela tem sentido oposto ao da velocidade inicial; portanto, a cápsula está sendo freada. Aplicando esses valores à função horária do espaço:

\[\begin{array}{l}S = S_{0} + v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2} \\ d = 0 + 7 \times 10^{3} \cdot \left(2 \times 10^{2}\right) – \frac{5}{2} \left(2 \times 10^{2}\right)^{2} = 14 \times 10^{5} – 10 \times 10^{4}\end{array}\] \[d = 14 \times 10^{5} – 1 \times 10^{5} = 13 \times 10^{5} \text{m} = 13 \times 10^{2} \text{km}\] \[d = 1.300 \text{km}\]

O primeiro termo da expressão, v₀t, corresponde à distância que seria percorrida caso a velocidade permanecesse constante. O segundo termo representa a correção causada pela aceleração negativa, que reduz a distância efetivamente percorrida durante os 200 s.

Assim, a distância percorrida pela cápsula até t = 200 s é igual a 1.300 km. Portanto, a alternativa correta é a).

No movimento uniformemente variado, a posição em função do tempo é descrita por uma função quadrática da forma:

\[x = x_{0} + v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2}\]

Nessa expressão, x₀ representa a posição inicial, v₀ é a velocidade inicial e a é a aceleração constante. A equação fornecida é x = −3 + 5t + 2t². Para determinar a aceleração, basta comparar os coeficientes dos termos correspondentes.

O termo constante fornece a posição inicial, enquanto o coeficiente de t fornece a velocidade inicial. Já o coeficiente de t² deve ser comparado a a/2, pois essa é a forma como a aceleração aparece na função horária do espaço.

\[< \begin{matrix}x_{0} = – 3 \text{km} \\ \begin{matrix}v_{0} = 5 \text{km} / \text{h} \\ \frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4 \text{km} / h^{2 }\end{matrix}\end{matrix}\]

Assim, o coeficiente de t² é igual a 2, o que significa que a/2 = 2. Multiplicando os dois lados por 2, obtém-se a = 4 km/h². A unidade é km/h² porque a posição está em quilômetros e o tempo está em horas.

Portanto, a alternativa correta é e) a = 4 km/h².

Para determinar o tempo gasto pelo ciclista, é necessário primeiro calcular a distância total entre os pontos X e Y. Essa distância corresponde à soma de duas partes do movimento do veículo: o trecho percorrido com velocidade constante antes da frenagem e o trecho percorrido durante a desaceleração até a parada.

1. Distância percorrida antes do acionamento dos freios

A velocidade do veículo é constante e vale 108 km/h durante 10 minutos. Como as unidades precisam ser compatíveis, convertemos a velocidade para metros por segundo e o tempo para segundos. A relação entre essas unidades é 1 km/h = 1/3,6 m/s, enquanto 10 min = 10 · 60 s.

Em um movimento uniforme, a distância é dada pelo produto da velocidade pelo intervalo de tempo:

\[\Delta s_{1} = v_{1} \Delta t_{1} = \frac{108}{3.6} \cdot 10 \cdot 60\] \[\Delta \left( s\right)_{1} = 18000 \text{m}\]

Assim, antes de começar a frear, o veículo percorre 18 000 m.

2. Distância percorrida durante a frenagem

Ao acionar os freios, o veículo passa a se mover com aceleração constante de módulo igual a 3 m/s². Como a velocidade diminui, a aceleração é contrária ao sentido do movimento; por isso, adotamos a = −3 m/s². A velocidade no início da frenagem é 108 km/h, que corresponde a 30 m/s. No final da frenagem, o veículo está parado, portanto sua velocidade final é zero.

Para relacionar velocidades, aceleração e deslocamento sem utilizar o tempo de frenagem, empregamos a equação de Torricelli:

\[v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + 2 a \Delta s_{2}\] \[0 = 30^{2} – 2 \cdot 3 \cdot \Delta \left( s\right)_{2}\] \[\Delta \left( s\right)_{2} = 150 \text{m}\]

Logo, durante a frenagem, o veículo percorre 150 m até parar completamente.

3. Distância total entre X e Y

O ponto X é o local em que o veículo passa pela placa, e o ponto Y é o local em que ele finalmente para. Portanto, a distância entre esses pontos é a soma dos deslocamentos realizados antes e durante a frenagem:

\[\Delta s = \Delta s_{1} + \Delta s_{2} = 18150 \text{m}\]

A distância total que o ciclista deverá percorrer é, portanto, 18 150 m.

4. Tempo gasto pelo ciclista

O ciclista mantém velocidade constante de 36 km/h. Para utilizar a distância em metros, convertemos essa velocidade para metros por segundo:

\[\Delta t = \frac{\Delta s}{v_{c}} = \frac{18150}{\left(36\right)/\left(3.6\right)} = \frac{18150}{10}\] \[\Delta t = 1815 \text{s}\]

O ciclista leva 1815 s para percorrer a distância entre X e Y. Portanto, a alternativa correta é c) 1.815, em que o ponto representa a separação dos milhares, correspondendo a 1815 segundos.

Como o trenó parte do repouso, sua velocidade inicial é nula, isto é, v₀ = 0. Além disso, a aceleração é constante e igual a 2 m/s². Portanto, trata-se de um movimento retilíneo uniformemente variado. Considerando a posição inicial como referência, s₀ = 0.

De acordo com os dados fornecidos pelo trenó que executa um movimento retilíneo uniformemente variado, têm-se as seguintes equações horárias da velocidade e da posição:

\[v = v_{0} + at v = 2 t\] \[s = s_{0} + v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2} \text{s} = t^{2}\]

A primeira relação mostra que a velocidade cresce proporcionalmente ao tempo. Como o trenó parte do repouso, o termo da velocidade inicial desaparece, resultando em v = 2t. Na equação da posição, tanto a posição inicial quanto a velocidade inicial são nulas. Com isso, a posição, que corresponde à distância percorrida a partir do ponto de partida, fica igual a s = t².

[I] Velocidade após 5 segundos, em m/s:

Para determinar a velocidade no instante de 5 s, utiliza-se a equação v = 2t. O fator 2 representa a aceleração do trenó, em m/s², e o tempo deve ser substituído em segundos.

\[v = 2 t\] \[v \left(5 \text{s}\right) = 2 \cdot 5\] \[v \left(5 \text{s}\right) = 10 \text{m} / \text{s}\]

Assim, a velocidade após 5 s é 10 m/s. Na coluna II, esse valor corresponde à alternativa (B) 10. Portanto, I-B.

[II] Distância percorrida em 5 segundos, em m:

Como a posição inicial foi tomada como zero e a velocidade inicial também é nula, a distância percorrida é obtida pela relação s = t². Substitui-se nessa expressão o intervalo de tempo de 5 s.

\[s = t^{2}\] \[s \left(5 \text{s}\right) = \left(5\right)^{2}\] \[s \left(5 \text{s}\right) = 25 \text{m}\]

Logo, o trenó percorre 25 m nos primeiros 5 s. Esse valor corresponde à alternativa (D) 25. Portanto, II-D.

[III] Velocidade média durante os primeiros 5 segundos, em m/s:

A velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento total realizado e o intervalo de tempo correspondente. Nos primeiros 5 s, o deslocamento é de 25 m, conforme calculado no item anterior, e o intervalo de tempo é de 5 s.

\[v_{m} \left(5 \text{s}\right) = \frac{Δs \left(5 \text{s}\right)}{Δt} = \frac{25}{5}\] \[v_{m} \left(5 \text{s}\right) = 5 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, a velocidade média nos primeiros 5 s é 5 m/s. Na coluna II, esse resultado corresponde à alternativa (A) 5. Assim, III-A.

[IV] Instante em que sua velocidade atinge 40 m/s, em s:

Para encontrar o instante, utiliza-se novamente a equação da velocidade. Como a velocidade desejada é 40 m/s, substitui-se esse valor na expressão e isola-se o tempo.

\[v = 2 t\] \[40 = 2 \cdot t\] \[t = 20 \text{s}\]

A velocidade de 40 m/s é atingida após 20 s. Esse valor corresponde à alternativa (C) 20. Logo, IV-C.

[V] Distância percorrida até o instante em que sua velocidade atinge 40 m/s, em m:

O item anterior mostrou que a velocidade de 40 m/s é alcançada no instante t = 20 s. Para determinar a distância percorrida até esse momento, aplica-se a equação da posição s = t² e substitui-se o tempo por 20 s.

\[s = t^{2}\] \[s \left(20 \text{s}\right) = \left(20\right)^{2}\] \[s \left(20 \text{s}\right) = 400 \text{m}\]

Desse modo, a distância percorrida até atingir 40 m/s é 400 m, que corresponde à alternativa (E) 400. Portanto, V-E.

As associações obtidas são I-B, II-D, III-A, IV-C e V-E. Essa combinação aparece na alternativa c), que é, portanto, a resposta correta.

Como o balão parte do repouso, sua velocidade inicial é nula. Portanto, na equação horária do espaço para um movimento uniformemente variado, o termo correspondente à velocidade inicial desaparece. Além disso, como o movimento é vertical, o deslocamento do balão corresponde à altura atingida, isto é, ΔS = h = 80 m.

Aplicando a equação horária do espaço:

\[ΔS = \overline{\left.\right)v_{0} t} + \frac{a}{2} t^{2}\] \[h = \frac{a}{2} t^{2}\] \[80 = \frac{a}{2} \left(40\right)^{2}\] \[80 = 800 a\] \[a = 0.1 \text{m} / s^{2}\]

Na primeira expressão, o termo riscado representa v₀t. Ele é eliminado porque o balão parte do repouso, portanto v₀ = 0. Assim, resta a relação entre a altura, a aceleração e o tempo. Substituindo h = 80 m e t = 40 s, obtém-se:

\[80 = \frac{a}{2} \left(40\right)^{2}\]

Como o tempo aparece ao quadrado, calcula-se 40² = 1600. Dividir esse valor por 2 resulta em 800, de modo que a equação se transforma em:

\[80 = 800 a\]

Para isolar a aceleração, divide-se ambos os lados da igualdade por 800. Dessa forma:

\[a = 0.1 \text{m} / s^{2}\]

A unidade m/s² indica uma aceleração, isto é, a variação da velocidade do balão a cada segundo. Portanto, a aceleração vertical é igual a 0,1 m/s², correspondendo à alternativa d).

Como o segmento \(P \hat{Q} R\) está inscrito em uma semicircunferência cujo diâmetro é PR, o ângulo PQR é reto, de acordo com o teorema de Tales. Assim, o triângulo PQR é retângulo em Q.

Aplicando o teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa PR é igual à soma dos quadrados dos catetos PQ e QR:

\[10^{2} = 6^{2} + \left(\bar{QR}\right)^{2}\]

Como PR = 10 m e PQ = 6 m, resulta que o comprimento do segmento QR é:

\[\bar{QR} = 8 \text{m}\]

A partícula percorre inicialmente os segmentos PQ e QR. Depois, ela percorre o arco de circunferência de R até P. Como PR é o diâmetro, esse arco corresponde a uma semicircunferência de raio igual à metade do diâmetro, isto é, 5 m. Portanto, o comprimento do arco é metade do comprimento da circunferência:

\[d = 6 + 8 + \frac{2 \pi \cdot 5}{2}\]

Adotando \(\pi = 3\), a distância total percorrida pela partícula é:

\[d = 29 \text{cm}\]

Como o módulo da velocidade aumenta uniformemente, a aceleração escalar é constante. Para relacionar a velocidade inicial, a velocidade final, a aceleração e a distância percorrida, utiliza-se a equação de Torricelli:

\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2 ad\]

Nessa relação, v é a velocidade final, v₀ é a velocidade inicial, a é a aceleração escalar e d é a distância percorrida. Substituindo v = 10 m/s, v₀ = 8 m/s e d = 29, obtém-se:

\[10^{2} = 8^{2} + 2 a \cdot 29\]

Calculando os quadrados das velocidades, a equação fica:

\[36 = 58 a\]

Por fim, isolando a aceleração, divide-se ambos os lados da igualdade por 58:

\[a = \frac{18}{29} \text{m} / s^{2}\]

Logo, o módulo da aceleração escalar da partícula é \(\frac{18}{29} \text{m} / s^{2}\), correspondente à alternativa d).

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Física]

A posição inicial do corpo é nula, pois, para t = 0, a tabela informa S = 0,00 cm. Portanto, S₀ = 0. Além disso, o enunciado fornece velocidade inicial v₀ = 2 cm/s e aceleração escalar constante igual a 0,5 cm/s². Como a aceleração permanece constante, o corpo realiza um movimento uniformemente variado.

Para esse tipo de movimento, a posição em função do tempo é determinada pela soma de três parcelas: a posição inicial, o deslocamento produzido pela velocidade inicial e o deslocamento adicional produzido pela aceleração. A expressão correspondente é

\[S = S_{0} + v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2}\]

Nessa relação, S representa a posição, S₀ é a posição inicial, v₀ é a velocidade inicial, a é a aceleração constante e t é o tempo transcorrido. Substituindo os valores fornecidos, temos S₀ = 0, v₀ = 2 e a = 0,5, com as grandezas expressas nas unidades adotadas no experimento.

A substituição resulta em

\[S = 0 + 2 t + \frac{0.5}{2} t^{2}\]

O primeiro termo desaparece porque a posição inicial é zero. Além disso, dividir 0,5 por 2 equivale a 0,25, que pode ser escrito como a fração 1/4. Assim, a função da posição fica

\[S = 2 t + \frac{t^{2}}{4}\]

Essa expressão também é compatível com os valores da tabela. Por exemplo, para t = 2 s, o termo associado à velocidade inicial fornece 4 cm e o termo associado à aceleração fornece 1 cm, totalizando 5 cm. Para t = 4 s, os termos correspondentes são 8 cm e 4 cm, totalizando 12 cm, exatamente como apresentado na tabela.

Portanto, do ponto de vista da Física, a expressão correta é a alternativa a).

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]

Como a aceleração é constante, a posição varia segundo uma função quadrática do tempo. Por isso, podemos representar a lei de formação por um polinômio do segundo grau, na forma

\[S \left(t\right) = \left(a t\right)^{2} + b t + c\]

O termo independente c corresponde ao valor da função quando t = 0. Como a tabela informa que S(0) = 0, concluímos que c = 0.

Para determinar os coeficientes a e b, podemos utilizar dois pontos da tabela: S(2) = 5 e S(4) = 12. Considerando também que c = 0, obtemos o sistema

\[\begin{cases} S \left(2\right) = 5 \\ S \left(4\right) = 12 \\ c = 0 \end{cases}\]

Substituindo t = 2 e t = 4 na forma geral da função e retirando o termo c, que é nulo, o sistema passa a ser

\[\begin{cases} 4 a + 2 b = 5 \\ 16 a + 4 b = 12 \end{cases}\]

Para eliminar o termo que contém b, multiplicamos a primeira equação por −2. Isso produz −8a − 4b = −10. Somando essa nova equação à segunda, 16a + 4b = 12, os termos com b se anulam, restando

\[8 a = 2\]

Dividindo os dois lados por 8, encontramos a = 1/4. Substituindo esse valor em qualquer uma das equações do sistema, obtemos b = 2. Portanto, os coeficientes são

\[a = \frac{1}{4} \text{e} b = 2 .\]

Como c = 0, a lei de formação determinada pelos dados da tabela é

\[S \left(t\right) = \frac{1}{4} \cdot t^{2} + 2 t\]

Essa forma é equivalente a S(t) = 2t + t²/4, que corresponde à alternativa a).

Resposta final: alternativa A.

Como o movimento é retilíneo e possui aceleração constante, utiliza-se a equação horária do deslocamento no movimento uniformemente variado:

\[Δs = v_{0} t + \frac{at^{2}}{2}\] \[\begin{cases} 100 = v_{0} \cdot 5 + \frac{a \cdot 5^{2}}{2} \\ 200 = v_{0} \cdot 8 + \frac{a \cdot 8^{2}}{2} \end{cases}\] \[\begin{array}{l}\begin{cases} 200 = 10 v_{0} & + & 25 & a \\ 200 = 8 v_{0} & + & 32 & a \end{cases} \\ \begin{cases} v_{0} = 20 – 2.5 a \\ v_{0} = 25 – 4 a \end{cases}\end{array}\] \[20 – 2.5 a = 25 – 4 a\] \[1.5 a = 5\] \[a \cong 3.3 \text{m} / s^{2}\]

Na primeira equação, foram usados o deslocamento de 100 m ocorrido até t = 5 s e o tempo de 5 s. Na segunda, o deslocamento total até t = 8 s é de 200 m, pois o móvel percorreu 100 m no primeiro intervalo e mais 100 m no segundo. Assim, as duas expressões dependem da velocidade inicial v₀ e da aceleração a.

Após desenvolver os termos quadráticos e reorganizar cada equação, obtém-se um sistema em que a velocidade inicial pode ser escrita de duas maneiras. Igualando essas expressões, elimina-se v₀ e resta uma equação apenas para a aceleração. A solução fornece a ≅ 3,3 m/s². Como a questão solicita o módulo da aceleração, considera-se o valor positivo encontrado.

Portanto, a alternativa correta é b) 3,3 m/s².

O movimento pode ser dividido em dois trechos: no primeiro, a velocidade aumenta uniformemente desde o repouso até atingir 20,0 m/s; no segundo, essa velocidade permanece constante durante 10,0 s. Como a trajetória é retilínea e a velocidade não muda de sentido, a distância total é a soma das distâncias percorridas nesses dois trechos.

No primeiro trecho, a velocidade varia 5,0 m/s a cada 1,0 s. Portanto, a aceleração escalar, que mede a taxa de variação da velocidade com o tempo, é determinada por:

\[a = \frac{Δv}{Δt} = \frac{5}{1}\]

Assim, a aceleração é constante e vale:

\[a = 5 \text{m} / s^{2}\]

Como a aceleração é constante, o primeiro trecho corresponde a um movimento uniformemente variado. Para determinar a distância percorrida sem precisar calcular diretamente o tempo de aceleração, utiliza-se a equação de Torricelli, que relaciona as velocidades inicial e final, a aceleração e o deslocamento.

O móvel parte do repouso, portanto sua velocidade inicial é nula. A equação aplicada ao primeiro trecho é:

\[v^{2} = \overline{\left.\right)v \overset{2}{o}} 2 aΔS_{1}\]

Substituindo a velocidade final de 20 m/s, a velocidade inicial igual a zero e a aceleração de 5 m/s², obtém-se:

\[20^{2} = 2 \cdot 5 \cdot ΔS_{1}\]

Resolvendo essa igualdade, a distância percorrida durante a aceleração é:

\[ΔS_{1} = 40 \text{m}\]

No segundo trecho, a velocidade já atingiu 20,0 m/s e permanece constante durante 10,0 s. Trata-se, portanto, de um movimento uniforme. Nesse caso, a distância é calculada pelo produto entre a velocidade constante e o intervalo de tempo:

\[\Delta S_{2} = v \Delta t_{2} = 20 \cdot 10\]

Logo, a distância percorrida enquanto a velocidade permanece constante é:

\[\Delta S_{2} = 200 \text{m}\]

A distância total é obtida somando as distâncias dos dois trechos, pois eles ocorrem em sequência:

\[D = \Delta S_{1} + \Delta S_{2} = 40 + 200\]

Portanto:

\[D = 240 \text{m}\]

Assim, a distância total percorrida pelo móvel durante todo o movimento é 240 m. Portanto, a alternativa correta é d) 240 m.