Exercícios de Lançamento Horizontal com resolução comentada

O movimento da partícula pode ser analisado separadamente nas direções vertical e horizontal. Como o lançamento é horizontal e ocorre no vácuo, desprezando a resistência do ar, a aceleração vertical é a aceleração da gravidade g, enquanto a velocidade horizontal permanece constante e igual a V. A massa M não é necessária para determinar a posição, pois não aparece nas equações do movimento quando a resistência do ar é desprezada.

Movimento vertical

Na direção vertical, a partícula parte do repouso e percorre uma distância vertical que cresce com o quadrado do tempo. Se t representa o tempo decorrido desde o lançamento, a distância caída é dada por:

\[H = \frac{gt^{2}}{2}\]

Quando a partícula atinge o solo, ela percorreu toda a altura H. Denotando por T_tot o tempo total de queda, temos:

\[H = \frac{g \cdot \left(T_{\text{tot}}\right)^{2}}{2}\]

Isolando o tempo total, isto é, multiplicando a igualdade por 2 e extraindo a raiz quadrada, obtemos:

\(T_{\text{tot}} = \sqrt{\frac{2 \text{H}}{g}}\) 

Movimento horizontal

Na direção horizontal, não há aceleração. Portanto, a partícula realiza movimento uniforme: sua velocidade horizontal é constante, e a distância percorrida é proporcional ao tempo. No instante em que toca o solo, a coordenada horizontal é A, de modo que:

\(A = V \cdot T_{\text{tot}}\) 

Essa relação afirma que o alcance horizontal total A é igual à velocidade horizontal V multiplicada pelo tempo total de queda.

Tempo para percorrer o primeiro quarto da altura

“Percorrer o primeiro quarto da altura” significa cair uma distância igual a H/4, medida a partir do ponto de lançamento. Seja t₁ o tempo necessário para essa queda. Aplicando a equação do movimento vertical:

\[\frac{H}{4} = \frac{g \cdot \left(t_{1}\right)^{2}}{2}\]

Resolvendo essa equação para t₁, encontramos:

\[t_{1} = \sqrt{\frac{2 \text{H}}{4 \text{g}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 \text{H}}{g}} \overset{T_{\text{tot}} = \sqrt{\frac{2 \text{H}}{g}}}{\rightarrow} t_{1} = \frac{T_{\text{tot}}}{2}\]

Logo, embora a partícula tenha caído apenas um quarto da altura, o tempo transcorrido corresponde à metade do tempo total. Isso ocorre porque a queda vertical é acelerada: a distância percorrida não cresce proporcionalmente ao tempo, mas ao quadrado do tempo.

Coordenada horizontal nesse instante

Como o movimento horizontal é uniforme, a coordenada X no instante t₁ é:

\[X = V \cdot t_{1}\]

Substituindo t₁ = T_tot/2, resulta:

\[X = V \cdot t_{1} \overset{t_{1} = \frac{T_{\text{tot}}}{2}}{\rightarrow} X = V \cdot \frac{T_{\text{tot}}}{2}\]

Usando a relação do alcance horizontal total, A = V ⋅ T_tot, a expressão anterior pode ser escrita diretamente em função de A:

\(X = V \cdot \frac{T_{\text{tot}}}{2} \overset{A = V \cdot T_{\text{tot}}}{\rightarrow} X = \frac{A}{2}\) 

Portanto, quando a partícula tiver percorrido o primeiro quarto da altura, terá transcorrido metade do tempo total de voo e, consequentemente, terá percorrido metade do alcance horizontal total. Assim, a coordenada é X = A/2, correspondente à alternativa b).

Durante a queda das águas, o movimento pode ser analisado separando-se a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Para determinar a distância horizontal até a calha, interessa apenas a componente horizontal da velocidade, pois, nesse intervalo, ela permanece constante.

Como o telhado forma um ângulo de 30° com a horizontal e o módulo da velocidade de escoamento é V = 4 m/s, a componente horizontal é obtida pela projeção do vetor velocidade no eixo horizontal:

\[V_{x} = Vcos 30 \circ = \frac{D}{Δt}\] \[4 \cdot 0.87 = \frac{D}{0.0 , 6}\] \[D \cong 2.1 \text{m}\]

Na primeira relação, \(V_{x}\) representa a componente horizontal da velocidade, \(D\) é a distância horizontal percorrida pelas águas e \(Δt\) é o tempo de queda. A igualdade \(V_{x} = \frac{D}{Δt}\) decorre da definição de velocidade média no movimento horizontal. Como a componente horizontal é constante, essa relação pode ser usada diretamente.

Substituindo o módulo da velocidade, o valor de \(cos 30 \circ\) e o tempo de queda fornecidos no enunciado, obtém-se \(4 \cdot 0.87 = \frac{D}{0.0 , 6}\). Isso significa que a velocidade horizontal é igual à razão entre a distância procurada e os 0,6 segundo de queda.

Isolando \(D\), multiplica-se a velocidade horizontal pelo tempo de queda. O resultado é aproximadamente 2,1 m. Portanto, a distância horizontal da calha à base do telhado é mais próxima de 2,1 m, correspondente à alternativa d).

Como o lançamento é horizontal, o movimento da pedra pode ser analisado em duas direções independentes: na vertical, a pedra realiza uma queda livre sob a ação da gravidade; na horizontal, mantém velocidade constante, pois a resistência do ar é desprezada.

1. Determinação do tempo de queda

A altura do penhasco é h = 45 m e a aceleração da gravidade é g = 10 m/s². Como a pedra foi lançada horizontalmente, sua velocidade vertical inicial é nula. Portanto, na direção vertical, utiliza-se a relação da queda livre:

\[h = \frac{1}{2} gt^{2}\] \[45 = \frac{1}{2} \cdot 10 t^{2}\] \[t = \sqrt{9}\] \[t = 3 \text{s}\]

Na primeira expressão, h representa a altura percorrida verticalmente, g é a aceleração da gravidade e t é o tempo de queda. Substituindo h = 45 m e g = 10 m/s², obtém-se 45 = 5t². Assim, t² = 9 s² e, considerando o tempo positivo, o tempo necessário para a pedra atingir o solo é 3 s.

2. Determinação da velocidade horizontal

Na direção horizontal, não há aceleração, pois a resistência do ar foi desprezada. Isso significa que a velocidade horizontal permanece constante durante todo o movimento. A distância horizontal percorrida é 11,4 m, e ela é percorrida durante os 3 s de queda. Portanto, aplica-se a definição de velocidade média para movimento uniforme:

\[v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{11.4}{3}\] \[v = 3.8 \text{m} / \text{s}\]

Nessa relação, Δs é o deslocamento horizontal, medido em metros, e Δt é o intervalo de tempo, medido em segundos. Dividindo a distância horizontal de 11,4 m pelo tempo de 3 s, encontra-se a velocidade horizontal de lançamento igual a 3,8 m/s.

Logo, a pedra foi lançada com velocidade de 3,8 m/s, correspondente à alternativa a).

Como o motociclista decola horizontalmente, sua velocidade inicial na direção vertical é nula. Assim, a queda vertical ocorre sob a ação da gravidade, enquanto o movimento horizontal permanece uniforme.

Determinação do tempo de voo:

A altura de 80 cm deve ser convertida para metros, pois a aceleração da gravidade foi fornecida em \(m / s^{2}\). Portanto, a altura é \(0.8 \text{m}\).

Na direção vertical, o deslocamento é dado pela equação da queda livre, considerando velocidade vertical inicial igual a zero:

\[h = \frac{1}{2} gt^{2}\]

Nessa expressão, \(h\) representa a altura da queda, \(g\) é a aceleração da gravidade e \(t\) é o tempo durante o qual o motociclista permanece no ar. Isolando o tempo:

\[t = \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.8}{10}}\]

Substituindo a altura de 0,8 m e a aceleração da gravidade de 10 m/s², obtém-se:

\[t = 0.4 \text{s}\]

Logo, o motociclista permanece no ar durante 0,4 s.

Determinação da velocidade horizontal:

Na direção horizontal, desprezando a resistência do ar, não há aceleração. Portanto, o movimento é uniforme e a distância horizontal percorrida é o produto da velocidade pelo tempo de voo:

\[x = v_{0} t\]

Nessa relação, \(x\) é a distância horizontal percorrida, \(v_{0}\) é a velocidade horizontal no momento da decolagem e \(t\) é o tempo de voo. Como a distância horizontal é 6 m e o tempo de voo é 0,4 s, isolando a velocidade:

\[v_{0} = \frac{x}{t} = \frac{6}{0.4}\]

Efetuando a divisão, a velocidade horizontal é:

\[v = 15 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, a velocidade no momento da decolagem é 15 m/s, correspondente à alternativa c).

Para analisar o comportamento da partícula no ar atmosférico em relação ao cenário de vácuo, é fundamental considerar a influência das forças dissipativas, especificamente a resistência do ar. No vácuo, a única força atuante sobre o objeto é a gravidade, o que permite que ele mantenha sua velocidade horizontal constante e atinja o solo com um determinado alcance e velocidade final.

Ao introduzir o ar atmosférico no sistema, surge uma força de arrasto que se opõe ao movimento. Essa resistência aerodinâmica retira energia cinética do corpo durante todo o seu percurso, resultando em dois efeitos principais: a redução da distância horizontal percorrida (alcance) e a diminuição do módulo da velocidade final no momento do impacto com o solo. Portanto, qualquer curva que apresente um alcance maior ou uma velocidade superior àquela observada na trajetória de vácuo é fisicamente impossível sob essas condições.

Ao observar as opções gráficas, nota-se que as curvas I e III ultrapassam os limites estabelecidos pela linha tracejada do vácuo, tanto em termos de distância horizontal quanto de velocidade, o que as torna incorretas. Por outro lado, as curvas II e IV respeitam a lógica da dissipação de energia, apresentando valores de alcance e velocidade final inferiores aos do vácuo, sendo as únicas representações condizentes com o fenômeno físico descrito.

Para determinar a distância horizontal percorrida pelo pássaro, é necessário primeiro calcular o intervalo de tempo durante o qual o projétil permanece em movimento até atingir o alvo. Considera-se que o movimento vertical seja uma queda livre, com velocidade vertical inicial nula, e que a aceleração da gravidade seja g = 10 m/s², conforme os valores utilizados no gabarito.

A altura de queda indicada no quadrinho é relacionada ao tempo de queda pela expressão da queda livre:

\[h = \frac{1}{2} \text{g} \Delta t^{2}\] \[4 = 5 \Delta t^{2}\] \[\Delta t = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \text{s}\]

Na primeira igualdade, h representa a altura percorrida verticalmente, g é a aceleração da gravidade e Δt é o intervalo de tempo de queda. Substituindo os valores do problema, obtém-se a relação 4 = 5Δt². Ao isolar o tempo e considerar apenas a raiz positiva, pois um intervalo de tempo não pode ser negativo, resulta em Δt = 2√5/5 s.

Durante esse mesmo intervalo de tempo, o pássaro percorre uma distância horizontal. Como a velocidade horizontal permanece constante, utiliza-se a relação entre deslocamento, velocidade horizontal e tempo:

\[\Delta x = v_{x} \Delta t\] \[\Delta x = 9.44 \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{5}\] \[\Delta x \cong 8.44 \text{m}\]

Nessa expressão, Δx é o deslocamento horizontal e v_x é a velocidade horizontal do pássaro, cujo valor é 9,44 m/s. Portanto, basta multiplicar essa velocidade pelo tempo de queda encontrado anteriormente. O resultado é aproximadamente 8,44 m.

Esse valor está entre 8 m e 10 m. Assim:

\[8 \text{m} <</mo>Δx≤10m\]

Logo, a alternativa correta é c) 8m<Δx≤10m.

Pela situação descrita, a atleta perde o contato com a trave com velocidade inicial exclusivamente horizontal. Como, após esse instante, somente a força peso atua sobre ela, o movimento pode ser decomposto em dois movimentos independentes:

• na direção vertical, uma queda livre, pois a velocidade vertical inicial é nula e a aceleração é a gravidade;
• na direção horizontal, um movimento uniforme, pois não há força horizontal e, portanto, a velocidade horizontal permanece constante e igual a v₀.

Analisando a figura:

O deslocamento vertical do centro de massa corresponde à diferença entre sua altura inicial e sua altura no instante em que a atleta toca o solo. Portanto, a altura de queda é h = 0,8 m. O deslocamento horizontal do centro de massa é o alcance A = 2 m.

Essas grandezas são obtidas por:

\[\begin{cases} h = 1.8 – 1 \Rightarrow h = 0.8 \text{m} \\ A = 2 \text{m} \end{cases}\]

Na direção vertical, a atleta parte com velocidade vertical inicial igual a zero. Por isso, utiliza-se a relação da queda livre, em que o deslocamento vertical é proporcional ao quadrado do tempo de queda. Nessa expressão, g é a aceleração da gravidade, com valor de 10 m/s², e t é o intervalo de tempo entre a perda de contato com a trave e o toque no solo.

\[h = \frac{1}{2} \left(g t\right)^{2}\] \[t = \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}}\] \[\sqrt{\frac{2 \times 0.8}{10}} = \sqrt{0.16}\] \[\boxed{t = 0.4 \text{s}}\]

Logo, o tempo de queda é 0,4 s. Esse mesmo intervalo de tempo deve ser utilizado na direção horizontal, pois os movimentos horizontal e vertical ocorrem simultaneamente.

Na direção horizontal, a força resultante é nula. Assim, a velocidade horizontal permanece constante, caracterizando um movimento uniforme. O alcance horizontal é igual ao produto da velocidade inicial horizontal pelo tempo de movimento:

\[A = v_{0} t\] \[v_{0} = \frac{A}{t} = \frac{2.0}{0.4}\] \[v_{0} = 5.0 \text{m} / \text{s}\]

Portanto, a velocidade horizontal inicial do centro de massa da atleta é 5,0 m/s. A alternativa correta é c).

O movimento do projétil pode ser analisado separando suas componentes vertical e horizontal. Como o cano está na direção horizontal, a velocidade inicial na vertical é nula. Assim, o tempo de queda depende apenas da altura e da aceleração da gravidade, enquanto o deslocamento horizontal é calculado a partir da velocidade horizontal constante.

Tempo de queda:

A queda vertical é um movimento uniformemente acelerado. Por isso, utiliza-se a relação entre a altura H, a aceleração da gravidade g e o tempo t. Isolando o tempo nessa expressão, obtém-se:

\[H = \frac{1}{2} \left(g t\right)^{2}\] \[t = \sqrt{\frac{2 \text{H}}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 18}{10}} = \sqrt{0.36}\] \[t = 0.6 \text{s}\]

Na substituição, foram utilizados a altura H e a aceleração da gravidade g. A raiz quadrada de 0,36 resulta em 0,6, portanto o projétil permanece em movimento durante 0,6 s até atingir o chão.

Alcance horizontal:

Na direção horizontal, desprezando a resistência do ar, não há aceleração. Dessa forma, a velocidade horizontal permanece constante e o alcance A é dado pelo produto entre essa velocidade e o tempo de movimento. Como a velocidade é 60 m/s e o tempo de queda é 0,6 s, tem-se:

\[A = v_{0} t = 60 \cdot 0.6\] \[A = 36 \text{m}\]

Logo, o projétil atingiu o chão a uma distância horizontal aproximada de 36 m em relação à boca do cano. Portanto, a alternativa correta é b) 36 m.

Como a semente é ejetada horizontalmente, seu movimento pode ser analisado em duas direções independentes: na horizontal, ela se desloca com velocidade constante; na vertical, realiza uma queda livre, partindo do repouso na direção vertical.

Na direção horizontal, a distância percorrida é de 50 m e a velocidade horizontal permanece igual a 25 m/s. Portanto, utiliza-se a relação entre distância, velocidade e tempo:

\[d = v_{x} t\]

Nessa expressão, d representa a distância horizontal, v_x é a velocidade horizontal da semente e t é o tempo de voo. Substituindo a distância de 50 m e a velocidade de 25 m/s:

\[50 = 25 t\]

Dividindo os dois lados da igualdade por 25 m/s, obtém-se o tempo necessário para a semente percorrer horizontalmente os 50 m:

\[t = 2 \text{s}\]

Na direção vertical, a velocidade inicial é nula, pois a semente foi lançada horizontalmente. Assim, a altura do fruto corresponde à distância vertical percorrida durante uma queda livre de 2 s, sob aceleração da gravidade g = 10 m/s². A relação utilizada é:

\[h = \frac{1}{2} \left(g t\right)^{2}\]

Substituindo g = 10 m/s² e t = 2 s, calcula-se a altura:

\[h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^{2}\]

Como 2² = 4, a expressão resulta em uma altura de 20 m:

\[h = 20 \text{m}\]

Logo, o fruto estava a 20 m de altura em relação ao solo. Portanto, a alternativa correta é e) 20 m.

Como a esfera é lançada horizontalmente, sua velocidade inicial vertical é nula. Assim, em cada trecho de queda, o movimento vertical é uniformemente acelerado pela gravidade, enquanto o movimento horizontal permanece uniforme, com velocidade de módulo V₀. A estratégia consiste em determinar os tempos de queda e os deslocamentos horizontais correspondentes.

Tempo de queda do 1º para o 2º degrau:

Entre o primeiro e o segundo degrau, a esfera percorre verticalmente a distância h. Como a velocidade vertical inicial é zero, utiliza-se a equação da queda livre, em que g é a aceleração da gravidade e t₁ é o tempo desse movimento:

\[h = \frac{1}{2} gt_{1}^{2}\] \[t_{1} = \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}}\]

Portanto, o tempo de queda até o segundo degrau é t₁ = √(2h/g). Durante esse intervalo, a esfera também se desloca horizontalmente com velocidade constante V₀.

Alcance horizontal no 2º degrau:

O deslocamento horizontal produzido durante o tempo t₁ é igual ao produto da velocidade horizontal pelo tempo de movimento. Esse deslocamento corresponde à distância x entre a projeção vertical do ponto de lançamento e o ponto X em que a esfera atinge o segundo degrau:

\[x = v_{0} t_{1} = v_{0} \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}}\]

Assim, quando chega ao ponto X, a esfera ainda precisa percorrer, sobre a superfície lisa do segundo degrau, a distância D − x. Como a superfície é perfeitamente lisa e a esfera desliza sem rolar, não há força horizontal resultante; por isso, sua velocidade horizontal permanece constante e igual a V₀.

Tempo de deslizamento até a extremidade do 2º degrau:

Se t₂ representa o intervalo de tempo em que a esfera desliza sobre o segundo degrau, o deslocamento horizontal restante é D − x. Aplicando a relação entre distância, velocidade constante e tempo, obtemos:

\[v_{0} = \frac{D – x}{t_{2}}\] \[t_{2} = \frac{D – v_{0} \sqrt{\frac{2 \text{h}}{g}}}{v_{0}} = \frac{D \sqrt{g} – v_{0} \sqrt{2 \text{h}}}{v_{0} \sqrt{g}}\]

A última forma é obtida multiplicando o numerador e o denominador por √g. Isso permite escrever todos os termos do numerador com a mesma forma dimensional e facilita a utilização da informação fornecida pelo movimento entre o segundo degrau e o solo.

Tempo de queda do 2º para o 3º degrau:

Ao deixar a extremidade do segundo degrau, a esfera percorre verticalmente a distância 2h. Novamente, sua velocidade vertical inicial é zero. Se t₃ é o tempo dessa queda, então:

\[2 \text{h} = \frac{1}{2} \left(gt_{3}\right)^{2}\] \[t_{3} = 2 \sqrt{\frac{h}{g}}\]

A raiz positiva deve ser escolhida porque um intervalo de tempo é uma grandeza positiva. Durante essa queda, o movimento horizontal continua uniforme, com velocidade V₀.

Alcance horizontal no 3º degrau:

A distância horizontal percorrida desde a extremidade do segundo degrau até o ponto de impacto no solo é L. Portanto:

\[L = v_{0} t_{3} = 2 v_{0} \sqrt{\frac{h}{g}}\] \[L \sqrt{g} – 2 v_{0} \sqrt{h} = 0\]

A segunda igualdade é apenas a reorganização da primeira: o termo L√g é igual a 2V₀√h, de modo que a diferença entre esses dois termos é nula.

Como esta expressão é nula, podemos somá-la ao numerador da equação de \(t_{2}\) sem alterar o valor de t₂. Essa operação foi feita para reunir os termos que contêm D e L, bem como os termos que contêm h:

\[t_{2} = \frac{D \sqrt{g} – v_{0} \sqrt{2 \text{h}} + L \sqrt{g} – 2 v_{0 \text{h}}}{v_{0} \sqrt{g}}\] \[t_{2} = \frac{\sqrt{g} \left(D + L\right) – v_{0} \sqrt{h} \left(\sqrt{2} + 2\right)}{v_{0} \sqrt{g}}\]

Na última expressão, foram fatorados √g nos termos que envolvem D e L, e V₀√h nos termos associados à queda vertical. Assim, o tempo de deslizamento sobre o segundo degrau é:

t₂ = [√(g)⋅(D + L) − √(h)⋅V₀⋅(√2 + 2)] / (V₀⋅√(g))

Essa expressão coincide com a alternativa d. Portanto, a resposta correta é d.