Exercícios de Espelhos esféricos com resolução comentada

Como o veículo se move em direção ao muro com velocidade constante, o módulo de sua velocidade pode ser calculado pela razão entre a variação de sua distância ao muro e o intervalo de tempo correspondente. Como a distância diminui, usamos a diferença entre a distância inicial e a distância final:

\[v = \frac{Δd}{Δt} = \frac{d_{0} – d_{1}}{t_{1} – t_{0}}\]

Entretanto, as distâncias d₀ e d₁ não são fornecidas diretamente. Em cada instante, elas devem ser determinadas por meio da Equação de Gauss para espelhos esféricos:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{di} + \frac{1}{do}\]

Nessa relação, f é a distância focal, di é a distância da imagem ao espelho e do é a distância do objeto ao espelho. Como o espelho é convexo, a imagem formada é virtual e fica atrás do espelho. Por isso, sua distância é considerada negativa na convenção de sinais: di < 0. O muro é o objeto refletido, de modo que do corresponde à distância do muro ao espelho, isto é, a d₀ ou a d₁, conforme o instante analisado.

Para t₀ = 0 s, a imagem está a\(\frac{8}{11} \text{m}\)do espelho. Usando f = −0,8 m e considerando a distância da imagem negativa, obtemos:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{di} + \frac{1}{do} \overset{di <</mo>0}{\rightarrow} \frac{1}{- 0.8} = \frac{1}{- \frac{8}{11}} + \frac{1}{d_{0}}\]

Isolando o termo que contém a distância do objeto, calculamos inicialmente o inverso de d₀:

\[\frac{1}{d_{0}} = \frac{11}{8} – \frac{10}{8}\]

A subtração das frações resulta em:

\[\frac{1}{d_{0}} = \frac{1}{8}\]

Invertendo essa igualdade, encontramos a distância inicial entre o espelho e o muro:

\[d_{_{0}} = 8 \text{m}\]

Para t₁ = 2 s, a imagem do muro está a\(\frac{20}{29} \text{m}\)do espelho. Novamente, a distância da imagem é negativa por se tratar de uma imagem virtual:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{di} + \frac{1}{do} \overset{di <</mo>0}{\rightarrow} \frac{1}{- 0.8} = \frac{1}{- \frac{20}{29}} + \frac{1}{d_{1}}\]

Isolando novamente o termo correspondente à distância do muro, temos:

\[\frac{1}{d_{1}} = \frac{29}{20} – \frac{10}{8}\]

Efetuando a operação indicada, resulta:

\[\frac{1}{d_{1}} = 0.2\]

Invertendo o resultado, obtemos a distância do espelho ao muro no instante final:

\[d_{1} = 5 \text{m}\]

Assim, durante o intervalo considerado, o veículo percorreu a diferença entre as distâncias inicial e final. O intervalo de tempo é:

\[\text{v}= \frac{Δd}{Δt} = \frac{d_{0} – d_{1}}{t_{1} – t_{0}} = \frac{8 \text{m} – 5 \text{m}}{2 \text{s}}\]

Portanto, o módulo da velocidade do veículo é:

\[v = 1.5 \text{m} / \text{s}\]

Para determinar a razão entre as alturas das imagens, é necessário primeiro calcular as distâncias das imagens em cada situação por meio da Equação de Gauss e, depois, aplicar a expressão do aumento linear transversal.

A figura abaixo representa as duas situações: inicialmente, o objeto de altura H está a uma distância 3F do vértice do espelho, formando uma imagem de altura Y a uma distância X. Em seguida, o objeto é colocado a uma distância X do vértice, formando uma imagem de altura Z a uma distância W.

Para um espelho esférico de Gauss, utiliza-se a Equação de Gauss:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{di} + \frac{1}{do}\]

Nessa relação, f é a distância focal do espelho, di é a distância da imagem ao vértice e do é a distância do objeto ao vértice. Como a distância focal é indicada por F, na primeira situação temos f = F, do = 3F e di = X.

Situação 1:

Substituindo esses valores na Equação de Gauss:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{di} + \frac{1}{do}\] \[\frac{1}{\text{F}} = \frac{1}{X} + \frac{1}{3 \text{F}}\]

Isolando o termo que contém X, subtraímos \(\frac{1}{3 \text{F}}\) dos dois lados:

\[\frac{1}{X} = \frac{1}{\text{F}} – \frac{1}{3 \text{F}}\]

Colocando as frações no mesmo denominador:

\[\frac{1}{X} = \frac{2}{3 \text{F}}\]

Invertendo os dois lados da igualdade, obtemos a distância da imagem:

\[X = \frac{3 \text{F}}{2}\]

Situação 2:

Na segunda situação, o objeto é colocado à distância X do vértice. A distância focal continua sendo F, enquanto a distância da nova imagem é representada por W. Portanto, agora do = X e di = W:

\[\frac{1}{\text{F}} = \frac{1}{\text{W}} + \frac{1}{X} \overset{\frac{1}{X} = \frac{2}{3 \text{F}}}{\rightarrow} \frac{1}{\text{F}} = \frac{1}{\text{W}} + \frac{2}{3 \text{F}}\]

Como já foi obtido que \(\frac{1}{X} = \frac{2}{3 \text{F}}\), essa expressão pode ser usada diretamente na equação da segunda situação:

\[\frac{1}{\text{W}} = \frac{1}{\text{F}} – \frac{2}{3 \text{F}}\]

Efetuando a subtração das frações:

\[\frac{1}{\text{W}} = \frac{1}{3 \text{F}}\]

Invertendo os dois lados, encontra-se a distância da imagem na segunda situação:

\[W = 3 \text{F}\]

Para relacionar as alturas dos objetos e das imagens, utiliza-se o aumento linear transversal:

\[\left(A_{n} = \frac{i}{o} = – \frac{di}{do}\right)\]

O aumento linear compara a altura da imagem com a altura do objeto. O sinal negativo indica que a imagem é invertida em relação ao objeto. Como o objetivo é obter a razão entre as alturas, os sinais serão mantidos até a divisão final.

Situação 1:

A imagem tem altura Y, o objeto tem altura H, a distância da imagem é X e a distância do objeto é 3F:

\[A_{1} = \frac{Y}{H} = – \frac{di}{do} = – \frac{3 \text{F} / 2}{3 \text{F}}\]

Como o fator 3F aparece no numerador e no denominador, ele se cancela:

\[A_{1} = – \frac{1}{2}\]

Situação 2:

Agora, a imagem tem altura Z, o objeto continua tendo altura H, a distância da imagem é W = 3F e a distância do objeto é X = 3F/2:

\[A_{2} = \frac{Z}{H} = – \frac{3 \text{F}}{X} = – \frac{3 \text{F}}{3 \text{F} / 2}\]

Substituindo X = 3F/2 e simplificando a razão:

\[A_{2} = – 2\]

Resta calcular a razão Z/Y. Para isso, dividimos o aumento da segunda situação pelo aumento da primeira. Como a altura do objeto H é a mesma nas duas situações, ela se cancela:

\[\frac{A_{2}}{A_{1}} = \frac{\frac{Z}{\cancel{H}}}{\frac{Y}{\cancel{H}}} = \frac{Z}{Y} = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}\]

Os dois sinais negativos se cancelam, pois ambas as imagens são invertidas. Dividir por \(\frac{1}{2}\) equivale a multiplicar por 2:

\[\frac{A_{2}}{A_{1}} = 4\]

Logo, a imagem da segunda situação tem altura quatro vezes maior que a imagem da primeira situação. Portanto:

Alternativa d) 4.

Em um espelho côncavo, o ponto C indica o centro de curvatura. Pela figura, o objeto está situado entre C e o vértice do espelho.

Nessa posição, os raios principais refletem-se de modo que os raios incidentes paralelos ao eixo principal passam pelo foco, enquanto o raio que incide na direção do centro de curvatura retorna sobre a própria trajetória. O prolongamento desses raios refletidos se cruza em uma região situada além de C, no lado do objeto.

A imagem formada é, portanto, real, porque resulta do encontro efetivo dos raios refletidos; invertida, porque fica com orientação oposta à do objeto; e maior, porque o objeto está entre o foco e o centro de curvatura.

Entre as representações apresentadas, somente a alternativa E mostra a imagem além de C, invertida em relação ao objeto e com tamanho aumentado.

Para compreender o comportamento das imagens formadas por espelhos esféricos convexos, é necessário analisar as propriedades geométricas e ópticas desse tipo de refletor. Diferente dos espelhos côncavos, que podem projetar diversos tipos de imagens dependendo da posição do objeto, os espelhos convexos possuem uma característica constante para objetos reais: a imagem formada será sempre virtual, com orientação direta (não invertida) e com dimensões reduzidas em relação ao tamanho original do objeto.

Uma imagem é classificada como virtual quando se forma no prolongamento dos raios de luz refletidos, ou seja, atrás da superfície do espelho, não sendo possível projetá-la em uma tela. A orientação direta significa que a imagem mantém a mesma posição vertical do objeto, sem sofrer inversão de cima para baixo. Além disso, o fator de ampliação nesses sistemas é sempre menor que a unidade, resultando em uma imagem menor.

A aplicação prática desse fenômeno é observada em dispositivos de segurança e monitoramento, como os espelhos de esquinas ou de retrovisores, onde o objetivo é ampliar o campo visual. Para que esse campo seja expandido, a luz deve ser divergida, o que ocorre naturalmente na superfície convexa, permitindo que uma área maior de objetos reais seja captada e projetada em imagens menores e diretas dentro do campo de visão do observador.

ao analisar as opções apresentadas, conclui-se que a única descrição que respeita as leis da óptica geométrica para espelhos convexos é a que indica imagens direitas e menores que o objeto, validando a alternativa D.

A imagem será imprópria quando o objeto estiver sobre o foco do espelho, ou seja, quando aquele estiver a 10 cm do vértice deste. Caso o objeto se desloque para a esquerda, teremos:

\[v_{\text{rel}} = \frac{Δs}{Δt}\] \[3 + 1 = \frac{10 – 8}{Δt_{1}}\] \[Δt_{1} = 0.5 s\]

Caso o objeto se desloque para a direita, teremos:

\[v_{\text{rel}} = \frac{Δs}{Δt}\] \[3 – 1 = \frac{10 – 8}{Δt_{2}}\] \[Δt_{2} = 1 s\]

Logo, a imagem será imprópria após 0,5 s ou 1 s.

Para determinar a validade das proposições apresentadas, é necessário aplicar as propriedades fundamentais da óptica geométrica aplicadas aos espelhos esféricos côncavos. Essas propriedades descrevem como os raios de luz se comportam ao interagir com a superfície refletora, baseando-se na posição da fonte luminosa e na direção do raio em relação ao eixo óptico.

A primeira afirmação é correta. De acordo com as leis da reflexão para espelhos esféricos, quando um feixe de luz incide sobre a superfície de um espelho côncavo de forma perfeitamente paralela ao seu eixo principal, o fenômeno da convergência ocorre. Isso significa que, após o choque com o espelho, todos esses raios são direcionados para um único ponto comum localizado no foco do sistema óptico. Portanto, a proposição I descreve com precisão o comportamento de raios paralelos.

A segunda afirmação também é verdadeira e representa o princípio inverso da anterior. Se considerarmos uma fonte de luz pontual posicionada exatamente sobre o ponto focal do espelho, os raios que partem dessa fonte divergem em diversas direções. Ao atingirem a superfície côncava, esses raios sofrem reflexão de modo que seus trajetórias pós-reflexão tornam-se paralelas ao eixo principal do espelho. Essa relação entre o foco e a paralelidade é uma característica essencial para o desenho de diagramas de raios.

Por outro lado, a terceira afirmação está incorreta. Quando um raio luminoso incide sobre o espelho passando pelo centro de curvatura, ele atinge a superfície de forma perpendicular ao plano tangente naquele ponto. Devido à geometria do espelho esférico, qualquer raio que passe pelo centro de curvatura é considerado um raio normal à superfície no ponto de incidência. Como consequência direta das leis da reflexão, o ângulo de incidência é zero, o que faz com que o raio seja refletido sobre si mesmo, retornando exatamente pela mesma trajetória em direção ao centro de curvatura, e não de forma paralela ao eixo principal.

Em conclusão, ao avaliarmos cada item individualmente, observamos que apenas as descrições contidas em I e II estão fisicamente corretas, enquanto a afirmação III falha ao descrever o comportamento do raio que atravessa o centro de curvatura.

Um espelho convexo sempre forma uma imagem virtual, direita e menor que o objeto. Portanto, a imagem invertida observada no primeiro espelho não pode ter sido produzida por um espelho convexo.

Espelhos côncavos podem formar imagens invertidas ou direitas, dependendo da posição do objeto em relação ao foco e ao centro de curvatura. Quando o objeto está além do centro de curvatura, a imagem formada é real, invertida e menor que o objeto. Essa é a situação descrita para o primeiro espelho.

No segundo caso, a imagem é direita e maior que o objeto.

Essa formação também é possível com um espelho côncavo quando o objeto está entre o vértice do espelho e o foco. Nessa posição, a imagem é virtual, direita e ampliada. Assim, os dois espelhos são côncavos.

Posição da primeira imagem formada por \(M 1\).

\[\frac{1}{f_{1}} = \frac{1}{p_{1}} + \frac{1}{\left(p_{1}\right)^{'}}\] \[\frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{1}{\left(p_{1}\right)^{'}}\] \[\left(p_{1}\right)^{'} = 12 \text{mm}\]

Ou seja, aproximadamente 0,67 mm à esquerda do vértice de \(M_{1}\). E, como o objeto está sobre o centro de curvatura de , a imagem formada por este espelho está localizada no mesmo ponto (sendo invertida em relação ao objeto). Portanto, a distância entre as imagens é de: \(d = 12 – 6 = 6 \text{mm}\).

A imagem é direita e tem metade do tamanho do objeto. Em espelhos esféricos, uma imagem virtual, direita e reduzida é formada por um espelho convexo. Nesse caso, a distância do objeto ao vértice é p = 1,0 m.

O aumento linear transversal é dado por A = i/o, em que i é a altura da imagem e o é a altura do objeto. Como a imagem tem metade da altura do objeto e é direita, A = +0,5. Também vale a relação entre o aumento e as distâncias:

\(A = – \frac{q}{p}\)

Substituindo A = 0,5 e p = 1,0 m:

\(0,5 = – \frac{q}{1,0}\)

Daí, q = −0,5 m. O sinal negativo indica que a imagem é virtual, localizada atrás do espelho, como ocorre no espelho convexo.

Aplicando a equação de Gauss para espelhos esféricos,

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\)

obtém-se:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{1,0} + \frac{1}{- 0,5} = 1 – 2 = – 1\)

Logo, a distância focal é f = −1,0 m. O raio de curvatura relaciona-se com a distância focal por R = 2f. Portanto, seu módulo é 2,0 m, correspondente ao raio geométrico do espelho.

O sistema óptico descrito opera por meio de duas reflexões sucessivas em espelhos côncavos idênticos dispostos de maneira específica.

Para determinar a natureza da imagem e sua posição relativa ao objeto, analisamos primeiramente o trajeto dos raios luminosos. O ponto luminoso encontra-se exatamente sobre o vértice do primeiro espelho E₁, o que implica que ele coincide com o foco principal do segundo espelho E₂. Quando um feixe de luz parte do foco de um espelho côncavo, os raios incidentes são refletidos paralelamente ao eixo óptico principal. Dessa forma, após a primeira reflexão em E₂, obtemos um feixe emergente paralelo.

Esse conjunto de raios paralelos incide sobre o espelho E₁. Pela propriedade fundamental dos espelhos esféricos, quando os raios incidentes são paralelos ao eixo principal, eles convergem para um único ponto após a reflexão, denominado foco imagem. Como o vértice de E₂ coincide com o foco de E₁, os raios refletidos por este segundo espelho se encontram exatamente na região da abertura circular superior. O fato de os raios luminosos se cruzarem fisicamente em um ponto do espaço confirma que a imagem resultante é real, pois pode ser projetada e observada diretamente pelos espectadores sem necessidade de prolongamento virtual dos raios.

Quanto à separação vertical entre cada ponto do objeto e sua correspondente imagem, o esquema dimensional apresentado indica que essa distância total corresponde à soma de dois segmentos consecutivos ao longo do eixo óptico. Cada segmento mede 3,8 cm, representando as distâncias focais ou os deslocamentos geométricos característicos da montagem. A relação matemática que descreve esse afastamento é expressa por:

\[D = 3.8 + 3.8\]

Ao realizar a operação aritmética indicada, obtemos o valor final para o deslocamento vertical entre os pontos correspondentes:

\[D = 7.6 \text{cm} .\]

Com base na análise óptica e no cálculo dimensional, conclui-se que a montagem produz uma imagem real localizada a 7,6 cm do objeto original.