Exercícios de Movimento Uniforme com resolução comentada

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Física]

Para determinar o intervalo de tempo, utiliza-se a definição de velocidade média no movimento da luz. Como a velocidade é igual à razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempo, pode-se escrever:

\[c = \frac{Δs}{Δt}\]

Nessa expressão, \(c\) representa a velocidade da luz, \(Δs\) é a distância percorrida e \(Δt\) é o intervalo de tempo procurado. Substituindo a velocidade da luz e a distância entre os centros dos átomos de hidrogênio pelos valores fornecidos no enunciado, obtém-se:

\[3 \cdot 10^{8} = \frac{7.2 \cdot 10^{- 11}}{Δt}\]

Para isolar \(Δt\), multiplica-se a igualdade por \(Δt\) e divide-se pela velocidade da luz. Assim, o intervalo de tempo é:

\[Δt = 2.4 \cdot 10^{- 19} \text{s} = 240 \cdot 10^{- 21} \text{s}\]

Na primeira igualdade, divide-se \(7.2\) por \(3\), resultando em \(2.4\). Na divisão das potências de dez, subtraem-se os expoentes: \(- 11 – 8 = – 19\). Em seguida, o resultado é reescrito na unidade zeptossegundo, lembrando que um zeptossegundo corresponde a \(10^{- 21} \text{s}\):

\[Δt = 240 zs\]

Portanto, o intervalo de tempo é de 240 zeptossegundos, o que corresponde à alternativa c).

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]

O cálculo também pode ser realizado diretamente a partir das unidades das grandezas fornecidas. A velocidade da luz é dada em metros por segundo, enquanto o zeptossegundo é definido como uma fração do segundo:

\[c = 3 \times 10^{8} \text{m} \cdot s^{- 1} ; 1 zs = 10^{- 21} \text{s}\]

A relação entre velocidade, distância e tempo é:

\[c = \frac{d}{Δt}\]

Isolando o intervalo de tempo, obtém-se a distância dividida pela velocidade:

\[Δt = \frac{d}{c}\]

Substituindo \(d = 7.2 \times 10^{- 11} \text{m}\) e \(c = 3 \times 10^{8} \text{m} \cdot s^{- 1}\), as unidades metro se cancelam, restando a unidade segundo:

\[Δt = \frac{7.2 \times 10^{- 11} \text{m}}{3 \times 10^{8} \text{m} \cdot s^{- 1}} = 2.4 \times 10^{\left(- 11 – 8\right)} \text{s}\]

Como \(2.4 \times 10^{- 19} \text{s}\) equivale a \(240 \times 10^{- 21} \text{s}\), pode-se expressar o resultado diretamente em zeptossegundos:

\[Δt = 240 \times \underset{1 zs}{\underbrace{10^{- 21} \text{s}}}\] \[Δt = 240 zs\]

Assim, o valor procurado é 240 zeptossegundos, correspondente à alternativa c).

Para determinar a nova velocidade, primeiro calculamos o comprimento do trajeto. Como o movimento ocorre com velocidade constante, utilizamos a relação entre distância, velocidade e tempo: a distância é igual ao produto da velocidade pelo tempo.

Comprimento do trajeto do ciclista:

\[d = v \cdot t = 20 \cdot 50\] \[d = 1000 \text{m}\]

Assim, a distância percorrida é de 1000 m, pois a velocidade inicial é 20 m/s e o tempo inicial é 50 s. Essa distância permanece a mesma, conforme solicitado no enunciado.

O tempo deve ser reduzido em 20%. Portanto, o novo tempo corresponde a 100% − 20% = 80% do tempo original. Em forma decimal, 80% equivale a 0,8.

Novo tempo de percurso:

\[t^{′} = \left(1 – 0.2\right) \cdot 50\] \[t^{′} = 40 \text{s}\]

Logo, para percorrer os mesmos 1000 m, o ciclista deverá gastar 40 s. Como a distância não muda e o tempo diminui, a velocidade necessária deverá ser maior que a velocidade inicial.

Nova velocidade necessária:

\[v = \frac{d}{t^{'}} = \frac{1000}{40}\] \[v = 25 \text{m} / \text{s}\]

Dividindo a distância de 1000 m pelo novo tempo de 40 s, obtemos uma velocidade de 25 m/s. Portanto, a alternativa correta é c) 25 m/s.

O tempo informado em cada caso é o intervalo entre o disparo da flecha e o instante em que Gabrielle ouve o impacto. Esse intervalo é composto por duas parcelas: o tempo de voo da flecha até o alvo e o tempo que o som do impacto leva para voltar do alvo até a atiradora.

Primeiro, determina-se o tempo de propagação do som. Como a distância entre o alvo e Gabrielle é de 204,0 m e a velocidade do som é de 340,0 m/s, aplica-se a relação entre velocidade, distância e tempo:

\[340 = \frac{204}{Δt_{\text{som}}}\] \[Δt_{\text{som}} = 0.6 \text{s}\]

Assim, em ambos os disparos, o som leva 0,6 s para percorrer os 204,0 m entre o alvo e a atiradora. Portanto, para obter o tempo de voo de cada flecha, é necessário subtrair 0,6 s do tempo total medido.

Para a flecha de alumínio, o tempo total foi de 3,6 s. Logo, seu tempo de voo é igual a 3,6 s − 0,6 s, ou seja, 3,0 s. Como ela percorre 204,0 m nesse intervalo, sua velocidade é:

\[v_{a} = \frac{204 \text{m}}{3.6 \text{s} – 0.6 \text{s}} = 68 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, a velocidade da flecha de alumínio é 68 m/s.

Para a flecha de fibra de carbono, o tempo total registrado foi de 3,0 s. Descontando o tempo de propagação do som, o tempo de voo da flecha é 3,0 s − 0,6 s, isto é, 2,4 s. Dessa forma, sua velocidade é:

\[v_{c} = \frac{204 \text{m}}{3.0 \text{s} – 0.6 \text{s}} = 85 \text{m} / \text{s}\]

Logo, a velocidade da flecha de fibra de carbono é 85 m/s. A razão solicitada deve ser calculada na ordem indicada: velocidade da flecha de alumínio dividida pela velocidade da flecha de fibra de carbono.

\[\frac{v_{a}}{v_{c}} = \frac{68}{85} = 0.8\]

Conclui-se que a razão entre as velocidades é 0,8. Portanto, a alternativa correta é a) 0,8.

Como o pão de mel se desloca ao longo da esteira com velocidade média constante, utiliza-se a relação entre velocidade, deslocamento e intervalo de tempo:

\[v = \frac{\Delta S}{\Delta t}\]

Nessa expressão, v representa a velocidade média, ΔS é o deslocamento percorrido e Δt corresponde ao intervalo de tempo. O deslocamento do pão de mel enquanto atravessa o forno é igual ao comprimento do forno, isto é, 24 m. A velocidade média fornecida é de 0,05 m/s.

Isolando o intervalo de tempo na relação anterior, obtém-se:

\[\Delta t = \frac{\Delta S}{v} = \frac{24}{0.05} = \frac{2.400}{5}\]

A divisão por 0,05 pode ser interpretada como a divisão por 5 centésimos. Para eliminar a casa decimal, multiplicam-se numerador e denominador por 100, resultando em 2.400 dividido por 5. Assim, o tempo necessário é:

\[\Delta t = 480 \text{s}\]

Portanto, o pão de mel permanece aproximadamente 480 segundos no interior do forno para percorrer os 24 m. A resposta correta é a alternativa d) 480 s.

Para que a sombra da estátua dobre de tamanho, seu comprimento deverá passar de 24 cm para 48 cm. Como a vela, a estátua e a extremidade da sombra formam triângulos semelhantes, pode-se comparar as alturas com as distâncias horizontais correspondentes.

A distância entre a vela e a estátua é 16 cm. Portanto, quando a sombra medir 48 cm a partir da base da estátua, a distância horizontal correspondente, medida desde a vela até a extremidade da sombra, será 16 + 48 = 64 cm. A altura da vela após derreter uma quantidade x será 30 − x cm, enquanto a altura da estátua permanece igual a 18 cm. Assim, a semelhança dos triângulos fornece:

\[\frac{30 – x}{18} = \frac{16 + 48}{48}\] \[30 – x = 24\] \[x = 6 \text{cm}\]

Logo, a vela deverá derreter 6 cm para que a sombra da estátua tenha o dobro do comprimento inicial. A vela inteira tem 30 cm e derrete totalmente em 5 dias, isto é, em 120 horas. Portanto, sua taxa média de derretimento é de 30 cm divididos por 120 horas, o que corresponde a 0,25 mm por hora, ou 2,5 × 10⁻³ m/h. O tempo necessário para derreter 6 cm, que equivalem a 0,06 m, é determinado por:

\[2.5 \cdot 10^{- 3} \frac{m}{h} = \frac{0.06 \text{m}}{Δt}\] \[Δt = 24 \text{h} = 1 dia\]

Assim, será necessário aguardar 1,00 dia para que a vela diminua 6 cm de altura e, consequentemente, a sombra da estátua dobre de tamanho. Portanto, a alternativa correta é a) 1,00 dia.

Para determinar o tempo total de utilização da caneta, usamos a definição de velocidade média. Como a velocidade é dada em centímetros por segundo, a distância total também deve ser convertida para centímetros.

O comprimento que a caneta consegue escrever é de 3,6 km. Como 1 km = 1000 m e 1 m = 100 cm, então 1 km = 100 000 cm. Portanto, 3,6 km correspondem a

\[3.6 \cdot 10^{5} \text{cm}\]

A relação entre velocidade média, deslocamento e intervalo de tempo é

\[v = \frac{Δs}{Δt}\]

Nessa expressão, v representa a velocidade média, Δs é a distância total percorrida pela ponta da caneta e Δt é o tempo total de utilização. Substituindo a velocidade informada e a distância convertida para centímetros, obtemos

\[1.05 \frac{cm}{2} = \frac{3.6 \cdot 10^{5} \text{cm}}{Δt}\]

Isolando o tempo, dividimos a distância pela velocidade. O resultado é aproximadamente 342 857 segundos

\[Δt \simeq 342857 \text{s} = \frac{342857}{24 \cdot 60 \cdot 60}\]

Para converter segundos em dias, usamos que um dia possui 24 horas, cada hora possui 60 minutos e cada minuto possui 60 segundos. Assim, o tempo calculado corresponde a aproximadamente

\[Δt \simeq 4 \text{dias}\textrm{ }\]

Logo, o tempo total de utilização da caneta seria de aproximadamente 4 dias. Portanto, a alternativa correta é e) 4 dias.

Como os movimentos são uniformes, a posição de cada veículo varia linearmente com o tempo. Adotando o sentido positivo da rodovia como referência, o veículo A parte da origem, portanto \[s_{A} = 0\] e possui velocidade de \[90 km/h\]. O veículo B parte da posição de 300 km e tem velocidade de −110 km/h, indicando que se desloca no sentido oposto ao positivo.

As equações horárias do espaço de ambos os veículos são obtidas pela relação entre posição inicial, velocidade e tempo:

\[s = s_{0} + v t\]

Substituindo os dados de cada veículo, obtém-se:

\[\begin{cases} s_{A} = 90 t \\ s_{B} = 300 – 110 t \end{cases}\]

As posições iniciais estão separadas por 300 km. Como os veículos se movem em sentidos opostos, eles se aproximam inicialmente. A distância entre eles será de 100 km quando a posição do veículo B estiver 100 km à frente da posição do veículo A. Isso corresponde à condição:

\[s_{B} – s_{A} = 100\]

Substituindo as expressões das posições, tem-se:

\[300 – 110 t – 90 t = 100\]

Os termos que contêm o tempo são semelhantes e podem ser reunidos. Assim, \[- 110 t – 90 t\] resulta em \[- 200 t\]. Portanto:

\[- 200 t = – 200\]

Dividindo os dois membros por −200, determina-se o primeiro instante:

\[t = 1 \text{h} = 60 \text{min}\]

Após esse instante, os veículos continuam seus movimentos e passam a se afastar. A distância entre eles volta a ser de 100 km quando o veículo A estiver 100 km à frente do veículo B. Nesse caso, a condição é:

\[s_{A} – s_{B} = 100\]

Substituindo novamente as funções horárias:

\[90 t – 300 + 110 t = 100\]

Reunindo os termos que contêm o tempo e transferindo o termo constante para o segundo membro, resulta:

\[200 t = 400\]

Dividindo os dois membros por 200, obtém-se o segundo instante:

\[t = 2 \text{h} = 120 \text{min}\]

Logo, a distância entre os veículos será de 100 km nos instantes de 60 minutos e 120 minutos. Portanto, a alternativa correta é e) 60 e 120 minutos.

A distância entre o epicentro e a Cidade do México é de 440 km, conforme informado no texto. Para utilizar a velocidade em metros por segundo, é necessário converter essa distância para metros. Como 1 km corresponde a 1.000 m, 440 km correspondem a 440.000 m.

O intervalo de tempo pode ser determinado pela relação entre distância percorrida e velocidade média. Isolando o tempo, divide-se a distância pela velocidade. Assim, considerando t como o intervalo de tempo, Δs como a distância percorrida e v_m como a velocidade média das ondas sísmicas, obtém-se:

\[t = \frac{Δs}{v_{m}} = \frac{440000 \text{m}}{4000 \text{m} / \text{s}}\] \[t = 110 \text{s}\]

A unidade metro aparece tanto no numerador quanto no denominador e é cancelada na divisão, restando a unidade segundo. Portanto, as ondas sísmicas levaram 110 s para percorrer a distância entre o epicentro e a Cidade do México.

Assim, a alternativa correta é c) 110 s.

Como a frente fria se desloca a velocidade constante, o tempo necessário para percorrer a distância até o centro da cidade é obtido pela relação entre distância, velocidade e tempo:

A velocidade é definida como a razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempo. Isolando o tempo, divide-se a distância pela velocidade:

\[t = \frac{d}{v} = \frac{280}{80} = \frac{7}{2} \text{h} = 3.5 \text{h}\] \[t = 3 horas e 30 minutos\]

Na substituição, a distância é 280 km e a velocidade é 80 km/h. Como as unidades de distância são iguais, os quilômetros se cancelam na divisão, fazendo com que o resultado seja expresso em horas. Assim, o tempo de deslocamento é 3,5 horas.

Para converter a parte decimal em minutos, observa-se que 0,5 hora corresponde à metade de uma hora. Como uma hora tem 60 minutos, essa parte equivale a 30 minutos. Portanto, a frente fria chegará à cidade em 3 horas e 30 minutos.

Logo, a alternativa correta é a) 3 horas e 30 minutos.

Resolução:

Como o som se propaga com velocidade média constante, o movimento pode ser tratado como um movimento uniforme. Nesse tipo de movimento, a velocidade é determinada pela razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempo gasto:

\[v = \frac{ΔS}{Δt}\]

Para encontrar o tempo, isolamos Δt, que representa o intervalo de tempo. Assim, o tempo é igual à distância percorrida dividida pela velocidade:

\[Δt = \frac{ΔS}{v} = \frac{2 πr}{v} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 6400}{1200}\]

A distância percorrida pelo som corresponde a uma volta completa ao redor da Terra. Por isso, utilizamos o comprimento da circunferência, dado por 2πr, em que r = 6400 km é o raio terrestre e π = 3. A velocidade do som é 1200 km/h, portanto as unidades são compatíveis e o tempo será obtido em horas.

Substituindo os valores, calculamos o tempo necessário:

\[Δt = 32 \text{h} .\]

Logo, o som da explosão levou aproximadamente 32 horas para dar uma volta completa na Terra. Portanto, a alternativa correta é b) 32 horas.