Exercícios de Calor sensível com resolução comentada

Como a massa total do ovo é 50 g e a massa da clara é igual à massa da gema, cada uma dessas partes possui massa 25 g. Vamos representar essa massa por m. Em cada método, o calor total recebido pelo ovo é a soma do calor absorvido pela clara com o calor absorvido pela gema.

Para calcular o calor sensível recebido por cada parte, utiliza-se a relação entre massa, calor específico e variação de temperatura:

\[Q = m \cdot c \cdot ΔT\]

Nessa expressão, Q é a quantidade de calor recebida, m é a massa da parte do ovo, c é o calor específico e ΔT é a variação de temperatura, calculada pela diferença entre a temperatura final e a temperatura inicial. A clara apresenta calor específico igual a 3,8 J/g·K, enquanto o da gema é 3,1 J/g·K.

No método 1, tanto a clara quanto a gema atingem 100 ºC. Assim, ambas sofrem a mesma variação de temperatura, de 20 ºC até 100 ºC. O calor total é obtido somando as contribuições das duas partes:

\[Q_{1} = m \cdot c_{c} \cdot ΔT + m \cdot c_{g} \cdot ΔT = m \cdot ΔT \left(\right. c_{c} + c_{g} \left.\right) = 25 \cdot \left(100 – 20\right) \left(3.8 + 3.1\right)\]

Substituindo os valores, a quantidade total de calor recebida nesse método é:

\[Q_{1} = 13800 \text{J}\]

No método 2, a clara chega a 97 ºC e a gema a 82 ºC, conforme as temperaturas apresentadas na figura. Portanto, é necessário calcular separadamente a variação de temperatura de cada parte:

\[Q_{2} = m \cdot c_{c} \cdot ΔT_{c} + m \cdot c_{g} \cdot ΔT_{g} = 25 \cdot 3.8 \cdot \left(97 – 20\right) + 25 \cdot 3.1 \cdot \left(82 – 20\right)\]

O primeiro termo corresponde ao calor absorvido pela clara, e o segundo, ao calor absorvido pela gema. A soma resulta em:

\[Q_{2} = 12120 \text{J}\]

No método 3, clara e gema atingem 65 ºC. Assim, as duas partes apresentam a mesma variação de temperatura, de 20 ºC até 65 ºC:

\[Q_{3} = m \cdot c_{c} \cdot ΔT + m \cdot c_{g} \cdot ΔT = m \cdot ΔT \left(\right. c_{c} + c_{g} \left.\right) = 25 \cdot \left(65 – 20\right) \left(3.8 + 3.1\right)\]

Como a temperatura final é menor que a dos métodos anteriores, a variação de temperatura também é menor. O calor total recebido é:

\[Q_{3} = 7762.5 \text{J}\]

No método 4, a clara atinge 85 ºC e a gema atinge 67 ºC. Novamente, como as temperaturas finais são diferentes, o calor de cada parte deve ser calculado separadamente:

\[Q_{4} = m \cdot c_{c} \cdot ΔT_{c} + m \cdot c_{g} \cdot ΔT_{g} = 25 \cdot 3.8 \cdot \left(85 – 20\right) + 25 \cdot 3.1 \cdot \left(67 – 20\right)\]

Somando o calor recebido pela clara ao calor recebido pela gema, obtém-se:

\[Q_{4} = 9817.5 \text{J}\]

Comparando os valores calculados, temos:

\[Q_{3} <</mo>Q4<</mo>Q2<</mo>Q1\]

Logo, a ordem crescente das quantidades de calor é Q₃ < Q₄ < Q₂ < Q₁. Portanto, a alternativa correta é a letra B.

Para determinar o intervalo de tempo, relacionamos a energia necessária para aquecer as mãos com a taxa de dissipação de energia, que corresponde à potência térmica fornecida pelo atrito.

Como as duas mãos são aquecidas, a massa total considerada é a soma das massas individuais:

massa total = 2 ⋅ 0,2 kg

O calor necessário para produzir uma variação de temperatura é calculado por Q = mcΔθ, em que m é a massa aquecida, c é o calor específico e Δθ é a variação de temperatura. Como a potência é a energia transferida por unidade de tempo, usamos P = Q/Δt, obtendo:

\[P = \frac{mcΔθ}{Δt}\]

A potência dissipada pelo atrito é de 20 J/s, a massa total das mãos é 0,4 kg, o calor específico é 4000 J/(kg·°C) e o aumento de temperatura desejado é 1,5 °C. Substituindo esses valores na relação anterior:

\[20 = \frac{2 \cdot 0.2 \cdot 4000 \cdot 1.5}{Δt}\]

O numerador representa a energia térmica necessária para aquecer as duas mãos. Para determinar o tempo, multiplicamos ambos os lados por Δt e dividimos por 20. Assim, o intervalo obtido é:

\[Δt = 120 \text{s} = 2 \text{min}\]

A conversão de 120 segundos para minutos é feita dividindo esse valor por 60, pois cada minuto corresponde a 60 segundos. Portanto, a pessoa deve esfregar as mãos durante 2,0 min.

Logo, a alternativa correta é c) 2,0 min.

Ao nível do mar, a pressão atmosférica é aproximadamente igual a 1 atm. Nessa condição, a água entra em ebulição a 100 °C. Portanto, primeiro é necessário determinar quanto da energia fornecida pelo forno é efetivamente transferida para a água e, em seguida, verificar se essa energia é suficiente para elevar a temperatura da água até 100 °C.

Cálculo da energia elétrica consumida pelo forno:

A potência do forno é a energia fornecida por unidade de tempo. Assim, a energia total consumida é calculada por meio da relação entre potência e intervalo de tempo. O tempo programado deve ser convertido para segundos:

1 minuto e 40 segundos correspondem a 60 segundos mais 40 segundos, ou seja, 100 segundos.

\[E = P \cdot Δt = 1200 \cdot 100\]

Nessa expressão, \(E\) representa a energia total consumida, \(P\) é a potência do forno, medida em watts, e \(Δt\) é o intervalo de tempo, medido em segundos. Como 1 W equivale a 1 J/s, o resultado será expresso em joules.

\[E = 120000 \text{J}\]

Logo, o forno consome 120 000 J de energia elétrica durante os 100 segundos de funcionamento.

Cálculo da energia efetivamente utilizada para aquecer a água:

O enunciado informa que somente 50% da energia elétrica consumida pelo forno é aproveitada para aquecer a água. Portanto, a energia útil corresponde à metade da energia total consumida:

\[Q = 120000 \cdot 0.50\]

O símbolo \(Q\) representa o calor, ou seja, a energia transferida para a água. Efetuando a multiplicação, obtém-se:

\[Q = 60000 \text{J}\]

Assim, dos 120 000 J consumidos pelo forno, 60 000 J são utilizados para aumentar a energia interna da água e elevar sua temperatura.

Cálculo da variação de temperatura da água:

Para relacionar o calor recebido pela água com sua massa, seu calor específico e sua variação de temperatura, utiliza-se a equação fundamental da calorimetria:

\[\left(Q = m \cdot c \cdot ΔT\right) ,\]

Nessa relação, \(m\) é a massa da água, \(c\) é o calor específico da água e \(ΔT\) é a variação de temperatura. Os dados fornecidos são \(m = 0.2 \text{kg}\) e \(c = 4000 \text{J} / \left(kg \cdot \circ C\right) :\)

Substituindo o calor recebido, a massa e o calor específico na equação:

\[60000 = 0.2 \cdot 4000 \cdot ΔT\]

O produto entre a massa e o calor específico é:

\[60000 = 800 \cdot ΔT\]

Para isolar a variação de temperatura, divide-se ambos os lados da igualdade por 800:

\[ΔT = \frac{60000}{800} = 75 \circ C\]

Portanto, a água sofre uma elevação de temperatura de 75 °C.

Determinação da temperatura final:

A temperatura final é obtida somando a variação de temperatura à temperatura inicial, que era de 20 °C:

\[T_{f} = T_{i} + ΔT = 20 + 75\]

Assim:

\[T_{f} = 95 \circ C\]

A temperatura final calculada é 95 °C, portanto, inferior aos 100 °C necessários para que a água entre em ebulição ao nível do mar. Consequentemente, não se inicia a vaporização intensa associada à ebulição do sistema durante o intervalo considerado.

Isso não significa que nenhuma molécula de água possa passar para a fase de vapor antes de 100 °C. A evaporação pode ocorrer na superfície do líquido em temperaturas inferiores à de ebulição, pois algumas moléculas possuem energia suficiente para vencer as forças de atração exercidas pelas moléculas vizinhas e deixar a superfície. Entretanto, a ebulição generalizada só começaria quando a água atingisse sua temperatura de ebulição, que, nas condições dadas, é de 100 °C.

Logo, a alternativa correta é a alternativa A: 95 °C e não terá sido iniciada a vaporização.

Resolução

A energia liberada na queima do etanol é totalmente utilizada para aquecer a água. Portanto, a quantidade de energia produzida pelo etanol deve ser igual à quantidade de calor recebida pela água.

1. Energia liberada pela queima do etanol

A massa de etanol utilizada e seu poder calorífico são:

\[m_{\text{etanol}\textrm{ }} = 100 \text{g}\] \[\text{P}.\text{C}.\text{ etanol}\textrm{ } = 30.00 \text{kJ} / \text{g}\]

O poder calorífico de 30,00 kJ/g significa que cada grama de etanol queimado libera 30,00 kJ de energia. Assim, para 100 g, a energia liberada é obtida por proporcionalidade direta:

\[1 \text{g} (\text{etanol})\text{ }—\text{ 30},\text{00 kJ}\textrm{ }\] \[100 \text{g} (\text{etanol})\text{ }-\text{ 3}.\text{000},\text{00 kJ}\textrm{ }\]

Logo, a energia disponível para aquecer a água é:

\[Q = 3.000 , 00 \text{kJ} (\text{energia produzida para aquecer a }\acute{a}\text{gua})\textrm{ }\]

2. Calor recebido pela água

Para a água, o calor necessário para produzir uma variação de temperatura é calculado pelo produto da massa, do calor específico e da variação de temperatura. Nesse caso, a massa da água é a incógnita, representada por m. Os dados fornecidos são:

\[m_{\acute{a}\text{gua}\textrm{ }} = m ; c_{\acute{a}\text{gua}\textrm{ }} = 4.20 \frac{ J}{ g \cdot ^{\circ} \text{C}} ; \Delta T = 60 ^{\circ} \text{C}\]

A relação do calor sensível é:

\[Q = m_{\acute{a}\text{gua}\textrm{ }} \times c_{\acute{a}\text{gua}\textrm{ }} \times \Delta T\]

Essa expressão mostra que o calor recebido aumenta quando aumentam a massa de água, o calor específico ou a variação de temperatura. Para a situação proposta, a forma geral da relação é:

\[Q = m_{\acute{a}\text{gua}\textrm{ }} \times c_{\acute{a}\text{gua}\textrm{ }} \times \Delta T\]

3. Igualdade entre a energia liberada e o calor recebido

Como não há perda de energia nas condições consideradas, a energia liberada pelo etanol é igual ao calor recebido pela água:

\[E_{\text{etanol}} = c_{\text{etanol}} \times m_{\text{etanol}}\]

O calor recebido pela água é calculado usando sua massa, seu calor específico e sua variação de temperatura:

\[E_{\text{etanol}} = Q_{\acute{a}\text{gua}} = m_{\acute{a}\text{gua}} \times c_{\acute{a}\text{gua}} \times \Delta T\]

Substituindo a energia fornecida pelo etanol pela expressão correspondente ao aquecimento da água, obtém-se:

\[c_{\text{etanol}} \times m_{\text{etanol}} = m_{\acute{a}\text{gua}} \times c_{\acute{a}\text{gua}} \times ΔT\]

Para determinar a massa de água, divide-se ambos os lados da igualdade pelo produto do calor específico da água pela variação de temperatura. Isso deixa a massa da água isolada:

\[m_{\acute{a}\text{gua}} = \frac{c_{\text{etanol}} \times m_{\text{etanol}}}{c_{\acute{a}\text{gua}} \times ΔT} = \frac{30 \frac{k \cancel{J}}{\cancel{g}} \times 100 \text{g}}{4.2 \frac{ \cancel{J}}{\cancel{g} \cdot \cancel{\circ C}} \times 60^{\circ} \cancel{C}} . m_{\acute{a}\text{gua}} = 11.9 \text{kg} \approx 12 \text{kg}\]

As unidades são compatíveis: os joules se cancelam entre o numerador e o denominador, assim como grama e grau Celsius, restando a unidade de massa. O resultado é aproximadamente 11,9 kg, que pode ser arredondado para 12 kg.

Portanto, a alternativa correta é d) 12.

Para que a água atinja a temperatura de ebulição, tanto a água quanto a panela de alumínio precisam ser aquecidas de 20 °C até 100 °C. Como não há mudança de estado indicada no enunciado, considera-se apenas o calor sensível, calculado pela relação entre a massa, o calor específico e a variação de temperatura:

\[Q = m \cdot c \cdot \Delta T\]

Nessa expressão, Q representa a quantidade de calor absorvida, m é a massa do corpo, c é seu calor específico e ΔT é a variação de temperatura. Como os dois corpos começam a 20 °C e devem chegar a 100 °C, a variação de temperatura é de 80 °C.

Calor absorvido pela água:

A água possui massa de 300 g e calor específico igual a 1,0 cal/(g×°C). Substituindo esses valores, juntamente com a variação de temperatura de 100 − 20 °C, obtém-se:

\[Q_{1} = 300 \text{g} \cdot 1.0 cal / \left(g \times ^{\circ} \text{C}\right) \cdot \left(100 – 20\right)^{\circ} \text{C}\] \[Q_{1} = 24000 cal\]

Assim, a água precisa absorver 24 000 cal. As unidades de grama e grau Celsius são canceladas pelos fatores correspondentes presentes no calor específico, restando a unidade de calorias.

Calor absorvido pela panela de alumínio:

A panela tem massa de 500 g e calor específico de 0,2 cal/(g×°C). Como ela também deve passar de 20 °C para 100 °C, sua variação de temperatura é a mesma, isto é, 80 °C. Portanto:

\[Q_{2} = 500 \text{g} \cdot 0.2 cal / \left(g \times ^{\circ} \text{C}\right) \cdot \left(100 – 20\right)^{\circ} \text{C}\] \[Q_{2} = 8000 cal\]

Logo, a panela absorve 8 000 cal. Embora sua massa seja maior que a da água, seu calor específico é menor, o que faz com que a quantidade de calor necessária para aquecê-la seja menor do que a necessária para aquecer a água.

Quantidade total de calor:

O calor total absorvido pelo sistema é a soma do calor recebido pela água com o calor recebido pela panela:

\[Q_{t o t} = Q_{1} + Q_{2}\] \[Q_{t o t} = 24000 cal + 8000 cal .\] \[Q_{t o t} = 32000 cal = 32 kcal\]

Como 1 kcal corresponde a 1 000 cal, 32 000 cal equivalem a 32 kcal. Portanto, a quantidade mínima de calor que a água e a panela devem absorver é 32 kcal, correspondente à alternativa d).

O cálculo utiliza a equação fundamental da calorimetria para determinar a variação média de temperatura \(\left(ΔT\right)\) da massa de água considerada. Como o enunciado informa que 90% da energia adicional acumulada foram absorvidos pelos oceanos, primeiro é necessário calcular essa parcela da energia total.

Para relacionar a energia absorvida com a variação de temperatura, utiliza-se o calor específico da água líquida, que indica a quantidade de energia necessária para elevar em 1 °C a temperatura de 1 kg de água. Esse valor é:

O calor específico da água é uma constante física não fornecida no enunciado, mas necessária para o cálculo. Assim, utiliza-se \(c_{água líq} = 4184 \text{J} / \text{kg} \cdot \circ C\) Essa unidade mostra que o calor específico relaciona energia, massa e variação de temperatura.

Cálculo da energia absorvida pelos oceanos

A energia total adicional acumulada no planeta é 380 × 10²¹ J. Como os oceanos absorveram 90% dessa energia, a energia oceânica \(\left(Q\right)\) é obtida multiplicando a energia total pela fração correspondente aos oceanos:

\[Q = E_{\text{total}} \cdot f_{\text{oceano}}\]

Nessa expressão, \(E_{\text{total}}\) representa a energia total acumulada e \(f_{\text{oceano}}\) representa a fração absorvida pelos oceanos. A porcentagem de 90% deve ser escrita na forma decimal, isto é, 0,9:

\[Q = 380 \times 10^{21} \text{J} \cdot 0.9\]

Efetuando a multiplicação dos valores numéricos, obtém-se:

\[Q = 342 \times 10^{21} \text{J}\]

Portanto, os oceanos absorveram 342 × 10²¹ J.

Cálculo do aumento médio de temperatura

Para o aquecimento de uma substância sem mudança de estado físico, aplica-se a fórmula do calor sensível:

\[Q = m \cdot c \cdot ΔT ,\]

Nessa relação, \(Q\) é a energia transferida, medida em joules; \(m\) é a massa da água, medida em quilogramas; \(c\) é o calor específico da água, medido em J/(kg · °C); e \(ΔT\) é a variação de temperatura, medida em °C.

Como a grandeza solicitada é \(ΔT\), é necessário isolá-la algebricamente. Dividindo os dois lados da igualdade pelo produto \(m \cdot c\), resulta:

\[ΔT = \frac{Q}{m \cdot c}\]

Agora, substituem-se os valores encontrados e fornecidos no enunciado: \(Q\) é igual a \(342 \times 10^{21} \text{J}\), a massa é \(1.4 \times 10^{21} \text{kg}\) e o calor específico é \(4184 \text{J} / \text{kg} \cdot \circ C\):

\[ΔT = \frac{342 \times 10^{21} \text{J}}{1.4 \times 10^{21} \text{kg} \cdot 4184 \text{J} / \text{kg} \cdot \circ C}\]

As potências de 10 se cancelam, pois aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Além disso, as unidades joule e quilograma também se simplificam de acordo com a definição do calor específico, restando a unidade de temperatura, °C. Assim, a avaliação numérica fornece:

\[ΔT = \frac{342 \times 10^{21} \text{J}}{1.4 \times 10^{21} \text{kg} \cdot 4184 \text{J} / \text{kg} \cdot \circ C}\] \[ΔT \approx 0.0584 \circ C\]

Logo, o aumento médio da temperatura dos primeiros 1000 metros dos oceanos foi de aproximadamente 0,0584 °C. Portanto, a alternativa correta é a c).

Para determinar o calor trocado com o meio externo, analisamos separadamente as duas porções de água. Utilizamos a relação do calor sensível, Q = mcΔθ, em que m é a massa, c é o calor específico e Δθ = θ_f − θ_i é a variação de temperatura. O sinal do calor indica o sentido da troca: calor negativo significa que a água perdeu energia, enquanto calor positivo significa que a água recebeu energia.

Calor trocado pela água inicialmente a 100°C:

Essa porção possui massa de 20 g, calor específico igual a 1 cal/g°C e é resfriada de 100°C para 20°C. Portanto, sua variação de temperatura é negativa, pois a temperatura final é menor que a inicial.

\[Q_{1} = m_{1} cΔθ_{1}\] \[Q_{1} = 20 \cdot 1 \cdot \left(20 – 100\right)\] \[Q_{1} = – 1600 cal\]

O resultado negativo confirma que essa porção de água perdeu 1600 cal durante o resfriamento.

Calor trocado pela água inicialmente a 10°C:

Essa porção possui massa de 80 g e é aquecida de 10°C até 20°C. Nesse caso, a variação de temperatura é positiva, pois a temperatura final é maior que a inicial.

\[Q_{2} = m_{2} cΔθ_{2}\] \[Q_{2} = 80 \cdot 1 \cdot \left(20 – 10\right)\] \[Q_{2} = 800 cal\]

O resultado positivo indica que essa porção recebeu 800 cal.

O calor total associado à massa de água é obtido somando algebricamente os calores das duas porções. Essa soma considera os sinais: o calor perdido pela água quente entra como negativo, e o calor recebido pela água fria entra como positivo.

\[Q_{\text{ext}} = – 1600 cal + 800 cal = – 800 cal\]

Assim, a quantidade de calor trocada entre toda a água e o meio externo é −800 cal. O sinal negativo mostra que, no balanço final, a água perdeu calor para o meio externo. Portanto, a alternativa correta é d) −800 cal.

Para determinar a quantidade de energia térmica necessária para aquecer a água contida no reservatório, iniciamos pelo cálculo da massa total do fluido. Sabemos que a densidade absoluta da água foi fornecida como 1 kg/L e o volume armazenado é de 400 L. Aplicando a definição fundamental de densidade, estabelecemos a relação entre massa e volume.

\[d = \frac{m}{V}\]

A partir dessa igualdade, isolamos a variável desejada e obtemos diretamente que a massa da água corresponde a quatrocentos quilogramas. Com esse valor em mãos, partimos para o cálculo do calor sensível necessário para elevar a temperatura da água de 25°C até 35°C. A equação fundamental da calorimetria relaciona massa, capacidade térmica específica e variação de temperatura.

\[Q = mcΔθ\]

Substituindo os dados do problema na expressão acima, multiplicamos a massa pela capacidade térmica específica da água e pelo incremento térmico de dez graus Celsius. O resultado imediato é expresso em calorias, totalizando quatro milhões de unidades dessa grandeza. Como o sistema internacional exige que as grandezas elétricas sejam tratadas em joules, realizamos a conversão energética utilizando o fator dado de 4,2 J/cal.

\[Q = 400 kg \cdot 1000 \frac{cal}{kg \cdot \circ C} \cdot \left(35 \circ C – 25 \circ C\right)\]

Ao aplicar a multiplicação pelo coeficiente de conversão fornecido, chegamos ao valor da energia dissipada pelo resistor em unidades do sistema internacional. O cálculo resulta em dezesseis milhões e oitocentos mil joules.

Como a questão solicita o resultado final em watt-hora, devemos converter watts-segundos para watt-horas. Lembrando que uma hora possui três mil seiscentos segundos, dividimos o valor obtido por esse fator de conversão temporal.

\[Q = 16.8 \cdot 10^{6} Ws = \frac{16.8 \cdot 10^{6} Ws}{3600 s / \text{h}}\]

Realizando a divisão indicada, obtemos aproximadamente quatro mil e setecentos watt-hora. Arredondando para duas algarismos significativos conforme as alternativas apresentadas, constatamos que o valor mais próximo corresponde à opção C. Portanto, a energia elétrica convertida em calor pelo resistor de apoio, responsável por elevar a temperatura da água no reservatório cheio, é da ordem de 4,7 × 10³ Wh.

\[Q \cong 4.7 \cdot 10^{3} Wh\]

Como o objeto não sofre mudança de estado físico e seu calor específico permanece constante, utiliza-se a relação do calor sensível. Essa expressão determina a quantidade de calor associada à variação de temperatura de um corpo:

\[Q = m c \left|T – T_{0}\right| = 300 \cdot 0.4 \cdot \left|10 – 30\right|\]

Nessa equação, m representa a massa do objeto, c é o calor específico, e T e T₀ são, respectivamente, a temperatura final e a temperatura inicial. Como a massa está em gramas e o calor específico é dado em joules por grama e por grau Celsius, as unidades são compatíveis diretamente.

A variação de temperatura é calculada pela diferença entre a temperatura final e a inicial. Como o objeto é resfriado, essa diferença é negativa, mas a quantidade de calor retirada é expressa por seu módulo, isto é, por um valor positivo. Assim, a diferença de temperaturas tem módulo igual a 20 °C.

\[Q = 2400 \text{J}\]

O resultado obtido é 2400 J. Para convertê-lo em quilojoules, utiliza-se a relação 1 kJ = 1000 J. Portanto, divide-se o valor em joules por 1000.

\[Q = 2.4 k J\]

Logo, a quantidade de calor retirada do objeto é 2,4 kJ. Portanto, a alternativa correta é c) Q = 2,4 kJ.

Como a refrigeração nos dois sistemas é a mesma, pressupõe-se que as potências (P) são idênticas também.

Como a potência é a razão entre energia (Q) e tempo tem-se:

Assim, compara-se a energia térmica entre os dois sistemas usando-se a expressão do calor sensível, sabendo-se que as variações de temperaturas são também idênticas.

É razoável perceber a proporcionalidade inversa entre massa e calor específico, assim, como o calor específico do ar é quatro vezes menor que o da água, a massa de ar deve ser quatro vezes maior que a massa de água para a mesma eficiência de refrigeração.