Exercícios de Trabalho da força peso e elástica com resolução comentada

Para determinar os trabalhos, é necessário identificar a distância percorrida ao longo do plano e a altura vertical alcançada pela caixa. Pela geometria indicada na figura, o plano inclinado forma um triângulo retângulo com catetos de 3 m e 4 m. Assim, a distância percorrida corresponde à hipotenusa do triângulo:

A relação de Pitágoras é aplicada porque a distância ao longo do plano é o lado oposto ao ângulo reto:

\[\text{d}^{2} = 4^{2} + 3^{2}\] \[d = 5 \text{m}\]

Logo, a caixa percorre 5 m ao longo do plano. Como a força \(\overset{\rightarrow}{F}\) é paralela ao deslocamento e atua no mesmo sentido do movimento, o ângulo entre a força e o deslocamento é igual a zero. Portanto, o trabalho dessa força é calculado pelo produto entre seu módulo e a distância percorrida:

\[\tau_{F} = Fd = 10 \cdot 5\] \[\tau_{F} = 50 \text{J}\]

Assim, o trabalho realizado pela força aplicada é positivo, pois essa força favorece o deslocamento da caixa, e seu valor é 50 J.

Agora, considere o trabalho realizado pela força da gravidade, ou força peso. A caixa sobe uma altura vertical de 3 m, que corresponde ao cateto vertical do triângulo. A força peso aponta para baixo, enquanto o deslocamento vertical da caixa é para cima; por isso, o trabalho da gravidade é negativo. Para uma subida, ele é determinado pelo negativo do produto entre a massa, a aceleração da gravidade e a altura alcançada:

\[\tau_{P} = – mgh = – 1 \cdot 10 \cdot 3\] \[\tau_{P} = – 30 \text{J}\]

O sinal negativo indica que a força peso se opõe ao deslocamento vertical para cima. A ausência de atrito não altera esses dois trabalhos: ela apenas significa que não há trabalho adicional realizado por uma força de atrito.

Portanto, os trabalhos realizados pela força \(\overset{\rightarrow}{F}\) e pela força da gravidade são, respectivamente, 50 J e −30 J. A alternativa correta é b).

O trabalho realizado pela força externa pode ser determinado por meio da variação da energia potencial gravitacional da corda. Como o fio é puxado lentamente, a corda permanece, em cada instante, em equilíbrio; portanto, não há variação significativa da energia cinética. Assim, o trabalho da força externa é igual ao aumento da energia potencial gravitacional do sistema (𝑊_ext) que corresponde a (Δ𝐸_𝑝).

Como a corda é uniforme, sua densidade linear é constante e pode ser calculada dividindo-se a massa total pelo comprimento total

\[\mu = \frac{m_{\text{tot}}}{L} = \frac{3 \text{kg}}{4.5 \text{m}}\]

Logo

\[\mu = \frac{2}{3} \text{kg} / \text{m}\]

O segmento AB mede 2,5 m. Portanto, sua massa é

\[m_{\text{AB}} = L_{\text{AB}} \cdot \mu = 2.5 \text{m} \cdot \frac{2}{3} \text{kg} / \text{m}\]

Assim

\[m_{\text{AB}} = \frac{5}{3} \text{kg}\]

O segmento BC é o restante da corda, com comprimento igual a 2,0 m. Sua massa é, portanto

\[m_{\text{BC}} = L_{\text{BC}} \cdot \mu = 2.0 \text{m} \cdot \frac{2}{3} \text{kg} / \text{m}\]

Logo

\[m_{\text{BC}} = \frac{4}{3} \text{kg}\]

Adotando o ponto A como origem das alturas e considerando positivo o sentido vertical para cima, a configuração inicial é vertical. O centro de massa de AB fica no ponto médio desse segmento, a 1,25 m abaixo de A. Já o centro de massa de BC fica no ponto médio de BC: como B está 2,5 m abaixo de A e o ponto médio de BC está 1,0 m abaixo de B, sua altura é 3,5 m abaixo de A

\[y_{i , AB} = – \frac{2.5 \text{m}}{2} y_{i , AB} = – 1.25 \text{m}\] \[y_{i , BC} = – \left(2.5 \text{m} + \frac{2.0 \text{m}}{2}\right) y_{i , BC} = – 3.5 \text{m}\]

A energia potencial gravitacional inicial é a soma das energias potenciais dos dois segmentos

\[E_{\text{pi}} = m_{\text{AB}} \cdot g \cdot y_{i , AB} + m_{\text{BC}} \cdot g \cdot y_{i , BC}\]

Substituindo as massas, a aceleração da gravidade e as alturas dos centros de massa

\[E_{\text{pi}} = \frac{5}{3} \cdot 10 \cdot \left(- 1.25\right) + \frac{4}{3} \cdot 10 \cdot \left(- 3.5\right) = – \frac{62.5}{3} – \frac{140}{3} = – \frac{202.5}{3} E_{\text{pi}} = – \frac{405}{6} \text{J}\]

Na configuração final, o trecho AB faz um ângulo θ com a vertical, cuja tangente é 3/4. Isso corresponde a um triângulo retângulo com catetos proporcionais a 3 e 4 e hipotenusa proporcional a 5. Portanto

\[tan \theta = \frac{3}{4}\]

e, consequentemente

\[sen \theta = \frac{3}{5}\] \[cos \theta = \frac{4}{5}\]

O centro de massa de AB está no seu ponto médio. Como a distância vertical desse ponto até A é dada pela projeção vertical de metade do segmento, sua altura final é

\[y_{f , AB} = – 1.0 \text{m}\]

Logo

\[y_{B} = – 2.5 \cdot cos \theta = – 2.5 \cdot \frac{4}{5}\]

O ponto B está a uma distância vertical de 2,5 m de A ao longo do segmento AB. Portanto, sua altura final é

\[y_{B} = – 2.0 \text{m}\]

Assim

\[y_{f , BC} = y_{B} – \frac{L_{\text{BC}}}{2} = – 2.0 – 1.0\]

O centro de massa de BC está 1,0 m abaixo de B, pois BC mede 2,0 m e é uniforme. Portanto

\[y_{f , BC} = – 3.0 \text{m}\]

Logo

\[E_{\text{pf}} = m_{\text{AB}} \cdot g \cdot y_{f , AB} + m_{\text{BC}} \cdot g \cdot y_{f , BC}\]

A energia potencial final é, então

\[E_{\text{pf}} = \frac{5}{3} \cdot 10 \cdot \left(- 1.0\right) + \frac{4}{3} \cdot 10 \cdot \left(- 3.0\right) = – \frac{50}{3} – \frac{120}{3} = – \frac{170}{3} E_{\text{pf}} = – \frac{340}{6} \text{J}\]

Substituindo os valores finais das alturas

\[\begin{array}{l}W_{\text{ext}} = ΔE_{p} \\ W_{\text{ext}} = E_{\text{pf}} – E_{\text{pi}}\end{array}\]

Finalmente, o trabalho da força externa é a variação da energia potencial gravitacional

\[W_{\text{ext}} = – \frac{340}{6} \text{J} – \left(- \frac{405}{6}\right) W_{\text{ext}} = \frac{65}{6} \text{J}\]

Substituindo as energias inicial e final

\[W_{\text{ext}} = – \frac{340}{6} \text{J} – \left(- \frac{405}{6}\right) W_{\text{ext}} = \frac{65}{6} \text{J}\]

Portanto, o trabalho realizado pela força que puxa o fio é 65/6 J, correspondente à alternativa c

Para compreender a validade das afirmações apresentadas, é necessário analisar o funcionamento mecânico e os princípios físicos que regem o Parafuso de Arquimedes. A primeira proposição é verdadeira, pois este dispositivo atua como uma máquina simples capaz de realizar a conversão de tipos de movimento. Quando o eixo helicoidal é girado, ocorre um movimento rotacional que, devido à geometria da espiral, impulsiona o fluido ou material ao longo do tubo em uma trajetória ascendente, caracterizando um deslocamento linear.

A segunda proposição também se mostra correta. A eficiência no transporte de fluidos por esse método é otimizada quando o dispositivo é posicionado com uma inclinação moderada. Uma inclinação suave garante que as cavidades formadas pelas espirais consigam reter uma quantidade significativa de líquido, facilitando o fluxo contínuo e reduzindo perdas durante a subida.

Em contrapartida, a terceira proposição é falsa. Se o parafuso fosse posicionado em um ângulo de 90 graus, ele estaria na vertical, o que dificultaria severamente a retenção do líquido nas espirais devido à ação da gravidade. Para obter o desempenho máximo, o equipamento deve operar em ângulos menores, situando-se tipicamente entre 30 e 40 graus em relação ao plano horizontal.

Quanto à quarta proposição, ela é incorreta porque ignora a complexidade do trabalho mecânico envolvido. A energia necessária para operar o sistema não depende exclusivamente da massa da água. O cálculo do esforço deve considerar a altura vertical que o fluido percorre, a qual é influenciada diretamente pelo ângulo de inclinação, além de levar em conta a velocidade de rotação e as forças de atrito presentes no mecanismo.

Por fim, a quinta proposição é verdadeira. A versatilidade do Parafuso de Arquimedes permite que ele seja empregado não apenas para o manejo de água ou outros líquidos, mas também para o transporte de materiais sólidos granulados, como grãos e minérios, sendo uma ferramenta comum em diversos processos industriais.

Conclui-se, portanto, que as afirmações I, II e V estão tecnicamente corretas, enquanto a III e a IV apresentam erros conceituais sobre a inclinação ideal e os fatores que determinam o gasto energético do sistema.

Durante a descida, o balão se desloca verticalmente para baixo, na mesma direção da força peso. Por isso, o trabalho realizado pela força peso é positivo e pode ser calculado pelo produto da massa m, da aceleração da gravidade g e do deslocamento vertical h:

\[W_{P}^{\rightarrow} = m g h = 2.000 \cdot 10 \cdot 80\] \[\boxed{W_{P}^{\rightarrow} = 1.6 \times 10^{6} \text{J}}\]

Nessa expressão, m representa a massa total do balão, igual a 2 000 kg; g é a aceleração da gravidade, considerada igual a 10 m/s²; e h é a distância percorrida na descida, igual a 80 m. Assim, o trabalho da força peso é positivo porque peso e deslocamento têm o mesmo sentido.

Portanto, a resposta correta é a alternativa d) 1,6 × 10⁶ J.

[I] Verdadeira. O movimento vertical é uniformemente variado, com aceleração constante igual a −10 m/s². Como o objeto atinge a altura máxima em t = 3 s, os instantes que estão à mesma distância de 3 s correspondem a posições com a mesma altura: 1,8 s e 4,2 s são simétricos em relação ao instante da altura máxima, assim como 2,0 s e 4,0 s.

O trabalho realizado pelo peso depende apenas da variação vertical entre as posições inicial e final do intervalo, pois o peso é uma força conservativa. Portanto, nos intervalos de 1,8 s a 2,0 s e de 4,0 s a 4,2 s, as variações de altura têm o mesmo módulo, embora ocorram em sentidos opostos: no primeiro intervalo, o objeto está subindo; no segundo, está descendo. Assim, os trabalhos podem ter sinais opostos, mas possuem o mesmo módulo.

[II] Falsa. A frequência percebida pelo ouvinte depende do movimento relativo entre o objeto emissor e o observador. O ouvinte não percebe necessariamente uma frequência sempre inferior a f₀, pois a frequência diminui quando o objeto se afasta e aumenta quando ele se aproxima.

Para ângulos de lançamento nos quais o alcance horizontal é maior que a altura máxima, o objeto pode permanecer, durante todo o trecho relevante da trajetória, afastando-se do ouvinte localizado próximo ao ponto de lançamento. Nessa situação, a frequência percebida seria menor que f₀. Entretanto, para ângulos próximos de 90°, o alcance horizontal pode ser menor que a altura máxima. Nesse caso, depois de subir e passar pela região de maior afastamento horizontal, o objeto pode aproximar-se novamente do ouvinte durante a descida.

Consequentemente, nessa situação, o ouvinte percebe frequência menor que f₀ durante a subida, quando o objeto se afasta, e frequência maior que f₀ durante a descida, quando o objeto se aproxima. Logo, não é correto afirmar que a frequência será sempre inferior a f₀, independentemente do ângulo de lançamento.

[III] Verdadeira. No ponto de altura máxima, a componente vertical da velocidade é nula. Como essa componente diminui a uma taxa de 10 m/s a cada segundo, a velocidade vertical inicial deve compensar a variação produzida pela gravidade durante os 3 s de subida. Assim, a componente vertical inicial tem módulo igual a 10 ⋅ 3 = 30 m/s. Portanto:

\[v_{0 y} = v_{0} \cdot sen \theta\] \[30 = v_{0} \cdot sen \theta\] \[v_{0} = \frac{30}{sen \theta}\]

Nessa expressão, v₀ é o módulo da velocidade inicial e θ é o ângulo de lançamento com a horizontal. Como o lançamento é oblíquo, o ângulo não é igual a 90°; portanto, sen θ é necessariamente menor que 1. Dividir 30 m/s por um número menor que 1 produz um valor maior que 30 m/s. Desse modo, a velocidade inicial do objeto é superior a 30 m/s. O valor de 30 m/s seria obtido apenas no caso-limite de lançamento vertical, em que sen θ = 1.

As afirmativas I e III são verdadeiras, enquanto a afirmativa II é falsa. Portanto, estão corretas apenas as afirmativas I e III, correspondendo à alternativa e) I e III.

O trabalho mínimo necessário para lançar a bola verticalmente para cima corresponde ao aumento de sua energia potencial gravitacional. Como a resistência do ar é desprezível e se considera apenas o trabalho mínimo, não há perdas de energia: o trabalho realizado deve ser igual à variação da energia potencial gravitacional.

Nessa expressão,

\[\tau = mgh\]

τ representa o trabalho realizado, medido em joules (J); m é a massa da bola, em quilogramas; g é a aceleração da gravidade, em metros por segundo ao quadrado; e h é a variação da altura, em metros. De acordo com as posições indicadas na situação, a bola deve subir 2,8 m. Substituindo esses valores, com m = 20 kg e g = 10 m/s², obtém-se:

\[\tau = 20 \cdot 10 \cdot 2.8\]

Calculando o produto, primeiro temos 20 × 10 = 200; em seguida, 200 × 2,8 = 560. Portanto, o trabalho mínimo necessário é:

\[\tau = 560 \text{J}\]

Assim, a alternativa correta é b) 560 J.

[A] Falsa. A força normal é exercida pelos trilhos perpendicularmente à superfície de contato. Como o carro se desloca tangencialmente aos trilhos, a força normal é perpendicular ao deslocamento em cada ponto da trajetória. O trabalho de uma força é nulo quando ela é perpendicular ao deslocamento, pois não há componente da força na direção do movimento. Portanto, a força normal não realiza trabalho sobre o carro ao longo do trajeto.

[B] Falsa. O carro desce uma diferença de altura de 15 m. Como o deslocamento vertical ocorre para baixo, no mesmo sentido da componente vertical da força gravitacional, o trabalho da gravidade é positivo. Seu valor é calculado pelo produto entre a massa, a aceleração da gravidade e a queda de altura:

A expressão utilizada é:

\[\tau_{\text{grav}} = m g h = 100 \cdot 10 \cdot 15\] \[\tau_{\text{grav}} = 15000 \text{J}\]

Nessa relação, m é a massa do carro, g é a aceleração da gravidade e h é a diferença de altura entre o ponto inicial e o solo. Assim, o trabalho gravitacional é positivo e igual a 15000 J, e não negativo. Por isso, a alternativa é falsa.

[C] Falsa. Como não há atrito e a força normal não realiza trabalho, a única força que realiza trabalho sobre o carro ao longo do movimento é a força gravitacional. Portanto, a energia cinética final é igual à energia cinética inicial somada ao trabalho realizado pela gravidade.

A energia cinética inicial é determinada pela velocidade inicial de 10 m/s, enquanto a parcela mgh representa o aumento da energia cinética provocado pela descida de 15 m:

\[mgh + \frac{mv_{0}^{2}}{2} = E_{\text{cin}}\] \[100 \cdot 10 \cdot 15 + \frac{100 \cdot 10^{2}}{2} = E_{\text{cin}}\] \[E_{\text{cin}} = 20000 \text{J}\]

O primeiro termo corresponde ao trabalho da gravidade, igual a 15000 J, e o segundo termo corresponde à energia cinética que o carro já possuía no início, igual a 5000 J. Logo, no nível do solo, a energia cinética é 20000 J, e não 15000 J. Portanto, a alternativa é falsa.

[D] Falsa. A força normal não realiza trabalho, pois é perpendicular ao deslocamento; portanto, seu trabalho é nulo. Já a força gravitacional realiza trabalho positivo de 15000 J durante a descida. Como um trabalho é nulo e o outro é positivo, eles não possuem o mesmo módulo.

[E] Verdadeira. Durante a descida, a força gravitacional e o deslocamento têm componentes no mesmo sentido. Por isso, o trabalho da gravidade é positivo. Usando a massa de 100 kg, a aceleração da gravidade de 10 m/s² e a diferença de altura de 15 m, obtém-se um trabalho de módulo 15000 J. Portanto, a alternativa correta é a letra E.

O trabalho realizado por uma força mede a transferência de energia produzida por essa força durante o deslocamento. No caso da força peso, como o objeto desce, seu deslocamento vertical tem o mesmo sentido da componente vertical da força peso. Por isso, o trabalho do peso é positivo e depende apenas da variação de altura entre a posição inicial e a posição final.

Esse trabalho pode ser escrito como:

\[\tau_{P} = P h = m g h\]

Nessa expressão, \(\tau_{P}\) representa o trabalho da força peso, \(P\) representa o módulo da força peso, \(m\) é a massa do objeto, \(g\) é a aceleração da gravidade e \(h\) é a diferença de altura entre a mesa e o chão. Como a força peso é dada pelo produto da massa pela aceleração da gravidade, obtém-se a igualdade indicada na expressão.

As rampas podem ter inclinações diferentes e, portanto, comprimentos diferentes. Entretanto, se todas conduzem o objeto do mesmo ponto inicial, na mesa, ao mesmo ponto final, no chão, a diferença de altura \(h\) permanece igual. Além disso, a massa do objeto e a aceleração da gravidade também não se alteram. Logo, os fatores que determinam o trabalho da força peso são os mesmos em todas as situações.

Isso ocorre porque a força peso é uma força conservativa: seu trabalho depende apenas das posições inicial e final, e não do caminho percorrido. Assim, a inclinação ou o comprimento da rampa não modifica o trabalho realizado pela força peso. A velocidade do objeto também não aparece na expressão do trabalho do peso, portanto não determina seu valor.

Consequentemente, o trabalho realizado pela força peso é o mesmo para todas as rampas escolhidas.

Alternativa correta: a) é o mesmo e independe da rampa escolhida.

Para determinar o menor trabalho realizado pelo lavrador, considera-se a variação da energia potencial gravitacional da enxada durante a subida. Isso ocorre porque, no movimento de descida, a força gravitacional contribui para o deslocamento, não sendo necessário que o lavrador realize trabalho adicional mínimo contra a gravidade nessa etapa.

Em uma única subida, a variação da energia potencial gravitacional é dada pelo produto entre a massa da enxada, a aceleração da gravidade e a altura média alcançada. Como o movimento de subida é repetido 50 vezes, o trabalho total mínimo é 50 vezes esse valor:

\[T = 50 \text{m} g h\] \[T = 50 \times 1.3 \times 10 \times 0.8\] \[T = 520 \text{J}\]

Na substituição, foram usados a massa m = 1,3 kg, a aceleração da gravidade g = 10 m/s², a altura média h = 0,8 m e o número de repetições igual a 50. Portanto, o trabalho mínimo realizado pelo lavrador é de 520 J.

Assim, a alternativa correta é b) 520.

O trabalho realizado por uma força variável pode ser determinado pela área sob o gráfico da força em função da elongação. Como se deseja o valor absoluto do trabalho, considera-se o módulo dessa área, independentemente de a força elástica ter sentido contrário ao deslocamento da perna.

No intervalo analisado, a elongação aumenta de 20 cm para 60 cm. Portanto, a variação da elongação é de 40 cm, que deve ser convertida para o Sistema Internacional:

40 cm = 0,4 m

Pelo gráfico, nesse intervalo, a força elástica varia de 10 N a 30 N. Assim, a região sob o gráfico é um trapézio, cuja área é calculada pela média das forças multiplicada pela variação da elongação. Essa área corresponde ao módulo do trabalho:

\[T = \frac{\left(30 + 10\right) \cdot 0.4}{2}\] \[T = 8 \text{J}\]

A unidade do resultado é o joule, pois o trabalho é obtido pelo produto de uma força, em newtons, por um deslocamento, em metros. Logo, o valor absoluto do trabalho realizado pela força elástica é 8,0 J.

Portanto, a alternativa correta é c) 8,0 J.